G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

9.1 Indledning
r
En stikprøve af størrelsen n på en stokastisk variabel X = ( X X X defineres som
1, 2,...,
k )
r r r
( X1, X2,..., Xn) = ( ( X11, X21,..., Xk1),( X12, X22,..., Xk2),...,( X1n, X2n,..., Xkn)
)
r r r
r
hvor X1, X2,..., Xner statistisk uafhængige variable, der hver har samme fordeling som X .
Eksempel 9.1. 2-dimensional stokastisk variabel.
Et levnedsmiddel kan af en tilfældig forbruger bedømmes ved en karakter X 1 for smagen og en karakter X 2 for
lugten. Karakteren X 1 kan antage værdierne 0, 1 og 2, mens X 2 kun kan antage værdierne 0 og 2.
a) Antag, at man teoretisk kender tæthedsfunktionen f ( x , x ) :
x 2
125
1 2
f ( x1, x2)
x1 0 1 2
0 0.2 0.1 0.1
2 0.1 0.2 0.3
a1) Find de 1-dimensionale tæthedsfunktioner f ( x ) og f ( x ) .
X 1
X 2
1 1
a2) Er og statistisk uafhængige ?
a3) Find middelværdierne µ 1 = E( X1)
og µ 2 = E( X2)
samt spredningerne σ1 = σ(
X1) og σ 2 = σ(
X 2)
.
a4) Find middelværdien E( X1, X2)
.
b) Antag, at man i stedet kender en stikprøve på ( X1, X2)
:
(1,2), (0,0), (2,2), (2,2), (1,0), (2,2), (0,2), (2,2), (0,2 ), (2,2).
b1) Benyt stikprøven til at finde estimater for størrelserne i spørgsmål a3).
LØSNING:
a1) Ved summation ned gennem de lodrette søjler i tabellen for tæthedsfunktionen
f ( x1, x2) ≡ P( X1 = x1 ∧ X2 = x2)
fås den 1-dimensionale tæthedsfunktion f1( x1) =
f1( 0) = 02 . + 01 . = 03 . , f1() 1 = 01 . + 02 . = 03 . , f1( 2) = 01 . + 03 . = 04 . .
P( X1 = x1)
:
Ved summation hen gennem de vandrette rækker i tabellen for tæthedsfunktionen f ( x1, x2)
fås analogt den
1-dimensionale tæthedsfunktion f2( x2)
:
f 2( 0) 02 . 01 . 01 . 04 . , ( ) = . + . + . = . .
2 2
= + + = f 2 2 01 02 03 06
a2) De variable X 1 og X 2 er statistisk uafhængige, hvis og kun hvis f ( x1, x2) = f1( x1) ⋅ f2( x2)
for alle værdier
af ( x1, x2)
i definitionsmængden. Men da f.eks. f1( 0) ⋅ f2(
0) = 03 . ⋅ 04 . = 012 . er forskellig fra f (,) 00 = 02 . ,
er og ikke statistisk uafhængige.
X 1
X 2
a3) Vi finder
( ) ( ) 0 ( 0) 1 ( 1) 2 ( 2)
= 003 ⋅ . + 103 ⋅ . + 204 ⋅ . = 11 .
∑
∑
µ 1 = E X1 = x1 ⋅ f1 x1 = ⋅ f1 + ⋅ f1 + ⋅ f1
µ 2 E X2 x2 f2 x2 f2 f2
= ( ) = ⋅ ( ) = 0⋅ ( 0) + 2⋅ ( 2) = 0⋅ 04 . + 2⋅ 06 . = 12 .
2 ( )
2
σ = σ ( X ) ≡ V( X ) ≡ E ( X − µ ) = ( x − µ ) ⋅ f ( x )
1 1 1 1 1
∑
1 1
2 2 2
= ( 0 −11 . ) ⋅ 0. 3 + ( 1−11 . ) ⋅ 0. 3 + ( 2 −11 . ) ⋅ 0. 4 = 0. 69 = 083067 .
2 ( )
1 1
2
σ = σ ( X ) ≡ V( X ) ≡ E ( X − µ ) = ( x − µ ) ⋅ f ( x
)
2 2 2 2 2
∑
2 2
2 2