G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Flerdimensional stokastisk variabel
+ ( 0− µ 1) ⋅( 2 − µ 2) ⋅ f ( 02 , ) + ( 1− µ 1) ⋅( 2 − µ 2) ⋅ f ( 12 , ) + ( 2 − µ 1) ⋅ ( 2 − µ 2)
⋅ f ( 22 , )
= ( 0−11 . ) ⋅( 0−1.. 2) ⋅ 02 . + ( 1−11 . ) ⋅( 0−12 . ) ⋅ 01 . + ( 2− 11 . ) ⋅ ( 0− 12 . ) ⋅ 01 .
+ ( 0− 11 . ) ⋅( 2 − 1.. 2) ⋅ 01 . + ( 1− 11 . ) ⋅ ( 2 − 12 . ) ⋅ 02 . + ( 2 − 11 . ) ⋅ ( 2 − 12 . ) ⋅ 03 . = 028 .
V( X1, X2)
028 .
ρ(
X1, X2)
≡
=
= 0. 3440 .
σ( X ) ⋅σ(
X ) 069 . ⋅ 096 .
1 2
b2) Stikprøvens værdier (1,2), (0,0), (2,2), (2,2), (1,0), (2,2), (0,2), (2,2), (0,2), (2,2) kan indtastes på en
lommeregner, der finder tilnærmelser (estimater) til kovariansen V( X1, X2)
og korrelationskoefficienten
ρ( X1, X2)
:
n
∑
( x1i − x1)( x2i − x2)
SAP12
i=
1
V( X1, X2)
≈ =
= 0. 3111
n − 1 n − 1
ρ( X , X ) ≈ r ≡
1 2
SAP12
SAK ⋅ SAK
1 2
=
i=
1
n
∑
i=
1
n
∑
( x − x )( x − x )
1i 1 2i 2
( x − x ) ⋅ ( x − x )
1i 1 j
j
2
2 2 2
= 1
Det ses, at estimaterne har en vis lighed med de eksakte værdier i spørgsmål a5).
9.3 LINEARKOMBINATION
130
n
∑
= 04015 .
Når vi skal tage en stikprøve ( X1, X2,..., Xn) på en 1-dimensional stokastisk variabel X, så skal vi n gange skaffe et
tal X fra et tilfældigt eksperiment. Derfor kan vi opfatte stikprøven som en n-dimensional stokastisk variabel
r
X = ( X X X .
1, 2,...,
n )
X X X
Vi bruger ofte stikprøven til at danne gennemsnittet X
n n X
n X
n X
1 + 2+
... + n 1 1 1
=
= 1 + 2+
... + n
som er en speciel linearkombination af X1, X2,..., Xn. r
Ved en linearkombination L for en k-dimensional stokastisk variabel X = ( X X X forstås et udtryk af formen
1, 2,...,
k )
L = a0 + a1X1 + a2X2 + ... + akXk , hvor a0, a2, a3,..., aker konstanter.
For middelværdien af L giver linearitetsreglen:
E( L) = a0 + a1E( X1) + a2E( X2) + ... + akE( Xk)
.
Eksempelvis kan vi se, at et gennemsnit X altid har den “rigtige” middelværdi µ :
1 1 1 1 1 1
E( X)
= E( X1)
+ E( X2
) + ... + E( Xn)
= µ + µ + ... + µ = µ .
n n n n n n
For variansen af en linearkombination L gælder kvadratreglen:
2
2
2
V( L) = a ⋅ V( X ) + a ⋅ V( X ) + ... + a ⋅ V( X ) + 2
a a V( X , X )
1
1 2
2
k
k k i j i j
i=
1 j=+ i 1
k
∑ ∑
.