G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

1.6 Linearkombination af stokastiske variable
En variant af denne som kun gælder, hvis X1, X2,..., Xner statistisk uafhængige, er følgende
Kvadratregel for statistisk uafhængige variable:
2
VY ( ) = a
2
⋅ V( X) + a ⋅ V( X
2
) + ... + a ⋅V(
X)
.
1
1 2
2
n n
Svaret på spørgsmål 2 i eksempel 1.7 er derfor
V(Y) = V(X1) + V(X2) = 5 2 + 1 2 = 26. σ ( Y ) = 26 = 51 . gram.
r
Stikprøve X = ( X , X ,..., Xn) . Lad os antage, at vi uafhængigt af hinanden og under de samme
1 2
betingelser udtager n elementer fra en population med middelværdi og spredning . Lad
µ σ X 1
være den stokastiske variabel, der er resultatet af første udtagning af et element i stikprøven, X 2
være den stokastiske variabel, der er resultatet af anden udtagning, o.s.v. X1, X2,..., Xnvil da
være ensfordelte uafhængige stokastiske variable, d.v.s. have samme fordeling med middelværdi µ
og spredning σ .
r
Man kalder talsættet X = ( X1, X2,..., Xn) for en stikprøve af størrelsen n.
For ensfordelte uafhængige stokastiske variable gælder:
SÆTNING 1.1 (middelværdi og spredning for stikprøves gennemsnit )
σ
X1 + X2 + ...
+ Xn
E( X)=
µ og σ ( X ) = , hvor X =
n
n
⎛ X + X + ... + X
Bevis: Af linearitetsreglen fås E( X) = E⎜
1 2 n
⎞ 1
⎟
⎜
⎟ ( ( ) ( ) ... ( ) )
n n E X E X E X ⎝
=
⎠ 1
+
2
+ +
n
= µ
⎛ X
1
+
Af kvadratreglen fås V( X) = V⎜
⎝
X
1
+ ... Xn⎞ ⎟
n ⎠
1
=
2 ( V( X
1
) + V( X
2
) + ... + V( Xn) ) =
n
2
n ⋅ σ
2
n
=
2
ο
.
n
Eksempel 1.7 fortsat
Hvis der udtages 5 kartoner insektpulver, hvad vil da være spredningen på gennemsnittet af
vægten af insektpulveret .
LØSNING:
Da spredningen på 1 karton er 5.1 gram, vil spredningen på gennemsnittet af 5 kartoner være
σ 51 .
σ ( X ) = = = 228 .
n 5
17