G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Flerdimensional stokastisk variabel
OPGAVER
Opgave 9.1.1 (2-dimensional stokastisk variabel)
Et spil i et casino går ud på at trække en tilfældig seddel fra en urne (og lægge sedlen tilbage igen). Urnen indeholder 10
sedler, og på hver seddel står 2 tal ( X1, X2)
:
(1,0) (3,0) (4,0)
(1,0) (3,3) (4,3)
(1,3)
(1,3)
(1,3)
(4,3)
a1) Find den 2-dimensionale tæthedsfunktion f ( x1, x2)
:
a2) Find de 1-dimensionale tæthedsfunktioner f ( x ) og f ( x ) .
1 1 2 2
a3) Er X 1 og X 2 statistisk uafhængige ?
µ 1 = E( X1)
µ 2 = E( X2)
σ1( X 1)
σ 2 X 2
a4) Find middelværdierne og samt spredningerne og ( ) .
( )
2
a5) Find middelværdien E X1⋅X2 .
b) Antag, at man i stedet kender en stikprøve på ( X1, X2)
:
(1,3), (1,0), (1,0), (4,3), (3,0), (4,3), (1,0), (3,0), (3,3 ), (1,3).
b1) Benyt stikprøven til at finde estimater for størrelserne i spørgsmål a4).
Opgave 9.1.2 (kovarians, korrelationskoefficient)
a6) Find kovariansen V( X1, X2)
og korrelationskoefficienten ρ( X1, X2)
.
b2) Benyt stikprøven til at finde estimater for størrelserne i spørgsmål a6).
Opgave 9.1.3 (linearkombination)
For det i opgave 9.1.1 og 9.1.2 omtalte casino aftales et spil, hvor gevinsten er
G = 20 + 10X1 + 5X2.
a7) Find gevinstens middelværdi E( G)
og spredning σ( G)
.
b3) Benyt stikprøven til at finde estimater for størrelserne i spørgsmål a7).
Opgave 9.2.1 (2-dimensional stokastisk variabel)
Under en produktion kan der optræde fejl. Lad ( X , X ) =( Antal gange der optræder fejl af type 1, Antal gange der
1 2
X 1
optræder fejl af type 2) i en tilfældig produktion. Variablen kan antage værdierne 0, 1 og 2, mens kun kan antage
værdierne 0 og 1.
a) Antag, at man teoretisk kender tæthedsfunktionen f ( x , x ) :
1 2
f ( x1, x2)
x1 0 1 2
x2 0 0.3 0.1 0.1
1 0.1 0.2 0.2
a1) Find de 1-dimensionale tæthedsfunktioner f ( x ) og f ( x ) .
1 1 2 2
a2) Er X 1 og X 2 statistisk uafhængige ?
µ 1 = E( X1)
µ 2 = E( X2)
σ1( X 1)
σ 2 X
2
a3) Find middelværdierne og samt spredningerne og ( ) .
132
X 2