G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

8.Andre kontinuerte fordelinger
8.3 EKSPONENTIALFORDELINGEN
I kapitel 7 betragtede vi antallet N af revner pr. meter langs et kobberkabel. Vi antog, at N var
Poissonfordelt. Hvis vi i stedet havde betragtet afstanden X mellem revnerne, havde vi fået en ny
stokastisk variabel, som må være kontinuert. Som det fremgår af følgende sætning er X
eksponentialfordelt.
SÆTNING 8.2 (Eksponentialfordeling). Lad W være en Poissonfordelt stokastisk variabel. Lad
det gennemsnitlige antal impulser i en tidsenhed være λ . Lad X være tiden indtil næste impuls.
X er da en kontinuert stokastisk variabel med sandsynlighedsfordelingen (tæthedsfunktionen)
f ( x ) = P ( X = x) bestemt ved
x ⎧ 1 −
µ
⎪ ⋅ e for x>
0
f ( x)=
⎨ µ
hvor µ =
⎪
λ
⎩0
ellers
1
X siges at være eksponentialfordelt exp ( µ ) med parameteren µ .
Middelværdien for exp ( µ ) er E(X) = µ og spredningen er σ ( X ) =
µ .
Bevis:
I tidsrummet fra x0 til x0 + x er der i gennemsnit λ ⋅ x impulser. Lad W være det aktuelle antal
impulser i tidsrummet [x0 ; x0 + x ]. W er da Poissonfordelt p( λ ⋅ x)
.
Idet X er tiden fra én impuls til den næste, er P( X > x) = P( W = 0)
, da der ingen impulser er
i tidsrummet [x0 ; x0 + x ].
0
( λ ⋅ x) −λ⋅x −λ⋅x − ⋅x
Da PW ( = 0)
= ⋅ e = e , er P( X > x)
= e .
0!
λ
− ⋅x
Vi har derfor F( x) = P( X ≤ x) = 1− P( X > x)
= 1−e . Ved differentiation fås
λ
−λ⋅x tæthedsfunktionen: f ( x) = F'( x)
= λ ⋅e. Sættes λ = fås formlen.
µ
1
Bevis for middelværdi og spredning:
∞
−λ⋅x ⎡ −λ⋅x 1 ⎤ 1
E( X) = ∫ λ ⋅x⋅ e dx = -e ( x−
= = µ
0
⎣⎢
− λ⎦⎥ λ
( )
2 2 2 −λ⋅x 2
V( X) = E( X ) − E( X) = λ ⋅x ⋅edx − µ
⎡ ⎛
⎞ ⎤
= ⎢ ⎜ − + ⎟
.
⎣ ⎝
⎠ ⎥
⎦
−
− ⋅
-e λ x 2 2x2 2 2 2 2
x
µ
2
= 2 − µ = µ
λ λ
λ
∞
0
∫
0
∞
114
∞
0
(brugt Schaum 14.510)