26.07.2013 Views

G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

8.4 WEIBULLFORDELINGEN<br />

1)<br />

Γ ( x)<br />

8.6 Den 2-dimensionale normalfordeling<br />

Hvis komponenterne i et elektronisk apparat ikke “slides”, dvs. den fremtidige levetid ikke afhænger<br />

af den foregående tid, er som nævnt i afsnit 8.3 eksponentialfordelingen velegnet som model for<br />

apparatets levetid. Hvis derimod de pågældende komponenters eventuelle svigten afhænger af den<br />

forløbne tid, kan man ofte med fordel benytte den i det følgende nævnte Weibullfordeling som<br />

approksimativ model for apparatets levetid (model for apparatets pålidelighed).<br />

DEFINITION af Weibulfordeling. Lad k og µ være positive tal. Sandsynlighedsfordelingen<br />

for en kontinuert stokastisk variabel X med tæthedsfunktionen f ( x ) bestemt ved<br />

x<br />

k k<br />

f x<br />

x for x<br />

k<br />

ellers<br />

k<br />

⎧<br />

−<br />

⎪<br />

−<br />

( ) =<br />

⋅ ⋅ ><br />

⎨<br />

⎪<br />

⎩<br />

⎛ ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

1 ⎝ µ ⎠<br />

e<br />

0<br />

µ<br />

0<br />

siges at være Weibullfordelingen wei( k,<br />

µ<br />

) .<br />

⎛ k + 1⎞<br />

Det kan vises, at Weibullfordelingen wei( k,<br />

µ ) har middelværdien E( X)<br />

= µ ⋅Γ⎜<br />

⎟<br />

⎝ k ⎠<br />

og spredningen σ ( X ) = µ ⋅<br />

⎛ k + 2⎞⎛⎛k+ 1⎞⎞ Γ⎜⎟−⎜ ⎟<br />

⎝ k ⎠<br />

⎜ Γ<br />

⎝ ⎝ k ⎠<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

Det ses, at Weibullfordelingen kan opfattes som en generalisation af eksponentialfordelingen, idet<br />

wei( 1 , µ ) = exp( µ ) .<br />

Såfremt levetiderne for komponenter i et apparat aftager jo længere tid apparatet har været i funktion<br />

(på grund af slid), kan man benytte en Weibullfordeling med k > 1 som approksimativ model for<br />

apparatets levetid.<br />

Gammafunktionen<br />

<strong>grundbegreber</strong>” 3A<br />

er defineret i “Supplement til statistiske<br />

117<br />

1 )

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!