G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Flerdimensional statistisk variabel
For hver af de 1-dimensionale stokastiske variable X1, X2,..., Xkhar vi tidligere defineret:
* Fordelingsfunktioner F1, F2,..., Fk: F( X ) ≡ P( X ≤ x ), F ( X ) ≡ P( X ≤ x ), . . . , F ( X ) ≡ P( X ≤ x ) .
1 1 1 1
2 2 2 2
124
k k k k
* Tæthedsfunktioner f1, f2,..., fk, når X X X er diskrete variable:
1, 2,...,
k
f ( x ) ≡ P( X = x ) , f ( x ) ≡ P( X = x ) , . . . , f ( x ) ≡ P( X = x ) ,
1 1 1 1
2 2 2 2
og når de er kontinuerte variable:
dF1( x1)
dF2( x2)
dFk( x k)
f1( x1)
≡ , f2( x2)
≡ , . . . , f k( xk)
≡ .
dx
dx
dx
1
2
k k k k
* Middelværdier, når X1, X2,..., Xker diskrete variable:
E( g( X ) ≡ g( x ) ⋅ f ( x ) , . . . , E( g( X ) ≡ g( x ) ⋅ f ( x ) ,
( )
∑ ( )
1 1 1 1
x1
og når de er kontinuerte variable:
( )
∑
k
k k k k
xk ∞
∞
E( g( X ) ≡ g( x ) ⋅ f ( x ) dx , . . . , E( g( X ) ≡ g( x ) ⋅ f ( x ) dx ,
∫ ( )
1 1 1 1 1
−∞
specielt
≡ E X ≡ ∑ x ⋅ f x
og
x1
∫
k k k k k
−∞
µ 1 ( 1) 1 1( 1)
µ k 2
k k k
xk
∑
, . . . , ≡ E( X ) ≡ x ⋅ f ( x ) ,
∞
, . . . , ≡ E( X ) ≡ x ⋅ f ( x ) dx .
∞
µ 1 ≡ E( X1) ≡ x1 ⋅ f1( x1) dx1
µ k k k k k k
−∞
−∞
∫
Af definitionen på middelværdi følger linearitetsreglen:
Ea⋅ gX ( ) + bhX ⋅ ( ) = a⋅ EgX ( ) + bEhX ⋅ ( ) .
( ) ( ) ( )
i i i i
r
For en k-dimensional stokastisk variabel X = ( X X X definerer vi analogt:
1, 2,...,
k )
* Fordelingsfunktionen F : ( ∧ betyder “både og”)
F( x , x ..., x ) ≡ P( X ≤ x ) ∧ P( X ≤ x ) ∧... ∧P( X ≤ x ) .
1 2, k 1 1 2 2
k k
* Tæthedsfunktionen f, når X1, X2,..., Xker diskrete variable:
f ( x1, x2, ..., xk) ≡ P( X1 = x1) ∧ P( X2 = x2) ∧... ∧ P( Xk = xk)
og når de er kontinuerte variable:
k
Fx ( 1, x2,..., xk)
f ( x1, x2, ..., xk)
≡ .
x x ,..., x
∂
∂ ∂ ∂
* Middelværdier, når X1, X2,..., Xker diskrete variable:
( )
∑∑
∑
∫
1 2
E g( X , X ,..., X ) = ... g( x , x ,..., x ) ⋅ f ( x , x ,..., x )
1 2 k 1 2 k 1 2
x1 x2
xk
og når de er kontinuerte variable:
( )
∫
∞
∞
∫ ∫
E g( X , X ,..., X ) = dx dx ... g( x , x ,..., x ) ⋅ f ( x , x ,..., x ) dx
∞
1 2 k 1 2 1 2 k 1 2 k k
−∞ −∞ −∞
r r r r
Af definitionen på middelværdi følger linearitetsreglen: Ea ( ⋅ gX ( ) + bhX ⋅ ( ) ) = a⋅ EgX ( ( ) ) + b⋅EhX ( ( ) )
De variable X1, X2,..., Xkkaldes stokastisk uafhængige, såfremt de for alle værdier af x1, x2,..., xkopfylder betingelsen: f ( x , x ..., x ) = f ( x ) ⋅ f ( x ) ⋅... ⋅ f ( x ) ,
1 2 k 1 1 2 2
k k
der kan vises at være ækvivalent med betingelsen: F( x , x ..., x ) = F( x ) ⋅F ( x ) ⋅... ⋅F
( x ) .
k
k
1 2 k 1 1 2 2
k k