G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Vigtige diskrete fordelinger
7.7 APPROKSIMATIONER
Vi har undertiden benyttet os af, at det under visse forudsætninger er muligt med en rimelig
nøjagtighed, at foretage approksimationer, f.eks. at approksimere en binomialfordeling med en
normalfordeling. I appendix 7.1 er angivet en samlet oversigt over de mulige approksimationer.
Approksimation af hypergeometrisk fordeling med binomialfordeling. At erstatte den
hypergeometriske fordeling h (N, M, n) med binomialfordelingen b (n, p) vil for de fleste anvendelser
kunne gøres med en passende nøjagtighed, hvis stikprøvestørrelsen n er mindre end eller lig 10% af
partistørrelsen N ( n ). I så fald sættes i binomialfordelingen .
N
≤ p
10
M
=
N
Eksempel 7.12. Approksimation af hypergeometrisk fordeling til binomialfordeling.
I eksempel 7.1, hvor man udtog 25 komponenter fra æsker på 600 komponenter, skete udtagningen
logisk nok uden tilbagelægning. Imidlertid er det klart, at da æskerne indeholder mange komponenter
vil sandsynligheden for at få en defekt ikke ændrer sig meget, hvis man i stedet havde foretaget
udtagningen med tilbagelægning. Der blev antaget, at der var 10 defekte i en sådan æske med 600,
og dette antal defekte vil så være konstant, under hver udtrækning.
10 1
Vi har derfor, at P(at få en defekt) = = . Betingelserne for at benytte binomialfordelingen er
600 60
nu til stede.
Løsningen af problemet i eksempel 7.1 vil derfor nu være:
pa = P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P( X = 1)
= 25
0 25 1 24
⎛ ⎞ 1 1 25 1 1
⎜ ⎟ ⋅ 1
1 0 6569 0 2784 0 9353
⎝ 0 ⎠ 60 60 1 60 60
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜− ⎟ +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜− ⎟ = . + . = .
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Det ses, at vi får praktisk samme resultat som i eksempel 7.1.
Approksimation af binomialfordeling til Poissonfordeling. Som det fremgår af det i “Supplement til statistiske
grundbegreber” afsnit 7C angivne bevisskitse for sætning 7.3 kan en binomialfordeling b (n, p) approksimeres med en
Poissonfordeling , hvor , hvis p er lille (og dermed n stor) 1) p( µ ) µ = n ⋅ p
. I praksis vil en approksimation være
tilstrækkelig god, hvis blot p ≤ . 1
10
Eksempel 7.13. Approksimation af hypergeometrisk fordeling til binomialfordeling videre til Poissonfordeling
I eksempel 7.12 betragtede vi følgende kvalitetskontrolproblem , hvor vi beregnede acceptsandsynligheden
pa = P( X ≤1)
dels ud fra den hypergeometriske fordeling h(600, 10, 25), dels ved approksimation til b(25, p), hvor
10 1
p = = .
600 60
Denne gang ønskes acceptsandsynligheden beregnet ved anvendelse af Poissonfordelingen.
P ( X = x) ⎯ ⎯ → P ( X = x)
→∞ µ µ = n⋅ p
1
) Matematisk formulering: bnp ( , ) , hvor
n p(
)
98