G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

9
1.5 Kontinuert stokastisk variabel
Et eksempel på en tæthedsfunktion for en kontinuert variabel er den i næste kapitel beskrevne
normalfordeling. Måleresultater vil sædvanligvis være værdier af normalfordelte variable, så en
rimelig hypotese for den i eksempel 1.3 angivne kontinuerte stokastiske variabel X = pH er således,
at den er normalfordelt. Dette bestyrkes af at grafen for sådanne netop er klokkeformede .
Som i det diskrete tilfælde, er det væsentlig at finde en central værdi i populationen.
DEFINITION af middelværdi for kontinuert variabel. Middelværdi for en kontinuert
variabel X med tæthedsfunktion f ( x ) benævnes eller E ( X ) og er defineret som
∫
µ = E( X) = x⋅ f ( x) dx
∞
−∞
Som for den diskrete variabel, er det ikke nok at angive en middelværdi for populationen. Man må
også angive et mål for hvor meget tallene spreder sig.
DEFINITION af varians og spredning for kontinuert variabel. Variansen for en kontinu-
ert variabel X med tæthedsfunktion f ( x ) benævnes eller V( X ) og er defineret som
σ 2
2 2 2
σ = V( X) = E(( X − µ ) ) = ( x− µ ) ⋅ f ( x) dx
∫
∞
−∞
Spredningen (engelsk: standard deviation) for en diskret variabel X med tæthedsfunktion f(x)
benævnes σ og er defineret som σ = V( X)
2 2
I afsnit 1.6 vises, at V( X) = E( X ) − µ hvilket sædvanligvis giver en lettelse ved beregningerne.
Eksempel 1.4 Kontinuert stokastisk variabel.
3 2
⎧⎪
⋅x for 0≤ x<
2
8
Lad der være givet følgende funktion: f ( x)=
⎨
.
⎩⎪ 0 ellers
1) Vis, at f ( x ) opfylder de to første betingelser i definitionen på en tæthedsfunktion.
I det følgende antages, at f ( x ) er tæthedsfunktion for en kontinuert stokastisk variabel X.
2) Skitser grafen for f.
3) Beregn middelværdi og spredning for X.
µ