G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Vigtige diskrete fordelinger
Eksempel 7.14: Approksimation af binomialfordeling med normalfordeling.
En kunde til de i eksempel 2.3 producerede plastikkasser køber kasserne i partier på 2000. Kunden
godkender et parti efter en stikprøvekontrol, hvor der udtages 100 kasser. Hvis antallet af defekte
kasser i stikprøven højst er 14 godkendes hele partiet. I modsat fald kasseres partiet.
Hvor stor er sandsynligheden for at et parti bliver godkendt, hvis der er 300 defekte kasser i hele
partiet på de 2000.
LØSNING:
Lad X være antallet af defekte kasser i stikprøven. Vi ønsker at udregne P( X ≤ 14)
.
Umiddelbart er X hypergeometrisk fordelt med N = 2000, M = 300, og n = 100.
⎛ n 100 1 ⎞
Da stikprøvestørrelsen er lille ⎜ = < ⎟ kan fordelingen af X umiddelbart approksimeres
⎝ N 2000 10⎠
med binomialfordelingen b (100, p), hvor p (se appendiks 7.1). Dette giver
M 300
= = = 015 .
N 2000
ved benyttelse af en lommeregner som TI-89 at P( X ≤ 14)
= 45.72%.
Idet n⋅ p=
15 > 5 , kan i stedet for approksimeres med normalfordelingen med
µ = 15 og σ = 15⋅ 0. 85 = 357 . .
Ved hjælp af denne approksimation kan vi beregne:
P( X ≤ 14)
= normCdf( −∞,
14.5, 15, 3.57) = 44.43%
Det ses, at der er ca. 1.5 % afvigelse, hvilket normalt ingen betydning har.
Approksimation af Poissonfordeling til normalfordeling.
Approksimation af en Poissonfordeling med en normalfordeling baseres på, at det gælder, at
tæthedsfunktionen for Poissonfordelingen p( µ ) nærmer sig ubegrænset til normalfordelingen
3) n( µ , σ ) med samme middelværdi µ ogσ = µ når µ → ∞ .
Approksimation af en Poissonfordeling med en normalfordeling anses i praksis for at være
tilfredsstillende, når µ ≥ 10 , jævnfør den skematiske oversigt i appendix 7.1.
Da Poissonfordelingen kun antager heltalsværdier, medens en normalfordeling kan antage alle
værdier på talaksen, må der ved approksimationen benyttes heltalskorrektion (korrektion for
kontinuitet) helt analogt med den tilsvarende situation ved approksimation af en binomialfordeling
med en normalfordeling.
⎛ 1 x + − µ ⎞
⎛ 1 x − − µ ⎞
2
2
Vi får derfor for µ ≥ 10 P( X ≤ x)
= Φ⎜
,
⎜
⎟
P( X < x)
= Φ⎜
⎝ µ
⎜
⎟
⎠
⎝ µ
⎠
3)
Matematisk formulering: Lad X være fordelt p( µ ) For den normerede variabelY
gælder, at PY ( ≤ y) ⎯ → Φ(
y)
for ethvert tal y.
⎯⎯ µ →∞
100
=
X
− µ
µ