Matematisk Model for Mavesækkens Tømning - Danmarks Tekniske ...

50 Forsøg med normoglykæmisk clamp
5.3.1
dQ
dt = aQ2 + bQ + c
Da der er tale om et diskret datasæt med 17 datapunkter, vil differenskvotienten
ligeledes være diskret. Den simpleste m˚ade at udregne differenskvotienten
p˚a er ved at udregne denne imellem to datapunkter, hvorved der kun er 16
punkter til at beskrive den afledte kurve. Det bemærkes, at dette ikke er den
optimale metode til udregning af differenskvotienten, idet der er støj i data, og
denne støj vil blive forstærket, n˚ar differenskvotienten beregnes p˚a baggrund
af to datapunkter. Dette er imidlertid den mest simple metode til beregning af
differentialkvotienten og benyttes alligevel.
Differenskvotienten udregnes s˚aledes som dy(k) = y(k+1)−y(k)
∆t med k g˚aende fra
1 til 16, hvor y(k) er fraktionen af mad i mavesækken, og ∆t er tiden imellem
to datapunkter, som i dette tilfælde er 15 minutter. Der kan opstilles følgende
ligning best˚aende af regressionsmatricen X (5.2).
⎡
⎢
⎣
dy(1)
.
dy(k)
.
dy(16)
⎤
⎥
⎦
=
⎡
y
⎢
⎣
2 (1) y(1) 1
.
y
. .
2 (k)
.
y(k)
.
1
.
y2 ⎤
⎥ ⎡
⎥ ⎣
⎥
⎦
(16) y(16) 1
a
b
c
⎤
⎦ (5.2)
Y = Xδ (5.3)
For at finde parametrene a, b og c bruges et begreb kaldet den pseudoinverse
matrix. Den pseudoinverse matrix af X betegnes X + og har samme størrelse
som den transponerede af X. De følgende 4 regneregler skal være opfyldt for at
have en pseudoinvers matrix (5.4)-(5.7).
X · X + · X = X (5.4)
X + · X · X + = X +
(5.5)
(X · X + ) ∗ = X · X +
(5.6)
(X + · X) ∗ = X + · X (5.7)
De to betingelser (5.6) og (5.7) betyder, at den pseudoinverse matrix er hermitian.
En hermitiansk matrix er en matrix, hvor element xi,j er den kompleks
konjugerede af xj,i for alle i og j. Parametrene a, b og c findes s˚aledes ved at
udregne følgende fra (5.3).