G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

LØSNING:
1 1
Da p = ≤ kan approksimeres med Poissonfordelingen pn ( ⋅ p) = P
60 10
⎛ 25⎞
⎜ ⎟
⎝ 60⎠
pa = P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P( X = 1)
=
60
0! ⎝ 60⎠
⋅ e +
60
1!
⎝ 60⎠
⋅ e = 93. 39% .
Det ses, at vi får praktisk taget samme resultat som i eksempel 7.1.
variabel
7.7 Approksimationer
2) Matematisk formulering: Når X er fordelt b(n, p), vil for den tilsvarende normerede
Y =
X −n⋅ p
n⋅ p⋅( 1 − p)
( ) − ( )
⎛ 0
25 25⎞
⎜ ⎟
25
gælde, at PY ( ≤ y) ⎯ ⎯→∞→ ( y)
for ethvert tal y.
Φ
99
n
− ⎛ 1 25⎞
⎜ ⎟
Approksimation af binomialfordeling til normalfordeling.
Det kan vises, at tæthedsfunktionen for binomialfordelingen b (n, p) nærmer sig ubegrænset til
normalfordelingen , hvor og , når n vokser ubegrænset2) n( µ , σ ) µ = n ⋅ p σ = n⋅ p⋅( 1−
p)
.
1 9
Approksimation af en binomialfordeling med en normalfordeling anses, når < p < i praksis for
10 10
at være tilfredsstillende, såfremt n⋅ p≥5(og
n⋅( 1−p) ≥ 5),
jævnfør også appendix 7.1).
Da binomialfordelingen kun antager heltalsværdier, medens en normalfordeling kan antage alle
værdier på talaksen, svarer hvert helt tal ved
binomialfordelingen til et interval af længden 1 ved
normalfordelingen. På figur 7.1 er derfor tegnet en
firkant, der har bredden 1, og hvis højde er P( X = 4)
udregnet ved binomialfordelingen. Arealet under
normalfordelingskurven fra x = 3.5 til x = 4,5 er med
tilnærmelse lig firkantens areal. Man siger, at man ved
approksimationen må heltalskorrigere (korrigeres for
kontinuitet).
Ved approksimationen benyttes derfor følgende anførte
formler, gældende for en binomialfordelt variabel X
1 9
fordelt b (n, p), hvor ≤ p ≤ og 5≤n⋅p≤n−5. 10 10
⎛ 1 x + −n⋅ p ⎞
2
P( X ≤ x)
= Φ⎜
,
⎜
⎟
⎝ n⋅ p⋅( 1 − p)
⎟
⎠
⎛
P( X < x)
= Φ ⎜
⎝
1 x − −n⋅ p ⎞
2 ⎟
n⋅ p⋅( 1
− p)
⎟
⎠
Fig. 7.1. Heltalskorrektion