G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

9.2 KOVARIANS OG KORRELATIONSKOEFFICIENT
127
9.1 Indledning
Vi har omtalt, at hver stokastisk variabel har en varians. Men et par variable X 1 og X 2 kan have en tendens til at variere
i overensstemmelse med hinanden (samvarians), således at afvigelserne X1 − µ 1 og X 2 − µ 2 overvejende har samme
fortegn (positiv korrelation) eller overvejende har modsat fortegn (negativ korrelation). Eksempelvis kan en høj
forekomst af ét vitamin i et levnedsmiddel ofte være ledsaget af en høj forekomst af et andet vitamin (positiv korrelation).
Og studerendes højde og masse kan også have en positiv korrelation.
r
Vi betragter igen en k-dimensional stokastisk variabel X = ( X X X . For et par af variable og defineres
1, 2,..., k )
X X i j
kovariansen (“samvariansen”)
( µ µ )
V( X , X ) ≡ E ( X − ) ⋅( X − )
i j i i j j
(den giver jo et vist mål for, om afvigelserne X i − µ og X i j − µ j i middel har samme fortegn eller modsat fortegn).
Sættes i = j, fås V( Xi, Xi) = E( ( Xi
− µ i)
) , som er identisk med variansen for variablen
2
V( Xi) X i
( )
2 2
Man kan vise (se nedenfor), at V( X , X ) = E X ⋅ X − ⋅ , som for i = j giver V( X ) = E X − µ .
i j i j i j
µ µ ( )
i i i
Bevis:
V( Xi, X j) ≡ E( ( Xi − µ i) ⋅( X j − µ j) ) = E( XiX j − µ iX j − Xiµ
j + µ iµ j)
.
Anvendes linearitetsreglen kan sidste led omformes:
= E( X X ) − µ E( X ) − E( X ) µ + µ µ = E( X X ) − µ µ − µ µ + µ µ = E( X X ) − µµ
i j i j i j i j i j i j i j i j
i j i j
For bedre at kunne vurdere hvor meget de variable varierer i “takt” med hinanden, divideres kovariansen med
spredningerne, så man får den såkaldte korrelationskoefficient:
V( Xi, X j)
ρ(
Xi, X j)
≡
σ ⋅ σ
1 2
Man kan vise (se nedenfor) , at −1≤ ρ( X , X ) ≤ 1.
i j
Bevis: Vi har
0 ≤ E
⎛⎜
⎝ λ ⋅ Xi − µ i + X j − µ j
2
⎞ ( ) ⎟
2 2 2
( ) ( ) ⎠ = E( λ ⋅( Xi − µ i) + 2λ
( Xi − µ i)( X j − µ j) + ( X j − µ j)
)
2
( ( i i) ) 2 ( ( i i)( j j) ) ( ( j j)
) = λ ⋅ V Xi + 2V
Xi X j λ + V X j
= λ ⋅ E X − µ + λ E X − µ X − µ + E X − µ
2 2 2
λ
( ) ( , ) ( )
Da dette andengradspolynomium i aldrig er negativt, kan diskriminanten ikke være positiv, dvs.
( )
2
V( Xi, X j)
2
4( V( Xi, X j) ) −4⋅V( Xi) ⋅V( X j)
≤0⇔ ≤1⇔ ( ρ( Xi, X j)
) ≤1
⇔−1≤ρ( Xi, X j)
≤1
.
V( X ) ⋅V(
X )
i j
2