Appendix 2,3 MB
Appendix 2,3 MB
Appendix 2,3 MB
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Del III<br />
Appendiks<br />
161
APPENDIKS<br />
A ttt<br />
Vinddata<br />
ttt<br />
A. Vinddata<br />
Tabel A.1 og A.2 viser vinddata fra henholdsvis Keldsnor og Gedser fyr. Vinddata<br />
angives, som den procentdel af tiden det blæser med en given hastighed<br />
fra en given retning, i forhold til den samlede tid det blæser. Derudover angives<br />
det, hvor stor sandsynligheden for at det blæser fra en given retning er.<br />
Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P<br />
N 1,4 1,8 1,2 0,6 0,3 0,2 0,1 0 0 0 5,5 0,06<br />
NØ 1,2 1,8 1,8 0,9 0,6 0,4 0,2 0 0 0 6,9 0,07<br />
Ø 1,2 2 2,5 1,9 1,3 0,8 0,5 0,2 0 0 10,5 0,11<br />
SØ 1,4 2,6 3,5 2,5 1,8 1,3 0,7 0,3 0 0 14,2 0,15<br />
S 1,3 2 2,3 1,3 0,7 0,5 0,2 0,1 0 0 8,3 0,09<br />
SV 1,5 2,5 3,7 2,6 1,7 1,1 0,5 0,2 0 0 13,8 0,14<br />
V 2,1 2,9 4,5 4,2 3,5 2,2 1 0,3 0 0 20,7 0,22<br />
<br />
NV 2,4<br />
12,4<br />
3<br />
18,7<br />
3,4<br />
22,9<br />
2,9<br />
16,8<br />
2,2<br />
12,1<br />
1,4<br />
7,9<br />
0,7<br />
3,8<br />
0,2<br />
1,3<br />
0<br />
0,1<br />
0<br />
0,1<br />
16,2<br />
96,1<br />
0,17<br />
1<br />
Tabel A.1<br />
Vinddata fra Keldsnor fyr [Frydendahl 1971].<br />
Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P<br />
N 1,9 2,1 1,6 0,7 0,3 0,1 0,1 0 0 0 6,7 0,07<br />
NØ 1 1,4 1,7 1,3 0,8 0,5 0,2 0,1 0 0 6,9 0,07<br />
Ø 1,4 2,5 3,6 2,9 1,8 1,1 0,5 0,2 0 0 14 0,14<br />
SØ 1,6 2,8 3,6 2,4 1,3 0,7 0,3 0,1 0 0 13 0,13<br />
S 1,3 1,9 2,4 1,8 0,9 0,5 0,2 0 0 0 9 0,09<br />
SV 1,2 1,9 3,2 3,2 2,2 1,5 0,8 0,3 0,1 0 14,3 0,15<br />
V 1,3 2 3,4 3,6 3 2,3 1,3 0,5 0,2 0 17,4 0,18<br />
<br />
NV 1,8<br />
11,3<br />
2,8<br />
17,4<br />
3,8<br />
23,2<br />
3,1<br />
18,9<br />
2,1<br />
12,4<br />
1,4<br />
8<br />
0,8<br />
4,2<br />
0,3<br />
1,5<br />
0,1<br />
0,4<br />
0<br />
0,1<br />
16<br />
97,3<br />
0,16<br />
1<br />
Tabel A.2<br />
Vinddata fra Gedser fyr [Frydendahl 1971].<br />
163
APPENDIKS<br />
B<br />
B. Kilde/dræn metoden<br />
ttt<br />
Kilde/dræn metoden<br />
ttt<br />
En forudsætning for kilde/dræn metoden er lineære 1. ordens bølger samt potentialstrømning.<br />
Dette kræver, at Laplaces ligning er opfyldt, idet der regnes<br />
med usammentrykkeligt vand og rotationsfri strømning [Brorsen 2000, s. 1]:<br />
∇ 2 ϕ = 0 (B.1)<br />
Hvor ϕ er hastighedspotentialet.<br />
∇2 er ( ∂2 ∂2 ∂2<br />
∂x2, ∂y2, ∂z2). Hastighedspotentialet, ϕ, kan findes ved superposition, da der regnes med<br />
lineære 1. ordens bølger bestående af indkomne bølger, ϕw, samt spredte bølger,<br />
ϕs. De spredte bølger stammer fra reflekterede og diffrakterede indkomne<br />
bølger, og set langt fra bropillen spreder disse sig som en ring med samme<br />
periode som de indkomne bølger.<br />
ϕ = ϕw + ϕs<br />
En definitionsskitse fremgår af figur B.1<br />
Figur B.1<br />
Definitionsskitse for kilde/dræn beregning.<br />
(B.2)<br />
165
B. Kilde/dræn metoden<br />
Indsættes ligning (B.2) i (B.1), findes ved anvendelse af ∇ 2 ϕw = 0 bevis<br />
for, at Laplaces ligning er den styrende differentialligning for spredningens<br />
hastighedspotentiale:<br />
∇ 2 ϕs = 0 (B.3)<br />
Randbetingelser<br />
Randbetingelserne findes for hhv. det samlede hastighedspotentiale og for<br />
spredningen<br />
alene. For det samlede hastighedspotentiale kendes randbetingelserne fra 1.<br />
ordens bølgeteori:<br />
Fri overflade<br />
En partikel i overfladen forbliver i overfladen. Denne kinematiske randbetingelse<br />
giver sammen med den dynamiske randbetingelse, p = 0 i Bernoullis ligning,<br />
følgende:<br />
∂2ϕ + g∂ϕ<br />
∂t2 ∂z<br />
= 0 for z = 0 (B.4)<br />
Impermeabel overflade<br />
Det antages, at for hhv. havbunden, z = −h, og oversiden af bropillen, SL, er<br />
følgende gældende, idet bropillen fastholdes.<br />
vn = ∂ϕ<br />
∂n<br />
= 0 (B.5)<br />
Ranbetingelse for spredte bølger<br />
Foruden randbetingelserne gældende for de uforstyrrede indkomne bølger, er<br />
det nødvendigt for de spredte bølger at beskrive den impermeable lodrette<br />
overflade, SU, på bropillen. Denne randbetingelse findes ved anvendelse af energiudbredelsen<br />
for ϕs, under antagelse af at energifluxen er konstant. Som<br />
tidligere nævnt resulterer spredningen i ringbølger langt fra bropillen med<br />
en hastighed svarende til energiudbredelseshastigheden, cg. I et lodret snit<br />
kan energifluxen, Ef, findes ved produktet af energiudbredelseshastigheden og<br />
den gennemsnitlige energi pr. m 2 overfladeareal, E. Gennem en cylinderoverflade<br />
med radius r, se figur B.1, findes den totale energi af følgende, hvor der<br />
tilnærmet benyttes energitætheden for en 2-dimensional bølge [Brorsen 2000,<br />
s. 4]:<br />
E total<br />
f<br />
= Ef · 2πr = E · cg · 2πr = 1<br />
8 ρgH(r)2 · cg · 2πr (B.6)<br />
Hvor E er 1<br />
8 ρgH(r)2 for en 2-dimensional bølge.<br />
H(r) er den lokale bølgehøjde [m].<br />
Ved antagelsen om energibevarelse, Etotal f =konstant, kan energifluxen ikke afhænge<br />
af radius, hvorfor variationen af bølgehøjden må være følgende:<br />
166
H(r) ∼ 1 √ r<br />
B. Kilde/dræn metoden<br />
Herved kan potentialet for den udadgående bølge findes tilnærmet ved:<br />
ϕs = K √ r sin(r − ct) (B.7)<br />
Hvor K er en konstant [-].<br />
c er bølgernes udbredelseshastighed [m/sek].<br />
Ud fra ligning (B.7) findes:<br />
∂ϕs<br />
∂r = K · 1 √ (−<br />
r 1<br />
sin(r − ct) + cos(r − ct))<br />
2r<br />
∂ϕs<br />
∂t = K · 1 √ r cos(r − ct)(−c)<br />
Endvidere findes for r → ∞<br />
∂ϕs<br />
∂r<br />
∂ϕs<br />
∂t<br />
= − 1<br />
sin(r − ct) + cos(r − ct)<br />
2r<br />
cos(r − ct)(−c)<br />
→ − 1<br />
c<br />
En omskrivning af ovenstående ligninger giver Sommerfeldts udstrålingsbetingelse.<br />
∂ϕs<br />
∂r<br />
1 ∂ϕs<br />
+<br />
c ∂t<br />
= 0 for r → ∞<br />
Ofte kan følgende formel for langkammede lineære bølger anvendes med tilstrækkelig<br />
nøjagtighed:<br />
c = g<br />
ω tanh(kh)<br />
Ligesom de indkomne bølger opfylder de spredte bølger overfladebetingelsen<br />
for z = 0, beskrevet med ligning (B.4).<br />
∂ 2 ϕw<br />
+ g∂ϕw<br />
∂t2 ∂z<br />
∂2ϕs + g∂ϕs<br />
∂t2 ∂z<br />
= 0<br />
= 0<br />
Tilsvarende ligning (B.5) findes ved havbunden for z = −h.<br />
∂ϕs<br />
∂n<br />
= 0 (B.8)<br />
Ligeledes findes RB på SL for den fastholdte bropille [Brorsen 2000].<br />
∂ϕs<br />
∂n<br />
= −∂ϕw<br />
∂n<br />
167
B. Kilde/dræn metoden<br />
Numerisk beregning af bølgefelt<br />
Den styrende differentialligning for det spredte bølgefelt er Laplaces ligning<br />
givet ved ligning (B.1) med tilhørende ovennævnte randbetingelser. På grund<br />
af disse randbetingelser er løsningen af Laplaces ligning ofte meget kompleks,<br />
og en analytisk løsning af ϕs er kun sjældent mulig. Derfor anvendes almindeligvis<br />
komplekse tal eller numeriske metoder, af hvilken sidstnævnte efterfølgende<br />
gennemgåes. Til løsning af den numeriske model anvender ShipSim et<br />
antal pulserende, punktformede kilder med styrken 1, som tilsammen beskriver<br />
modellen. Ved placering af en kilde i punktet ¯ ξ kan potentialet herfra findes i<br />
punktet ¯x ved følgende udtryk [Brorsen 2000, s. 6].<br />
ϕE(¯x, ¯ ξ, t) = AE(¯x, ¯ ξ) cos(δ − ωt)<br />
Hvor AE(¯x, ¯ ξ) er enhedskildestyrken på 1.<br />
δ er en vilkårlig faseforskydning.<br />
Wehausen og Laitone har bevist, at enhedskildestyrken kan konstrueres således,<br />
at både Laplaces ligning og samtlige RB kan opfyldes. Da der regnes med<br />
lineære 1. ordens bølger og potentialstrømning, opfyldes alle RB, på nær randbetingelsen<br />
på randen af bropillen, og ved superposition af samtlige kilder<br />
findes løsningen til det spredte potentiale, der opfylder denne sidste RB på<br />
bropillen. I punktet x kan det spredte potentiale beskrives ved følgende udtryk,<br />
idet superposition benyttes:<br />
ϕs(¯x, t) =<br />
N<br />
fjAE(¯x, ¯ ξj) cos(δj − ωt) (B.9)<br />
j=1<br />
Hvor ¯ ξj er kildens position.<br />
fj er kildestyrken.<br />
δj er faseforskydningen af kildens potentiale.<br />
Ved differentiation af ligning (B.9) med hensyn til normalen findes følgende:<br />
∂ϕs(¯x, t)<br />
∂n<br />
=<br />
N<br />
j=1<br />
I ligning (B.10) indsættes følgende:<br />
∂AE(¯x,<br />
fj<br />
¯ ξj)<br />
cos(δj − ωt) (B.10)<br />
∂n<br />
cos(δj − ωt) = cos(δj) · cos(ωt) + sin(δj) · sin(ωt) = bj sin(ωt) + aj cos(ωt)<br />
Hvor aj = cos(δj)<br />
bj = sin(δj)<br />
Hvoraf følgende vides:<br />
168
a 2 j + b 2 j = 1<br />
tan(δj) = bj<br />
aj<br />
B. Kilde/dræn metoden<br />
Herefter kan randbetingelsen for bropillens overflade, formel (B.8), i punktet<br />
x beskrives ved følgende:<br />
N<br />
j=1<br />
Hvor a ∗ j = fjaj<br />
b ∗ j = fjbj<br />
(b ∗ j sin(ωt) + a ∗ j cos(ωt) ∂AE(¯x, ¯ ξj)<br />
∂n<br />
= − ∂ϕw(¯x, t)<br />
∂n<br />
(B.11)<br />
Ved opfyldelse af formel (B.11) i N antal punkter til to tidspunkter, haves 2N<br />
antal lineære ligninger til at bestemme de ubekendte a∗ j og b∗j . Efter bestemmelse<br />
af disse kan faseforskydningen, δj, for de enkelte kilder findes ved følgende:<br />
δj = arctan( bj<br />
) = arctan( fjbj<br />
) (B.12)<br />
aj<br />
Herunder benyttes:<br />
(a ∗ j )2 + (b ∗ j )2 = 1 · f 2 j<br />
fjaj<br />
Hvorved kildestyrken for hver kilde kan bestemmes:<br />
fj =<br />
<br />
(a ∗ j )2 + (b ∗ j )2<br />
Det spredte potentiale kan nu bestemmes ved indsættelse af ligning (B.12) i<br />
(B.9).<br />
169
APPENDIKS<br />
C ttt<br />
Modelforsøg<br />
ttt<br />
C. Modelforsøg<br />
Formålet med modelforsøget er, at bestemme om der er en lineær sammenhæng<br />
mellem kraften, som konstruktionen påvirkes af, og bølgehøjden. Denne<br />
lineære sammenhæng er nødvendig, for at kunne benytte transferfunktionen<br />
til at beregne et kraftspektrum ud fra et bølgespektrum.<br />
Modelforsøget udføres også for at verificere gyldigheden af de anvendte analytiske<br />
og numeriske beregningsmetoder. Herunder ønskes det bestemt, om<br />
forudsætningen for Morisons formel, hvor det skal gælde, at konstruktionen<br />
skal være lille i forhold til bølgelængden, er opfyldt. Det ønskes også bestemt,<br />
om de brydende bølger på konstruktionen har betydning, idet der ikke er taget<br />
højde for dette ved beregning med Shipsim.<br />
I laboratoriet anvendes en model af bropillen, således at bølgekræfterne kan<br />
bestemmes eksperimentielt. Modellen udføres på baggrund af en dimensionsundersøgelse,<br />
hvorved skaleringsforholdene bestemmes. Resultaterne fra modelforsøget<br />
kan således skaleres op til de virkelige størrelser.<br />
Til undersøgelse af den lineære sammenhæng mellem kraft og bølgehøjde, belastes<br />
modellen med serier af lineære bølger. Når den lineære sammenhæng<br />
er verificeret, belastes modellen med serier af uregelmæssige bølger, hvor de<br />
opsamlede data anvendes til bestemmelse af transferfunktionen.<br />
Inden modellen kan tages i brug skal der udføres en række forudgående arbejder<br />
med kalibrering af kraftmålere, samt foretages egensvingningsforsøg med<br />
modellen. Egensvingningsforsøget udføres for at vurdere risikoen for dynamisk<br />
forstærkning af responset fra modellen.<br />
C.1 Dimensionsanalyse<br />
For at kunne benytte resultaterne fra et modelforsøg, er det nødvendigt, at<br />
kunne skalere resultaterne til virkelige størrelser. Der er tre grundlæggende<br />
krav, der skal være opfyldt mellem modellen og den virkelige konstruktion, før<br />
en skalering af resultaterne er mulig:<br />
171
C. Modelforsøg<br />
• Geometrisk ligedannethed<br />
• Kinematisk ligedannethed<br />
• Dynamisk ligedannethed<br />
Geometrisk ligedannethed sikres ved, at skalere modellen med længdeskalaen<br />
λL. Dette bevirker at areal og volumenskalaen kan udtrykkes ved længdeskalaen,<br />
på følgende måde [Brorsen & Larsen 2002]:<br />
λA = λ 2 L og λV ol = λ 3 L .<br />
Kinematisk ligedannethed er opfyldt, hvis alle ensbeliggende partiklers hastighed<br />
i naturen og modellen, er parallelle og skaleret med samme faktor, λV ,<br />
hastighedsskalaen.<br />
Dynamisk ligedannethed kræver, at alle ensbeliggende kræfter er parallelle<br />
og skaleret ens, λK, kraftskalaen. Da det i praksis er svært at etablere dynamisk<br />
ligedannethed, idet forskellige krafttyper ikke skaleres ens, benyttes<br />
Froudes modellov, hvor der opnås tilnærmet dynamisk ligedannethed. Dette<br />
gøres ved, at antage, at tyngdekraften er meget dominerende i forhold til de<br />
viskose forskydningskræfter, hvorfor det kræves, at kraftskalaen for tyngdekraften<br />
og den resulterende kraft er den samme [Brorsen & Larsen 2002, s.<br />
70-80].<br />
(λK)R<br />
= (λK)G<br />
λρ · λ 2 L · λ2 V = λρ · λ 3 L<br />
⇒ λV = λ 1/2<br />
L<br />
· λg<br />
· λ1/2<br />
g<br />
(C.1)<br />
Skaleringsfaktoren, λ, er defineret som forholdet mellem naturen, N, og modellen,<br />
M.<br />
λ =<br />
Naturen (N)<br />
Modellen (M)<br />
Indføres nu udtrykkene for de respektive skalaer, kan formel (C.1) skrives som<br />
følgende:<br />
VN<br />
√ gN · LN<br />
=<br />
VM<br />
√ gM · LM<br />
(C.2)<br />
Froudes tal, Fr, er defineret som følgende, hvor det af formel (C.2) ses, at<br />
Froudes tal i naturen skal være lig Froudes tal i modellen.<br />
Fr = V<br />
√ g · L ⇒ FrN = FrM<br />
Da tyngdekraften i modellen er den samme som i naturen, bestemmes skalaen<br />
for tyngdekraften til λg = 1, herefter er det muligt, at bestemme skaleringsforholdene<br />
for hastighed, λV , tid, λt, og kraft, λK.<br />
172
λV = λ 1/2<br />
L<br />
λt = λ 1/2<br />
L<br />
λK = λρ · λ 3 L<br />
C.1.1 Skalering<br />
<br />
= λL<br />
λV<br />
= λL<br />
λ 1/2<br />
L<br />
<br />
<br />
= λρ · λ 2 V · λ2 L = λρ · (λ 1/2<br />
L )2 · λ 2 L<br />
<br />
C. Modelforsøg<br />
(C.3)<br />
Til at bestemme længdeskalaen, λL, benyttes højden af ellipsen. På figur 3.3<br />
side 11 ses bropillen, og figur C.2 viser modellen af bropillen, hvor højden af<br />
ellipsen fremgår.<br />
λL = LN<br />
LM<br />
= 25, 50<br />
0, 37<br />
= 68, 92 (C.4)<br />
Herved kan de øvrige skaleringsfaktorer bestemmes:<br />
λt = 68, 92 1/2 = 8, 30<br />
λK = λρ · 68, 92 3 = λρ · 327352<br />
Da konstruktionen i naturen står i saltvand, ρ ≈ 1020 kg/m 3 , og modellen i<br />
ferskvand, ρ = 1000 kg/m 3 , beregnes λρ til 1, 02, skaleringsfaktorerne er således<br />
bestemt og angivet i tabel C.1.<br />
λL λt λK λρ<br />
68,92 8,30 333899 1,02<br />
Tabel C.1<br />
Skaleringsfaktorer.<br />
I kapitel 7 er der bestemt en bølgehøjde, Hm0, og en peakperiode, Tp. Disse<br />
skal skaleres til modelforsøget. I tabel 7.10 er de beregnede størrelser angivet,<br />
hvor disse omregnes ved hjælp af skaleringsfaktorerne angivet i tabel C.1. I<br />
tabel C.2 er størrelserne omregnet til modellen.<br />
Bølgehøjde Periodetid<br />
Hm0 [mm] Tmin [s] Tmax [s]<br />
Naturen 6590 9,35 13,72<br />
Modellen 95,6 1,13 1,65<br />
Tabel C.2<br />
Bølgehøjde og periode i naturen og modelforsøg.<br />
173
C. Modelforsøg<br />
C.2 Forsøgsopstilling<br />
Forsøgsopstillingen til bestemmelse af den lineære sammenhæng mellem kraft<br />
og bølgehøjde samt transferfunktionen, består af fire dele. Først haves en bølgegenerator,<br />
herefter placeres en bølgemåler, herefter modellen med kraftmåler,<br />
og endeligt en skråning til absorbtion af bølgerne. På figur C.1 er forsøgsopstillingen<br />
skitseret.<br />
Figur C.1<br />
Skitse af forsøgsopstilling, ubenævnte mål i m.<br />
Modellen af bropillen er skaleret i forholdet 1:68,92 i henhold til afsnit C.1.<br />
Dette giver modellen dimensionerne vist på figur C.2.<br />
Figur C.2<br />
Model af bropillen, mål i mm.<br />
På modellen er der monteret en kraftmåler, der er udformet som et ”kødben”,<br />
hvor der i indsnævringerne er monteret straingages. Ud fra tøjningerne i disse<br />
gages, kan kraften på modellen bestemmes. På figur C.3 ses kraftmåleren.<br />
Figur C.3<br />
Kraft-måler, mål i mm.<br />
På figur C.4 og C.5 ses den samlede forsøgsopstilling med og uden bølger.<br />
174
Figur C.4<br />
Forsøgsopstilling uden bølger.<br />
C. Modelforsøg<br />
Figur C.5<br />
Forsøgsopstilling med bølger.<br />
Elevationsmåleren udgøres af tre følere, der måler vandstandsvariationerne. De<br />
tre følere er placeret med en indbyrdes afstand på henholdsvis 10 og 20 cm.<br />
Bølgeelevationerne måles på tre kanaler, så der kan foretages en kontrol af<br />
graden af reflektion i bølgerenden.<br />
C.3 Kalibrering af bølgekraftmåler<br />
Kraftmåleren kalibreres således, at output i volt kan omsættes til momenter.<br />
Denne kalibrering udføres ved at påføre kraftmåleren et moment ved hjælp af<br />
en kendt kraft i en kendt afstand.<br />
Bølgekræfterne på bropillen bestemmes i laboratoriet, ved at belaste modellen i<br />
et bølgebassin. Det ønskes, at kende både den resulterende bølgekraft samt angrebspunkt.<br />
Til bestemmelse af kraft og angrebspunkt, anvendes en kraftmåler<br />
der måler 2 forskellige volt/tøjninger, der kan omsættes til momenter, og senere<br />
til kraft og angrebspunkt. På figur C.6 ses en skitse af den anvendte kraftmåler.<br />
Straingaugene er påsat kraftmåleren ved de to indsnævringer. Kraftmåleren fås<br />
i forskellige modeller, hvor der varieres på godstykkelsen mellem straingaugene.<br />
Herved opnås en stivere/slappere konstruktion med en anden egensvingnings<br />
frekvens. Den valgte kraftmåler ses på figur C.6.<br />
175
C. Modelforsøg<br />
Figur C.6<br />
Moment/kraft-måler, mål i mm.<br />
Outputtet fra kraftmåleren, to momenter, omsættes til angrebspunkt og kraft<br />
som beskrevet i det følgende. På figur C.7 illustreres kalibreringen fra voltoutput<br />
til angrebspunkt og kraft.<br />
Figur C.7<br />
Kalibrerings opstilling af kraftmåler, mål i mm.<br />
Kalibrering udføres ved at påføre en kendt kraft i en kendt afstand. Derved kan<br />
kalibreringsfaktorerne c1 og c2 bestemmes, da der er linearitet mellem kraft og<br />
volt.<br />
M1 = (dL + L) · F=c1 · V1<br />
M2 = L · F =c2 · V2<br />
Hvor L er en kendt afstand [m].<br />
dL er en kendt afstand [m].<br />
ci er kalibreringsfaktorer fra volt til moment [-].<br />
Vi er voltoutput fra gage i [volt].<br />
Kalibrering af angrebspunkt ud fra to momenter:<br />
<br />
M1<br />
Ang = <br />
· dL <br />
<br />
+ k<br />
M1 − M2<br />
Når moment og angrebspunkt kendes, kan kraftresultanten bestemmes:<br />
176
F =<br />
M1 + M2<br />
2 · (Ang − k − dL<br />
2 )<br />
C. Modelforsøg<br />
I forbindelse med modelforsøget viste det sig, at bestemmelsen af angrebspunktet<br />
ikke er optimalt, da der divideres med et lille tal, når momenterne M1<br />
og M2 går mod nul. Dette optræder, når belastningen skifter fortegn, ingen<br />
kraft, og resulterer i angrebspunkter, der går mod ∞. Dog påvirker det ikke<br />
kraftbestemmelsen, da problemet opstår, når kraften er minimal, og derved er<br />
det uden betydning.<br />
C.4 Reflektion<br />
Reflektionen ønskes bestemt, da denne parameter kan have indflydelse på det<br />
målte kraftsignal, idet de reflekterede bølger udbreder sig i modsatte retning.<br />
Reflektionen bestemmes ved, at måle overfladeelevationen i to punkter med<br />
indbyrdes kendt afstand.<br />
Overfladeelevationen, η, kan deles op i to, en for de indkommende bølger, i, og<br />
en for de reflekterede bølger, r. Dette gøres på følgende måde [Goda & Suzuki<br />
1988]:<br />
ηi = ai cos(kx − ωt + ǫi)<br />
ηr = ar cos(kx + ωt + ǫr)<br />
Hvor a er amplituden [m].<br />
k er bølgetallet (2 ·π/L ) [m −1 ].<br />
ω er den cykliske frekvens [s −1 ].<br />
ǫ er faseforskydningen [-].<br />
Elevationen ved de to målepunkter kan skrives som følgende :<br />
η1 = (ηi + ηr)x1= A1 cos(ωt) + B1 sin(ωt)<br />
η2 = (ηi + ηr)x2= A2 cos(ωt) + B2 sin(ωt)<br />
Hvor A1 er ai cos(φi) + ar cos(φr).<br />
B1 er ai sin(φi) + ar sin(φr).<br />
A2 er ai cos(k∆l + φi) + ar cos(k∆l + φr).<br />
B2 er ai sin(k∆l + φi) − ar sin(k∆l + φr).<br />
φi er kx1 + ǫi.<br />
φr er kx1 + ǫr.<br />
∆l er afstanden mellem målepindende [m].<br />
Ved analyse af målte bølgeelevationer findes A og B koefficienterne ved Fouriertransformation.<br />
A koefficienterne er realdelen, mens B koefficienterne er minus<br />
imaginærdelen.<br />
177
C. Modelforsøg<br />
Det er nu muligt, at opdele bølgesignalet i de inkommende bølger og de reflekterede<br />
bølger. Amplituderne for de indkommende og reflekterede bølger<br />
beregnes ved henholdsvis formel (C.5) og (C.6).<br />
ai =<br />
K 2 1 + K 2 2<br />
2 · | sin(k∆l)|<br />
Hvor K1 er A2 − A1 cos(k∆l) − B1 sin(k∆l) [-].<br />
K2 er B2 + A1 sin(k∆l) − B1 cos(k∆l) [-].<br />
ar =<br />
K 2 3 + K 2 4<br />
2 · | sin(k∆l)|<br />
Hvor K3 er A2 − A1 cos(k∆l) + B1 sin(k∆l) [-].<br />
K4 er B2 − A1 sin(k∆l) − B1 cos(k∆l) [-].<br />
(C.5)<br />
(C.6)<br />
Reflektionen af forsøgsopstillingen er kontrolleret løbende for at sikre minimal<br />
reflektion. På figur C.8 og C.9 er reflektionen vist for lineære bølger med<br />
bølgehøjder på henholdsvis 20 mm og 137 mm.<br />
Bølgeamplitude [mm]<br />
10<br />
9<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
Indkommende bølge<br />
Reflekteret bølge<br />
0<br />
0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.8<br />
Amplituderne af den indkommende og<br />
reflekterede bølge, hvor bølgehøjden er<br />
20 mm, reflektionsamplituden udgør<br />
8,8 % af den indkommende amplitude.<br />
Bølgeamplitude [mm]<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
Indkommende bølge<br />
Reflekteret bølge<br />
0<br />
0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.9<br />
Amplituderne af den indkommende og<br />
reflekterede bølge, hvor bølgehøjden er<br />
137 mm, reflektionsamplituden udgør<br />
9,74 % af den indkommende amplitude.<br />
Det er herudfra bestemt, at forsøgsopstillingen ikke giver anledning til væsentlig<br />
reflektion, og en ændring af skråningen til absorption af bølgerne ikke er nødvendig.<br />
C.5 Dynamisk forstærkning<br />
Før modelforsøget udføres, er det nødvendigt, at bestemme egenfrekvensen af<br />
modellen. Dette er for at sikre, at der ikke opstår dynamisk forstærkning af<br />
responset fra modellen, på grund af frekvensen af bølgepåvirkningen. Dette<br />
sikres ved, at udføre modellen med tilpas stor stivhed, så egenfrekvensen af<br />
modellen ligger langt fra frekvensen af bølgepåvirkningen.<br />
178
Egenfrekvens i luft<br />
C. Modelforsøg<br />
Først bestemmes egenfrekvensen i luft, da dette giver en ide om egenfrekvensen<br />
af modellen. Denne egenfrekvens skal ligge over frekvensen for bølgerne, idet<br />
egenfrekvensen reduceres, når modellen nedsænkes i vand. Egenfrekvensen af<br />
modellen kan reguleres med kraftmåleren, jo stivere kraftmåleren er, jo højere<br />
bliver egenfrekvensen. Stivheden af kraftmåleren skal dog ikke vælges ubetinget<br />
stor, da kraften beregnes ud fra de tøjninger der opstår i kraftmåleren, og<br />
det er derfor nødvendigt, at der kommer målbare deformationer. Størrelsen<br />
af kraftmåleren bliver således en afvejning mellem tilpas høj egenfrekvens og<br />
målbare tøjninger. På figur C.10 ses den målte dæmpede egensvingning af<br />
modellen, hvor den har fået en kraftpåvirkning.<br />
Volt output fra straingage 1 [V]<br />
0.08<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
−0.02<br />
−0.04<br />
−0.06<br />
−0.08<br />
0 5 10 15<br />
Tid [sek]<br />
Figur C.10<br />
Egensvingning af modellen i luft.<br />
S η (f) [m 2 s]<br />
x 10−3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
7 7.5 8 8.5 9 9.5 10<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.11<br />
Spektrum for modellen i luft, egenfrekvens<br />
=8,4 Hz.<br />
Ved at foretage en Fourieranalyse på signalet fra den dæmpede egensvingning,<br />
kan den dæmpede frekvens af modellen i luft bestemmes til 8,4 Hz, se figur<br />
C.11.<br />
Egenfrekvens i vand<br />
Egensvingningen i vand måles på samme måde som i luft, blot er modellen<br />
nedsænket i vand. På figur C.12 ses den dæmpede egensvingning, og på figur<br />
C.13 ses den dæmpede egenfrekvens af modellen nedsænket i vand.<br />
179
C. Modelforsøg<br />
Volt output fra straingage 1 [V]<br />
0.06<br />
0.04<br />
0.02<br />
0<br />
−0.02<br />
−0.04<br />
−0.06<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
Tid [sek]<br />
Figur C.12<br />
Egensvingning af modellen i vand.<br />
S η (f) [m 2 s]<br />
x 10−3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
Luft<br />
Vand<br />
0<br />
3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.13<br />
Egenfrekvensen af modellen i luft og<br />
vand.<br />
Som det ses på figur C.13 sænkes frekvensen af modellen fra 8,4 Hz i luft til<br />
4,8 i vand, hvilket er en reduktion på 3,6 Hz.<br />
C.5.1 Dynamisk forstærkningsfaktor<br />
På baggrund af egensvingningsforsøget kan det vurderes, hvorvidt belastningerne<br />
på konstruktion medfører dynamisk forstærkning, og om der derved er<br />
risiko for, at en statisk måling af lasten vil give dårlige resultater. Den dynamiske<br />
forstærkningsfaktor, D, afhænger af 3 parametre: Konstruktionens<br />
cykliske egenfrekvens, ω0, belastningens cykliske egenfrekvens, ω, samt dæmpningsforholdet<br />
af modellen, ζ.<br />
Ud fra egensvingningsforsøget, udført henholdsvis i luft og vand, fremkommer<br />
et respons svarende til de i figur C.10 og C.12.<br />
Ud fra responset kan den dæmpede egensvingningsperiode, Td, og egensvingningsamplituden,a,<br />
bestemmes, hvorefter det er muligt at bestemme modellens<br />
udæmpede egensvingningsperiode, T. Af amplituden kan det logaritmiske<br />
dekrement bestemmes som anført i formel (C.7) [Nielsen 2004, s. 14-17].<br />
δ = 1<br />
n ln<br />
<br />
a0<br />
an<br />
Hvor n er et vilkårligt antal perioder [-].<br />
a er den tilhørende amplitude [volt].<br />
a0 er en vilkårlig start amplituden [volt].<br />
(C.7)<br />
Det logaritmiske dekrement for responset illustreret på figur C.12 beregnes for<br />
de på figuren 8 første perioder:<br />
180<br />
δ = 1<br />
8 ln<br />
<br />
0, 058<br />
0, 0183<br />
δ = 0, 144
C. Modelforsøg<br />
Dæmpningsforholdet af modellen bestemmes på baggrund af det logaritmiske<br />
dekrement som anført i formel (C.8).<br />
ζ =<br />
<br />
δ<br />
2·π<br />
1 + ( δ<br />
2·π )2<br />
Ved indsættelse af det logaritmiske dekrement fås:<br />
ζ =<br />
<br />
ζ = 0, 0229<br />
0,144<br />
2·π<br />
1 + ( 0,144<br />
2·π )2<br />
(C.8)<br />
Konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvens bestemmes, idet at egenfrekvensen<br />
er 4,8 Hz hvorved den dæmpede egensvingningsperiode, Td er 0,209<br />
s. Dette gøres ved følgende formel.<br />
ω0 =<br />
ω0 =<br />
Td<br />
2 · π<br />
<br />
1 − ζ2 2 · π<br />
0, 209 1 − 0, 0229 2<br />
ω0 = 30, 07 rad/s.<br />
Egenfrekvensen af modellen kan nu sammenlignes med frekvensen af den påførte<br />
belastning, bølgefrekvensen. Herved kan den dynamiske forstærkning af modellen<br />
bestemmes når bølgefrekvensen er kendt.<br />
1<br />
D = <br />
<br />
1 − ( ω<br />
ω0 )2<br />
2 + 4 · ζ 2 ( ω<br />
ω0 )2<br />
(C.9)<br />
Bølgerne, der indeholder mest energi, har en frekvens på ca. 0,9 Hz, idet der<br />
benyttes et JONSWAP spektrum med peakperiode omkring 1,1 s, tabel C.2,<br />
til at generere bølger. Derfor bestemmes den dynamiske forstærkningsfaktor<br />
for en bølgefrekvens på 0,9 Hz, 0, 9 · 2π rad/sek:<br />
1<br />
D = <br />
(1 − ( 0,9·2·π<br />
30,07 )2 ) 2 + 4 · 0, 02292 ( 0,9·2·π<br />
30,07 )2<br />
D = 1, 0366<br />
Da den dynamiske forstærkning afhænger af bølgefrekvensen er sammenhængen<br />
mellem bølgefrekvens og dynamisk forstærkning illustreret ved grafen på<br />
figur C.14.<br />
181
C. Modelforsøg<br />
Dynamisk Forstærkningsfaktor, D<br />
1.25<br />
1.2<br />
1.15<br />
1.1<br />
1.05<br />
1<br />
0 0.5 1 1.5 2<br />
Bølgefrekvens [Hz]<br />
Figur C.14<br />
Dynamisk forstærkning afhængig af bølgefrekvensen.<br />
Den dynamiske forstærkningsfaktor, D, beskriver sammenhængen mellem responset<br />
og den påførte kraft. Den påførte kraft kan derved bestemmes af følgende<br />
formel (C.10).<br />
F = A<br />
D<br />
Hvor F er den reelle kraft [N].<br />
A er responset/statisk bestemt kraft på modellen [N].<br />
(C.10)<br />
Da den dynamiske forstærkning af modellen er lille, vurderes det, at det ikke<br />
er nødvendigt at korrigere de eksperimentelt målte kræfter på konstruktionen.<br />
C.6 Linearitetsundersøgelse<br />
Som tidligere beskrevet er formålet med forsøget blandt andet, at bestemme<br />
sammenhængen mellem bølgehøjden og kraftpåvirkningen på modellen. Dette<br />
gøres ved at lave en række forsøg med forskellige bølgehøjder, hvor det tilhørende<br />
kraftsignal måles. På figur C.15 ses sammenhængen mellem bølgehøjderne og<br />
kraftpåvirkningen. Ud fra målingerne findes en lineær sammenhæng, hvorfor<br />
der på figur C.15 også er optegnet en bedste rette linie.<br />
De sidste punkter er ikke medtaget i den bedste rette linie, da der er en svag<br />
tendens til, at lineariteten ophører. Det har dog ikke været muligt, at generere<br />
højere bølger med samme periode, således at afbøjningstendensen kunne kontrolleres.<br />
182
Kraft [N]<br />
45<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
0 40 80 120 160<br />
Bølgehøjde H [mm]<br />
C. Modelforsøg<br />
Figur C.15<br />
Sammenhæng mellem bølgehøjde og kraftpåvirkning med en bølgeperiode på 1,08 s, (∗)<br />
er målepunkter,(—) bedste rette linie til målepunkterne.<br />
Den lineære sammenhæng mellem bølgehøjderne og kraftpåvirkningen er en<br />
forudsætning for at gå fra bølgespektrum til kraftspektrum, med transferfunktionen.<br />
C.7 Transferfunktionen<br />
Der er lavet en række forsøg, hvor der er genereret en serie af uregelmæssige<br />
bølger svarende til et JONSWAP spektrum, hvor der er målt et tilhørende<br />
kraftspektrum.<br />
Spektrene er bestemt ved en Fourieranalyse, hvor output er opdelt i et antal<br />
delserier, herudfra kan variationskoefficienten bestemmes, idet følgende gælder:<br />
V = σ<br />
µ = 1<br />
√<br />
M<br />
Hvor M er antal delserier [-].<br />
For at sammenligne spektrene, er det nødvendigt, at V og ∆f er ens fra spekter<br />
til spekter. Derfor vil der i det følgende benyttes M = 117 delserier og ∆f =<br />
0, 1 Hz<br />
V = 1<br />
√ 117 = 0, 09<br />
På figur C.16 ses bølgespektret, hvor der ved nul-nedkrydsningsanalyse, er<br />
bestemt en signifikant bølgehøjde på 101 mm og en tilhørende middelperiode<br />
på 1,03 s.<br />
183
C. Modelforsøg<br />
S h (f)<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
x 10 3<br />
0<br />
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.16<br />
Målt bølgespektrum med Hs = 101mm<br />
, Tmiddel = 1, 03s og ∆f = 0, 1Hz.<br />
S l (f)<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.17<br />
Målt kraftspektrum med Fs = 51, 4N ,<br />
Tmiddel = 0, 89s og ∆f = 0, 1Hz.<br />
Ud fra de to spektre kan transferfunktionen bestemmes, idet følgende udtryk<br />
gælder:<br />
|H(f)| 2 = Sλ<br />
Sη<br />
Der er til bestemmelsen af transferfunktionen lavet tre forsøg, hvorfor den<br />
endelige transferfunktion bliver middelværdien af de tre forsøg. På figur C.18<br />
ses de beregnede transferfunktioner. Det er kun området fra 0.6 Hz til 1.4 Hz<br />
der er medtaget, da det er i dette område energien i bølgerne ligger. Dette kan<br />
ses på figur C.16 og C.17. Dette resulterer i, at transferfunktionen findes, som<br />
vist på figur C.19.<br />
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]<br />
x 105<br />
3.6<br />
3.4<br />
3.2<br />
3<br />
2.8<br />
2.6<br />
2.4<br />
2.2<br />
2<br />
1.8<br />
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.18<br />
Transferfunktioner bestemt ud fra tre<br />
forsøg.<br />
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]<br />
x 105<br />
3.6<br />
3.4<br />
3.2<br />
3<br />
2.8<br />
2.6<br />
2.4<br />
2.2<br />
2<br />
1.8<br />
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.19<br />
Middel transferfunktion.<br />
C.8 Skalering fra model til fuldskala<br />
De målte og beregnede resultater kan nu omsættes til fuldskalaværdier. Dette<br />
gøres ved at benytte de beregnede skaleringsfaktorer bestemt i afsnit C.1.<br />
184
C. Modelforsøg<br />
Det målte bølgesignal ganges med længdeskalaen, λL, opsamlingsfrekvensen<br />
divideres med tidsskalaen, λt, og kraftsignalet multipliceres med kraftskalaen,<br />
λK. Dette resulterer i bølgespektret vist på figur C.20 og kraftspektret vist på<br />
figur C.21.<br />
S h (f)<br />
50<br />
45<br />
40<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.20<br />
Målt bølgespektrum med Hs = 7, 0 m ,<br />
Tmiddel = 8, 55 s og ∆f = 0, 01 Hz.<br />
S l (f)<br />
4.5<br />
4<br />
3.5<br />
3<br />
2.5<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
14<br />
x 10<br />
5<br />
0<br />
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.21<br />
Målt kraftspektrum med Fs = 17, 2<br />
MN, Tmiddel = 7, 36 s og ∆f = 0, 01<br />
Hz.<br />
Ud fra de skalerede spektre bestemmes transferfunktionen, se figur C.22.<br />
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]<br />
8<br />
7.5<br />
7<br />
6.5<br />
6<br />
5.5<br />
5<br />
4.5<br />
4<br />
x 10 12<br />
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16<br />
Frekvens [Hz]<br />
Figur C.22<br />
Transferfunktion for virkelige kræfter bestemt på baggrund af modelforsøget.<br />
Denne transferfunktion kan sammenlignes med transferfunktionerne fundet ved<br />
de analytiske løsninger.<br />
185
APPENDIKS<br />
D. Klassifikationsforsøg<br />
D ttt<br />
Klassifikationsforsøg<br />
ttt<br />
Til bestemmelse af en række geotekniske størrelser for sandmaterialet i Frederikshavn<br />
er udført klassifikationsforsøg i geotekniklaboratoriet, Aalborg Universitet.<br />
D.1 Formål<br />
Formålet med forsøgene er at bestemme følgende størrelser, som skal anvendes<br />
til klassifikation af sandet.<br />
• Relativ densitet ds<br />
• Vandindhold w<br />
• Rumvægt γ<br />
• Mætningsgrad Sw<br />
• Poretal for løs lejring emax<br />
• Poretal for fast lejring emin<br />
• In situ poretal einsitu<br />
• Relativ lejringstæthed ID<br />
• Middelkornstørrelse d50<br />
• Uensformighedstal U<br />
187
D. Klassifikationsforsøg<br />
D.2 Bestemmelse af geotekniske størrelser<br />
Relativ densitet ds<br />
Den relative densitet, ds, er fundet ved pyknometerforsøg, og udregnes af nedenstående<br />
udtryk.<br />
ds =<br />
Ws · ρ t◦ C<br />
w<br />
(Ws + W2 − W1) · ρ 4◦ C<br />
w<br />
Hvor Ws er kornvægten [g].<br />
er destilleret vands densitet ved t◦C [g/ml].<br />
ρt◦C w<br />
W1 er vægt af pyknometer, korn og vand [g].<br />
W2<br />
ρ<br />
er vægt af pyknometer og vand [g].<br />
4◦C w<br />
er destilleret vands densitet ved 4 ◦ C [g/ml].<br />
Den relative densitet er et udtryk for kornmaterialets densitet i forhold til<br />
vands densitet. Af tabel D.1 fremgår resultater fra pyknometerforsøget.<br />
W1 [g] W2 [g] Ws [g] ρ 19,5◦ C<br />
w [ ◦ C] ρ 4◦ C<br />
w [ ◦ C]<br />
962,2 867,0 152,9 0,9983 1,0<br />
Tabel D.1<br />
Resultater fra pyknometerforsøg.<br />
Den relative densitet, ds, fås til 2,65, hvilket stemmer overens med ds-værdien<br />
for rent kvartssand [Harremoës et al. 2000].<br />
Vandindhold w<br />
For at opnå et mere præcist resultat blev anvendt 2 jordprøver til bestemmelse<br />
af vandindholdet, w, og rumvægten, γ, af sandmaterialet. Vandindholdet<br />
blev fundet som vægttabet af jordprøven ved ovntørring til konstant vægt ved<br />
105 ◦ C, og er givet ved nedenstående udtryk.<br />
w = Ww<br />
Ws<br />
= vandvægt<br />
kornvægt<br />
Forsøgsresultater ses i tabel D.2.<br />
188<br />
(D.1)
Prøve nr. 1 2<br />
Skål + W [g] 355,1 343,8<br />
Skål + Ws [g] 309,7 302,9<br />
Skål [g] 121,7 114,3<br />
Ww [g] 45,4 40,9<br />
Ws [g] 188,0 188,6<br />
w [-] 0,24 0,22<br />
w [%] 24,0 22,0<br />
Tabel D.2<br />
Vandindhold w.<br />
Det gennemsnitlige vandindhold er w = 23%.<br />
Rumvægt γ<br />
Rumvægten er givet ved følgende udtryk.<br />
γ = W<br />
V<br />
· g<br />
Hvor W er vægten af prøven [kg].<br />
V er volumen af prøven [m 3 ].<br />
I tabel D.3 ses forsøgsresultater.<br />
Prøve nr. 1 2<br />
Cylinder + W [g] 438,3 435,7<br />
Cylinder [g] 203,5 204,6<br />
Prøve W [g] 234,8 231,1<br />
Prøve vol. [cm 3 ] 130,2 124,7<br />
γ [kN/m 3 ] 17,7 18,2<br />
Tabel D.3<br />
Rumvægt γ.<br />
Sandmaterialets rumvægt er hermed lig 18 kN/m 3 .<br />
Poretal e<br />
Poretallet defineres som porevolumen i forhold til kornvolumen.<br />
e = porevolumen<br />
kornvolumen<br />
D. Klassifikationsforsøg<br />
Når poretallet bestemmes ved forsøg, udregnes det af følgende udtryk.<br />
189
D. Klassifikationsforsøg<br />
e = (1 + w) · ds · ρw · V<br />
Ws<br />
− 1<br />
Hvor w er vandindholdet [-].<br />
ds er den relative densitet [-].<br />
ρw er vands densitet [g/ml].<br />
V er volumen af prøven [cm 3 ].<br />
Ws er kornvægten [g].<br />
Poretallet for jordprøve 1 og 2 fremgår af tabel D.4.<br />
Prøve nr. 1 2<br />
Sandets middel poretal findes til 0,78.<br />
Mætningsgrad Sw<br />
e [-] 0,82 0,74<br />
Tabel D.4<br />
Poretal e.<br />
Mætningsgraden, Sw, udregnes af følgende udtryk<br />
Sw =<br />
w · ds<br />
e<br />
= vandvolumen<br />
porevolumen<br />
Mætningsgraden angiver et tal mellem 0 og 1 svarende til tør jord og vandmættet<br />
jord.<br />
For jordprøve 1 og 2 fås følgende mætningsgrader, se tabel D.5.<br />
Prøve nr. 1 2<br />
Sw [-] 0,78 0,78<br />
Tabel D.5<br />
Mætningsgrad Sw<br />
Sandets gennemsnitlige mætningsgrad findes til 0,78.<br />
Forsøg med løs og fast lejring: emax, emin, einsitu og I D<br />
Der blev udført forsøg med henholdsvis løse og faste lejringer til bestemmelse<br />
af sandmaterialets relative lejringstæthed, ID, som er et tal mellem 0 og 1,<br />
hvor 0 svarer til den mest løse lejring og 1 til den mest faste. De løse lejringer<br />
190
D. Klassifikationsforsøg<br />
fremkom ved at lade den tørre jord falde ned gennem en tragt fra en konstant<br />
højde, og de faste lejringer blev lavet ved at indstampe sandet i en cylinder<br />
efter en standardiseret procedure.<br />
Der blev anvendt 3 prøver til forsøget med den løse lejring. Forsøgsdata fremgår<br />
af tabel D.6.<br />
Prøve nr. 1.L 2.L 3.L<br />
V [cm 3 ] 70 70 70<br />
Cyl. + Ws [g] 338,8 338,4 338,3<br />
Cyl. [g] 242,5 242,4 242,4<br />
Ws [g] 96,4 96,0 95,9<br />
emax [-] 0,921 0,929 0,931<br />
Tabel D.6<br />
Poretalresultater for løs lejring<br />
For den løse lejring fås det gennemsnitlige maksimale poretal til emax = 0, 927.<br />
Til forsøget med den faste lejring blev anvendt 2 prøver, og forsøgsresultater<br />
ses i tabel D.7.<br />
Prøve nr. 1.F 2.F<br />
V [cm 3 ] 70 70<br />
Cyl. + Ws [g] 359,0 358,7<br />
Cyl. [g] 242,4 242,4<br />
Ws [g] 116,6 116,3<br />
emin [-] 0,588 0,592<br />
Tabel D.7<br />
Poretalresultater for fast lejring<br />
For den faste lejring fås det gennemsnitlige minimale poretal til emin = 0, 590.<br />
Den relative lejringstæthed, ID, kan herefter bestemmes ved<br />
ID = emax − einsitu<br />
emax − emin<br />
In situ poretallet, einsitu, findes af udtrykket<br />
einsitu = (1 + w) · ds<br />
γ · γw − 1<br />
In situ poretallet for jordprøve 1 og 2 ses af tabel D.8.<br />
191
D. Klassifikationsforsøg<br />
Prøve nr. 1 2<br />
einsitu [-] 0,82 0,74<br />
Tabel D.8<br />
In situ poretal einsitu<br />
In situ poretallet er således einsitu = 0, 78.<br />
For jordprøverne fås følgende relative lejringstætheder, ID, se tabel D.9.<br />
Prøve nr. 1 2<br />
ID [-] 0,32 0,57<br />
Tabel D.9<br />
Relative lejringstætheder, ID<br />
Sandmaterialets relative lejringstæthed er hermed gennemsnitlig ID = 0, 44.<br />
Sigteanalyse: d50 og U<br />
Der er udført en sigteanalyse af sandet til bestemmelse af en kornkurve for<br />
herved at fastlægge en middelkornstørrelse, d50 samt uensformighedstallet, U.<br />
Forsøgsresultaterne for prøve 1.S og 2.S fremgår af tabel D.10 og tabel D.11.<br />
192<br />
Sigte [mm] Sk. + sigterest [g] Sk. [g] Sigterest [g] Gen.fald [g] Gen.fald [%]<br />
8,0 7,2 4,8 2,4 503,0 99,5<br />
4,0 6,4 4,8 1,6 501,4 99,2<br />
2,0 8,2 4,8 3,4 498,0 98,5<br />
1,0 8,6 4,8 3,8 494,2 97,8<br />
0,5 7,9 4,8 3,1 491,1 97,2<br />
0,425 6,0 4,8 1,2 489,9 96,9<br />
0,250 21,7 4,8 16,9 473,0 93,6<br />
0,125 428 4,8 423,2 49,8 9,9<br />
0,075 49,1 4,8 44,3 5,5 1,1<br />
0,001 8,2 4,8 3,4 2,1 0,4<br />
Tabel D.10<br />
Forsøgsresultater fra sigteanalyse af prøve 1.S.
D. Klassifikationsforsøg<br />
Sigte [mm] Sk. + sigterest [g] Sk. [g] Sigterest [g] Gen.fald [g] Gen.fald [%]<br />
8,0 5,8 4,8 1,0 571,0 99,8<br />
4,0 7,0 4,8 2,2 568,8 99,4<br />
2,0 8,1 4,8 3,3 565,5 98,9<br />
1,0 8,5 4,8 3,7 561,8 98,2<br />
0,5 7,5 4,8 2,7 559,1 97,8<br />
0,425 6,1 4,8 1,3 557,8 97,5<br />
0,250 23,9 4,8 19,1 538,7 94,2<br />
0,125 489,8 4,8 485,0 53,7 9,4<br />
0,075 54,5 4,8 49,7 4,0 0,7<br />
0,001 8,7 4,8 3,9 0,1 0,02<br />
Tabel D.11<br />
Forsøgsresultater fra sigteanalyse af prøve 2.S.<br />
Ved at afbilde kornets "diameter", d, der defineres som sigtemaskevidden i den<br />
fineste sigte kornet kan passere, ud af en logaritmisk x-akse, og den tilhørende<br />
korngennemfaldsprocent op af en aritmetrisk y-akse fås kornkurven, se figur<br />
D.1.<br />
Vægtprocent < d<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
Kornkurve<br />
0<br />
0,01 0,1 1 10<br />
Kornstørrelse d [mm]<br />
Mellem Grov<br />
Fin Mellem Grov<br />
Fin Mellem<br />
Siltfraktion Sandfraktion Grusfraktion<br />
Figur D.1<br />
Kornkurver for prøve 1.S og 2.S.<br />
Prøve 1.S<br />
Prøve 2.S<br />
Af figur D.1 fremgår kornkurverne for prøve 1.S og 2.S, og det ses, at kurverne<br />
er tilnærmelsesvist sammenfaldende. Kornkurverne angiver, at jordmaterialet<br />
er ret velsorteret, og det kan betegnes som fraktioner af hovedsageligt finsand<br />
og mellemsand.<br />
Uensformighedstallet, U, er et udtryk for graderingen af jorden, og er defineret<br />
ved<br />
U = d60<br />
d10<br />
193
D. Klassifikationsforsøg<br />
Hvor d60 er 60%-fraktilen [-].<br />
d10 er 10%-fraktilen [-].<br />
Fraktilerne d60 og d10 aflæses af kornkurven, se figur D.2, til henholdsvis<br />
0,185mm og 0,135mm, hvilket giver et uensformighedstal på U = 1, 37.<br />
Vægtprocent < d<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
Kornkurve<br />
0,01 0,1 1 10<br />
Kornstørrelse d [mm ]<br />
Figur D.2<br />
Aflæsning af d60 og d10 ud fra prøve 1.S.<br />
Middelkornstørrelsen, d50, aflæses af kornkurven til 0,175mm.<br />
D.3 Opsummering<br />
Prøve 1.S<br />
Der er ud fra klassifikationsforsøgene bestemt følgende størrelser, se tabel D.12.<br />
Størrelse Værdi<br />
Relativ densitet ds [-] 2,65<br />
Vandindhold w [-] 0,23<br />
Rumvægt γ [kN/m 3 ] 18,0<br />
Mætningsgrad Sw [-] 0,78<br />
Poretal for løs lejring emax [-] 0,93<br />
Poretal for fast lejring emin [-] 0,56<br />
In situ poretal einsitu [-] 0,78<br />
Relativ lejringstæthed ID [-] 0,44<br />
Middelkornstørrelse d50 [mm] 0,175<br />
Uensformighedstal U [-] 1,37<br />
Tabel D.12<br />
Fastlagte klassifikationsstørrelser<br />
Sandmaterialet kan karakteriseres som velsorteret mellem-fint sand.<br />
194
APPENDIKS<br />
E. Triaksialforsøg<br />
E ttt<br />
Triaksialforsøg<br />
ttt<br />
Dette kapitel omhandler udførelse af og resultater fra fire drænede triaksialforsøg<br />
udført ved Laboratoriet for Geoteknik ved Aalborg Universitet. Der<br />
tages udgangspunkt i måleresultater fra fire triaksialforsøg udført af B10Kstuderende<br />
i foråret 2005, da det bl.a. af tidsmæssige årsager ikke har været<br />
muligt for projektgruppen at udføre egne triaksialforsøg.<br />
E.1 Formål<br />
Formålet med forsøget er at bestemme styrke- og deformationsparametre for<br />
sandmaterialet fra Frederikshavn, da disse parametre bl.a. skal anvendes til<br />
analyse af bropillens bæreevne og sætninger. Følgende parametre skal bestemmes:<br />
• Den triaksiale friktionsvinkel ϕtr<br />
• Elasticitetsmodulerne E50 og Eur<br />
• Dilatationsvinklen ψ<br />
• Poisson’s forhold ν<br />
• Forskydningsmodulen G<br />
• Bulkmodulen K<br />
Næste afsnit omhandler triaksialapparatet samt proceduren ved udførelse af<br />
forsøget. Herefter følger et afsnit, hvor de ovenfor anførte parametre bestemmes.<br />
195
E. Triaksialforsøg<br />
E.2 Triaksialapparatet og forsøgsudførelse<br />
Figur E.1 viser en skitse af de komponenter, der indgår i triaksialapparatet.<br />
Apparatet består yderst af en plexiglascylinder samt et bund- og topstykke.<br />
Jordprøven placeres i en gummimembran mellem et nedre og øvre trykhoved.<br />
Trykhovederne smøres med grease, (siliconefedt), for at mindske forskydningsmodstanden<br />
mellem trykhoved og prøve, således prøven kan deformere frit i<br />
radial retning. Hvis ikke der anvendes grease, fastlåser trykhovederne prøven<br />
ved enderne, hvilket resulterer i, at der dannes stive zoner under trykhovederne,<br />
og spændingstilstanden bliver meget kompliceret [Ibsen 1993, s. 13].<br />
Figur E.1<br />
Skitse af triaksialapparatet.<br />
På figur E.2 ses et billede af det anvendte triaksialapparat. Kraft-, poretryksog<br />
flytningstransducere monteres inde i cylinderen, som inden forsøgets udførelse<br />
fyldes med destilleret vand. Porevanddifferenstrykket måles ved at porevandet<br />
i prøven forbindes til en burette med to drænslanger placeret henholdsvis<br />
ved det nedre og det øvre trykhoved.<br />
Jordprøverne begyndelseshøjde, H0, og begyndelsesdiameter, D0, er 7 cm, se<br />
figur E.3. Herved opnås en homogen spændingstilstand, der resulterer i et<br />
zonebrud i prøven. Hvis eksempelvis begyndelseshøjden er dobbelt så stor som<br />
begyndelsesdiameteren, er der risiko for, at der udvikles et liniebrud, der deler<br />
prøven i to stive legemer [Ibsen 1993, s. 13].<br />
196
Figur E.2<br />
Det anvendte triaksialapparat.<br />
Forløbet ved udførelse af triaxialforsøget er som følger:<br />
E. Triaksialforsøg<br />
Figur E.3<br />
Mål og deformationer på prøve.<br />
1. Prøven udlejres således, at der opnås den ønskede lejringstæthed. Dette<br />
gøres ved at lade sandet falde gennem en tragt fra en bestemt højde og<br />
ned gennem en si, hvorefter det udlejrede sand stampes med et faldlod,<br />
se figur E.4.<br />
Figur E.4<br />
Udlejring af sandprøve.<br />
2. Trykket i prøven mindskes med 20 kPa, således at der opnås vacuum og<br />
formen fjernes. Herefter påmonteres flytningstransducere.<br />
197
E. Triaksialforsøg<br />
3. Cellen samles og fyldes med destilleret vand, hvorefter der påføres et<br />
kammertryk på 20 kPa, samtidigt med at undertrykket i prøven fjernes.<br />
Det tilstræbes at holde det isotrope tryk på prøven på ca. 20 kPa under<br />
denne proces.<br />
4. Prøven vandmættes.<br />
5. Kammertrykket, σ3, øges med 200 kPa samtidig med, at der påføres et<br />
backpressure på samme størrelse i prøven, hvorved det isotrope tryk på<br />
prøven forbliver 20 kPa. Af figur E.5 fremgår det samlede triaksialapparat<br />
med den klargjorte sandprøve inde i cylinderen.<br />
Figur E.5<br />
Samlet triaksialapparat.<br />
6. Prøven påføres isotrop belastning ved at kammertrykket øges op til et<br />
ønsket spændingsniveau.<br />
Der kan efter punkt 6 eksempelvis udføres brudforsøg, hvor prøven kun påføres<br />
en aksial belastning, (stempeltrykket), og kammertrykket holdes konstant. Den<br />
aksiale belastning øges eksempelvis indtil prøven er deformeret 0,5%, hvorefter<br />
den aflastes. Denne proces kan gentages, idet det hver gang tillades, at prøven<br />
deformeres dobbelt så meget som foregående belastning, indtil prøven bryder.<br />
Næste afsnit omhandler resultatbehandling af de målte størrelser.<br />
E.3 Resultatbehandling<br />
Under triaksialforsøgene blev følgende størrelser målt:<br />
198
• Kammertrykket σ3<br />
• Poretrykket u<br />
• Deformation i aksial retning u1<br />
• Deviatorspændingen (stempeltrykket) q = σ1 − σ3<br />
• Volumenændringen af prøven ∆V<br />
E. Triaksialforsøg<br />
Herudfra bestemmes følgende størrelser, der skal anvendes til bestemmelse af<br />
styrke- og deformationsparametre:<br />
• Det tidsafhængige tværsnitsareal A:<br />
A = V0 − ∆V<br />
H0 − u1<br />
Hvor V0 er begyndelsesvolumenet [cm 3 ].<br />
• Den effektive middelnormalspænding p ′ :<br />
p ′ = 1<br />
3 (σ1 + 2σ3)<br />
• Tøjningerne ε1, ε3, εv og εq:<br />
<br />
H0<br />
ε1 = ln<br />
H0 − u1<br />
<br />
D0<br />
ε2 = ε3 = ln<br />
D0 − 2u2<br />
<br />
V0<br />
εv = ε1 + 2ε3 = ln<br />
V0 − ∆V<br />
εq = 2<br />
3 (ε1 − ε2)<br />
Hvor ε1 er aksialtøjningen [-].<br />
ε3 er tværtøjningen [-].<br />
εv er volumentøjningen arbejdskonjugeret med p ′ [-].<br />
εq er deviatortøjningen arbejdskonjugeret med q [-].<br />
Da deformationerne, og dermed tøjningerne, i prøven bliver store i forhold<br />
til de tøjninger, der normalt betragtes i ingeniørmæssig sammenhæng, kan<br />
der ikke benyttes lineære tøjninger. Derfor benyttes de naturlige logaritmiske<br />
tøjninger.<br />
I det følgende behandles triaksialforsøg nr. 2, der som repræsentativt eksempel<br />
viser, hvordan de geotekniske parametre findes ud fra de målte størrelser.<br />
199
E. Triaksialforsøg<br />
Resultatbehandling af brudforsøg nr. 2<br />
I det følgende bestemmes sandmaterialets styrke- og deformationsparametre<br />
ved et kammertryk på 80 kPa, og der redegøres for, hvorledes parametrene<br />
fastlægges ud fra de målte størrelser.<br />
Elasticitetsmoduler E50 og Eur<br />
Følgeligt bestemmes elasticitetsmodulerne E50 og Eur, som er henholdsvis den<br />
elasto-plastiske modul og det elastiske genbelastnings modul.<br />
Ved at plotte deviatorspændingen, q, som funktion af aksialtøjningen, ε1, fås<br />
en arbejdskurve for sandmaterialet, se figur E.6, og ved at indlægge en sekant<br />
til den første belastningsgren, der går gennem punktet svarende til 50% af<br />
brudværdien, kan E50 bestemmes. Den elasto-plastiske modul fås af figur E.6<br />
til 24,7 MPa.<br />
q [kPa]<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
(ε 1 −q) − kurve<br />
Sekant E 50<br />
Tangent E ur<br />
0<br />
0 2 4 6<br />
ε [%]<br />
1<br />
8 10 12<br />
Figur E.6<br />
(ε1, q)-diagram til bestemmelse af E50 og Eur.<br />
Eur bestemmes som hældningen af aflastnings- og genbelastningskurvens tangentlinie,<br />
og findes af figur E.6 til 73,3 MPa. Eur er typisk ca. tre gange så stor<br />
som E50 [Brinkgreve 2002, s. 5-3], hvilket resultaterne af forsøgene også viser.<br />
200
Poissons forhold ν<br />
ε 3 [%]<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
−5<br />
−6<br />
−7<br />
−8<br />
0 2 4 6<br />
ε [%]<br />
1<br />
8 10 12<br />
E. Triaksialforsøg<br />
(ε 1 − ε 3 )−kurve<br />
Tangent<br />
Figur E.7<br />
(ε1, ε3)-diagram til bestemmelse af poissons forhold ν.<br />
Poissons forhold er givet ved formel (E.1), og findes ved at indlægge en tangent<br />
til den del af kurven, der svarer til genbelastningsgrenen, se figur E.7.<br />
ν = − dε3<br />
dε1<br />
Poissons forhold bestemmes af figur E.7 til 0,32.<br />
Bulkmodulen K og forskydningsmodulen G<br />
(E.1)<br />
Bulkmodulen, K, og forskydningsmodulen, G, er elastiske deformationsparametre,<br />
som henholdsvis indgår i relationen mellem middelspændinger og volumentøjninger<br />
samt deviatorspændinger og deviatortøjninger. K og G findes af<br />
følgende relation [Wood 1990, s. 42]:<br />
<br />
δεv<br />
=<br />
δεq<br />
<br />
1/K 0<br />
·<br />
0 1/3G<br />
<br />
δp<br />
δq<br />
Figur E.8 viser et (εv, p)-diagram, og bulkmodulen findes som hældningen af<br />
tangenten til kurvegrenen, der svarer til genbelastningsgrenen. K findes af figur<br />
E.8 til 79,2 MPa.<br />
201
E. Triaksialforsøg<br />
p [kPa]<br />
180<br />
160<br />
140<br />
120<br />
100<br />
80<br />
(ε v − p)−kurve<br />
Tangent<br />
60<br />
−5 −4 −3 −2<br />
ε [%]<br />
v<br />
−1 0 1<br />
Figur E.8<br />
(εv, p)-diagram til bestemmelse af bulkmodulen K.<br />
Kurveknækket på den anden aflastningsgren skyldes en fejlmåling.<br />
G bestemmes som hældningen af tangenten til genbelastningskurven, og bestemmes<br />
ud fra figur E.9 til 30,3 MPa .<br />
q [kPa]<br />
300<br />
250<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
(ε q − q)−kurve<br />
Tangent<br />
0<br />
−2 0 2 4 6 8 10 12<br />
ε [%]<br />
q<br />
Figur E.9<br />
(εq, q)-diagram til bestemmelse af forskydningsmodulen G.<br />
Et estimat af bulk- og forskydningsmodulen kan også findes af følgende to<br />
udtryk, idet der forudsættes lineær isotrop hyperelasticitet [Wood 1990, s. 38-<br />
40]:<br />
202<br />
• Bulkmodulen: K = E<br />
3·(1−2·ν)
• Forskydningsmodulen: G = E<br />
2·(1+ν)<br />
E. Triaksialforsøg<br />
Ved anvendelse af ovenstående udtryk fås K = 67,9 MPa og G = 27,8 MPa.<br />
Grunden til at disse værdier afviger fra de ovenfor fastlagte, skyldes en usikkerhed<br />
ved indlæggelse af tangenterne.<br />
Friktionsvinklen ϕtr<br />
Den triaksiale friktionsvinkel, ved kammertrykket: 80 kPa, findes ved at plotte<br />
Mohrs cirkel ud fra største og mindste hovedspænding, og indlægge en tangent<br />
til cirklen, se figur E.10. Friktionsvinklen, ϕtr, er således vinklen mellem<br />
σ-aksen og tangenten, idet Coulombs brudbetingelse antages gældende for sandet.<br />
Friktionsvinklen findes af figur E.10 til 40,3 ◦ .<br />
τ [kPa]<br />
200<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
−50<br />
−100<br />
−150<br />
−200<br />
φ tr<br />
σ 3<br />
Mohrs diagram<br />
Mohrs cirkel, σ 3 = 80kPa<br />
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450<br />
σ [kPa]<br />
Figur E.10<br />
Mohrs diagram til bestemmelse af friktionsvinklen, ϕtr, for et kammertryk på 80 kPa.<br />
Med udgangspunkt i Coulombs brudbetingelse formuleret i (p ′ , q) kan ϕtr også<br />
findes af følgende udtryk, hvor index u angiver, at det er den ultimative brudværdi<br />
[Krenk 1998, s. 6]:<br />
ϕtr = sin −1 (<br />
3 · qu<br />
) (E.2)<br />
6 · pu + qu<br />
Af formel (E.2) fås ϕtr = 40,0 ◦ , og afvigelsen fra friktionsvinklen fundet ud fra<br />
Mohrs diagram skyldes usikkerhed ved indlæggelse af tangenten til cirklen.<br />
Dilatationsvinklen ψ<br />
Ved at betragte et (ε1, εv)-diagram, se figur E.11, kan dilatationsvinklen findes<br />
af nedenstående udtryk E.3, som kan udledes ved at betragte Mohrs cirkel for<br />
tøjninger [Jacobsen 1989, s. 75]:<br />
σ 1<br />
203
E. Triaksialforsøg<br />
sin(ψ) =<br />
dεv<br />
dεv − 2ε1<br />
(E.3)<br />
Dilatationsvinklen fastlægges til 11,3 ◦ , idet (ε1, εv)-kurven betragtes i intervallet<br />
ε1 = [1, 5; 8, 0].<br />
ε v [%]<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
−2<br />
−3<br />
−4<br />
(ε 1 − ε v )−kurve<br />
−5<br />
0 2 4 6<br />
ε [%]<br />
1<br />
8 10 12<br />
Figur E.11<br />
(ε1,εv) - diagram til bestemmelse af dilatationsvinklen ψ.<br />
Resultater fra samtlige brudforsøg<br />
I tabel E.1 ses styrke- og deformationsparametre fra de fire drænede brudforsøg.<br />
Parametre Enhed Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4<br />
Kammertryk σ3 [kPa] 40 80 160 320<br />
Middelspænding pu [kPa] 92,2 177,3 331,6 653,5<br />
Deviatorspænding qu [kPa] 155,1 290,7 513,3 999,5<br />
Volumentøjning εv [%] -3,0 -2,6 -1,7 -1,8<br />
Deviatortøjning εq [%] 7,7 7,6 7,8 8,0<br />
Aksialtøjning ε1 [%] 6,7 6,8 7,2 7,4<br />
Friktionsvinkel ϕtr [ ◦ ] 41,0 40,0 38,0 37,6<br />
Dilatationsvinkel ψ [ ◦ ] 12,1 11,3 9,8 9,6<br />
E-modul E50 [MPa] 19,0 24,7 24,4 34,7<br />
E-modul Eur [MPa] 53,8 73,3 81,8 116,3<br />
Poissons forhold ν [-] 0,31 0,32 0,32 0,30<br />
Bulkmodulen K [MPa] 37,4 79,2 125,4 207,1<br />
Forskydningsmodulen G [MPa] 22,2 30,3 78,7 95,2<br />
Tabel E.1<br />
Styrke- og deformationsparametre fra de fire triaksiale brudforsøg<br />
Mohrs diagram: ϕs og ϕt<br />
204
E. Triaksialforsøg<br />
Den generelle triaksiale friktionsvinkel for sandmaterialet bestemmes ved at<br />
plotte alle fire Mohrske cirkler i brudtilstanden, se figur E.13. Friktionsvinklen<br />
kan herefter bestemmes på to forskellige måder [Jacobsen 1989, s. 61]:<br />
• Rent friktionsmateriale (c = 0): sekantfriktionsvinklen ϕs<br />
- Coulombs brudbetingelse: τ = σ · tan(ϕs)<br />
• Med kohæsion (c = 0): tangentfriktionsvinklen ϕt<br />
- Coulombs brudbetingelse: τ = ct + σ · tan(ϕt)<br />
Figur E.12 viser en principskitse af sekantfriktionsvinklen (a), ϕs, og tangentfriktionsvinklen<br />
(b), ϕt.<br />
Figur E.12<br />
Sekantfriktionsvinklen (a), tangentfriktionsvinklen (b) og krum brudbetingelse (c).<br />
Af figur E.13 fremgår Mohrske cirkler for de fire forskellige kammertryk, og der<br />
er indtegnet en sekant til bestemmelse af ϕs samt en tangent til fastlæggelse<br />
af ϕt. Friktionsvinklen bestemmes af figur E.13 til henholdsvis ϕs = 37,2 ◦ og<br />
ϕt = 35,4 ◦ . Kohæsionen, ct, bestemmes til 18 kPa.<br />
τ [kPa]<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
−100<br />
−200<br />
−300<br />
−400<br />
Mohrs diagram<br />
φ s<br />
σ 3 = 40kPa<br />
σ 3 = 80kPa<br />
σ 3 = 160kPa<br />
σ 3 = 320kPa<br />
0 200 400 600 800 1000 1200 1400<br />
σ [kPa]<br />
Figur E.13<br />
Plot af mohrske cirkler til bestemmelse af ϕs og ϕt.<br />
φ t<br />
205
E. Triaksialforsøg<br />
Tangentfriktionsvinklen, ϕt, vurderes at være den mest troværdige friktionsvinkel,<br />
da anvendelse af sekantfriktionsvinklen, ϕs, medfører for store forskydningsspændinger<br />
ved store normalspændinger og omvendt ved små normalspændinger.<br />
Der kan vælges at se bort fra kohæsionen, som fås ved indlæggelse<br />
af tangenten, hvilket er på den sikre side [Jacobsen 1989, s. 61].<br />
Den mest optimale brudbetingelse fås ved at lave tangenten krum for σ →<br />
0, se figur E.12(c), da effektive spændinger i jord ikke kan blive negative<br />
[Jacobsen 1989, s. 63]. Der undersøges dog ikke en brudbetingelse med krum<br />
kurve.<br />
Coulomb (p ′ , q)-diagram: ϕtr<br />
Den generelle friktionsvinkel for sandmaterialet kan alternativt bestemmes af<br />
et Mohr-Coulomb (p ′ , q)-diagram med brudpunkter fra de fire brudforsøg. Figur<br />
E.14 viser (p ′ , q)-diagrammet med (p ′ , q)-kurver for de fire forskellige kammertryk.<br />
Endepunktet af hver (p ′ , q)-kurve er brudpunktet for det pågældende<br />
brudforsøg, og ved at indlægge en tendenslinie gennem brudpunkterne, se figur<br />
E.14, kan friktionsvinklen findes af følgende udtryk, der svarer til (E.2)<br />
[Wood 1990, s. 178].<br />
M =<br />
6 · sin(ϕtr)<br />
3 − sin(ϕtr)<br />
Hvor M er (p, q)-tangentens hældning [-].<br />
(E.4)<br />
Den triaksiale friktionsvinkel findes således af formel (E.4) til ϕt = 35,7 ◦ (ct<br />
= 24 kPa), når der antages lidt kohæsion for sandet, og den findes til ϕs =<br />
37,4 ◦ , når sandet antages at være ren friktionsjord. I et senere opsummeringsafsnit<br />
sammenlignes friktionsvinkler fra Mohrs diagram med friktionsvinkler fra<br />
Mohr-Coulombs (p ′ , q)-diagram.<br />
206<br />
q [kPa]<br />
1000<br />
900<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
σ 3 = 40kPa<br />
σ 3 = 80kPa<br />
σ 3 = 160kPa<br />
σ 3 = 320kPa<br />
−200 0 200 400<br />
p [kPa]<br />
600 800<br />
Figur E.14<br />
Plot af (p ′ , q)-kurver samt tendenslinier til bestemmelse af ϕt og ϕs.
E. Triaksialforsøg<br />
Deviatorspænding som funktion af aksialtøjning: (ε1, q)-diagram<br />
På figur E.15 plottes arbejdskurver og brudpunkter for alle brudforsøg i et<br />
(ε1, q)-diagram.<br />
q [kPa]<br />
1000<br />
900<br />
800<br />
700<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
σ 3 = 40kPa<br />
σ 3 = 80kPa<br />
σ 3 = 160kPa<br />
σ 3 = 320kPa<br />
Brudpunkter<br />
0<br />
−1 0 1 2 3 4<br />
ε [%]<br />
1<br />
5 6 7 8 9<br />
Figur E.15<br />
(ε1, q)-diagram med alle brudforsøgskurver.<br />
Det ses af figur E.15, at de fire arbejdskurver har forskellige spændingsafhængige<br />
elasticitetsmoduler svarende til de fire elasto-plastiske moduler, E50, der fremgår<br />
af tabel E.1.<br />
Volumentøjning som funktion af aksialtøjning: (ε1, εv)-diagram<br />
Figur E.16 viser volumentøjningen som funktion af aksialtøjningen ved alle<br />
brudforsøg, og det bemærkes, hvordan jordprøverne først kompakterer (positiv<br />
εv) og derefter dilaterer (negativ εv). Dilatation skyldes glidninger og rotationer<br />
af kornene ved højt stempeltryk.<br />
207
E. Triaksialforsøg<br />
ε v [%]<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
−0.5<br />
−1<br />
−1.5<br />
−2<br />
−2.5<br />
−3<br />
−3.5<br />
σ 3 = 40kPa<br />
σ 3 = 80kPa<br />
σ 3 = 160kPa<br />
σ 3 = 320kPa<br />
−4<br />
0 1 2 3 4 5<br />
ε [%]<br />
1<br />
6 7 8 9 10<br />
E.4 Opsummering<br />
Figur E.16<br />
(ε1, εv)-diagram med alle brudforsøgskurver.<br />
Der er bestemt styrke- og deformationsparametre for sandmaterialet ud fra fire<br />
drænede triaksialforsøg. De geotekniske parametre er fundet ved standardiserede<br />
tangent- og sekantmetoder, og vurderes at have en tilfredsstillende størrelsesorden.<br />
Den triaksiale friktionsvinkel er fundet på fire forskellige måder:<br />
• Mohrs diagram: Sekantfriktionsvinklen ϕs.<br />
• Mohrs diagram: Tangentfriktionsvinklen ϕt.<br />
• Coulomb (p − q)-diagram: Friktionsvinkel med kohæsion ϕt.<br />
• Coulomb (p − q)-diagram: Friktionsvinkel uden kohæsion ϕs.<br />
Sekantfriktionsvinklen, fundet ud fra Mohrs diagram, skal gerne være lig friktionsvinklen<br />
uden kohæsion fundet ud fra et Coulomb (p, q)-diagram, og afvigelsen<br />
mellem de to størrelser skyldes upræcis indlæggelse af sekant og tendenslinie.<br />
Gennemsnittet fås til 37,3 ◦ , hvilket følgeligt benævnes den endeligt<br />
fastlagte sekantfriktionsvinkel for sandet. Sekantfriktionsvinklen på 37,3 ◦ skal<br />
anvendes i funderingsberegninger, når sandet regnes som rent friktionsmateriale.<br />
På samme måde skal tangentfriktionsvinklen og friktionsvinklen med kohæsion<br />
fundet ud fra et Coulomb (p, q)-diagram gerne have samme værdi, og ved<br />
at tage gennemsnittet af de to størrelser fås en endeligt bestemt tangentfriktionsvinkel<br />
på 35,6 ◦ . Tangentfriktionsvinklen benyttes i funderingsberegninger,<br />
208
E. Triaksialforsøg<br />
når sandet antages at have kohæsion. Kohæsionen, ct, fastsættes til gennemsnitligt<br />
21 kPa. De endeligt fastlagte friktionsvinkler fremgår af tabel E.2.<br />
ϕtr = ϕs (c = 0) ϕtr = ϕt (ct = 21 kPa)<br />
37,3 ◦ 35,6 ◦<br />
Tabel E.2<br />
Triaksiale friktionsvinkler.<br />
Da langt de fleste geotekniske analyser karakteriseres ved en plan deformationstilstand,<br />
se formel (E.5), anvendes den plane friktionsvinkel, ϕpl, som er givet<br />
ved udtryk (E.6) [Harremoës et al. 2000, s. 8.17].<br />
σ1 > σ2 > σ3<br />
ϕpl = 1, 1 · ϕtr<br />
De plane friktionsvinkler for de to tilfælde fremgår af tabel E.3.<br />
ϕpl (c = 0) ϕpl (c = 0)<br />
41,0 ◦ 39,2 ◦<br />
Tabel E.3<br />
Plane friktionsvinkler.<br />
(E.5)<br />
(E.6)<br />
Da projektgruppen ikke selv har udført triaksialforsøgene, vides det ikke, om<br />
der under forsøgene har været forsøgsfejl af betydning. De plottede kurver<br />
tyder dog ikke på større fejlkilder, hvorfor resultaterne vurderes at være tilfredsstillende.<br />
209
APPENDIKS<br />
F. Cone Penetration Test<br />
F ttt<br />
Cone Penetration Test<br />
ttt<br />
F.1 Formål<br />
Formålet med denne test er at vurdere lagfølgen ned igennem jorden på den<br />
undersøgte lokalitet og bestemme forskellige parametre for disse lag. Disse<br />
parametre skal senere bruges til dimensionering af fundament, ved brudlinier<br />
og i Plaxis.<br />
En cone penetration test, (CPT) er et markforsøg. Ved analyse af testresultaterne<br />
er det muligt at finde en lagfølge af jorden til prøvens dybde. Følgende<br />
måles på lokaliteten:<br />
• Spidsmodstand, qc<br />
• Overflademodstand, fs<br />
• Poretryk, u2<br />
Følgende beregnes ud fra måleresultater:<br />
• Rumvægt, γ<br />
• Relativ lejringstæthed, ID<br />
• Friktionsvinkel, ϕ<br />
• Constrained modul/Oedometerstivhed, M/Eoed<br />
F.2 Forudsætninger<br />
Det forudsættes, at jordprofilet hovedsagligt består af normalkonsolideret sand<br />
med svagt indhold af organisk materiale. Alle beregninger udføres derfor med<br />
formler gældende for friktionsjord. Hvis der enkelte steder optræder lag med et<br />
211
F. Cone Penetration Test<br />
stigende organisk indhold forventes det, at resultaterne ved disse beregninger<br />
afviger fra det aktuelle.<br />
Ved bestemmelse af jordtype og rumvægt, er der dog brugt empiriske diagrammer,<br />
som passer til alle jordtyper.<br />
F.3 Forsøgsopstilling/Udførelse<br />
Måleinstrumentet består af en kegle og en friktionsmåler, se figur F.1, som<br />
er placeret yderst på det spyd, der skal presses ned i jorden. Keglen måler<br />
spidsmodstanden, qc, og poretrykket, u2, mens overflademodstanden, fs, måles<br />
af friktionsmåleren.<br />
Figur F.1<br />
Illustration af CPT instrumentets nederste del der registrere de forskellige parametre.<br />
På figur F.2 ses opstillingen af selve forsøget. Selve instrumentet er 1 m langt,<br />
og derfor skal det, for at nå ned i dybere liggende lag, påskrues stænger af<br />
1 m, mens den presses ned i jorden. Instrumentet presses vha. et hydraulisk<br />
tryk ned i jorden med en konstant hastighed på 1,2 m/min, til en dybde af ca.<br />
16 m. Som det ses på figuren, er det nødvendigt med modvægt for at presse<br />
instrumentet ned.<br />
212
Figur F.2<br />
Forsøgsopstilling.<br />
F. Cone Penetration Test<br />
Der blev udført fire CPT forsøg (CPT-B212, CPT-B213, CPT-B223 og CPT-<br />
Ekstra). I det følgende afbildes forsøg CPT-B212, og resultaterne af de andre<br />
forsøg fremgår af opsamlingstabellerne.<br />
F.4 Resultater<br />
CPT udstyret måler med et tidsinterval, der svarer til en måling hver 0,02 m<br />
ned gennem jorden. Hydraulikken kan kun presse 80 cm af gangen, hvorefter de<br />
måles mens hydraulikken gør klar til at presse igen. Derfor er det ikke muligt<br />
at lave en kontinuert måling, og der fremkommer som resultat heraf forkerte<br />
målinger med mellemrum på 80 cm. Resultaterne skal derfor korrigeres manuelt<br />
for disse fejlmålinger, og på figur F.3 ses de korrigerede resultater fra forsøget.<br />
213
F. Cone Penetration Test<br />
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
0 2 4 6 8 10 12 14<br />
Spidsmodstand q c [MPa]<br />
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7<br />
Lag 1<br />
Lag 2<br />
Lag 3<br />
Hydrostatisk tryk<br />
Lag 4<br />
Poretryk u 2 og u 0 [MPa]<br />
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
Figur F.3<br />
De korrigerede CPT resultater fra CPT-B212.<br />
0 0,02 0,04 0,06 0,08<br />
Overflademodstand f s [MPa]<br />
Det er muligt, vha. poretrykket, u2, at bestemme placeringen af grundvandspejlet.<br />
På lokaliteten så det ud som om, at vandpejlet var placeret i kote 0,<br />
men ud fra CPT-målingerne ses det, at det er kapilarvand, og at vandspejlet er<br />
beliggende i kote -1,5. Den ekstra måling giver dog en vandstand i kote 0, idet<br />
at de andre prøver alle får GVS i kote -1,5, må det være en fejl i måleapparatet<br />
ved denne prøve.<br />
Ud fra figur F.3 er det muligt at skønne en lagdeling af jorden. Disse 4 lag<br />
er gældende for alle forsøg. Dog er dybden af de enkelte lag forskellige, og de<br />
varierer med op til ca. 1,5 m. se tabel F.1.<br />
214
F. Cone Penetration Test<br />
CPT B212 B213 B223 Ekstra<br />
Lag 1: 0,0 – -5,3 0,0 – -4,5 0,0 – -5,0 0,0 – -6,3<br />
Lag 2: -5,3 – -7,0 -4,5 – -7,0 -5,0 – -6,8 -6,3 – -8,6<br />
Lag 3: -7,0 – -10,7 -7,0 – -10,5 -6,8 – -10,7 -8,6 – -10,7<br />
Lag 4: -10,7 – (-16,1) -10,5 – (-15,4) -10,7 – (-16,0) -10,7 – (-16,1)<br />
GVS: -1,5 -1,5 -1,5 0<br />
Tabel F.1<br />
Koten af de forskellige lag. (-) er dybden af den enkelte CPT-prøve.<br />
F.5 Rumvægt- og jordartsbestemmelse<br />
Ud fra empiriske formler og skemaer er det muligt at bestemme rumvægten af<br />
jorden og jordtypen.<br />
Spidsmodstanden skal korrigeres for et ekstra poretryk på spidsmodstanden.<br />
Den korrigerede spidsmodstand, qt, bestemmes ud fra formel (F.1) [Jacobsen<br />
& Gwizdala 1992, s. 26].<br />
qt = qc + u2(1 − a) (F.1)<br />
Hvor u2 er poretrykket [MPa].<br />
a er et arealforhold, se figur F.1 [-].<br />
D = 36 mm , d = 32,8 mm , a = 9,11<br />
En rumvægt skønnes til udregning af den vertikale spænding, σv0, og det normaliserede<br />
friktionsforhold, Fr, og poretryksforholdet, Bq, bestemmes ud fra<br />
formel (F.2) og (F.3) [Lunne, Robertson & Powell 1997, s. 53].<br />
Fr =<br />
fs<br />
qt − σv0<br />
Bq = u2 − u0<br />
qt − σv0<br />
· 100 [%] (F.2)<br />
[-] (F.3)<br />
Disse kan afbildes sammen med den korrigerede spidsmodstand i et Robertson<br />
diagram [Lunne et al. 1997, s. 53], og udfra placering af de plottede værdier kan<br />
rumvægten aflæses i tabel F.2. Ud fra Robertson diagrammet kan jordtypen<br />
også bestemmes. På figur F.4 til F.7 ses en afbildning af lag 1-4.<br />
215
F. Cone Penetration Test<br />
216<br />
Figur F.4<br />
Afbildning af lag 1 fra CPT-B212 i Robertson diagram.<br />
Figur F.5<br />
Afbildning af lag 2 fra CPT-B212 i Robertson diagram.<br />
Figur F.6<br />
Afbildning af lag 3 fra CPT-B212 i Robertson diagram.
Figur F.7<br />
Afbildning af lag 4 fra CPT-B212 i Robertson diagram.<br />
F. Cone Penetration Test<br />
Områderne på figur F.4 til F.7 angiver rumvægt, som ses i tabel F.2 [Lunne<br />
et al. 1997, s. 56].<br />
Zone Rumvægt [kN/m 3 ]<br />
4 18,0<br />
5 18,0<br />
6 18,0<br />
7 18,5<br />
8 19,0<br />
9 19,5<br />
10 20,0<br />
Tabel F.2<br />
Skønnede rumvægte baseret på jordbeskrivelsen.<br />
Ved at plotte de forskellige lag i et Robertson diagram kan jordtypen af lagene<br />
bestemmes:<br />
Lag 1: er et sandlag.<br />
Lag 2: er et sandet siltlag.<br />
Lag 3: er et sandlag.<br />
Lag 4: er et leret siltlag/gruslag.<br />
I tabel F.3 ses rumvægten for de forskellige lag.<br />
CPT: B212 B213 B223 Ekstra<br />
Lag 1: 19,25 19,25 19,25 19,25<br />
Lag 2: 19,75 19,75 19,75 19,75<br />
Lag 3: 19,00 19,00 19,00 19,00<br />
Lag 4: 18,00 18,00 18,00 18,00<br />
Gennemsnit ∗) : 18,83 18,88 18,83 18,87<br />
Tabel F.3<br />
Rumvægt af de forskellige lag [kN/m 3 ]. ∗) Gennemsnittet er vægtet med dybden af laget.<br />
217
F. Cone Penetration Test<br />
F.6 Lejringstæthed og poretal<br />
Ved at bruge den modificerede Schmertmann, metode er det muligt at bestemme<br />
den relative lejringstæthed. Til dette bruges formel (F.4) og (F.5) [Jacobsen<br />
& Gwizdala 1992, s. 38-39].<br />
<br />
qc<br />
ID = −98 + 66 · log<br />
(σ ′ v) 0,5<br />
<br />
Blå, figur F.8 (F.4)<br />
ID = 1<br />
<br />
qc<br />
· ln<br />
· 100 Rød, figur F.8 (F.5)<br />
C2<br />
C0(σ ′ v )C1<br />
Hvor qc er spidsmodstanden [MPa].<br />
σ ′ v<br />
er den effektive spænding σv0 − u0 [MPa].<br />
C0 C1 C2 er jordkonstanter [-]<br />
C0 = 61 C1 = 0, 71 C2 = 2, 91<br />
Ud fra lejringstætheden er det muligt, med kendskab til det maksimale (emax =<br />
0, 93) og minimale (emin = 0, 56) poretal fra tabel D.12, at regne insitu poretal<br />
(einsitu). Det maksimale og minimale poretal er bestemt ud fra klasifikationsforsøg,<br />
se appendiks D. Insitu poretallet regnes ud fra formel (F.6) [Lunne<br />
et al. 1997, s. 82].<br />
ID = emax − einsitu<br />
emax − emin<br />
(F.6)<br />
På figur F.8 ses lejringstætheden ned igennem jordlagene for prøve CPT-B212.<br />
Det ses, at formel (F.5) ikke passer, idet den giver lejringstætheder over 100%<br />
samt negative lejringstætheder. Formel (F.5) kan alternativt udregnes med<br />
andre jordkonstanter. Der er regnet med konstanter fra [Lunne et al. 1997, s.<br />
84] og fra 10. semester projekt:<br />
[Lunne et al. 1997, s. 84]: C0 = 157 C1 = 0, 55 C2 = 2, 41<br />
10. semester projekt: C0 = 181 C1 = 0, 55 C2 = 2, 61<br />
Men disse giver også lejringstætheder over 100% og negative lejringstætheder.<br />
Derfor ses der bort fra denne formel ved de videre sammenligninger.<br />
218
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
-50 0 50 100 150<br />
Lag 1<br />
Lag 2<br />
Lag 3<br />
Lag 4<br />
Relativ lejringstæthed I D [%]<br />
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2<br />
Insitu poretal e insitu [-]<br />
F. Cone Penetration Test<br />
I D = 76,59 %<br />
e insitu = 0,64<br />
I D = 46,47 %<br />
e insitu = 0,75<br />
I D = 58,22 %<br />
e insitu = 0,71<br />
I D = 12,62 %<br />
e insitu = 0,88<br />
Figur F.8<br />
Afbildning af den relative lejringstæthed for CPT-B212.<br />
I tabel F.4 ses resultaterne fra de andre prøver.<br />
CPT: B212 B213 B223 Ekstra<br />
Lejringstæthed:<br />
Interval: -2% – 103% -5% – 105% -20% – 101% -35% – 115%<br />
Middel: 44,7% 46,1% 43,1% 47,7%<br />
Insitu poretal:<br />
Interval: 0,54 – 0,93 0,53 – 0,94 0,55 – 1,00 0,49 – 1,06<br />
Middel: 0,75 0,76 0,77 0,75<br />
Tabel F.4<br />
Lejringstætheder og insitu poretal for alle prøver.<br />
Det ses i tabel F.4, at lejringstætheden bliver over 100%, hvilket skyldes, at<br />
formlen er en empirisk formel, og derfor ikke passer i alle tilfælde. Hvis formlerne<br />
skulle passe til dette sand, skal der udføres en række forsøg og formlerne<br />
skal fittes til disse forsøg. Insituporetallet overstiger nogle tilfælde også det<br />
219
F. Cone Penetration Test<br />
maksimale og minimale poretal. Det betyder, at sandet på lokaliteten er mere<br />
eller mindre komprimeret, end det er muligt, at gøre i laboratoriet.<br />
F.7 Friktionsvinkel<br />
Ved at bruge den modificerede Janbu og Senneset metode, er det muligt, at<br />
bestemme jordens effektive friktionsvinkel, ϕ, igennem jordlagene, hvilket gøres<br />
ud fra formel (F.7) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 34-40].<br />
<br />
Nq = tan 45 + ϕ<br />
2 · e<br />
2<br />
Nq = qc<br />
σ ′ v<br />
π<br />
( +4ϕ) tan(ϕ)<br />
3<br />
Hvor Nq er en bæreevnefaktor [-].<br />
ϕ er jordens effektive friktionsvinkel [ ◦ ].<br />
qc er spidsmodstanden målt ved CPT-forsøg [MPa].<br />
σ ′ v er den effektive spænding [MPa].<br />
(F.7)<br />
Dette giver en fordeling af friktionsvinklen for prøve CPT-B212, som ses på<br />
figur F.9. Som det ses på figuren, er der stor variation af friktiononsvinklen<br />
ned igennem lagene. Dette er også forventet, idet det nederste lag er et kohæsionslag,<br />
og det øverste er friktionslag. En anden grund til at der findes små<br />
friktionsvinkler i leret, er at formel (F.7) kun gælder for normalkonsolideret og<br />
let overkonsolideret sand. Derfor vurderes at friktionsvinklerne for leret ikke<br />
er de rigtige.<br />
220
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
20 30 40 50 60<br />
Friktionsvinkel φ [º]<br />
Lag 1<br />
φ = 42,69º<br />
Lag 2<br />
φ = 35,81º<br />
Lag 3<br />
φ = 37,38º<br />
Lag 4<br />
φ = 27,28º<br />
Figur F.9<br />
Friktionsvinkel for prøve CPT-B212.<br />
I tabel F.5 ses friktionsvinklen for de resterende prøver.<br />
F. Cone Penetration Test<br />
CPT: B212 B213 B223 Ekstra<br />
Interval: 23,3 ◦ – 50,9 ◦ 22,9 ◦ – 50,3 ◦ 18,2 ◦ – 49,4 ◦ 13,1 ◦ – 51,1 ◦<br />
Middel: 35,4 ◦ 35,8 ◦ 35,1 ◦ 36,4 ◦<br />
Tabel F.5<br />
Friktionsvinkel for alle prøver.<br />
F.8 Constrained modul - Oedometerstivhed<br />
Der kan ud fra forsøget bestemmes en constrained modul, M, som er en endimensional<br />
elastisitetsmodul for lagene. Dette gøres, for at sammenligne med<br />
resultaterne fra triaksial forsøg, jf. appendiks E.<br />
221
F. Cone Penetration Test<br />
Baggrunden for bestemmelsen af modulet er en empirisk formel udarbejdet<br />
af Lunne og Christophersen. De har udviklet følgende empiriske formel for<br />
constrained modulen for siltet sand der beregnes efter hvilken spidsmodstand<br />
jorden har, se formel (F.8) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 42].<br />
M = 4qc for qc < 10MPa<br />
M = 2qc + 20MPa for 10MPa < qc < 50MPa (F.8)<br />
M = 120MPa for qc < 50MPa<br />
Dette giver en variation af constrained modulen, M, ned igennem jordlagene,<br />
som ses på figur F.10. Ud for hvert lag vises den gennemsnitlige constrained<br />
modul for det tilhørende lag.<br />
-0,5<br />
-1,5<br />
-2,5<br />
-3,5<br />
-4,5<br />
-5,5<br />
-6,5<br />
-7,5<br />
-8,5<br />
-9,5<br />
-10,5<br />
-11,5<br />
-12,5<br />
-13,5<br />
-14,5<br />
-15,5<br />
-16,5<br />
0 10 20 30 40 50 60<br />
Constrained Modul M [MPa]<br />
Lag 1<br />
M = 31,26 MPa<br />
Lag 2<br />
M = 17,01 MPa<br />
Lag 3<br />
M = 29,59 MPa<br />
Lag 4<br />
M = 7,28 MPa<br />
Figur F.10<br />
Constrained modul for prøve CPT-B212.<br />
Middelværdi og variation af constrained modulen fremgår af tabel F.6.<br />
222
CPT: B212 B213 B223 Ekstra<br />
F. Cone Penetration Test<br />
Interval: 3,5 – 44,6 0,9 – 47,0 0,8 – 46,3 1,2 – 48,6<br />
Middel: 21,0 20,5 19,4 20,1<br />
F.9 Opsummering<br />
Tabel F.6<br />
Constrained modul for alle prøver [MPa].<br />
Ud fra CPT-forsøget er det muligt at optegne en lagfølgetegning af lokaliteten.<br />
Der er muligt at bestemme enkelte parametre for jorden, og efterfølgende er<br />
de gennemsnitlige værdier af disse opstillet.<br />
• Rumvægt: γ = 18, 9 kN/m 3 .<br />
• Relativ lejringtæthed: ID = 45, 4 %.<br />
• Friktionsvinkel: ϕ = 35, 7 ◦ .<br />
• Constrained modul: M = 20, 3 MPa.<br />
Der er ved dette forsøg en del usikkerheder. Udregningerne antager, at det er<br />
friktionsjord, hvilket det ikke er i bunden af prøven (lag 4), og værdierne er<br />
derfor ikke korrekte i dette lag.<br />
Idet der i projektet kun skal bruges et fyldlag på ca. 10 m, er der regnet de<br />
gennemsnitlige værdier af parametrene for de øverste 3 lag.<br />
• Rumvægt: γ = 19, 3 kN/m 3 .<br />
• Relativ lejringtæthed: ID = 64, 3 %.<br />
• Friktionsvinkel: ϕ = 40, 1 ◦ .<br />
• Constrained modul: M = 27, 0 MPa.<br />
223
APPENDIKS<br />
G. Materialemodeller<br />
G ttt<br />
Materialemodeller<br />
ttt<br />
I elementprogrammet Plaxis kan benyttes flere forskellige materialemodeller,<br />
hvoraf Mohr-Coulomb modellen er den mest simple. En mere avanceret model<br />
er Hardening-Soil modellen, der anvender en spændingsafhængig stivhed<br />
og en hyperbolsk arbejdskurve. I det følgende redegøres der for de to nævnte<br />
materialemodeller, da det er disse to modeller, der er anvendt i den numeriske<br />
analyse af fundamentet til bropillen.<br />
G.1 Mohr-Coulomb modellen<br />
Modellen kaldes Mohr-Coulomb, da brudmåden kan beskrives ved Mohrske<br />
cirkler, og brudkriteriet er opstillet af Coulomb. Modellen er simpel, da jordmaterialet<br />
antages lineær elastisk-idealplastisk. Det betyder, at for spændinger<br />
mindre end flydespændingen er materialet lineærelastisk, og når der indtræder<br />
flydning, opfører materialet sig idealplastisk, se figur G.1.<br />
Figur G.1<br />
Mohr-Coulomb arbejdskurve.<br />
225
G. Materialemodeller<br />
I hovedspændingsrummet er Coulombs brudbetingelse givet ved følgende flydeflade:<br />
f = 1<br />
2 (σ′ max − σ′ 1<br />
min ) −<br />
2 (σ′ max + σ′ min ) sin ϕ − c cosϕ ≤ 0<br />
For f < 0 er spændingerne mindre end flydespændingen, og materialeopførslen<br />
er elastisk. Når f er lig med nul, betyder det, at spændingerne er lig med<br />
flydespændingen, og materialeopførslen er plastisk.<br />
På figur G.2 ses Mohr-Coulombs brudbetingelse, for en kohæsion lig nul, i<br />
hovedspændingsrummet.<br />
Figur G.2<br />
Mohr-Coulomb flydefladen i hovedspændingsrummet for c lig nul.<br />
Indenfor plasticitetsteorien er plastiske tøjninger, ˙ε p , proportionale med den<br />
afledte af flydefunktionen, f, med hensyn til spændingerne, σ, hvilket betegnes<br />
associeret plasticitet (f = g). Anvendes associeret plasticitet ved Mohr-<br />
Coulomb modellen, fås for store volumentøjninger, hvorfor det er mere hensigtsmæssigt,<br />
at benytte ikke-associeret plasticitet (f = g) [Brinkgreve 2002,<br />
s. 3-1]. Begreberne associeret og ikke associeret plasticitet beskrives yderligere<br />
i appendiks I. Den ikke-associerede Mohr-Coulomb model fås ved at indføre en<br />
potentialfunktion, som beskriver modellens plastiske tøjninger. Potentialfunktionen<br />
fremgår af formel (G.1).<br />
g = 1<br />
2 (σ′ max − σ′ 1<br />
min ) −<br />
2 (σ′ max + σ′ min )sin ψ (G.1)<br />
I potentialfunktionen indgår dilatationsvinklen, ψ, som anvendes til at modellere<br />
de plastiske volumentøjninger. Samtidig er kohæsionsleddet fjernet, da<br />
det ikke har betydning for tøjningerne. Dette skyldes, at tøjningerne bestemmes<br />
ud fra den afledte af potentialfunktionen og leddet udgår derfor.<br />
226
G. Materialemodeller<br />
Når det antages, at jordmaterialet har en vis kohæsion, c, så tillader Mohr-<br />
Coulomb modellen, at jorden kan optage træk. I virkeligheden kan jord ikke<br />
optage træk, hvorfor der i Plaxis er mulighed for, at aktivere tension cutoff<br />
[Brinkgreve 2002, s. 3-4]. Ved anvendelse af tension cut-off ses der bort fra<br />
trækspændinger, hvilket svarer til, at flydefladen afskæres for hovedspændinger<br />
mindre end nul. Der indføres yderligere en flydefunktion, svarende til Rankines<br />
kriterium, til beskrivelse af tension cut-off, se formel (G.2).<br />
ft = σ ′ max − σ ′ t ≥ 0 (G.2)<br />
For flydefunktionen til beskrivelse af Rankines kriterium antages associeret<br />
plasticitet.<br />
G.2 Hardening-Soil modellen<br />
Hardening-Soil modellen er mere avanceret end Mohr-Coulomb modellen, idet<br />
den tager hensyn til hærdning af jorden. Foruden forskydningshærdning indregner<br />
modellen også volumen-/trykhærdning.<br />
Hardening-Soil modellen beskriver jordmaterialets arbejdskurve ved et hyperbolskt<br />
udtryk, da der herved opnås en god tilnærmelse til den virkelige krumme<br />
arbejdskurve. Jordens stivhed bliver spændingsafhængig, og på figur G.3 ses en<br />
hyperbolsk Hardening-Soil (ε1, q)-arbejdskurve for en primær belastning. Den<br />
krumme arbejdskurve nærmer sig ved store aksialtøjninger asymptotisk til<br />
en deviatorspænding, qa, men Hardening-Soil modellen anvender idealplastisk<br />
opførsel, så snart en ultimativ deviatorspænding, qf, er nået [Brinkgreve 2002,<br />
s. 5-3].<br />
Figur G.3<br />
Hyperbolsk Hardening-Soil arbejdskurve ved primær belastning.<br />
Flydefladen er givet ved et udtryk, der afhænger af deviatorspændinger og<br />
plastiske tøjninger, se formel (G.3).<br />
227
G. Materialemodeller<br />
f = ¯ f − γ p<br />
Hvor ¯ f er en funktion af deviatorspændinger.<br />
γ p er en funktion af plastiske tøjninger.<br />
Størrelserne ¯ f og γ p er givet ved følgende udtryk:<br />
¯f = 1<br />
E50<br />
q<br />
1 − q/qa<br />
− 2q<br />
Eur<br />
Hvor E50 er den elasto-plastiske modul [MPa].<br />
q er deviatorspændingen [kPa].<br />
qa er den asymptotiske deviatorspænding [kPa].<br />
Eur er den elastiske genbelastningsmodul [MPa].<br />
γ p = −(2ε p<br />
1 − ε p v) ≈ −2ε p<br />
1<br />
Hvor γ p er en tøjningshærdeparameter [-].<br />
ε p<br />
1 er den plastiske aksialtøjning [-].<br />
ε p v er den plastiske volumentøjning [-].<br />
(G.3)<br />
(G.4)<br />
I formel (G.4) negligeres den plastiske volumentøjning, idet denne er relativt<br />
lille for hårde jordmaterialer [Brinkgreve 2002, s. 5-4].<br />
Under den primære belastning er flydefunktionen lig nul, og der fås følgende<br />
relation [Brinkgreve 2002, s. 5-4]:<br />
−ε p<br />
1 ≈ 1<br />
2E50<br />
q<br />
1 − q/qa<br />
− q<br />
Eur<br />
De elastiske tøjninger, ε e 1, opstår både under den deviatoriske belastning samt<br />
ved aflastning/genbelastning, og er givet ved Hookes lov, se formel (G.5).<br />
−ε e 1<br />
= q<br />
Eur<br />
(G.5)<br />
Under den deviatoriske belastning er den aksiale tøjning givet ved summen af<br />
de elastiske og plastiske tøjninger, hvilket giver følgende hyperbolske udtryk:<br />
−ε1 = −ε e 1 − ε p<br />
1 ≈ 1<br />
2E50<br />
q<br />
1 − q/qa<br />
Til beskrivelse af volumenhærdningen, svarende til oedometerbelastningen (isotropisk<br />
tryk), indføres en cap-flydefunktion, se formel (G.6). Cap-flydefladen<br />
afgrænser det elastisk hærdende område for normalspændinger mens flydefladen<br />
afgrænser hærdningen for forskydningsspændinger. Cap-flydefladen fremgår<br />
af figur G.4.<br />
228
G. Materialemodeller<br />
Figur G.4<br />
Hardening-Soil modellens totale flydeflade afbildet i hovedspændingsrummet for c lig 0.<br />
Cap-flydefunktionen, f c , er givet ved følgende formel (G.6). I udtrykket indgår<br />
en hjælpeparameter, α, der har indflydelse på formen af cap-flydefladen.<br />
f c = ˜q2<br />
α 2 + p2 − p 2 p<br />
Hvor f c er cap-flydefunktionen.<br />
˜q er en korrigeret deviatorspænding [kPa].<br />
α er en hjælpeparameter, der beskriver formen af capfladen [-].<br />
p er den isotrope normalspænding [kPa].<br />
pp er den isotrope forbelastningsnormalspænding [kPa].<br />
(G.6)<br />
Den korrigerede deviatorspænding, ˜q, og den isotrope normalspænding, p, er<br />
givet ved følgende udtryk:<br />
˜q = σ1 + (δ − 1)σ2 − δσ3, δ =<br />
p = − 1<br />
3 (σ1 + σ2 + σ3)<br />
(3 + sin(ϕ))<br />
(3 − sin(ϕ))<br />
Forbelastningsnormalspændingen, pp, indgår i en relation med cap-volumentøjningen,<br />
ε pc<br />
v , se formel (G.7).<br />
ε pc<br />
v<br />
<br />
β pp<br />
=<br />
1 − m pref 1−m (G.7)<br />
229
G. Materialemodeller<br />
Hvor ε pc<br />
v<br />
er en cap-volumentøjning [-].<br />
β er en hjælpeparameter [-].<br />
m er en potensfunktions-eksponent [-].<br />
pref er et referencetryk [kPa].<br />
Hjælpeparametrene α og β anvendes ikke som direkte indgangsparametre i<br />
Plaxis, istedet anvendes følgende relationer:<br />
α ⇔ K nc<br />
0 , Knc 0 = 1 − sin(ϕ)<br />
β ⇔ E ref<br />
oed , Eref<br />
oed<br />
= Eref<br />
50<br />
For at få en forståelse for cap-flydefladens form kan figur G.5 betragtes.<br />
Figur G.5<br />
Flydefladerne i et (p,˜q)-diagram. Den elastiske zone kan reduceres vha. tension cut-off.<br />
I et (p, ˜q)-diagram udgør cap’en en ellipse, som har længden pp ud af p-aksen<br />
og αpp op ad ˜q-aksen. Ellipsen anvendes både som flydeflade og potentialflade,<br />
og derfor gælder følgende udtryk:<br />
˙ε pc = λ ∂fc<br />
<br />
β pp<br />
, λ =<br />
∂σ 2p pref m ˙pp<br />
pref Cap-flydefladen er altså baseret på associeret plasticitet, hvorimod kegleflydefladen<br />
er baseret på ikke-associeret plasticitet. Herved er volumentøjninger der<br />
opstår fra forskydninger afhængige af dilatationsvinklen ψ, mens volumentøjninger<br />
på cap-flydefladen er funktioner af spændingstilstanden samt jordens<br />
stivhed, Eoed.<br />
230
APPENDIKS<br />
H<br />
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
ttt<br />
Modellering af<br />
triaksialforsøg i<br />
Plaxis<br />
ttt<br />
Formålet med dette appendiks er at kalibrere de materialeparametre, der er<br />
fundet for sandet ved triaksialforsøg, appendiks E, således at de ved indsættelse<br />
i Plaxis giver tilnærmelsesvis samme resultater som triaksialforsøgene. Dette<br />
sikrer, at de materialeparametre, der benyttes ved modellering af fundamentet<br />
i Plaxis, giver resultater, der svarer til virkeligheden. Samtidig giver det en<br />
bedre forståelse for, hvilken betydning de forskellige materialerparametre har<br />
for sandets egenskaber.<br />
I det følgende gøres der først rede for, hvorledes triaksialsforsøget modelleres<br />
og beregnes i Plaxis, og derefter kalibreres Hardening-Soil og Mohr-Coulomb<br />
materialemodellerne.<br />
H.1 Plaxismodel<br />
Da det i Plaxis ikke er muligt at modellere forsøgslegemet fra triaksialforsøgene<br />
i tre dimensioner, modelleres der kun et udsnit af prøven, som dog er repræsentativt<br />
for hele prøven. På figur H.1 ses det udsnit af prøven der modelleres, og<br />
det ses, at dette udsnit er rotations-symmetrisk omkring en lodret akse gennem<br />
cylinderens centrum, og symmetrisk omkring midten af cylinderen.<br />
231
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
Figur H.1<br />
Udsnit af triaksialprøve der modelleres.<br />
Figur H.2<br />
Plaxismodel der benyttes ved modellering<br />
af triaksialforsøg.<br />
På figur H.2 ses udsnittet modelleret i Plaxis. Udsnittet er understøttet således<br />
at der tillades vandrette flytninger langs den nederste rand og lodrette flytninger<br />
langs den venstre rand. Derudover belastes udsnittet af prøven på den<br />
øverste og den højre rand. Beregningerne i Plaxis udføres i to trin:<br />
1. Udsnittet påføres det ønskede kammertryk ved at sætte lasterne A og B<br />
lig størrelsen af kammertrykket.<br />
2. Udsnittet påføres et stempeltryk ved at øge lasten A samtidig med at<br />
lasten B holdes konstant lig kammertrykket. Stempeltrykket beregnes<br />
derefter som forskellen mellem lasten A i trin 1 og trin 2.<br />
H.2 Hardening-Soil model<br />
I det følgende bestemmes først de begyndelses indgangsparametre, der er nødvendige<br />
for at benytte Hardening-Soil modellen. Disse parametre bestemmes<br />
udfra resultaterne af triaksialforsøgene, som fremgår af tabel E.1 appendiks<br />
E. Derefter kalibreres disse indgangsparametre således, at arbejdskurverne fra<br />
triaksialforsøgene stemmer tilnærmelsesvis overens med arbejdskurverne fra<br />
Plaxis.<br />
Følgende indgangsparametre bestemmes for materialet:<br />
232<br />
• Den plane friktionsvinkel, ϕpl, og dilatationsvinkel, ψ.<br />
• Kohæsionen, cref.<br />
• Poissons forhold, ν.
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
• Referenceværdier for den elasto-plastiske modul, E ref<br />
50 , oedometer mo-<br />
dulen, E ref<br />
oed<br />
, og den elastiske genbelastningsmodul, Eref<br />
ur<br />
, for et refer-<br />
encetryk, p ref , og en potens, m, der angiver forholdet mellem spænding<br />
og stivhed.<br />
Dette er dog ikke alle parametre i Hardening-Soil modellen, men det vælges at<br />
benytte standardværdierne i Plaxis for de resterende, da disse ikke er bestemt<br />
ved forsøg, og standardværdierne i Plaxis giver realistiske bud på disse<br />
[Brinkgreve 2002, s. 5-10].<br />
I det følgende bestemmes begyndelses indgangsparametrene udfra triaksialforsøget,<br />
og derefter kalibreres disse.<br />
H.2.1 Friktions- og dilatationsvinkel<br />
Ii henhold til appendiks E vurderes det, at tangentfriktionsvinklen er den mest<br />
troværdige, og derfor vælges det at benytte denne som begyndelsesværdi. Tangentfriktionsvinklen<br />
er ved triaksialforsøgene bestemt til 35,6 ◦ , hvilket giver en<br />
plan friktionsvinkel på 39,2 ◦ .<br />
Som dilatationsvinkel vælges det at benytte dilatationsvinklen bestemt i triaksialforsøget<br />
ved referencekammertrykket, som i afsnit H.2.4 bestemmes til<br />
40 kPa. Dilatationsvinklen sættes derfor til 12,1 ◦ .<br />
H.2.2 Kohæsion<br />
Det antages, at jorden ikke er ren friktionsjord, da det vælges at benytte<br />
tangentfriktionsvinklen. Derfor benyttes den kohæsion, som bestemmes sammen<br />
med tangentfriktionsvinklen som begyndelses indgangsparameter. For den<br />
valgte tangentfriktionsvinkel er kohæsionen bestemt til 21,0 kPa, jf. tabel E.1<br />
appendiks E.<br />
H.2.3 Poissons forhold<br />
Begyndelses indgangsparametren for Poissons forhold findes ved gennemsnittet<br />
ved de forskellige kammertryk i triaksialforsøgene, tabel E.1 appendiks E,<br />
hvilket giver et Poissons forhold på 0,31.<br />
H.2.4 Stivhedsmoduler<br />
I Hardening-Soil modellen bestemmes den elasto-plastiske modul og den elastiske<br />
genbelastningsmodul udfra referenceværdier vha. formel (H.1) og (H.2)<br />
[Brinkgreve 2002, s. 5-2 og 5-3].<br />
233
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
E50 = E ref<br />
50<br />
Eur = E ref<br />
ur<br />
c cosϕpl − σ3 sin ϕpl<br />
c cosϕpl + p ref sin ϕpl<br />
c cosϕpl − σ3 sin ϕpl<br />
c cosϕpl + p ref sin ϕpl<br />
Hvor pref er referencetrykket [kPa].<br />
E ref<br />
50 er referenceværdien af den elasto-plastiske modul ved<br />
referencetrykket, pref [kPa].<br />
Eref ur er referenceværdien af den elastiske genbelastningsmodul ved<br />
referencetrykket, pref [kPa].<br />
ϕpl er den plane friktionsvinkel, som er 39,2 [ ◦ ].<br />
c er kohæsionen som sættes lig 21,0 [kPa].<br />
Potensen m findes ved mindste kvadraters metode udfra følgende trin:<br />
234<br />
m<br />
m<br />
(H.1)<br />
(H.2)<br />
1. For en valgt værdi af m bestemmes E50(m) og Eur(m) for de fire kammertryk<br />
ved varierende værdier af pref , E ref<br />
50 og Eref ur , idet disse sættes<br />
lig resultaterne fra triaksialforsøgene ved de forskellige kammertryk.<br />
2. Efterfølgende bestemmes forskellen mellem de målte og de beregnede<br />
moduler ved samme kammertryk. Da det ønskes at finde den samlede<br />
fejl for både E50 og Eur for den valgte værdi af m, divideres forskellen<br />
mellem de målte og beregnede moduler med de målte værdier.<br />
3. Den samlede fejl bestemmes udfra formel (H.3) for den valgte værdi af<br />
m.<br />
Samlet fejl(m) = <br />
<br />
E50(m) − E ref<br />
2 50<br />
2 + Eur(m) − Eref 2 ur<br />
2 E ref<br />
50<br />
E ref<br />
ur<br />
(H.3)<br />
På figur H.3 plottes den samlede fejl som funktion af m, og herudfra<br />
bestemmes m til 0,37 ved den mindste samlede fejl.<br />
Samlet fejl (m) [−]<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
m [−]<br />
Figur H.3<br />
Samlet fejl for værdier af m mellem 0 og 1.
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
Referencetrykket og dermed de referencemoduler der giver de bedste resultater<br />
i forhold til forsøgsresultaterne, findes ligeledes ved mindste kvadraters metode,<br />
hvor potensen m er fastsat til 0,37. Fremgangsmåden er følgende:<br />
1. Den elasto-plastiske modul og den elastiske genbelastningsmodul beregnes<br />
udfra formel (H.1) og (H.2) ved de fire forskellige kammertryk, hvor<br />
værdierne fra forsøgene benyttes som referenceværdier.<br />
2. Afvigelsen mellem de beregnede og målte moduler beregnes, og disse<br />
divideres med de målte værdier, således at den samlede fejl for modulerne<br />
kan beregnes.<br />
3. Den samlede fejl beregnes udfra formel (H.4) for de forskellige referenceværdier,<br />
og i tabel H.1 ses den samlede afvigelse for de forskellige<br />
referenceværdier.<br />
Samlet fejl(p ref ) = <br />
<br />
E50(p ref ) − E ref<br />
50<br />
<br />
E ref<br />
50<br />
2<br />
2<br />
+ Eur(pref ) − Eref ur<br />
<br />
E ref<br />
ur<br />
p ref [kPa] 40 80 160 320<br />
Samlet fejl(p ref ) [%] 6,32 11,41 9,53 6,56<br />
Tabel H.1<br />
Samlet fejl ved de fire forskellige referenceværdier.<br />
2<br />
2<br />
(H.4)<br />
Af tabel H.1 fremgår det, at den samlede fejl er mindst ved et referencetryk på<br />
40 kPa, og derfor benyttes dette sammen med de tilhørende reference moduler<br />
som begyndelses indgangsparametre i Plaxis.<br />
Da oedometermodulen ikke kendes ved det valgte referencetryk, sættes referenceværdien<br />
for oedometer modulen lig referenceværdien for den elasto-plastiske<br />
modul, dvs. E50 = Eoed. Dette vælges, da Plaxis som standard benytter dette<br />
ved indtastning af referenceværdien for den elasto-plastiske modul.<br />
H.2.5 Kalibrering<br />
I tabel H.2 ses begyndelses indgangsparametrene, der benyttes ved modellering<br />
af triaksialforsøget i Plaxis, og på figur H.4 ses arbejdskurverne for disse<br />
parametre og triaksialforsøgene.<br />
cref ϕ ψ m ν p ref E ref<br />
50<br />
E ref<br />
oed<br />
E ref<br />
ur<br />
[kPa] [ ◦ ] [ ◦ ] [-] [-] [kPa] [MPa] [MPa] [MPa]<br />
21,0 39,2 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8<br />
Tabel H.2<br />
Begyndelses indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis.<br />
235
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
I de følgende figurer benævnes Hardening-Soil modellen H-S.<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.4<br />
Arbejdskurver for forsøgsresultater og Plaxismodel.<br />
Forsøg 40 kPa<br />
Forsøg 80 kPa<br />
Forsøg 160 kPa<br />
Forsøg 320 kPa<br />
H−S 40 kPa<br />
H−S 80 kPa<br />
H−S 160 kPa<br />
H−S 320 kPa<br />
Af figur H.4 ses det, at der især ved store kammertryk, er væsentlige forskelle<br />
mellem arbejdskurverne. Det tyder dog på, at den relative afvigelse mellem arbejdskurverne<br />
tilnærmelsesvis er konstant for alle kammertrykkene. Derfor undersøges<br />
det i det følgende, hvilken betydning de forskellige indgangsparametre<br />
har for arbejdskurvens udseende og placering, således at disse kan kalibreres i<br />
henhold til forsøgsparametrene. Indgangsparametrenes betydning undersøges<br />
ved at variere parametrene en af gangen og optegne og sammenligne disse<br />
arbejdskurver med arbejdskurven optegnet udfra begyndelses indgangsparametrene.<br />
På de følgende figurer illustreres arbejdskurven fra forsøg og begyndelses indgangsparametrene<br />
til Plaxis med de samme benævnelser som på figur H.4, og<br />
hvis ikke andet angives, benyttes indgangsparametrene i tabel H.2.<br />
Ved at reducere kohæsionen fra 21,0 til 10,0 kPa ses det af figur H.5, at flydespændingen<br />
reduceres med den samme værdi for alle kammertryk, mens<br />
arbejdskurvernes forløb op til flydespændingen næsten ikke ændres.<br />
236<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.5<br />
Arbejdskurver ved reduceret kohæsion.<br />
c ref = 10,0 kPa<br />
c ref = 10,0 kPa<br />
c ref = 10,0 kPa<br />
c ref = 10,0 kPa
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
Ved at ændre friktionsvinklen med ca. ± 2 ◦ ses det af figur H.6, at flydespændingen<br />
øges når, friktionsvinklen øges. Derudover ses det, at forøgelsen<br />
af flydespændinger afhænger af kammertrykket. Endvidere kan det vises, at<br />
flydespændingen tilnærmelsesvis varierer lineært med tangens til friktionsvinklen.<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.6<br />
Arbejdskurver ved variation af friktionsvinklen.<br />
φ = 37,0 °<br />
φ = 37,0 °<br />
φ = 37,0 °<br />
φ = 37,0 °<br />
φ = 41,0 °<br />
φ = 41,0 °<br />
φ = 41,0 °<br />
φ = 41,0 °<br />
Af figur H.7 fremgår det som forventet, at dilatationsvinklen ikke har betydning<br />
for flydespændingen, da Plaxismodellen kan deformeres frit. Den lille afvigelse<br />
i arbejdskurvernes forløb kan skyldes beregningsgangen i Plaxis.<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.7<br />
Arbejdskurver ved variation af dilatationsvinklen.<br />
ψ = 10,0 °<br />
ψ = 10,0 °<br />
ψ = 10,0 °<br />
ψ = 10,0 °<br />
ψ = 14,0 °<br />
ψ = 14,0 °<br />
ψ = 14,0 °<br />
ψ = 14,0 °<br />
Poissons forhold har ikke betydning for flydespændingen og kun lille betydning<br />
for arbejdskurvens forløb, hvilket fremgår af figur H.8, hvor Poissons forhold<br />
er ændret med ca. ± 0,1.<br />
237
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.8<br />
Arbejdskurver ved variation af Poissons forhold.<br />
ν = 0,20<br />
ν = 0,20<br />
ν = 0,20<br />
ν = 0,20<br />
ν = 0,40<br />
ν = 0,40<br />
ν = 0,40<br />
ν = 0,40<br />
Den sidste indgangsparameter der varieres, er sandets stivhedsmodul. Det<br />
vælges at variere stivhedsmodulerne således, at forholdet mellem dem ikke<br />
ændres i forhold til modulerne i tabel H.2, da der ved at variere oedometermodulen<br />
og genbelastningsmodulen enkeltvis, ikke opnås væsentlige forandringer<br />
i arbejdskurvernes forløb. Af figur H.9 fremgår det, at variationer af<br />
stivhedsmodulerne giver ændringer i arbejdskurvernes forløb og har betydning<br />
for, hvor stor tøjningen bliver, før der opnås flydning.<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.9<br />
Arbejdskurver ved variation af stivhedsmoduler.<br />
E 50 = 15,0 MPa<br />
E 50 = 15,0 MPa<br />
E 50 = 15,0 MPa<br />
E 50 = 15,0 MPa<br />
E 50 = 23,0 MPa<br />
E 50 = 23,0 MPa<br />
E 50 = 23,0 MPa<br />
E 50 = 23,0 MPa<br />
Derudover vurderes det, at potensen m ikke har betydning for flydespændingens<br />
størrelse, men at den til gengæld har betydning for arbejdskurvens forløb.<br />
Dette ses af, at en forøgelse af m i henhold til formel (H.1) og (H.2) medfører en<br />
forøgelse af modulerne, hvilket betyder, at den elastiske del af arbejdskurverne<br />
bliver stejlere.<br />
Udfra fra ovenstående undersøgelser af de forskellige indgangsparametres betydning<br />
for arbejdskurvernes forløb vælges det at ændre kohæsionen og friktionsvinklen<br />
således, at den relative forskel mellem flydespændingerne bestemt<br />
ved henholdsvis forsøg og Plaxis minimeres. Det vælges at ændre disse parametre,<br />
da kun disse har betydning for flydespændingernes størrelse. Herudfra<br />
238
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
bestemmes kohæsionen til 8,5 kPa og friktionsvinklen til 36,5 ◦ , og på figur H.10<br />
ses arbejdskurverne, når disse parametre ændres i forhold til de oprindelige<br />
indgangsparametre i tabel H.2.<br />
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.10<br />
Arbejdskurver ved en kohæsion på 8,5 kPa og en friktionsvinkel på 36,5 ◦ .<br />
Forsøg 40 kPa<br />
Forsøg 80 kPa<br />
Forsøg 160 kPa<br />
Forsøg 320 kPa<br />
H−S 40 kPa<br />
H−S 80 kPa<br />
H−S 160 kPa<br />
H−S 320 kPa<br />
Af figur H.10 ses det, at flydespændingernes størrelse bestemt vha. Plaxis stemmer<br />
tilnærmelsesvis overens med flydespændingerne bestemt udfra triaksialforsøg.<br />
Det ses dog også af figuren, at arbejdskurvernes forløb ikke stemmer<br />
overens, hvilket især gør sig gældende for det høje kammertryk på 320 kPa.<br />
Af figur H.11 fremgår det, at arbejdskurverne bestemt vha. Plaxis ligger under<br />
arbejdskurven bestemt ved forsøg ved små kammertryk og over ved større. Derfor<br />
er det ikke muligt at opnå bedre overensstemmelse mellem arbejdskurverne<br />
ved at ændre stivhedsparametrene, da dette blot øger eller sænker stejlheden<br />
af den første del af arbejdskurverne.<br />
q [kPa]<br />
600<br />
500<br />
400<br />
300<br />
200<br />
100<br />
0<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.11<br />
Arbejdskurver ved en kohæsion på 8,5 kPa og en friktionsvinkel på 36,5 ◦ .<br />
Forsøg 40 kPa<br />
Forsøg 80 kPa<br />
Forsøg 160 kPa<br />
Forsøg 320 kPa<br />
H−S 40 kPa<br />
H−S 80 kPa<br />
H−S 160 kPa<br />
H−S 320 kPa<br />
I tabel H.3 ses de kalibrede materialeparametre for Hardening-Soil modellen,<br />
som benyttes ved modellering af fundamentet i Plaxis.<br />
239
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
cref ϕ ψ m ν p ref E ref<br />
50<br />
E ref<br />
oed<br />
E ref<br />
ur<br />
[kPa] [ ◦ ] [ ◦ ] [-] [-] [kPa] [MPa] [MPa] [MPa]<br />
8,5 36,5 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8<br />
Tabel H.3<br />
Kalibrerede indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis.<br />
Det ses af tabel H.3, at den kalibrerede friktionsvinkel ligger forholdsvis tæt<br />
på den triaksiale tangentfriktionsvinkel, som ved triaksialforsøg bestemmes<br />
til 35,6 ◦ . Herudfra kan det konkluderes, at det havde været hensigtsmæssigt<br />
at benytte denne som begyndelses indgangsparameter i stedet for den plane<br />
tangentfriktionsvinkel.<br />
Da den kalibrerede friktionsvinkel er større end tangentfriktionsvinklen, forventes<br />
det også, jf. appendiks E, at den kalibrerede kohæsion skal være mindre,<br />
hvilket også er resultatet af kalibreringen.<br />
H.3 Mohr-Coulomb model<br />
I Mohr-Coulomb modellen skal følgende indgangsparametre for materialet bestemmes:<br />
• Kohæsionen, c.<br />
• Den plane friktions- og dilatationsvinkel, ϕ og ψ.<br />
• Elasticitetsmodulen, Eref, og Poissons forhold, ν.<br />
Det vælges at benytte de kalibrerede indgangsparametre i tabel H.3 som begyndelses<br />
indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen.<br />
H.3.1 Kalibrering<br />
I tabel H.4 ses begyndelses indgangsparametrene, der benyttes ved modellering<br />
af triaksialforsøget i Plaxis, og på figur H.12 ses arbejdskurverne for disse<br />
parametre og triaksialforsøgene.<br />
240<br />
c ϕ ψ Eref ν<br />
[kN/m 2 ] [ ◦ ] [ ◦ ] [MPa] [-]<br />
8,5 36,5 12,1 19,0 0,31<br />
Tabel H.4<br />
Begyndelses indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen i Plaxis.
q [kPa]<br />
1400<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20<br />
ε [%]<br />
1<br />
Figur H.12<br />
Arbejdskurver for forsøg og Plaxismodel.<br />
Forsøg 40 kPa<br />
Forsøg 80 kPa<br />
Forsøg 160 kPa<br />
Forsøg 320 kPa<br />
M−C 40 kPa<br />
M−C 80 kPa<br />
M−C 160 kPa<br />
M−C 320 kPa<br />
Af figur H.12 fremgår det, at flydespændingerne bestemt ved henholdsvis forsøg<br />
og Plaxis tilnærmelsesvis stemmer overens, men at forløbet af den elastiske del<br />
af arbejdskurverne især er forskellig fra forsøget. Dette kan skyldes, at Mohr-<br />
Coulomb modellen ikke tager højde for, at sandets stivhed stiger ned gennem<br />
dybden. I Plaxis er det dog muligt at tage højde for dette ved at indsætte<br />
et elasticitetsinkrement, Eincrement, som angiver en forøgelse af stivheden pr.<br />
dybdeenhed. Til dette inkrement knytter der sig også en dybde, yref, som<br />
angiver hvor i jorden, indgangsparametren for elasticitetsmodulen befinder sig.<br />
Eincrement og yref bestemmes dog ikke, da Eincrement kun kan variere med dybden,<br />
hvor den bør variere med kammertrykket.<br />
241
APPENDIKS<br />
I. Plasticitetsteori<br />
I ttt<br />
Plasticitetsteori<br />
ttt<br />
I dette appendiks præsenteres plasticitetsteoriens grundlag, og beskrivelser af<br />
beregninger i forskellige specialtilfælde. Det forudsættes, at materialet, der<br />
beskrives, er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk. Dette betyder, at<br />
der kan bestemmes en maksimal last, hvorved jorden går i brud. Dette plastiske<br />
brud kan bestemmes ud fra en øvre- og en nedreværdibestemmelse. Disse<br />
beskrives senere og først redegøres for forudsætningerne der anvendes.<br />
I.1 Normalitetsbetingelsen<br />
Når et materiale er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk betyder det,<br />
at når spændningerne opnår det plastiske niveau (flydespændingen) opstår der<br />
uendeligt store tøjninger uden at spændingerne bliver større, se figur I.1.<br />
Figur I.1<br />
Arbejdskurve for lineærelastisk-idealplaticitet og stivplastisitet.<br />
Det plastiske niveau benævnes også som flydefladen/flydefunktionen, f, som<br />
er defineret ved:<br />
f(σ) = 0 (I.1)<br />
Denne flydeflade antager forskellige funktioner alt efter om det er et udrænet<br />
eller drænet tilfælde, men fælles for dem begge er, at de skal opfylde nor-<br />
243
I. Plasticitetsteori<br />
malitetsbetingelsen. Normalitetsbetingelsen betyder, at det plastiske tøjningsinkrementet,<br />
dεp a , sættes lig med den første afledte af flydefunktionen, dette<br />
kaldes også associeret plasticitet [Krabbenhøft 2002, s. 13].<br />
dε p a = dλ ∂f<br />
∂σi<br />
Hvor dε p a er det plastiske tøjningsinkrement for associeret plasticitet [-].<br />
λ er en plastisk multiplikator, hvorfor det gælder at λ = 0 ved<br />
elastiske tøjninger, og λ > 0 ved plastiske tøjninger [-].<br />
(I.2)<br />
Associeret plasticitet beskriver ikke altid de rigtige tøjninger. Eksempelvis<br />
beskriver associeret plasticitet i en Mohr-Coulomb model en for stor dillatationsvinkel.<br />
Derfor er det i nogle tilfælde bedre at beskrive det plastiske tøjningsinkrement<br />
ud fra den afledte af det plastiske potentiale, g. Dette kaldes<br />
også for ikke-associeret plasticitet. [Krabbenhøft 2002, s. 12].<br />
dε p ∂g<br />
ia = dλ<br />
∂σi<br />
Hvor dε p<br />
ia er det plastiske tøjningsinkrementet for ikke-associeret<br />
plasticitet [-].<br />
Princippet af associeret og ikke-associeret plasticitet fremgår af figur I.2.<br />
Figur I.2<br />
Mohr-Coulomb model med associeret og ikke-associeret plasticitet.<br />
(I.3)<br />
Jord kan beskrives ud fra en Mohr-Coulomb model, som er givet ved følgende<br />
formeludtryk. På figur I.2 ses Mohr-Coulombs brudbetingelse som flydefunktionen<br />
f:<br />
τ = c + σ tan(ϕ)<br />
Herefter beskrives flydefunktionen for specialtilfælde, henholdsvis udrænet og<br />
drænet tilfælde henholdsvis kohæsions og friktionsmateriale med udgangspunkt<br />
i associeret plasticitet.<br />
244
I.2 Udrænet brud i kohæsionsjord<br />
I. Plasticitetsteori<br />
Til bestemmelse af flydefunktionen for udrænet brud i kohæsionsjord, tages<br />
der udgangspunkt i Mohr-Coulombs brudkriterium. Hvis friktionsvinklen, ϕ,<br />
sættes lig 0 i brudbetingelsen, fremkommer Trescas brudbetingelse. Ved at<br />
sætte Trescas brudbetingelse i spændingsrummet lig 0, giver dette følgende<br />
flydefunktion [Jacobsen 1989, s. 109].<br />
f(σ) = σmax − σmin − 2cu = 0<br />
Hvor σmin er den mindste hovedspænding [kPa].<br />
σmax er den største hovedspænding [kPa].<br />
cu<br />
er den udrænede forskydningsstyrke [kPa].<br />
Trescas brudbetingelse giver, at materialet bryder, når det opnår en forskydningsspænding,<br />
τ, der er lig med kohæsionen, og idet der er associeret plasticitet,<br />
går bevægelserne (tøj-ningsinkrementet) i brudzonen i forskydningens<br />
retning. På figur I.3 ses Trescas brudbeting-else og tøjningsinkrementet, og på<br />
figur I.4 ses spændingerne i brudzonen.<br />
Figur I.3<br />
Trescas brudkriterium.<br />
Figur I.4<br />
Spændinger i den udrænede brudzone.<br />
Idet der ved brud betragtes en plan spændningstilstand (σ1; σ3), kan der udfra<br />
formel (I.1) bestemmes to brudflader i spændingsplanen. Den plane spændingstilstand<br />
indsættes i flydefunktionen til bestemmelse af tøjningsinkrementet<br />
ved formel (I.3), og derefter kan brudbetingelsen optegnes i spændingsplanen.<br />
I det tilfælde hvor σ1 > σ3, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet følgende:<br />
f(σ) = σ1 − σ3 − 2cu = 0 ⇒<br />
σ3 = σ1 − 2cu<br />
dε p ∂f(σ)<br />
= =<br />
∂σ1<br />
∂f(σ)<br />
∂σ3<br />
1<br />
−1<br />
<br />
I det tilfælde hvor σ3 > σ1, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet:<br />
245
I. Plasticitetsteori<br />
f(σ) = σ3 − σ1 − 2cu = 0 ⇒<br />
σ3 = σ1 + 2cu<br />
dε p ∂f(σ)<br />
= =<br />
∂σ1<br />
∂f(σ)<br />
∂σ3<br />
−1<br />
1<br />
<br />
På figur I.5 ses brudbetingelsen optegnet i spændingsplanen. Det ses, at flydefladen<br />
er rette linier, der skærer akserne i 2cu.<br />
Figur I.5<br />
Tresca’s brudkriterium for kohæsionsjord vist i spændingsrummet.<br />
I.3 Drænet brud i friktionsjord<br />
For drænet brud i friktionsjord tages der udgangspunkt i Mohr-Coulombs brudkriterium,<br />
hvor kohæsionen c sættes lig 0. Dette giver en flydeflade, der er<br />
defineret ved følgende formel [[Jacobsen 1989, s. 129] [Nordal 2000, s. 6.2]]:<br />
f(σ) = (1 − sin(ϕ ′ )) σ ′ max − (1 + sin(ϕ′ )) σ ′ min<br />
Hvor σ ′ min er den mindste effektive hovedspænding [kPa].<br />
σ ′ max er den største effektive hovedspænding [kPa].<br />
ϕ ′ er jordens effektive friktionsvinkel [ ◦ ].<br />
= 0 (I.4)<br />
På figur I.6 og I.7 ses brudbetingelsen for brudzonen. Der forudsættes associeret<br />
plasticitet, altså normalitetsbetingelsen, hvilket betyder, at dilationsvinklen,<br />
ψ ′ , sættes lig friktionsvinkel, ϕ ′ . Denne forudsætning er i god overenstemmelse<br />
med eksperimentielle observationer, og giver en fortrinsvis lille fejl [Atkinson<br />
1993, s. 217]. Som det ses på figurene, bevæges jordvolumen (tøjningsinkrementet)<br />
ikke kun i forskydningens retningen, men i en vinkel på ϕ ′ i forhold<br />
til forskydningens retning.<br />
246
Figur I.6<br />
Mohr-Coulombs brudkriterium.<br />
I. Plasticitetsteori<br />
Figur I.7<br />
Spændingerne i den drænede brudzone.<br />
Idet der ved brud betragtes en plan spændningstilstand (σ1; σ3), kan der udfra<br />
formel (I.4) bestemmes to brudflader i spændingsplanet. Den plane spændningstilstand<br />
indsættes i flydefunktionen til bestemmelse af tøjningsinkrementet,<br />
og derefter kan brudbetingelsen optegnes i spændingsplanen.<br />
I det tilfælde hvor σ1 > σ3, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet følgende:<br />
f(σ) = (1 − sin(ϕ ′ ))σ ′ 1 − (1 + sin(ϕ ′ )) σ ′ 3 = 0 ⇒<br />
σ ′ 3 = σ′ 1 − sin(ϕ<br />
1<br />
′ )<br />
1 + sin(ϕ ′ )<br />
dε p ∂f(σ)<br />
= =<br />
∂σ1<br />
∂f(σ)<br />
∂σ3<br />
1 − sin(ϕ ′ )<br />
−1 − sin(ϕ ′ )<br />
I det tilfælde hvor σ3 > σ1, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet:<br />
f(σ) = (1 − sin(ϕ ′ ))σ ′ 3 − (1 + sin(ϕ′ )) σ ′ 1<br />
σ ′ 3 = σ′ 1 + sin(ϕ<br />
1<br />
′ )<br />
1 − sin(ϕ ′ )<br />
dε p ∂f(σ)<br />
= =<br />
∂σ1<br />
∂f(σ)<br />
∂σ3<br />
−1 − sin(ϕ ′ )<br />
1 − sin(ϕ ′ )<br />
<br />
<br />
= 0 ⇒<br />
På figur I.8 ses brudbetingelsen optegnet i spændingsrummet. Det ses, at flydefladen<br />
er rette linier, som udspringer fra origo af spændingsrummet.<br />
Figur I.8<br />
Mohr-Coulombs brudkriterium for friktionsjord vist i den effektive spændingsplan.<br />
247
APPENDIKS<br />
J. Dynamisk modellering<br />
J ttt<br />
Dynamisk modellering<br />
ttt<br />
Egenfrekvenserne for et udæmpet system (MDOF) findes af formel (J.1) [Nielsen<br />
2004, s. 46].<br />
M¨q + Kq = 0 (J.1)<br />
Hvor M er den globale massematrice.<br />
K er den globale stivhedsmatrice.<br />
q er flytninger i frihedsgraderne.<br />
Til opbygningen af en model anvendes i programmet CALFEM FEM-elementer<br />
med tre frihedsgrader pr. knude. Elementerne er Bernoulli-Euler bjælker med<br />
lineær-elastiske deformationer. Flytningsfeltet, u, for en bjælke kan beskrives<br />
ved anvendelse af formfunktioner, N [Nielsen 2004, s. 152].<br />
uj(x, t) =<br />
N =<br />
<br />
ux(x, t)<br />
= N(x)qj(t)<br />
uy(x, t)<br />
<br />
Nx(x) N1(x)<br />
=<br />
Ny(x) 0<br />
0 0<br />
N2(x) N3(x)<br />
N4(x)<br />
0<br />
<br />
0 0<br />
N5(x) N6(x)<br />
(J.2)<br />
Formfunktionerne N1 − N6 er givet ved følgende.<br />
N1(x) = 1 − ξ N4(x) = ξ<br />
N2(x) = 2ξ 3 − 3ξ 2 + 1 N3(x) = ξ 3 − 2ξ 2 + ξ<br />
N5(x) = −2ξ 3 + 3ξ 2 N6(x) = ξ 3 − ξ 2<br />
Hvor ξ er den relative længde x<br />
l [-].<br />
Figur J.1 viser et bjælkeelement med tilhørende frihedsgrader.<br />
(J.3)<br />
249
J. Dynamisk modellering<br />
Figur J.1<br />
Frihedsgrader for FEM bjælkeelement.<br />
Ud fra frihedsgraderne på figuren findes formfunktioner til stivheder, der afhængig<br />
af en models globale frihedsgrader omregnes hertil ved en transformationsmatrice.<br />
Elementstivhedsmatricen, kj, og elementmassematricen, mj, for et enkelt element<br />
findes ved følgende [Nielsen 2004, s. 153].<br />
<br />
l<br />
kj = EA dNTx dx<br />
⎡<br />
0<br />
⎢ 0 12<br />
⎢<br />
⎣<br />
EI<br />
l3 0 6EI l2 − AE<br />
0 0<br />
l<br />
dNx<br />
dx + EI d2NT y<br />
dx2 d 2 Ny<br />
dx 2<br />
<br />
dx =<br />
AE<br />
l 0 0 − AE<br />
l 0 0<br />
6EI l2 0 −12EI l3 4EI l 0 −6EI l2 6 EI<br />
l 2<br />
2 EI<br />
l<br />
AE<br />
l 0 0<br />
0 −12EI l3 −6EI l2 0 12EI l3 0 6 EI<br />
l 2<br />
l<br />
mj = µN T (x)N(x)dx =<br />
µl<br />
420<br />
0<br />
2EI 0 −6 l EI<br />
l2 ⎡<br />
140 0 0 70 0 0<br />
⎢ 0<br />
⎢ 0<br />
⎢<br />
⎣<br />
156<br />
22l<br />
22l<br />
4l<br />
0 54 −13l<br />
2 0 13l −3l2 ⎤<br />
70<br />
0<br />
0<br />
54<br />
0<br />
13l<br />
140<br />
0<br />
0<br />
156<br />
⎥<br />
0 ⎥<br />
−22l⎦<br />
0 −13l −3l 2 0 −22l 4l 2<br />
−6 EI<br />
l 2<br />
4 EI<br />
l<br />
Alle elementer i systemet tillægges fire materialeværdier:<br />
Hvor E er elasticitetsmodulen [MPa].<br />
A er tværsnitsareal [m 2 ].<br />
I er inertimoment [m 4 ].<br />
µ er masse pr.længdeenhed [kg/m].<br />
250<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(J.4)<br />
(J.5)
J. Dynamisk modellering<br />
Ud fra disse findes elementets stivheds-, K, og massematrice, M, der assembleres<br />
til globale matricer for hele modellen. De cirkulære egensvingningsfrekvenser<br />
og tilhørende egensvingningsformer bestemmes efterfølgende ved<br />
udtryk (J.6) [Nielsen 2004, s. 46, 156].<br />
det(K − λM)Φ = 0 (J.6)<br />
Hvor λj er en dimensionsløs parameter givet ved λj = 1<br />
ωj er den cirkulære egenfrekvens [s −1 ].<br />
Φ er egensvingningsformen [-].<br />
420 · ω2 j · µl4<br />
EI [-].<br />
251
KAPITEL<br />
ttt<br />
Litteratur<br />
ttt<br />
Litteratur<br />
Henvisning: [Atkinson 1993]<br />
Forfatter: Atkinson, J.<br />
Titel: An Introduction to the Mechanics of Soils and Foundations Through Critical<br />
State Soil Mechanics.<br />
Udgiver: McGraw-Hill, London.<br />
Udgivelsesår: 1993.<br />
Henvisning: [B-studienævnet 2005]<br />
Forfatter: B-studienævnet.<br />
Titel: Studievejledning for 8. semester - Bygge- og anlægskonstruktion.<br />
Udgiver: Aalborg Universitet.<br />
Udgivelsesår: 2005.<br />
Henvisning: [Brinkgreve 2002]<br />
Forfatter: Brinkgreve, R. B. J.<br />
Titel: Plaxis 2D - Version 8 - Material Models Manual.<br />
Udgiver: A. A. Balkema Publishers Lisse/Abindgdon/Exton(Pa)/Tokyo.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Brorsen 2000]<br />
Forfatter: Brorsen, Michael.<br />
Titel: Bølgekræfter på store konstruktioner.<br />
Udgiver: Aalborg Universitet.<br />
Udgivelsesår: 2000.<br />
Henvisning: [Brorsen 2003]<br />
Forfatter: Brorsen, Michael.<br />
Titel: Vind og vindbelastning.<br />
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.<br />
Udgivelsesår: 2003.<br />
Henvisning: [Brorsen & Larsen 2002]<br />
Forfatter: Brorsen, Michael & Larsen, Torben.<br />
Titel: Hydraulik.<br />
Udgiver: Aalborg Universitet.<br />
253
Litteratur<br />
Udgave: 1.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Broteknik 2002]<br />
Titel: Broteknik - Vej- og stibroer - Belastnings- og beregningsregler.<br />
Udgiver: Vejdirektoratet - Vejregelrådet.<br />
Udgave: 2.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Burcharth 2002]<br />
Forfatter: Burcharth, H.F.<br />
Titel: Strøm- og bølgekræfter på stive legemer.<br />
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.<br />
Udgave: 2.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Burcharth 2004]<br />
Forfatter: Burcharth, H.F.<br />
Titel: Islaster på konstruktioner.<br />
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.<br />
Udgave: 4.<br />
Udgivelsesår: 2004.<br />
Henvisning: [Bygværker 2002]<br />
Titel: Bygværker - Beregningsregler for eksisterende broers bæreevne.<br />
Udgiver: Vejdirektoratet - Vejregelrådet.<br />
Udgave: 2.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Christensen 1989]<br />
Forfatter: Christensen, Flemming Thunbo.<br />
Titel: Determination of extreme ice forces.<br />
Udgiver: University of Salford.<br />
Udgivelsesår: 1989.<br />
Henvisning: [Cowi & International 1999]<br />
Forfatter: Cowi & International, Lahmeyer.<br />
Titel: Fehmarn Belt Feasibility Study - Phase 2 Report.<br />
Udgiver: Cowi.<br />
Udgave: 2.<br />
Udgivelsesår: 1999.<br />
Henvisning: [Designgrundlag 2000]<br />
Titel: Designgrundlag for vindmølleparker på havet.<br />
Udgiver: RISØ.<br />
Udgave: 1.<br />
Udgivelsesår: 2000.<br />
Henvisning: [Det Norske Veritas. 1992]<br />
Titel: Det Norske Veritas - Foundations.<br />
Udgiver: Det Norske Veritas.<br />
Udgivelsesår: 1992.<br />
Henvisning: [DS409 1998]<br />
Titel: Norm for sikkerhedsbestemmelse på konstruktioner.<br />
254
Udgiver: Dansk Standard.<br />
Udgave: 4.<br />
Udgivelsesår: 1998.<br />
Henvisning: [DS410 1999]<br />
Titel: Norm for last på konstruktioner.<br />
Udgiver: Dansk Standard.<br />
Udgave: 4.<br />
Udgivelsesår: 1999.<br />
Henvisning: [DS415 1999]<br />
Titel: Norm for fundering.<br />
Udgiver: Dansk Standard.<br />
Udgave: 4.<br />
Udgivelsesår: 1999.<br />
Henvisning: [DS449 1983]<br />
Titel: Pælefunderede offshore stålkonstruktioner.<br />
Udgiver: Dansk Standard.<br />
Udgave: 1.<br />
Udgivelsesår: 1983.<br />
Henvisning: [DS/ENV1-3 1995]<br />
Titel: Eurocode 1 - Del 3 - Trafiklast på broer.<br />
Udgiver: Dansk Standard.<br />
Udgave: 1.<br />
Udgivelsesår: 1995.<br />
Henvisning: [Femer bælt-forbindelsen 1999]<br />
Titel: Femer bælt-forbindelsen - Forundersøgelser - Resumérapport.<br />
Udgiver: Trafikministeriet.<br />
Udgivelsesår: 1999.<br />
Henvisning: [Frigaard & Hald 2004]<br />
Forfatter: Frigaard, Peter & Hald, Tue.<br />
Titel: Bølgehydraulik.<br />
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.<br />
Udgave: 2.<br />
Udgivelsesår: 2004.<br />
Henvisning: [Frydendahl 1971]<br />
Forfatter: Frydendahl, Knud.<br />
Titel: Danmarks klima i vind.<br />
Udgiver: Dansk metrologisk institut.<br />
Udgivelsesår: 1971.<br />
Henvisning: [Harremoës et al. 2000]<br />
Forfatter: Harremoës, Poul, Jacobsen, H. Moust & Ovesen, N. Krebs.<br />
Titel: Lærebog i geoteknik.<br />
Udgiver: Polyteknisk Forlag.<br />
Udgave: 5.<br />
Udgivelsesår: 2000.<br />
Henvisning: [Hurdle & Stive 1988]<br />
Forfatter: Hurdle, D. P. & Stive, R. J. H.<br />
Litteratur<br />
255
Litteratur<br />
Titel: Revision of SPM 1984 Wave hindcast model to avoid inconsistencies in<br />
engineering applications.<br />
Udgiver: Delft Hydraulics.<br />
Udgivelsesår: 1988.<br />
Henvisning: [Ibsen 1993]<br />
Forfatter: Ibsen, Lars Bo.<br />
Titel: Poretryksopbygning i sand Ph.D.-afhandling.<br />
Udgiver: Aalborg Universitetscenter.<br />
Udgivelsesår: 1993.<br />
Henvisning: [Jacobsen 1989]<br />
Forfatter: Jacobsen, Moust.<br />
Titel: Lærebog i videregående geoteknik 1 - Brud i jord.<br />
Udgiver: Aalborg Tekniske Universitetsforlag.<br />
Udgivelsesår: 1989.<br />
Henvisning: [Jacobsen & Gwizdala 1992]<br />
Forfatter: Jacobsen, Moust & Gwizdala, Kazimierz.<br />
Titel: Bearing capacity and settlements of piles.<br />
Udgiver: Aalborg Universitet.<br />
Udgave: 1.<br />
Udgivelsesår: 1992.<br />
Henvisning: [Jacobsen & Thorsen 1984]<br />
Forfatter: Jacobsen, Moust & Thorsen, Grethe.<br />
Titel: Lærebog i fundering.<br />
Udgiver: Aalborg Universitet.<br />
Udgivelsesår: 1984.<br />
Henvisning: [Krabbenhøft 2002]<br />
Forfatter: Krabbenhøft, Krustian.<br />
Titel: Basic Computational Plasticity.<br />
Udgiver: Aalborg Universitet.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Krenk 1998]<br />
Forfatter: Krenk, Steen.<br />
Titel: Failure and flow of friction materials.<br />
Udgiver: Technical University of Denmark.<br />
Udgivelsesår: 1998.<br />
Henvisning: [Larsen 1993]<br />
Forfatter: Larsen, Ole Damgaard.<br />
Titel: Ship collision with bridges.<br />
Udgiver: ETH - Hönggerberg.<br />
Udgivelsesår: 1993.<br />
Henvisning: [Liu & Frigaard 2001]<br />
Forfatter: Liu, Zhou & Frigaard, Peter.<br />
Titel: Generation and analysis of random waves.<br />
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.<br />
Udgave: 3.<br />
Udgivelsesår: 2001.<br />
256
Henvisning: [Lunne et al. 1997]<br />
Forfatter: Lunne, T., Robertson, P.K. & Powell, J.J.M.<br />
Titel: Cone Penetration Testing in Geotechnical Practice.<br />
Udgiver: Blackie Academic & Professional.<br />
Udgivelsesår: 1997.<br />
Henvisning: [Nielsen 2004]<br />
Forfatter: Nielsen, Søren R. K.<br />
Titel: Vibration Theory, Vol. 1.<br />
Udgiver: Aalborg Tekniske Universitetsforlag.<br />
Udgivelsesår: 2004.<br />
Litteratur<br />
Henvisning: [Nordal 2000]<br />
Forfatter: Nordal, S.<br />
Titel: Soil Modeling - a continuum mechanics based approach to elasto-plasticity<br />
for soils.<br />
Udgiver: Norges Teknisk-Naturvidenskabelige Universitet.<br />
Udgivelsesår: 2000.<br />
Henvisning: [Ramböll 1996]<br />
Forfatter: Ramböll.<br />
Titel: Geologiske/Geotekniske undersøgelser.<br />
Udgiver: Trafikministeriet.<br />
Udgivelsesår: 1996.<br />
Henvisning: [Søkort Østersøen 1980]<br />
Titel: Østersøen vestlige del fra 16 ◦ 40’ E.LGD. samt sundet og bælterne.<br />
Udgiver: Farvandsdirektoratet.<br />
Udgivelsesår: 1980.<br />
Henvisning: [Teknisk Ståbi 2002]<br />
Titel: Teknisk Ståbi.<br />
Udgiver: Ingeniøren|bøger.<br />
Udgave: 18.<br />
Udgivelsesår: 2002.<br />
Henvisning: [Trafikministeriet 2004]<br />
Forfatter: Trafikministeriet.<br />
Titel: Femern Bælt - en ny forbindelse til Europa.<br />
Udgiver: Trafikministeriet.<br />
Udgivelsesår: 2004.<br />
Henvisning: [Wood 1990]<br />
Forfatter: Wood, David Muir.<br />
Titel: Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics.<br />
Udgiver: Cambridge University Press.<br />
Udgivelsesår: 1990.<br />
257