G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Flerdimensional stokastisk variabel
Man kan (som det ses nedenfor) vise, at
X 1 og X 2 stat. uafhængige ⇒ E( X ⋅ X ) = E( X ) ⋅ E( X ) ⇔ V( X , X ) = 0 ⇔ ρ(
X , X ) = 0
Bevis: Vi har
X 1 og X 2 stat. uafhængige ⇔ f ( x , x ) = f ( x ) ⋅ f ( x )
i j i j i j i j
i j i i j j
∑∑ ∑∑
⇒ E( X ⋅ X ) = x ⋅x ⋅ f ( x , x ) = x ⋅x ⋅ f ( x ) ⋅ f ( x )
∑
i j i j i j
xi
x j
xi
x j
∑
128
i j i i j j
= xi ⋅ fi( xi) xj ⋅ f j( xj) = E( Xi) ⋅E(
X j)
xi x j
⇔ V( Xi, X j) = E( Xi ⋅ X j) − µ i ⋅ µ j =
V( Xi, X j)
E( Xi) ⋅ E( X j) − µ i ⋅ µ j = 0 ⇔ ρ(
Xi, X j)
=
= 0.
σ ⋅ σ
Estimater for kovarians, varians og korrelationskoefficient
Ud fra en stikprøve ( x1, y1),( x2, y2), ...,( xn, yn)
kan man beregne
SAPXY n
≡ ∑ ( xi − x) ⋅( yi − y)
,
n
2
SAKX ≡ ∑ ( xi − x)
,
n
SAKX ≡ ∑ ( xi − x)
i=
1
( SAP = “Sum af Afvigelsers Produkter” , SAK = “Sum af Afvigelsers Kvadrater” )
og heraf danne estimater for kovarians, varianser og korrelationskoefficient:
SAPXY
SAK X SAKY
kovarians: V( X, Y)
≈ og varianser: V( X)≈
, VY ( )≈
n − 1
n − 1 n − 1
korrelationskoefficient: ρ( XY , ) ≈r≡ i=
1
SAPXY
SAK ⋅ SAK
X Y
Det kan således vises (for enhver fordelingstype), at
E , ,
SAP ⎛ XY ⎞
⎜ ⎟ = V( X, Y)
⎝ n − 1 ⎠
E SAK ⎛ X ⎞
⎜ ⎟ = V( X)
⎝ n − 1 ⎠
E SAK ⎛ Y ⎞
⎜ ⎟ = VY ( )
⎝ n − 1 ⎠
Bevis: Vi har
n
n
∑ ( )( ) ∑ ( ( i µ x) ( µ x) ( ( i µ Y) ( µ Y)
)
SAP = X − X Y − Y = X − − X − ⋅ Y − − Y −
XY i i
i=
1 i=
1
n
n
∑ ∑
∑ ∑
= ( X − µ )( Y − µ ) + ( X − µ )( Y − µ ) − ( X − µ )( Y − µ ) − ( X − µ )( Y − µ )
i x i Y
x Y i x Y
x i Y
i=
1 i=
1
i=
1 i=
1
n
∑ ( Xi i=
1
n
µ x)( Yi µ Y)
n ( X µ x)( Y µ Y) ( nX n µ x)( Y µ Y) ( X µ x)( nY n µ Y)
= − − + ⋅ − − − − ⋅ − − − − ⋅
= ∑ ( Xi − µ x)( Yi − µ Y)
− n⋅( X − µ x)( Y − µ Y)
.
i=
1
Altså fås ved hjælp af linearitetsreglen:
n
E( SAPXY ) = ∑ E ( Xi− µ x )( Yi− µ Y ) − n⋅E ( X − µ x )( Y − µ Y )
i=
1
n
( ) ( )
1
= ∑ V( Xi, Yi)
− ⋅ E ( X1 + X2+ ... + Xn − n⋅ i=
1 n
x)( Y1 + Y2+ ... + Yn − n⋅
Y)
n
⎛ n
n
1
⎞
= ∑V( X, Y)
− ⋅E⎜∑( Xi− µ x) ∑(
Yj
− µ
Y ) ⎟
i=
1 n ⎝ i=
1 j=
1 ⎠
n
( µ µ )
n
i=
1
2
i j