G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Andre kontinuerte fordelinger
Levetider. I apparater, som består af elektroniske komponenter (eksempelvis lommeregnere), er der
et meget ringe mekanisk slid. Apparatets fremtidige levetid vil derfor (næsten ikke) afhænge af, hvor
længe det har fungeret indtil nu. I sådanne tilfælde vil eksponentialfordelingen erfaringsmæssigt være
en god approksimativ model for apparatets levetid. Det kan nemlig vises, at eksponentialfordelingen
er den eneste kontinuerte fordeling, som har ovennævnte egenskab (er uden hukommelse)
Bevis: Lad X være eksponentialfordelt med middelværdi µ og lad b > a > 0 være vilkårlige
konstanter. Der gælder da:
P( X > a + bX > a)
=
( ( > + ) ∧ ( > ) )
P X a b X a
P( X > a)
116
=
a b
− +
µ
P( X > a + b)
e
−
µ
= b =e = P( X > b)
P( X > a)
−
µ
e
Eksempel 8.3. Levetid for elektriske pærer.
Man har erfaring for, at en bestemt type elektriske pærer har en "brændtid" T (målt i timer), som
approksimativt er eksponentialfordelt. På basis af et stort antal målinger ved man , at
middellevetiden er µ = 1500 timer.
1) Hvor stor er sandsynligheden for, at en tilfældig pære brænder over, inden den har været tændt
i 1200 timer?
2) Find sandsynligheden for, at en tilfældig pære brænder i mere end 1800 timer.
3) En pære har brændt i 800 timer. Hvad er sandsynligheden for, at den brænder i mindst 1800
timer mere.
LØSNING:
1) PT ( < ) = F(
) = − . .
−
1200
1500
1200 1200 1 e = 1- 0.449 = 551%
1800
−
2) 1500
PT ( > 1800) = 1− F(
1800) = e = 3012% .
3) Da eksponentialfordelingen ingen hukommelse har, vil svaret blive som i spørgsmål 2, dvs.
30.12%.
b