G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

5
1.4 Diskret stokastisk variabel
DEFINITION af middelværdi for diskret variabel. Middelværdi for en diskret variabel X
benævnes eller E ( X ) og er defineret som ( E står for
expected value )
I eksempel 1.2 fås middelværdien µ =- 40 ⋅ 01 .+ ( - 10) ⋅ 0.+ 5 10 ⋅ 0. 2+ 20 ⋅ 01 .+ 40 ⋅ 01 . =-1,
dvs. i middel vil ejeren vinde 1 kr pr. spil.
Udover at angive en middelværdi, er man ofte også interesseret i at angive et mål for om værdierne
ligger tæt omkring middelværdien, eller om de spreder sig meget (varierer meget). Som et mål herfor
beregnes varians og spredning for variablen X.
For fordelingen i eksempel 1.2, som havde middelværdien -1 fås således:
2 2
2 2 2
V( X)
= ( -40 - (-1)) ⋅01 . + ( -10 - (-1) ) ⋅0. 5 + (10 - (-1)) ⋅0. 2 + (20 - (-1)) ⋅01 . + (40 - (-1)) ⋅01=
. 429
σ( X ) = 429 = 20.71.
µ µ = E( X) = x⋅ P( X = x)
DEFINITION af varians og spredning for diskret variabel. Variansen for en diskret vari-
abel X benævnes eller V ( X ) og er defineret som
σ 2
( )
∑
2 2 2
σ = V( X) = E ( X − µ ) = ( x − µ ) ⋅ P( X = x)
.
2 2
I afsnit 1.6 vises, at V( X) = E( X ) − µ hvilket sædvanligvis giver en lettelse ved beregningerne.
For fordelingen i eksempel 1.2 fås således
x
Spredningen (engelsk: standard deviation) for en diskret variabel X benævnes σ og er defi-
neret som σ = V( X)
.
2 2
2 2 2 2
V( X)
= ( -40) ⋅01+ . ( -10) ⋅05 . +10 ⋅0. 2 + 20 ⋅01+ . 40 ⋅01-
. (-1) = 429
Det ses, at alle x- værdier i eksempel 1.2 ligger indenfor en afstand af fra middelværdien -1.
2 ⋅ σ
[ ]
[ µ −2⋅ σ ; µ + 2⋅σ]
For de fleste fordelinger vil mindst 99% af alle værdier ligge indenfor µ −3⋅ σ ; µ + 3⋅σ
, og
sædvanligvis vil mindst 95% af værdierne ligge indenfor .
∑
x