G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

97
7.6 Polynomialfordelingen
7.5 Den generaliserede hypergeometriske fordeling.
Den hypergeometriske fordeling benyttes som model ved stikprøveudtagning uden tilbagelægning, hvor hvert element har
enten en bestemt egenskab (defekt) eller ikke har denne egenskab (ikke defekt). Hvis der foreligger flere end to
egenskaber, f.eks. udtagning af møtrikker, hvis diameter enten tilhører et givet toleranceinterval eller er for stor eller for
lille, kan man generalisere den hypergeometriske fordeling. Dette illustreres ved følgende eksempel:
Eksempel 7.10. Generaliseret hypergeometrisk fordeling.
I en urne findes 12 kugler, hvoraf 5 er sorte, 4 er hvide og 3 er røde.
Vi betragter det tilfældige eksperiment: "Udtrækning af 6 kugler uden tilbagelægning og observation af farven på
kuglerne”. Beregn sandsynligheden for at få 2 sorte, 3 hvide og 1 rød kugle.
LØSNING:
Lad X1 være antallet af sorte kugler, X2 være antallet af hvide kugler og X3 være antallet af røde kugler.
Analogt med begrundelsen for den hypergeometriske fordeling fås:
⎛ 5 4 3
⎜
⎝2
3 1 10 4 3
P( X1 = 2, X2 = 3, X3
= 1)
=
013 .
12 924
6
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠ ⋅ ⋅
= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
7.6 Polynomialfordelingen.
Binomialfordelingen benyttes som model ved uafhængige gentagelser af samme eksperiment. Eksperimentet har to udfald
succes eller ikke succes og der er en konstant sandsynlighed for succes. Hvis der foreligger flere end to udfald, f.eks.
udtagning af møtrikker fra en løbende produktion, hvor diameter enten tilhører et givet toleranceinterval eller er for stor
eller for lille, kan man generalisere til polynomialfordelingen. Idet formlen for binomialfordelingen kan skrives
n x n x n!
x n x n!
x x
f ( x)
= p ( p)
p ( p)
p p , hvor
x
x!( n x)!
x ! x !
⎛
⎜
⎝
⎞
− −
1 2
⎟ ⋅ ⋅ 1− =
⋅ ⋅ 1−
= ⋅ 1 ⋅ 2
⎠
⋅ −
⋅
p1 + p2
= 1 og x1 + x2 = n fås analogt
1 2
DEFINITION af polynomialfordeling.
p1 + p2+ ... + pk= 1 x + x + ... + x = n
Lad n være et positivt helt tal, og lad og hvor alle pér er positive tal
1 2
og alle xér er hele tal.
Sandsynlighedsfordelingen for en polynomialfordelt stokastisk variabel er
( X1, X2,..., Xk) n!
x1 x2
P( X1 = x1, X2 = x2,..., Xk = xk)
=
p1 ⋅ p2 ⋅... ⋅p
x ! ⋅x ! ⋅... ⋅x
!
1 2
Dette illustreres ved følgende eksempel:
Eksempel 7.11. Polynomialfordelingen
En stor produktion af glaskugler indeholder 40% sorte, 35% hvide og 25% røde kugler.
Vi betragter det tilfældige eksperiment: "Udtrækning af 6 kugler observation af farven på kuglerne”.
Beregn sandsynligheden for at få 2 sorte, 3 hvide og 1 rød kugle.
LØSNING:
Lad X1 være antallet af sorte kugler, X2 være antallet af hvide kugler og X3 være antallet af røde kugler.
6!
2 3 1
Vi får nu P( X1 = 2, X2 = 3, X3
= 1)
= 0. 4 ⋅0. 35 ⋅ 0. 25 = 01029 .
2! ⋅3! ⋅1!
k
k
xk k