G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

n n
n n
1 1
= nV ⋅ ( XY , ) − ∑∑
E( ( Xi − µ x)( Yj − µ Y) = n⋅V( X, Y)
− ∑∑V(
Xi, Yj)
n
n
i=
1 j=
1
n
1
= nV ⋅ ( XY , ) − ∑V(
Xi, Yi)
n
i=
1
129
i=
1 j=
1
( idet V( X , Y )= 0 for i ≠ j i en stikprøve)
i j
9.1 Indledning
1
= nV ⋅ ( XY , ) − ⋅nV ⋅ ( XY , ) = ( n−1) ⋅V(
XY , ) , dvs. E .
n SAP ⎛ XY ⎞
⎜ ⎟ = V( X, Y)
⎝ n − 1 ⎠
Erstattes Y med X i beviset, bliver SAPXY erstattet med SAK X , og V( X, Y)
bliver erstattet med V( X)
,
hvorved vi også får bevist, at E . Erstattes X med Y , fås endelig
SAK ⎛ X ⎞
⎜ ⎟ = V( X)
E
⎝ n − 1 ⎠
SAK ⎛ Y ⎞
⎜ ⎟ = VY ( )
⎝ n − 1 ⎠
Poolet estimat
Som nævnt er SAK en forkortelse for “Sum af Afvigelsers Kvadrater”. De afvigelser der tænkes på er de n differenser
X − X, X − X,..., X − X . De har summen 0, så når n - 1 af dem er kendt, er den sidste fastlagt. Da SAK således
1 2
n
kun er baseret på n - 1 uafhængige differenser, siger man, at SAK har f = n - 1 frihedsgrader. Det er også antallet
af frihedsgrader der optræder i estimatet for varians: s
2 =
SAKX
f
Ofte har man taget k stikprøver på variable med samme varians σ , så vi får k uafhængige estimater for den samme
2
varians :
s
σ 2
SAK
2 SAK2
= , s2
= ,. . . . . ., s
f
f
2 1
1
1
2
2
k =
SAK
f
og det er da fordelagtigt at forene dem i et såkaldt fællesestimat eller poolet estimat:
s
2
fs + fs 2 2+
... + fs
f + f + ... + f
2 2
2
pool = 1 1
k k
1 2
k
Dette kan også skrives
SAK + SAK + ... + SAKk
s =
f + f + ... + f
2
pool
1 2
1 2
2
spool k
k
k
med f = f + f + ... + f frihedsgrader
pool 1 2 k
, med f = f + f + + f frihedsgrader.
pool 1 2 ... k
Det ses, at har den rigtige middelværdi , idet linearitetsreglen giver
2
2 2
2 2 2
2 fEs 1 ( 1)
+ fEs 2 ( 2)
+ ... + fkEs ( k)
f1σ + f2σ + ... + fkσ
2
Es ( pool ) =
=
= σ .
f + f + ... + f
f + f + ... + f
1 2
k
σ 2
1 2
Eksempel 9.2. Kovarians. Korrelationskoefficient.
Vi betragter igen den 2-dimensionale fordeling fra eksempel 9.1.
a5) Find kovariansen og korrelationskoefficienten.
b2) Benyt stikprøven til at finde estimater for kovariansen og korrelationskoefficienten.
LØSNING:
a5) Idet vi i eksempel 9.1 har fundet µ 1 = 11 .,µ 2 = 12 . , σ =
V( X1, X2)
og korrelationskoefficienten ρ( X1, X2)
:
069 . og σ = 096 . , finder vi nu kovariansen
( )
V( X , X ) ≡ E ( X − µ ) ⋅( X − µ ) = ( x − µ )( x − µ ) f ( x , x )
i j i i j j
∑∑
x1
x2
1 1 2 2 1 2
= ( 0− µ ) ⋅( 0− µ ) ⋅ f ( 00 , ) + ( 1− µ ) ⋅( 0− µ ) ⋅ f ( 10 , ) + ( 2−µ ) ⋅ ( 0−µ ) ⋅ f
( 20 , )
1 2 1 2 1 2
k
.