G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Statistiske grundbegreber
2 2
Vi vil her til sidst bevise den i afsnit 1.4 og 1.5 angivne påstand: V( X) = E( X ) − µ .
Bevis: For såvel diskrete som kontinuerte variable er variansen defineret ved
2
σ
2
= V( X) = E(( X − µ ) ) . Af linearitetsreglen fås da
2 2
V( X) = E(( X − µ ) ) = E( X
2 2
= E( X ) − µ
2 2 2
−2⋅ X ⋅ µ + µ ) = E( X ) −2⋅µ ⋅ E( X)
+ µ
1.7 USIKKERHEDSBEREGNING (skrevet af Bjarne Hellesen)
Måles trykket P, volumenet V og temperaturen T af en ideal gas , optræder der tilfældige målefejl,
som gør værdierne usikre. Beregnes molantallet n nu af ligningen P ⋅ V = n ⋅R⋅T, bliver værdien
af n derfor også usikker. Vi ønsker at kunne beregne usikkerheden på n ud fra usikkerhederne på
P, V og T.
DEFINITION af absolut og relativ usikkerhed.
Absolutte usikkerheder σ( X1), σ( X2),..., σ(
Xk) er spredningerne hidrørende fra tilfældi-
ge målefejl .
σ ( X 1)
σ ( X 2 )
σ ( X k )
Relative usikkerheder: rel( X 1)
≡ , rel( X 2 ) ≡ ,..., rel( X k ) ≡ .
E( X ) E( X ) E( X )
1
SÆTNING 1.2 (ophobningsloven for usikkerheder)
Lad X1, X2,..., Xkvære stokastisk uafhængige variable, som hidrører fra målinger.
Beregnes en ny størrelse Y( X1, X2,..., X k ) ud fra X1, X2,..., Xk, får Y også en usikkerhed
σ ( Y)
, som kan beregnes tilnærmet af
∂Y
∂Y
∂Y
σ ( Y)
≈ V( X ) V( X ) ... V( Xk)
∂X
∂X
∂X
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅ + +
⎝ ⎠
⎛ ⎞
1
2 ⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
1
2
2
2
Ved den praktiske brug af formlerne for relative fejl og den ophobede fejl kan man erstatte alle
middelværdier med de faktisk målte værdier.
18
k
2
2
k