G:\Statistiske grundbegreber-v8\s1v8-forside.wpd

Vigtige diskrete fordelinger
*) Præcis formulering: Følgende 3 betingelser skal være opfyldt:
1) Sandsynligheden for netop én impuls i et meget lille tidsrum ∆ t er med tilnærmelse proportional med ∆ t .
SÆTNING 7.2 (Poissonfordeling). Lad X være en stokastisk variabel, som angiver antallet
af impulser i et givet tidsrum (eller areal, volumen, produktionsenhed osv.), idet ethvert
tidspunkt i tidsrummet har samme mulighed for at være impulstidspunkt som ethvert andet
tidspunkt. Endvidere skal impulserne indtræffe tilfældigt og uafhængigt af hinanden * ) .
Hvis det gennemsnitlige antal impulser i tidsrummet er µ > 0 , så siges X at være
Poissonfordelt p ( µ ) med sandsynlighedsfordelingen (tæthedsfunktionen) f(x) = P(X = x)
bestemt ved
x ⎧ µ −µ
⎪
f ( x) =
⋅e ⎨ x!
⎩⎪ 0
for
ellers
x ∈{
012 , , ,...}
Middelværdien for p( µ ) er E ( X ) = µ og spredningen er σ ( X ) =
µ .
P( X = 1)
(Matematisk formulering lim = λ ( λ er en positiv konstant)
∆t→0 ∆t
2) Sandsynligheden for 2 eller flere impulser i det meget lille tidsrum ∆ t er lille sammenlignet med ∆ t .
P( X > 1)
(Matematisk formulering lim = 0 )
∆t→0 ∆t
3) Antal impulser i forskellige, ikke overlappende tidsrum er statistisk uafhængige.
En bevisskitse for sætningen kan ses i “Supplement til statistiske grundbegreber” afsnit 7.C.
Eksempel 7.8: Antal revner p. meter i et tyndt kobberkabel.
På en fabrik fremstilles kobberkabler af en bestemt tykkelse. Mikroskopiske revner forekommer
tilfældigt langs disse kabler. Man har erfaring for, at der i gennemsnit er 12.3 af den type revner
p. 10 meter kabel.
Beregn sandsynligheden for, at der
1) ingen ridser er i 1 meter tilfældigt udvalgt kabel.
2) er mindst 2 ridser i 1 meter tilfældigt udvalgt kabel.
3) er højst 4 ridser i 2 meter tilfældigt udvalgt kabel
Fabrikken går nu over til en anden og billigere produktionsmetode. For at få et estimat for
middelværdien ved den nye metode måltes antallet af revner på 12 kabelstykker på hver 10 meter.
94