Appendix 2,3 MB

Del III
Appendiks
161

APPENDIKS
A ttt
Vinddata
ttt
A. Vinddata
Tabel A.1 og A.2 viser vinddata fra henholdsvis Keldsnor og Gedser fyr. Vinddata
angives, som den procentdel af tiden det blæser med en given hastighed
fra en given retning, i forhold til den samlede tid det blæser. Derudover angives
det, hvor stor sandsynligheden for at det blæser fra en given retning er.
Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P
N 1,4 1,8 1,2 0,6 0,3 0,2 0,1 0 0 0 5,5 0,06
NØ 1,2 1,8 1,8 0,9 0,6 0,4 0,2 0 0 0 6,9 0,07
Ø 1,2 2 2,5 1,9 1,3 0,8 0,5 0,2 0 0 10,5 0,11
SØ 1,4 2,6 3,5 2,5 1,8 1,3 0,7 0,3 0 0 14,2 0,15
S 1,3 2 2,3 1,3 0,7 0,5 0,2 0,1 0 0 8,3 0,09
SV 1,5 2,5 3,7 2,6 1,7 1,1 0,5 0,2 0 0 13,8 0,14
V 2,1 2,9 4,5 4,2 3,5 2,2 1 0,3 0 0 20,7 0,22
NV 2,4
12,4
3
18,7
3,4
22,9
2,9
16,8
2,2
12,1
1,4
7,9
0,7
3,8
0,2
1,3
0
0,1
0
0,1
16,2
96,1
0,17
1
Tabel A.1
Vinddata fra Keldsnor fyr [Frydendahl 1971].
Beaufort 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P
N 1,9 2,1 1,6 0,7 0,3 0,1 0,1 0 0 0 6,7 0,07
NØ 1 1,4 1,7 1,3 0,8 0,5 0,2 0,1 0 0 6,9 0,07
Ø 1,4 2,5 3,6 2,9 1,8 1,1 0,5 0,2 0 0 14 0,14
SØ 1,6 2,8 3,6 2,4 1,3 0,7 0,3 0,1 0 0 13 0,13
S 1,3 1,9 2,4 1,8 0,9 0,5 0,2 0 0 0 9 0,09
SV 1,2 1,9 3,2 3,2 2,2 1,5 0,8 0,3 0,1 0 14,3 0,15
V 1,3 2 3,4 3,6 3 2,3 1,3 0,5 0,2 0 17,4 0,18
NV 1,8
11,3
2,8
17,4
3,8
23,2
3,1
18,9
2,1
12,4
1,4
8
0,8
4,2
0,3
1,5
0,1
0,4
0
0,1
16
97,3
0,16
1
Tabel A.2
Vinddata fra Gedser fyr [Frydendahl 1971].
163

APPENDIKS
B
B. Kilde/dræn metoden
ttt
Kilde/dræn metoden
ttt
En forudsætning for kilde/dræn metoden er lineære 1. ordens bølger samt potentialstrømning.
Dette kræver, at Laplaces ligning er opfyldt, idet der regnes
med usammentrykkeligt vand og rotationsfri strømning [Brorsen 2000, s. 1]:
∇ 2 ϕ = 0 (B.1)
Hvor ϕ er hastighedspotentialet.
∇2 er ( ∂2 ∂2 ∂2
∂x2, ∂y2, ∂z2). Hastighedspotentialet, ϕ, kan findes ved superposition, da der regnes med
lineære 1. ordens bølger bestående af indkomne bølger, ϕw, samt spredte bølger,
ϕs. De spredte bølger stammer fra reflekterede og diffrakterede indkomne
bølger, og set langt fra bropillen spreder disse sig som en ring med samme
periode som de indkomne bølger.
ϕ = ϕw + ϕs
En definitionsskitse fremgår af figur B.1
Figur B.1
Definitionsskitse for kilde/dræn beregning.
(B.2)
165

B. Kilde/dræn metoden
Indsættes ligning (B.2) i (B.1), findes ved anvendelse af ∇ 2 ϕw = 0 bevis
for, at Laplaces ligning er den styrende differentialligning for spredningens
hastighedspotentiale:
∇ 2 ϕs = 0 (B.3)
Randbetingelser
Randbetingelserne findes for hhv. det samlede hastighedspotentiale og for
spredningen
alene. For det samlede hastighedspotentiale kendes randbetingelserne fra 1.
ordens bølgeteori:
Fri overflade
En partikel i overfladen forbliver i overfladen. Denne kinematiske randbetingelse
giver sammen med den dynamiske randbetingelse, p = 0 i Bernoullis ligning,
følgende:
∂2ϕ + g∂ϕ
∂t2 ∂z
= 0 for z = 0 (B.4)
Impermeabel overflade
Det antages, at for hhv. havbunden, z = −h, og oversiden af bropillen, SL, er
følgende gældende, idet bropillen fastholdes.
vn = ∂ϕ
∂n
= 0 (B.5)
Ranbetingelse for spredte bølger
Foruden randbetingelserne gældende for de uforstyrrede indkomne bølger, er
det nødvendigt for de spredte bølger at beskrive den impermeable lodrette
overflade, SU, på bropillen. Denne randbetingelse findes ved anvendelse af energiudbredelsen
for ϕs, under antagelse af at energifluxen er konstant. Som
tidligere nævnt resulterer spredningen i ringbølger langt fra bropillen med
en hastighed svarende til energiudbredelseshastigheden, cg. I et lodret snit
kan energifluxen, Ef, findes ved produktet af energiudbredelseshastigheden og
den gennemsnitlige energi pr. m 2 overfladeareal, E. Gennem en cylinderoverflade
med radius r, se figur B.1, findes den totale energi af følgende, hvor der
tilnærmet benyttes energitætheden for en 2-dimensional bølge [Brorsen 2000,
s. 4]:
E total
f
= Ef · 2πr = E · cg · 2πr = 1
8 ρgH(r)2 · cg · 2πr (B.6)
Hvor E er 1
8 ρgH(r)2 for en 2-dimensional bølge.
H(r) er den lokale bølgehøjde [m].
Ved antagelsen om energibevarelse, Etotal f =konstant, kan energifluxen ikke afhænge
af radius, hvorfor variationen af bølgehøjden må være følgende:
166

H(r) ∼ 1 √ r
B. Kilde/dræn metoden
Herved kan potentialet for den udadgående bølge findes tilnærmet ved:
ϕs = K √ r sin(r − ct) (B.7)
Hvor K er en konstant [-].
c er bølgernes udbredelseshastighed [m/sek].
Ud fra ligning (B.7) findes:
∂ϕs
∂r = K · 1 √ (−
r 1
sin(r − ct) + cos(r − ct))
2r
∂ϕs
∂t = K · 1 √ r cos(r − ct)(−c)
Endvidere findes for r → ∞
∂ϕs
∂r
∂ϕs
∂t
= − 1
sin(r − ct) + cos(r − ct)
2r
cos(r − ct)(−c)
→ − 1
c
En omskrivning af ovenstående ligninger giver Sommerfeldts udstrålingsbetingelse.
∂ϕs
∂r
1 ∂ϕs
+
c ∂t
= 0 for r → ∞
Ofte kan følgende formel for langkammede lineære bølger anvendes med tilstrækkelig
nøjagtighed:
c = g
ω tanh(kh)
Ligesom de indkomne bølger opfylder de spredte bølger overfladebetingelsen
for z = 0, beskrevet med ligning (B.4).
∂ 2 ϕw
+ g∂ϕw
∂t2 ∂z
∂2ϕs + g∂ϕs
∂t2 ∂z
= 0
= 0
Tilsvarende ligning (B.5) findes ved havbunden for z = −h.
∂ϕs
∂n
= 0 (B.8)
Ligeledes findes RB på SL for den fastholdte bropille [Brorsen 2000].
∂ϕs
∂n
= −∂ϕw
∂n
167

B. Kilde/dræn metoden
Numerisk beregning af bølgefelt
Den styrende differentialligning for det spredte bølgefelt er Laplaces ligning
givet ved ligning (B.1) med tilhørende ovennævnte randbetingelser. På grund
af disse randbetingelser er løsningen af Laplaces ligning ofte meget kompleks,
og en analytisk løsning af ϕs er kun sjældent mulig. Derfor anvendes almindeligvis
komplekse tal eller numeriske metoder, af hvilken sidstnævnte efterfølgende
gennemgåes. Til løsning af den numeriske model anvender ShipSim et
antal pulserende, punktformede kilder med styrken 1, som tilsammen beskriver
modellen. Ved placering af en kilde i punktet ¯ ξ kan potentialet herfra findes i
punktet ¯x ved følgende udtryk [Brorsen 2000, s. 6].
ϕE(¯x, ¯ ξ, t) = AE(¯x, ¯ ξ) cos(δ − ωt)
Hvor AE(¯x, ¯ ξ) er enhedskildestyrken på 1.
δ er en vilkårlig faseforskydning.
Wehausen og Laitone har bevist, at enhedskildestyrken kan konstrueres således,
at både Laplaces ligning og samtlige RB kan opfyldes. Da der regnes med
lineære 1. ordens bølger og potentialstrømning, opfyldes alle RB, på nær randbetingelsen
på randen af bropillen, og ved superposition af samtlige kilder
findes løsningen til det spredte potentiale, der opfylder denne sidste RB på
bropillen. I punktet x kan det spredte potentiale beskrives ved følgende udtryk,
idet superposition benyttes:
ϕs(¯x, t) =
N
fjAE(¯x, ¯ ξj) cos(δj − ωt) (B.9)
j=1
Hvor ¯ ξj er kildens position.
fj er kildestyrken.
δj er faseforskydningen af kildens potentiale.
Ved differentiation af ligning (B.9) med hensyn til normalen findes følgende:
∂ϕs(¯x, t)
∂n
=
N
j=1
I ligning (B.10) indsættes følgende:
∂AE(¯x,
fj
¯ ξj)
cos(δj − ωt) (B.10)
∂n
cos(δj − ωt) = cos(δj) · cos(ωt) + sin(δj) · sin(ωt) = bj sin(ωt) + aj cos(ωt)
Hvor aj = cos(δj)
bj = sin(δj)
Hvoraf følgende vides:
168

a 2 j + b 2 j = 1
tan(δj) = bj
aj
B. Kilde/dræn metoden
Herefter kan randbetingelsen for bropillens overflade, formel (B.8), i punktet
x beskrives ved følgende:
N
j=1
Hvor a ∗ j = fjaj
b ∗ j = fjbj
(b ∗ j sin(ωt) + a ∗ j cos(ωt) ∂AE(¯x, ¯ ξj)
∂n
= − ∂ϕw(¯x, t)
∂n
(B.11)
Ved opfyldelse af formel (B.11) i N antal punkter til to tidspunkter, haves 2N
antal lineære ligninger til at bestemme de ubekendte a∗ j og b∗j . Efter bestemmelse
af disse kan faseforskydningen, δj, for de enkelte kilder findes ved følgende:
δj = arctan( bj
) = arctan( fjbj
) (B.12)
aj
Herunder benyttes:
(a ∗ j )2 + (b ∗ j )2 = 1 · f 2 j
fjaj
Hvorved kildestyrken for hver kilde kan bestemmes:
fj =
(a ∗ j )2 + (b ∗ j )2
Det spredte potentiale kan nu bestemmes ved indsættelse af ligning (B.12) i
(B.9).
169

APPENDIKS
C ttt
Modelforsøg
ttt
C. Modelforsøg
Formålet med modelforsøget er, at bestemme om der er en lineær sammenhæng
mellem kraften, som konstruktionen påvirkes af, og bølgehøjden. Denne
lineære sammenhæng er nødvendig, for at kunne benytte transferfunktionen
til at beregne et kraftspektrum ud fra et bølgespektrum.
Modelforsøget udføres også for at verificere gyldigheden af de anvendte analytiske
og numeriske beregningsmetoder. Herunder ønskes det bestemt, om
forudsætningen for Morisons formel, hvor det skal gælde, at konstruktionen
skal være lille i forhold til bølgelængden, er opfyldt. Det ønskes også bestemt,
om de brydende bølger på konstruktionen har betydning, idet der ikke er taget
højde for dette ved beregning med Shipsim.
I laboratoriet anvendes en model af bropillen, således at bølgekræfterne kan
bestemmes eksperimentielt. Modellen udføres på baggrund af en dimensionsundersøgelse,
hvorved skaleringsforholdene bestemmes. Resultaterne fra modelforsøget
kan således skaleres op til de virkelige størrelser.
Til undersøgelse af den lineære sammenhæng mellem kraft og bølgehøjde, belastes
modellen med serier af lineære bølger. Når den lineære sammenhæng
er verificeret, belastes modellen med serier af uregelmæssige bølger, hvor de
opsamlede data anvendes til bestemmelse af transferfunktionen.
Inden modellen kan tages i brug skal der udføres en række forudgående arbejder
med kalibrering af kraftmålere, samt foretages egensvingningsforsøg med
modellen. Egensvingningsforsøget udføres for at vurdere risikoen for dynamisk
forstærkning af responset fra modellen.
C.1 Dimensionsanalyse
For at kunne benytte resultaterne fra et modelforsøg, er det nødvendigt, at
kunne skalere resultaterne til virkelige størrelser. Der er tre grundlæggende
krav, der skal være opfyldt mellem modellen og den virkelige konstruktion, før
en skalering af resultaterne er mulig:
171

C. Modelforsøg
• Geometrisk ligedannethed
• Kinematisk ligedannethed
• Dynamisk ligedannethed
Geometrisk ligedannethed sikres ved, at skalere modellen med længdeskalaen
λL. Dette bevirker at areal og volumenskalaen kan udtrykkes ved længdeskalaen,
på følgende måde [Brorsen & Larsen 2002]:
λA = λ 2 L og λV ol = λ 3 L .
Kinematisk ligedannethed er opfyldt, hvis alle ensbeliggende partiklers hastighed
i naturen og modellen, er parallelle og skaleret med samme faktor, λV ,
hastighedsskalaen.
Dynamisk ligedannethed kræver, at alle ensbeliggende kræfter er parallelle
og skaleret ens, λK, kraftskalaen. Da det i praksis er svært at etablere dynamisk
ligedannethed, idet forskellige krafttyper ikke skaleres ens, benyttes
Froudes modellov, hvor der opnås tilnærmet dynamisk ligedannethed. Dette
gøres ved, at antage, at tyngdekraften er meget dominerende i forhold til de
viskose forskydningskræfter, hvorfor det kræves, at kraftskalaen for tyngdekraften
og den resulterende kraft er den samme [Brorsen & Larsen 2002, s.
70-80].
(λK)R
= (λK)G
λρ · λ 2 L · λ2 V = λρ · λ 3 L
⇒ λV = λ 1/2
L
· λg
· λ1/2
g
(C.1)
Skaleringsfaktoren, λ, er defineret som forholdet mellem naturen, N, og modellen,
M.
λ =
Naturen (N)
Modellen (M)
Indføres nu udtrykkene for de respektive skalaer, kan formel (C.1) skrives som
følgende:
VN
√ gN · LN
=
VM
√ gM · LM
(C.2)
Froudes tal, Fr, er defineret som følgende, hvor det af formel (C.2) ses, at
Froudes tal i naturen skal være lig Froudes tal i modellen.
Fr = V
√ g · L ⇒ FrN = FrM
Da tyngdekraften i modellen er den samme som i naturen, bestemmes skalaen
for tyngdekraften til λg = 1, herefter er det muligt, at bestemme skaleringsforholdene
for hastighed, λV , tid, λt, og kraft, λK.
172

λV = λ 1/2
L
λt = λ 1/2
L
λK = λρ · λ 3 L
C.1.1 Skalering
= λL
λV
= λL
λ 1/2
L
= λρ · λ 2 V · λ2 L = λρ · (λ 1/2
L )2 · λ 2 L
C. Modelforsøg
(C.3)
Til at bestemme længdeskalaen, λL, benyttes højden af ellipsen. På figur 3.3
side 11 ses bropillen, og figur C.2 viser modellen af bropillen, hvor højden af
ellipsen fremgår.
λL = LN
LM
= 25, 50
0, 37
= 68, 92 (C.4)
Herved kan de øvrige skaleringsfaktorer bestemmes:
λt = 68, 92 1/2 = 8, 30
λK = λρ · 68, 92 3 = λρ · 327352
Da konstruktionen i naturen står i saltvand, ρ ≈ 1020 kg/m 3 , og modellen i
ferskvand, ρ = 1000 kg/m 3 , beregnes λρ til 1, 02, skaleringsfaktorerne er således
bestemt og angivet i tabel C.1.
λL λt λK λρ
68,92 8,30 333899 1,02
Tabel C.1
Skaleringsfaktorer.
I kapitel 7 er der bestemt en bølgehøjde, Hm0, og en peakperiode, Tp. Disse
skal skaleres til modelforsøget. I tabel 7.10 er de beregnede størrelser angivet,
hvor disse omregnes ved hjælp af skaleringsfaktorerne angivet i tabel C.1. I
tabel C.2 er størrelserne omregnet til modellen.
Bølgehøjde Periodetid
Hm0 [mm] Tmin [s] Tmax [s]
Naturen 6590 9,35 13,72
Modellen 95,6 1,13 1,65
Tabel C.2
Bølgehøjde og periode i naturen og modelforsøg.
173

C. Modelforsøg
C.2 Forsøgsopstilling
Forsøgsopstillingen til bestemmelse af den lineære sammenhæng mellem kraft
og bølgehøjde samt transferfunktionen, består af fire dele. Først haves en bølgegenerator,
herefter placeres en bølgemåler, herefter modellen med kraftmåler,
og endeligt en skråning til absorbtion af bølgerne. På figur C.1 er forsøgsopstillingen
skitseret.
Figur C.1
Skitse af forsøgsopstilling, ubenævnte mål i m.
Modellen af bropillen er skaleret i forholdet 1:68,92 i henhold til afsnit C.1.
Dette giver modellen dimensionerne vist på figur C.2.
Figur C.2
Model af bropillen, mål i mm.
På modellen er der monteret en kraftmåler, der er udformet som et ”kødben”,
hvor der i indsnævringerne er monteret straingages. Ud fra tøjningerne i disse
gages, kan kraften på modellen bestemmes. På figur C.3 ses kraftmåleren.
Figur C.3
Kraft-måler, mål i mm.
På figur C.4 og C.5 ses den samlede forsøgsopstilling med og uden bølger.
174

Figur C.4
Forsøgsopstilling uden bølger.
C. Modelforsøg
Figur C.5
Forsøgsopstilling med bølger.
Elevationsmåleren udgøres af tre følere, der måler vandstandsvariationerne. De
tre følere er placeret med en indbyrdes afstand på henholdsvis 10 og 20 cm.
Bølgeelevationerne måles på tre kanaler, så der kan foretages en kontrol af
graden af reflektion i bølgerenden.
C.3 Kalibrering af bølgekraftmåler
Kraftmåleren kalibreres således, at output i volt kan omsættes til momenter.
Denne kalibrering udføres ved at påføre kraftmåleren et moment ved hjælp af
en kendt kraft i en kendt afstand.
Bølgekræfterne på bropillen bestemmes i laboratoriet, ved at belaste modellen i
et bølgebassin. Det ønskes, at kende både den resulterende bølgekraft samt angrebspunkt.
Til bestemmelse af kraft og angrebspunkt, anvendes en kraftmåler
der måler 2 forskellige volt/tøjninger, der kan omsættes til momenter, og senere
til kraft og angrebspunkt. På figur C.6 ses en skitse af den anvendte kraftmåler.
Straingaugene er påsat kraftmåleren ved de to indsnævringer. Kraftmåleren fås
i forskellige modeller, hvor der varieres på godstykkelsen mellem straingaugene.
Herved opnås en stivere/slappere konstruktion med en anden egensvingnings
frekvens. Den valgte kraftmåler ses på figur C.6.
175

C. Modelforsøg
Figur C.6
Moment/kraft-måler, mål i mm.
Outputtet fra kraftmåleren, to momenter, omsættes til angrebspunkt og kraft
som beskrevet i det følgende. På figur C.7 illustreres kalibreringen fra voltoutput
til angrebspunkt og kraft.
Figur C.7
Kalibrerings opstilling af kraftmåler, mål i mm.
Kalibrering udføres ved at påføre en kendt kraft i en kendt afstand. Derved kan
kalibreringsfaktorerne c1 og c2 bestemmes, da der er linearitet mellem kraft og
volt.
M1 = (dL + L) · F=c1 · V1
M2 = L · F =c2 · V2
Hvor L er en kendt afstand [m].
dL er en kendt afstand [m].
ci er kalibreringsfaktorer fra volt til moment [-].
Vi er voltoutput fra gage i [volt].
Kalibrering af angrebspunkt ud fra to momenter:
M1
Ang =
· dL
+ k
M1 − M2
Når moment og angrebspunkt kendes, kan kraftresultanten bestemmes:
176

F =
M1 + M2
2 · (Ang − k − dL
2 )
C. Modelforsøg
I forbindelse med modelforsøget viste det sig, at bestemmelsen af angrebspunktet
ikke er optimalt, da der divideres med et lille tal, når momenterne M1
og M2 går mod nul. Dette optræder, når belastningen skifter fortegn, ingen
kraft, og resulterer i angrebspunkter, der går mod ∞. Dog påvirker det ikke
kraftbestemmelsen, da problemet opstår, når kraften er minimal, og derved er
det uden betydning.
C.4 Reflektion
Reflektionen ønskes bestemt, da denne parameter kan have indflydelse på det
målte kraftsignal, idet de reflekterede bølger udbreder sig i modsatte retning.
Reflektionen bestemmes ved, at måle overfladeelevationen i to punkter med
indbyrdes kendt afstand.
Overfladeelevationen, η, kan deles op i to, en for de indkommende bølger, i, og
en for de reflekterede bølger, r. Dette gøres på følgende måde [Goda & Suzuki
1988]:
ηi = ai cos(kx − ωt + ǫi)
ηr = ar cos(kx + ωt + ǫr)
Hvor a er amplituden [m].
k er bølgetallet (2 ·π/L ) [m −1 ].
ω er den cykliske frekvens [s −1 ].
ǫ er faseforskydningen [-].
Elevationen ved de to målepunkter kan skrives som følgende :
η1 = (ηi + ηr)x1= A1 cos(ωt) + B1 sin(ωt)
η2 = (ηi + ηr)x2= A2 cos(ωt) + B2 sin(ωt)
Hvor A1 er ai cos(φi) + ar cos(φr).
B1 er ai sin(φi) + ar sin(φr).
A2 er ai cos(k∆l + φi) + ar cos(k∆l + φr).
B2 er ai sin(k∆l + φi) − ar sin(k∆l + φr).
φi er kx1 + ǫi.
φr er kx1 + ǫr.
∆l er afstanden mellem målepindende [m].
Ved analyse af målte bølgeelevationer findes A og B koefficienterne ved Fouriertransformation.
A koefficienterne er realdelen, mens B koefficienterne er minus
imaginærdelen.
177

C. Modelforsøg
Det er nu muligt, at opdele bølgesignalet i de inkommende bølger og de reflekterede
bølger. Amplituderne for de indkommende og reflekterede bølger
beregnes ved henholdsvis formel (C.5) og (C.6).
ai =
K 2 1 + K 2 2
2 · | sin(k∆l)|
Hvor K1 er A2 − A1 cos(k∆l) − B1 sin(k∆l) [-].
K2 er B2 + A1 sin(k∆l) − B1 cos(k∆l) [-].
ar =
K 2 3 + K 2 4
2 · | sin(k∆l)|
Hvor K3 er A2 − A1 cos(k∆l) + B1 sin(k∆l) [-].
K4 er B2 − A1 sin(k∆l) − B1 cos(k∆l) [-].
(C.5)
(C.6)
Reflektionen af forsøgsopstillingen er kontrolleret løbende for at sikre minimal
reflektion. På figur C.8 og C.9 er reflektionen vist for lineære bølger med
bølgehøjder på henholdsvis 20 mm og 137 mm.
Bølgeamplitude [mm]
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Indkommende bølge
Reflekteret bølge
0
0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1
Frekvens [Hz]
Figur C.8
Amplituderne af den indkommende og
reflekterede bølge, hvor bølgehøjden er
20 mm, reflektionsamplituden udgør
8,8 % af den indkommende amplitude.
Bølgeamplitude [mm]
60
50
40
30
20
10
Indkommende bølge
Reflekteret bølge
0
0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1
Frekvens [Hz]
Figur C.9
Amplituderne af den indkommende og
reflekterede bølge, hvor bølgehøjden er
137 mm, reflektionsamplituden udgør
9,74 % af den indkommende amplitude.
Det er herudfra bestemt, at forsøgsopstillingen ikke giver anledning til væsentlig
reflektion, og en ændring af skråningen til absorption af bølgerne ikke er nødvendig.
C.5 Dynamisk forstærkning
Før modelforsøget udføres, er det nødvendigt, at bestemme egenfrekvensen af
modellen. Dette er for at sikre, at der ikke opstår dynamisk forstærkning af
responset fra modellen, på grund af frekvensen af bølgepåvirkningen. Dette
sikres ved, at udføre modellen med tilpas stor stivhed, så egenfrekvensen af
modellen ligger langt fra frekvensen af bølgepåvirkningen.
178

Egenfrekvens i luft
C. Modelforsøg
Først bestemmes egenfrekvensen i luft, da dette giver en ide om egenfrekvensen
af modellen. Denne egenfrekvens skal ligge over frekvensen for bølgerne, idet
egenfrekvensen reduceres, når modellen nedsænkes i vand. Egenfrekvensen af
modellen kan reguleres med kraftmåleren, jo stivere kraftmåleren er, jo højere
bliver egenfrekvensen. Stivheden af kraftmåleren skal dog ikke vælges ubetinget
stor, da kraften beregnes ud fra de tøjninger der opstår i kraftmåleren, og
det er derfor nødvendigt, at der kommer målbare deformationer. Størrelsen
af kraftmåleren bliver således en afvejning mellem tilpas høj egenfrekvens og
målbare tøjninger. På figur C.10 ses den målte dæmpede egensvingning af
modellen, hvor den har fået en kraftpåvirkning.
Volt output fra straingage 1 [V]
0.08
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
0 5 10 15
Tid [sek]
Figur C.10
Egensvingning af modellen i luft.
S η (f) [m 2 s]
x 10−3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
Frekvens [Hz]
Figur C.11
Spektrum for modellen i luft, egenfrekvens
=8,4 Hz.
Ved at foretage en Fourieranalyse på signalet fra den dæmpede egensvingning,
kan den dæmpede frekvens af modellen i luft bestemmes til 8,4 Hz, se figur
C.11.
Egenfrekvens i vand
Egensvingningen i vand måles på samme måde som i luft, blot er modellen
nedsænket i vand. På figur C.12 ses den dæmpede egensvingning, og på figur
C.13 ses den dæmpede egenfrekvens af modellen nedsænket i vand.
179

C. Modelforsøg
Volt output fra straingage 1 [V]
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
0 1 2 3 4 5 6
Tid [sek]
Figur C.12
Egensvingning af modellen i vand.
S η (f) [m 2 s]
x 10−3
2.5
2
1.5
1
0.5
Luft
Vand
0
3 4 5 6 7 8 9 10
Frekvens [Hz]
Figur C.13
Egenfrekvensen af modellen i luft og
vand.
Som det ses på figur C.13 sænkes frekvensen af modellen fra 8,4 Hz i luft til
4,8 i vand, hvilket er en reduktion på 3,6 Hz.
C.5.1 Dynamisk forstærkningsfaktor
På baggrund af egensvingningsforsøget kan det vurderes, hvorvidt belastningerne
på konstruktion medfører dynamisk forstærkning, og om der derved er
risiko for, at en statisk måling af lasten vil give dårlige resultater. Den dynamiske
forstærkningsfaktor, D, afhænger af 3 parametre: Konstruktionens
cykliske egenfrekvens, ω0, belastningens cykliske egenfrekvens, ω, samt dæmpningsforholdet
af modellen, ζ.
Ud fra egensvingningsforsøget, udført henholdsvis i luft og vand, fremkommer
et respons svarende til de i figur C.10 og C.12.
Ud fra responset kan den dæmpede egensvingningsperiode, Td, og egensvingningsamplituden,a,
bestemmes, hvorefter det er muligt at bestemme modellens
udæmpede egensvingningsperiode, T. Af amplituden kan det logaritmiske
dekrement bestemmes som anført i formel (C.7) [Nielsen 2004, s. 14-17].
δ = 1
n ln
a0
an
Hvor n er et vilkårligt antal perioder [-].
a er den tilhørende amplitude [volt].
a0 er en vilkårlig start amplituden [volt].
(C.7)
Det logaritmiske dekrement for responset illustreret på figur C.12 beregnes for
de på figuren 8 første perioder:
180
δ = 1
8 ln
0, 058
0, 0183
δ = 0, 144

C. Modelforsøg
Dæmpningsforholdet af modellen bestemmes på baggrund af det logaritmiske
dekrement som anført i formel (C.8).
ζ =
δ
2·π
1 + ( δ
2·π )2
Ved indsættelse af det logaritmiske dekrement fås:
ζ =
ζ = 0, 0229
0,144
2·π
1 + ( 0,144
2·π )2
(C.8)
Konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvens bestemmes, idet at egenfrekvensen
er 4,8 Hz hvorved den dæmpede egensvingningsperiode, Td er 0,209
s. Dette gøres ved følgende formel.
ω0 =
ω0 =
Td
2 · π
1 − ζ2 2 · π
0, 209 1 − 0, 0229 2
ω0 = 30, 07 rad/s.
Egenfrekvensen af modellen kan nu sammenlignes med frekvensen af den påførte
belastning, bølgefrekvensen. Herved kan den dynamiske forstærkning af modellen
bestemmes når bølgefrekvensen er kendt.
1
D =
1 − ( ω
ω0 )2
2 + 4 · ζ 2 ( ω
ω0 )2
(C.9)
Bølgerne, der indeholder mest energi, har en frekvens på ca. 0,9 Hz, idet der
benyttes et JONSWAP spektrum med peakperiode omkring 1,1 s, tabel C.2,
til at generere bølger. Derfor bestemmes den dynamiske forstærkningsfaktor
for en bølgefrekvens på 0,9 Hz, 0, 9 · 2π rad/sek:
1
D =
(1 − ( 0,9·2·π
30,07 )2 ) 2 + 4 · 0, 02292 ( 0,9·2·π
30,07 )2
D = 1, 0366
Da den dynamiske forstærkning afhænger af bølgefrekvensen er sammenhængen
mellem bølgefrekvens og dynamisk forstærkning illustreret ved grafen på
figur C.14.
181

C. Modelforsøg
Dynamisk Forstærkningsfaktor, D
1.25
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0 0.5 1 1.5 2
Bølgefrekvens [Hz]
Figur C.14
Dynamisk forstærkning afhængig af bølgefrekvensen.
Den dynamiske forstærkningsfaktor, D, beskriver sammenhængen mellem responset
og den påførte kraft. Den påførte kraft kan derved bestemmes af følgende
formel (C.10).
F = A
D
Hvor F er den reelle kraft [N].
A er responset/statisk bestemt kraft på modellen [N].
(C.10)
Da den dynamiske forstærkning af modellen er lille, vurderes det, at det ikke
er nødvendigt at korrigere de eksperimentelt målte kræfter på konstruktionen.
C.6 Linearitetsundersøgelse
Som tidligere beskrevet er formålet med forsøget blandt andet, at bestemme
sammenhængen mellem bølgehøjden og kraftpåvirkningen på modellen. Dette
gøres ved at lave en række forsøg med forskellige bølgehøjder, hvor det tilhørende
kraftsignal måles. På figur C.15 ses sammenhængen mellem bølgehøjderne og
kraftpåvirkningen. Ud fra målingerne findes en lineær sammenhæng, hvorfor
der på figur C.15 også er optegnet en bedste rette linie.
De sidste punkter er ikke medtaget i den bedste rette linie, da der er en svag
tendens til, at lineariteten ophører. Det har dog ikke været muligt, at generere
højere bølger med samme periode, således at afbøjningstendensen kunne kontrolleres.
182

Kraft [N]
45
40
30
20
10
0
0 40 80 120 160
Bølgehøjde H [mm]
C. Modelforsøg
Figur C.15
Sammenhæng mellem bølgehøjde og kraftpåvirkning med en bølgeperiode på 1,08 s, (∗)
er målepunkter,(—) bedste rette linie til målepunkterne.
Den lineære sammenhæng mellem bølgehøjderne og kraftpåvirkningen er en
forudsætning for at gå fra bølgespektrum til kraftspektrum, med transferfunktionen.
C.7 Transferfunktionen
Der er lavet en række forsøg, hvor der er genereret en serie af uregelmæssige
bølger svarende til et JONSWAP spektrum, hvor der er målt et tilhørende
kraftspektrum.
Spektrene er bestemt ved en Fourieranalyse, hvor output er opdelt i et antal
delserier, herudfra kan variationskoefficienten bestemmes, idet følgende gælder:
V = σ
µ = 1
√
M
Hvor M er antal delserier [-].
For at sammenligne spektrene, er det nødvendigt, at V og ∆f er ens fra spekter
til spekter. Derfor vil der i det følgende benyttes M = 117 delserier og ∆f =
0, 1 Hz
V = 1
√ 117 = 0, 09
På figur C.16 ses bølgespektret, hvor der ved nul-nedkrydsningsanalyse, er
bestemt en signifikant bølgehøjde på 101 mm og en tilhørende middelperiode
på 1,03 s.
183

C. Modelforsøg
S h (f)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x 10 3
0
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frekvens [Hz]
Figur C.16
Målt bølgespektrum med Hs = 101mm
, Tmiddel = 1, 03s og ∆f = 0, 1Hz.
S l (f)
500
400
300
200
100
0
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frekvens [Hz]
Figur C.17
Målt kraftspektrum med Fs = 51, 4N ,
Tmiddel = 0, 89s og ∆f = 0, 1Hz.
Ud fra de to spektre kan transferfunktionen bestemmes, idet følgende udtryk
gælder:
|H(f)| 2 = Sλ
Sη
Der er til bestemmelsen af transferfunktionen lavet tre forsøg, hvorfor den
endelige transferfunktion bliver middelværdien af de tre forsøg. På figur C.18
ses de beregnede transferfunktioner. Det er kun området fra 0.6 Hz til 1.4 Hz
der er medtaget, da det er i dette område energien i bølgerne ligger. Dette kan
ses på figur C.16 og C.17. Dette resulterer i, at transferfunktionen findes, som
vist på figur C.19.
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
x 105
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
Frekvens [Hz]
Figur C.18
Transferfunktioner bestemt ud fra tre
forsøg.
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
x 105
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
Frekvens [Hz]
Figur C.19
Middel transferfunktion.
C.8 Skalering fra model til fuldskala
De målte og beregnede resultater kan nu omsættes til fuldskalaværdier. Dette
gøres ved at benytte de beregnede skaleringsfaktorer bestemt i afsnit C.1.
184

C. Modelforsøg
Det målte bølgesignal ganges med længdeskalaen, λL, opsamlingsfrekvensen
divideres med tidsskalaen, λt, og kraftsignalet multipliceres med kraftskalaen,
λK. Dette resulterer i bølgespektret vist på figur C.20 og kraftspektret vist på
figur C.21.
S h (f)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Frekvens [Hz]
Figur C.20
Målt bølgespektrum med Hs = 7, 0 m ,
Tmiddel = 8, 55 s og ∆f = 0, 01 Hz.
S l (f)
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
14
x 10
5
0
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Frekvens [Hz]
Figur C.21
Målt kraftspektrum med Fs = 17, 2
MN, Tmiddel = 7, 36 s og ∆f = 0, 01
Hz.
Ud fra de skalerede spektre bestemmes transferfunktionen, se figur C.22.
|H(f)| 2 [N 2 /m 2 ]
8
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
x 10 12
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
Frekvens [Hz]
Figur C.22
Transferfunktion for virkelige kræfter bestemt på baggrund af modelforsøget.
Denne transferfunktion kan sammenlignes med transferfunktionerne fundet ved
de analytiske løsninger.
185

APPENDIKS
D. Klassifikationsforsøg
D ttt
Klassifikationsforsøg
ttt
Til bestemmelse af en række geotekniske størrelser for sandmaterialet i Frederikshavn
er udført klassifikationsforsøg i geotekniklaboratoriet, Aalborg Universitet.
D.1 Formål
Formålet med forsøgene er at bestemme følgende størrelser, som skal anvendes
til klassifikation af sandet.
• Relativ densitet ds
• Vandindhold w
• Rumvægt γ
• Mætningsgrad Sw
• Poretal for løs lejring emax
• Poretal for fast lejring emin
• In situ poretal einsitu
• Relativ lejringstæthed ID
• Middelkornstørrelse d50
• Uensformighedstal U
187

D. Klassifikationsforsøg
D.2 Bestemmelse af geotekniske størrelser
Relativ densitet ds
Den relative densitet, ds, er fundet ved pyknometerforsøg, og udregnes af nedenstående
udtryk.
ds =
Ws · ρ t◦ C
w
(Ws + W2 − W1) · ρ 4◦ C
w
Hvor Ws er kornvægten [g].
er destilleret vands densitet ved t◦C [g/ml].
ρt◦C w
W1 er vægt af pyknometer, korn og vand [g].
W2
ρ
er vægt af pyknometer og vand [g].
4◦C w
er destilleret vands densitet ved 4 ◦ C [g/ml].
Den relative densitet er et udtryk for kornmaterialets densitet i forhold til
vands densitet. Af tabel D.1 fremgår resultater fra pyknometerforsøget.
W1 [g] W2 [g] Ws [g] ρ 19,5◦ C
w [ ◦ C] ρ 4◦ C
w [ ◦ C]
962,2 867,0 152,9 0,9983 1,0
Tabel D.1
Resultater fra pyknometerforsøg.
Den relative densitet, ds, fås til 2,65, hvilket stemmer overens med ds-værdien
for rent kvartssand [Harremoës et al. 2000].
Vandindhold w
For at opnå et mere præcist resultat blev anvendt 2 jordprøver til bestemmelse
af vandindholdet, w, og rumvægten, γ, af sandmaterialet. Vandindholdet
blev fundet som vægttabet af jordprøven ved ovntørring til konstant vægt ved
105 ◦ C, og er givet ved nedenstående udtryk.
w = Ww
Ws
= vandvægt
kornvægt
Forsøgsresultater ses i tabel D.2.
188
(D.1)

Prøve nr. 1 2
Skål + W [g] 355,1 343,8
Skål + Ws [g] 309,7 302,9
Skål [g] 121,7 114,3
Ww [g] 45,4 40,9
Ws [g] 188,0 188,6
w [-] 0,24 0,22
w [%] 24,0 22,0
Tabel D.2
Vandindhold w.
Det gennemsnitlige vandindhold er w = 23%.
Rumvægt γ
Rumvægten er givet ved følgende udtryk.
γ = W
V
· g
Hvor W er vægten af prøven [kg].
V er volumen af prøven [m 3 ].
I tabel D.3 ses forsøgsresultater.
Prøve nr. 1 2
Cylinder + W [g] 438,3 435,7
Cylinder [g] 203,5 204,6
Prøve W [g] 234,8 231,1
Prøve vol. [cm 3 ] 130,2 124,7
γ [kN/m 3 ] 17,7 18,2
Tabel D.3
Rumvægt γ.
Sandmaterialets rumvægt er hermed lig 18 kN/m 3 .
Poretal e
Poretallet defineres som porevolumen i forhold til kornvolumen.
e = porevolumen
kornvolumen
D. Klassifikationsforsøg
Når poretallet bestemmes ved forsøg, udregnes det af følgende udtryk.
189

D. Klassifikationsforsøg
e = (1 + w) · ds · ρw · V
Ws
− 1
Hvor w er vandindholdet [-].
ds er den relative densitet [-].
ρw er vands densitet [g/ml].
V er volumen af prøven [cm 3 ].
Ws er kornvægten [g].
Poretallet for jordprøve 1 og 2 fremgår af tabel D.4.
Prøve nr. 1 2
Sandets middel poretal findes til 0,78.
Mætningsgrad Sw
e [-] 0,82 0,74
Tabel D.4
Poretal e.
Mætningsgraden, Sw, udregnes af følgende udtryk
Sw =
w · ds
e
= vandvolumen
porevolumen
Mætningsgraden angiver et tal mellem 0 og 1 svarende til tør jord og vandmættet
jord.
For jordprøve 1 og 2 fås følgende mætningsgrader, se tabel D.5.
Prøve nr. 1 2
Sw [-] 0,78 0,78
Tabel D.5
Mætningsgrad Sw
Sandets gennemsnitlige mætningsgrad findes til 0,78.
Forsøg med løs og fast lejring: emax, emin, einsitu og I D
Der blev udført forsøg med henholdsvis løse og faste lejringer til bestemmelse
af sandmaterialets relative lejringstæthed, ID, som er et tal mellem 0 og 1,
hvor 0 svarer til den mest løse lejring og 1 til den mest faste. De løse lejringer
190

D. Klassifikationsforsøg
fremkom ved at lade den tørre jord falde ned gennem en tragt fra en konstant
højde, og de faste lejringer blev lavet ved at indstampe sandet i en cylinder
efter en standardiseret procedure.
Der blev anvendt 3 prøver til forsøget med den løse lejring. Forsøgsdata fremgår
af tabel D.6.
Prøve nr. 1.L 2.L 3.L
V [cm 3 ] 70 70 70
Cyl. + Ws [g] 338,8 338,4 338,3
Cyl. [g] 242,5 242,4 242,4
Ws [g] 96,4 96,0 95,9
emax [-] 0,921 0,929 0,931
Tabel D.6
Poretalresultater for løs lejring
For den løse lejring fås det gennemsnitlige maksimale poretal til emax = 0, 927.
Til forsøget med den faste lejring blev anvendt 2 prøver, og forsøgsresultater
ses i tabel D.7.
Prøve nr. 1.F 2.F
V [cm 3 ] 70 70
Cyl. + Ws [g] 359,0 358,7
Cyl. [g] 242,4 242,4
Ws [g] 116,6 116,3
emin [-] 0,588 0,592
Tabel D.7
Poretalresultater for fast lejring
For den faste lejring fås det gennemsnitlige minimale poretal til emin = 0, 590.
Den relative lejringstæthed, ID, kan herefter bestemmes ved
ID = emax − einsitu
emax − emin
In situ poretallet, einsitu, findes af udtrykket
einsitu = (1 + w) · ds
γ · γw − 1
In situ poretallet for jordprøve 1 og 2 ses af tabel D.8.
191

D. Klassifikationsforsøg
Prøve nr. 1 2
einsitu [-] 0,82 0,74
Tabel D.8
In situ poretal einsitu
In situ poretallet er således einsitu = 0, 78.
For jordprøverne fås følgende relative lejringstætheder, ID, se tabel D.9.
Prøve nr. 1 2
ID [-] 0,32 0,57
Tabel D.9
Relative lejringstætheder, ID
Sandmaterialets relative lejringstæthed er hermed gennemsnitlig ID = 0, 44.
Sigteanalyse: d50 og U
Der er udført en sigteanalyse af sandet til bestemmelse af en kornkurve for
herved at fastlægge en middelkornstørrelse, d50 samt uensformighedstallet, U.
Forsøgsresultaterne for prøve 1.S og 2.S fremgår af tabel D.10 og tabel D.11.
192
Sigte [mm] Sk. + sigterest [g] Sk. [g] Sigterest [g] Gen.fald [g] Gen.fald [%]
8,0 7,2 4,8 2,4 503,0 99,5
4,0 6,4 4,8 1,6 501,4 99,2
2,0 8,2 4,8 3,4 498,0 98,5
1,0 8,6 4,8 3,8 494,2 97,8
0,5 7,9 4,8 3,1 491,1 97,2
0,425 6,0 4,8 1,2 489,9 96,9
0,250 21,7 4,8 16,9 473,0 93,6
0,125 428 4,8 423,2 49,8 9,9
0,075 49,1 4,8 44,3 5,5 1,1
0,001 8,2 4,8 3,4 2,1 0,4
Tabel D.10
Forsøgsresultater fra sigteanalyse af prøve 1.S.

D. Klassifikationsforsøg
Sigte [mm] Sk. + sigterest [g] Sk. [g] Sigterest [g] Gen.fald [g] Gen.fald [%]
8,0 5,8 4,8 1,0 571,0 99,8
4,0 7,0 4,8 2,2 568,8 99,4
2,0 8,1 4,8 3,3 565,5 98,9
1,0 8,5 4,8 3,7 561,8 98,2
0,5 7,5 4,8 2,7 559,1 97,8
0,425 6,1 4,8 1,3 557,8 97,5
0,250 23,9 4,8 19,1 538,7 94,2
0,125 489,8 4,8 485,0 53,7 9,4
0,075 54,5 4,8 49,7 4,0 0,7
0,001 8,7 4,8 3,9 0,1 0,02
Tabel D.11
Forsøgsresultater fra sigteanalyse af prøve 2.S.
Ved at afbilde kornets "diameter", d, der defineres som sigtemaskevidden i den
fineste sigte kornet kan passere, ud af en logaritmisk x-akse, og den tilhørende
korngennemfaldsprocent op af en aritmetrisk y-akse fås kornkurven, se figur
D.1.
Vægtprocent < d
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Kornkurve
0
0,01 0,1 1 10
Kornstørrelse d [mm]
Mellem Grov
Fin Mellem Grov
Fin Mellem
Siltfraktion Sandfraktion Grusfraktion
Figur D.1
Kornkurver for prøve 1.S og 2.S.
Prøve 1.S
Prøve 2.S
Af figur D.1 fremgår kornkurverne for prøve 1.S og 2.S, og det ses, at kurverne
er tilnærmelsesvist sammenfaldende. Kornkurverne angiver, at jordmaterialet
er ret velsorteret, og det kan betegnes som fraktioner af hovedsageligt finsand
og mellemsand.
Uensformighedstallet, U, er et udtryk for graderingen af jorden, og er defineret
ved
U = d60
d10
193

D. Klassifikationsforsøg
Hvor d60 er 60%-fraktilen [-].
d10 er 10%-fraktilen [-].
Fraktilerne d60 og d10 aflæses af kornkurven, se figur D.2, til henholdsvis
0,185mm og 0,135mm, hvilket giver et uensformighedstal på U = 1, 37.
Vægtprocent < d
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Kornkurve
0,01 0,1 1 10
Kornstørrelse d [mm ]
Figur D.2
Aflæsning af d60 og d10 ud fra prøve 1.S.
Middelkornstørrelsen, d50, aflæses af kornkurven til 0,175mm.
D.3 Opsummering
Prøve 1.S
Der er ud fra klassifikationsforsøgene bestemt følgende størrelser, se tabel D.12.
Størrelse Værdi
Relativ densitet ds [-] 2,65
Vandindhold w [-] 0,23
Rumvægt γ [kN/m 3 ] 18,0
Mætningsgrad Sw [-] 0,78
Poretal for løs lejring emax [-] 0,93
Poretal for fast lejring emin [-] 0,56
In situ poretal einsitu [-] 0,78
Relativ lejringstæthed ID [-] 0,44
Middelkornstørrelse d50 [mm] 0,175
Uensformighedstal U [-] 1,37
Tabel D.12
Fastlagte klassifikationsstørrelser
Sandmaterialet kan karakteriseres som velsorteret mellem-fint sand.
194

APPENDIKS
E. Triaksialforsøg
E ttt
Triaksialforsøg
ttt
Dette kapitel omhandler udførelse af og resultater fra fire drænede triaksialforsøg
udført ved Laboratoriet for Geoteknik ved Aalborg Universitet. Der
tages udgangspunkt i måleresultater fra fire triaksialforsøg udført af B10Kstuderende
i foråret 2005, da det bl.a. af tidsmæssige årsager ikke har været
muligt for projektgruppen at udføre egne triaksialforsøg.
E.1 Formål
Formålet med forsøget er at bestemme styrke- og deformationsparametre for
sandmaterialet fra Frederikshavn, da disse parametre bl.a. skal anvendes til
analyse af bropillens bæreevne og sætninger. Følgende parametre skal bestemmes:
• Den triaksiale friktionsvinkel ϕtr
• Elasticitetsmodulerne E50 og Eur
• Dilatationsvinklen ψ
• Poisson’s forhold ν
• Forskydningsmodulen G
• Bulkmodulen K
Næste afsnit omhandler triaksialapparatet samt proceduren ved udførelse af
forsøget. Herefter følger et afsnit, hvor de ovenfor anførte parametre bestemmes.
195

E. Triaksialforsøg
E.2 Triaksialapparatet og forsøgsudførelse
Figur E.1 viser en skitse af de komponenter, der indgår i triaksialapparatet.
Apparatet består yderst af en plexiglascylinder samt et bund- og topstykke.
Jordprøven placeres i en gummimembran mellem et nedre og øvre trykhoved.
Trykhovederne smøres med grease, (siliconefedt), for at mindske forskydningsmodstanden
mellem trykhoved og prøve, således prøven kan deformere frit i
radial retning. Hvis ikke der anvendes grease, fastlåser trykhovederne prøven
ved enderne, hvilket resulterer i, at der dannes stive zoner under trykhovederne,
og spændingstilstanden bliver meget kompliceret [Ibsen 1993, s. 13].
Figur E.1
Skitse af triaksialapparatet.
På figur E.2 ses et billede af det anvendte triaksialapparat. Kraft-, poretryksog
flytningstransducere monteres inde i cylinderen, som inden forsøgets udførelse
fyldes med destilleret vand. Porevanddifferenstrykket måles ved at porevandet
i prøven forbindes til en burette med to drænslanger placeret henholdsvis
ved det nedre og det øvre trykhoved.
Jordprøverne begyndelseshøjde, H0, og begyndelsesdiameter, D0, er 7 cm, se
figur E.3. Herved opnås en homogen spændingstilstand, der resulterer i et
zonebrud i prøven. Hvis eksempelvis begyndelseshøjden er dobbelt så stor som
begyndelsesdiameteren, er der risiko for, at der udvikles et liniebrud, der deler
prøven i to stive legemer [Ibsen 1993, s. 13].
196

Figur E.2
Det anvendte triaksialapparat.
Forløbet ved udførelse af triaxialforsøget er som følger:
E. Triaksialforsøg
Figur E.3
Mål og deformationer på prøve.
1. Prøven udlejres således, at der opnås den ønskede lejringstæthed. Dette
gøres ved at lade sandet falde gennem en tragt fra en bestemt højde og
ned gennem en si, hvorefter det udlejrede sand stampes med et faldlod,
se figur E.4.
Figur E.4
Udlejring af sandprøve.
2. Trykket i prøven mindskes med 20 kPa, således at der opnås vacuum og
formen fjernes. Herefter påmonteres flytningstransducere.
197

E. Triaksialforsøg
3. Cellen samles og fyldes med destilleret vand, hvorefter der påføres et
kammertryk på 20 kPa, samtidigt med at undertrykket i prøven fjernes.
Det tilstræbes at holde det isotrope tryk på prøven på ca. 20 kPa under
denne proces.
4. Prøven vandmættes.
5. Kammertrykket, σ3, øges med 200 kPa samtidig med, at der påføres et
backpressure på samme størrelse i prøven, hvorved det isotrope tryk på
prøven forbliver 20 kPa. Af figur E.5 fremgår det samlede triaksialapparat
med den klargjorte sandprøve inde i cylinderen.
Figur E.5
Samlet triaksialapparat.
6. Prøven påføres isotrop belastning ved at kammertrykket øges op til et
ønsket spændingsniveau.
Der kan efter punkt 6 eksempelvis udføres brudforsøg, hvor prøven kun påføres
en aksial belastning, (stempeltrykket), og kammertrykket holdes konstant. Den
aksiale belastning øges eksempelvis indtil prøven er deformeret 0,5%, hvorefter
den aflastes. Denne proces kan gentages, idet det hver gang tillades, at prøven
deformeres dobbelt så meget som foregående belastning, indtil prøven bryder.
Næste afsnit omhandler resultatbehandling af de målte størrelser.
E.3 Resultatbehandling
Under triaksialforsøgene blev følgende størrelser målt:
198

• Kammertrykket σ3
• Poretrykket u
• Deformation i aksial retning u1
• Deviatorspændingen (stempeltrykket) q = σ1 − σ3
• Volumenændringen af prøven ∆V
E. Triaksialforsøg
Herudfra bestemmes følgende størrelser, der skal anvendes til bestemmelse af
styrke- og deformationsparametre:
• Det tidsafhængige tværsnitsareal A:
A = V0 − ∆V
H0 − u1
Hvor V0 er begyndelsesvolumenet [cm 3 ].
• Den effektive middelnormalspænding p ′ :
p ′ = 1
3 (σ1 + 2σ3)
• Tøjningerne ε1, ε3, εv og εq:
H0
ε1 = ln
H0 − u1
D0
ε2 = ε3 = ln
D0 − 2u2
V0
εv = ε1 + 2ε3 = ln
V0 − ∆V
εq = 2
3 (ε1 − ε2)
Hvor ε1 er aksialtøjningen [-].
ε3 er tværtøjningen [-].
εv er volumentøjningen arbejdskonjugeret med p ′ [-].
εq er deviatortøjningen arbejdskonjugeret med q [-].
Da deformationerne, og dermed tøjningerne, i prøven bliver store i forhold
til de tøjninger, der normalt betragtes i ingeniørmæssig sammenhæng, kan
der ikke benyttes lineære tøjninger. Derfor benyttes de naturlige logaritmiske
tøjninger.
I det følgende behandles triaksialforsøg nr. 2, der som repræsentativt eksempel
viser, hvordan de geotekniske parametre findes ud fra de målte størrelser.
199

E. Triaksialforsøg
Resultatbehandling af brudforsøg nr. 2
I det følgende bestemmes sandmaterialets styrke- og deformationsparametre
ved et kammertryk på 80 kPa, og der redegøres for, hvorledes parametrene
fastlægges ud fra de målte størrelser.
Elasticitetsmoduler E50 og Eur
Følgeligt bestemmes elasticitetsmodulerne E50 og Eur, som er henholdsvis den
elasto-plastiske modul og det elastiske genbelastnings modul.
Ved at plotte deviatorspændingen, q, som funktion af aksialtøjningen, ε1, fås
en arbejdskurve for sandmaterialet, se figur E.6, og ved at indlægge en sekant
til den første belastningsgren, der går gennem punktet svarende til 50% af
brudværdien, kan E50 bestemmes. Den elasto-plastiske modul fås af figur E.6
til 24,7 MPa.
q [kPa]
300
250
200
150
100
50
(ε 1 −q) − kurve
Sekant E 50
Tangent E ur
0
0 2 4 6
ε [%]
1
8 10 12
Figur E.6
(ε1, q)-diagram til bestemmelse af E50 og Eur.
Eur bestemmes som hældningen af aflastnings- og genbelastningskurvens tangentlinie,
og findes af figur E.6 til 73,3 MPa. Eur er typisk ca. tre gange så stor
som E50 [Brinkgreve 2002, s. 5-3], hvilket resultaterne af forsøgene også viser.
200

Poissons forhold ν
ε 3 [%]
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
0 2 4 6
ε [%]
1
8 10 12
E. Triaksialforsøg
(ε 1 − ε 3 )−kurve
Tangent
Figur E.7
(ε1, ε3)-diagram til bestemmelse af poissons forhold ν.
Poissons forhold er givet ved formel (E.1), og findes ved at indlægge en tangent
til den del af kurven, der svarer til genbelastningsgrenen, se figur E.7.
ν = − dε3
dε1
Poissons forhold bestemmes af figur E.7 til 0,32.
Bulkmodulen K og forskydningsmodulen G
(E.1)
Bulkmodulen, K, og forskydningsmodulen, G, er elastiske deformationsparametre,
som henholdsvis indgår i relationen mellem middelspændinger og volumentøjninger
samt deviatorspændinger og deviatortøjninger. K og G findes af
følgende relation [Wood 1990, s. 42]:
δεv
=
δεq
1/K 0
·
0 1/3G
δp
δq
Figur E.8 viser et (εv, p)-diagram, og bulkmodulen findes som hældningen af
tangenten til kurvegrenen, der svarer til genbelastningsgrenen. K findes af figur
E.8 til 79,2 MPa.
201

E. Triaksialforsøg
p [kPa]
180
160
140
120
100
80
(ε v − p)−kurve
Tangent
60
−5 −4 −3 −2
ε [%]
v
−1 0 1
Figur E.8
(εv, p)-diagram til bestemmelse af bulkmodulen K.
Kurveknækket på den anden aflastningsgren skyldes en fejlmåling.
G bestemmes som hældningen af tangenten til genbelastningskurven, og bestemmes
ud fra figur E.9 til 30,3 MPa .
q [kPa]
300
250
200
150
100
50
(ε q − q)−kurve
Tangent
0
−2 0 2 4 6 8 10 12
ε [%]
q
Figur E.9
(εq, q)-diagram til bestemmelse af forskydningsmodulen G.
Et estimat af bulk- og forskydningsmodulen kan også findes af følgende to
udtryk, idet der forudsættes lineær isotrop hyperelasticitet [Wood 1990, s. 38-
40]:
202
• Bulkmodulen: K = E
3·(1−2·ν)

• Forskydningsmodulen: G = E
2·(1+ν)
E. Triaksialforsøg
Ved anvendelse af ovenstående udtryk fås K = 67,9 MPa og G = 27,8 MPa.
Grunden til at disse værdier afviger fra de ovenfor fastlagte, skyldes en usikkerhed
ved indlæggelse af tangenterne.
Friktionsvinklen ϕtr
Den triaksiale friktionsvinkel, ved kammertrykket: 80 kPa, findes ved at plotte
Mohrs cirkel ud fra største og mindste hovedspænding, og indlægge en tangent
til cirklen, se figur E.10. Friktionsvinklen, ϕtr, er således vinklen mellem
σ-aksen og tangenten, idet Coulombs brudbetingelse antages gældende for sandet.
Friktionsvinklen findes af figur E.10 til 40,3 ◦ .
τ [kPa]
200
150
100
50
0
−50
−100
−150
−200
φ tr
σ 3
Mohrs diagram
Mohrs cirkel, σ 3 = 80kPa
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
σ [kPa]
Figur E.10
Mohrs diagram til bestemmelse af friktionsvinklen, ϕtr, for et kammertryk på 80 kPa.
Med udgangspunkt i Coulombs brudbetingelse formuleret i (p ′ , q) kan ϕtr også
findes af følgende udtryk, hvor index u angiver, at det er den ultimative brudværdi
[Krenk 1998, s. 6]:
ϕtr = sin −1 (
3 · qu
) (E.2)
6 · pu + qu
Af formel (E.2) fås ϕtr = 40,0 ◦ , og afvigelsen fra friktionsvinklen fundet ud fra
Mohrs diagram skyldes usikkerhed ved indlæggelse af tangenten til cirklen.
Dilatationsvinklen ψ
Ved at betragte et (ε1, εv)-diagram, se figur E.11, kan dilatationsvinklen findes
af nedenstående udtryk E.3, som kan udledes ved at betragte Mohrs cirkel for
tøjninger [Jacobsen 1989, s. 75]:
σ 1
203

E. Triaksialforsøg
sin(ψ) =
dεv
dεv − 2ε1
(E.3)
Dilatationsvinklen fastlægges til 11,3 ◦ , idet (ε1, εv)-kurven betragtes i intervallet
ε1 = [1, 5; 8, 0].
ε v [%]
1
0
−1
−2
−3
−4
(ε 1 − ε v )−kurve
−5
0 2 4 6
ε [%]
1
8 10 12
Figur E.11
(ε1,εv) - diagram til bestemmelse af dilatationsvinklen ψ.
Resultater fra samtlige brudforsøg
I tabel E.1 ses styrke- og deformationsparametre fra de fire drænede brudforsøg.
Parametre Enhed Forsøg 1 Forsøg 2 Forsøg 3 Forsøg 4
Kammertryk σ3 [kPa] 40 80 160 320
Middelspænding pu [kPa] 92,2 177,3 331,6 653,5
Deviatorspænding qu [kPa] 155,1 290,7 513,3 999,5
Volumentøjning εv [%] -3,0 -2,6 -1,7 -1,8
Deviatortøjning εq [%] 7,7 7,6 7,8 8,0
Aksialtøjning ε1 [%] 6,7 6,8 7,2 7,4
Friktionsvinkel ϕtr [ ◦ ] 41,0 40,0 38,0 37,6
Dilatationsvinkel ψ [ ◦ ] 12,1 11,3 9,8 9,6
E-modul E50 [MPa] 19,0 24,7 24,4 34,7
E-modul Eur [MPa] 53,8 73,3 81,8 116,3
Poissons forhold ν [-] 0,31 0,32 0,32 0,30
Bulkmodulen K [MPa] 37,4 79,2 125,4 207,1
Forskydningsmodulen G [MPa] 22,2 30,3 78,7 95,2
Tabel E.1
Styrke- og deformationsparametre fra de fire triaksiale brudforsøg
Mohrs diagram: ϕs og ϕt
204

E. Triaksialforsøg
Den generelle triaksiale friktionsvinkel for sandmaterialet bestemmes ved at
plotte alle fire Mohrske cirkler i brudtilstanden, se figur E.13. Friktionsvinklen
kan herefter bestemmes på to forskellige måder [Jacobsen 1989, s. 61]:
• Rent friktionsmateriale (c = 0): sekantfriktionsvinklen ϕs
- Coulombs brudbetingelse: τ = σ · tan(ϕs)
• Med kohæsion (c = 0): tangentfriktionsvinklen ϕt
- Coulombs brudbetingelse: τ = ct + σ · tan(ϕt)
Figur E.12 viser en principskitse af sekantfriktionsvinklen (a), ϕs, og tangentfriktionsvinklen
(b), ϕt.
Figur E.12
Sekantfriktionsvinklen (a), tangentfriktionsvinklen (b) og krum brudbetingelse (c).
Af figur E.13 fremgår Mohrske cirkler for de fire forskellige kammertryk, og der
er indtegnet en sekant til bestemmelse af ϕs samt en tangent til fastlæggelse
af ϕt. Friktionsvinklen bestemmes af figur E.13 til henholdsvis ϕs = 37,2 ◦ og
ϕt = 35,4 ◦ . Kohæsionen, ct, bestemmes til 18 kPa.
τ [kPa]
600
500
400
300
200
100
0
−100
−200
−300
−400
Mohrs diagram
φ s
σ 3 = 40kPa
σ 3 = 80kPa
σ 3 = 160kPa
σ 3 = 320kPa
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
σ [kPa]
Figur E.13
Plot af mohrske cirkler til bestemmelse af ϕs og ϕt.
φ t
205

E. Triaksialforsøg
Tangentfriktionsvinklen, ϕt, vurderes at være den mest troværdige friktionsvinkel,
da anvendelse af sekantfriktionsvinklen, ϕs, medfører for store forskydningsspændinger
ved store normalspændinger og omvendt ved små normalspændinger.
Der kan vælges at se bort fra kohæsionen, som fås ved indlæggelse
af tangenten, hvilket er på den sikre side [Jacobsen 1989, s. 61].
Den mest optimale brudbetingelse fås ved at lave tangenten krum for σ →
0, se figur E.12(c), da effektive spændinger i jord ikke kan blive negative
[Jacobsen 1989, s. 63]. Der undersøges dog ikke en brudbetingelse med krum
kurve.
Coulomb (p ′ , q)-diagram: ϕtr
Den generelle friktionsvinkel for sandmaterialet kan alternativt bestemmes af
et Mohr-Coulomb (p ′ , q)-diagram med brudpunkter fra de fire brudforsøg. Figur
E.14 viser (p ′ , q)-diagrammet med (p ′ , q)-kurver for de fire forskellige kammertryk.
Endepunktet af hver (p ′ , q)-kurve er brudpunktet for det pågældende
brudforsøg, og ved at indlægge en tendenslinie gennem brudpunkterne, se figur
E.14, kan friktionsvinklen findes af følgende udtryk, der svarer til (E.2)
[Wood 1990, s. 178].
M =
6 · sin(ϕtr)
3 − sin(ϕtr)
Hvor M er (p, q)-tangentens hældning [-].
(E.4)
Den triaksiale friktionsvinkel findes således af formel (E.4) til ϕt = 35,7 ◦ (ct
= 24 kPa), når der antages lidt kohæsion for sandet, og den findes til ϕs =
37,4 ◦ , når sandet antages at være ren friktionsjord. I et senere opsummeringsafsnit
sammenlignes friktionsvinkler fra Mohrs diagram med friktionsvinkler fra
Mohr-Coulombs (p ′ , q)-diagram.
206
q [kPa]
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
σ 3 = 40kPa
σ 3 = 80kPa
σ 3 = 160kPa
σ 3 = 320kPa
−200 0 200 400
p [kPa]
600 800
Figur E.14
Plot af (p ′ , q)-kurver samt tendenslinier til bestemmelse af ϕt og ϕs.

E. Triaksialforsøg
Deviatorspænding som funktion af aksialtøjning: (ε1, q)-diagram
På figur E.15 plottes arbejdskurver og brudpunkter for alle brudforsøg i et
(ε1, q)-diagram.
q [kPa]
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
σ 3 = 40kPa
σ 3 = 80kPa
σ 3 = 160kPa
σ 3 = 320kPa
Brudpunkter
0
−1 0 1 2 3 4
ε [%]
1
5 6 7 8 9
Figur E.15
(ε1, q)-diagram med alle brudforsøgskurver.
Det ses af figur E.15, at de fire arbejdskurver har forskellige spændingsafhængige
elasticitetsmoduler svarende til de fire elasto-plastiske moduler, E50, der fremgår
af tabel E.1.
Volumentøjning som funktion af aksialtøjning: (ε1, εv)-diagram
Figur E.16 viser volumentøjningen som funktion af aksialtøjningen ved alle
brudforsøg, og det bemærkes, hvordan jordprøverne først kompakterer (positiv
εv) og derefter dilaterer (negativ εv). Dilatation skyldes glidninger og rotationer
af kornene ved højt stempeltryk.
207

E. Triaksialforsøg
ε v [%]
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
−3.5
σ 3 = 40kPa
σ 3 = 80kPa
σ 3 = 160kPa
σ 3 = 320kPa
−4
0 1 2 3 4 5
ε [%]
1
6 7 8 9 10
E.4 Opsummering
Figur E.16
(ε1, εv)-diagram med alle brudforsøgskurver.
Der er bestemt styrke- og deformationsparametre for sandmaterialet ud fra fire
drænede triaksialforsøg. De geotekniske parametre er fundet ved standardiserede
tangent- og sekantmetoder, og vurderes at have en tilfredsstillende størrelsesorden.
Den triaksiale friktionsvinkel er fundet på fire forskellige måder:
• Mohrs diagram: Sekantfriktionsvinklen ϕs.
• Mohrs diagram: Tangentfriktionsvinklen ϕt.
• Coulomb (p − q)-diagram: Friktionsvinkel med kohæsion ϕt.
• Coulomb (p − q)-diagram: Friktionsvinkel uden kohæsion ϕs.
Sekantfriktionsvinklen, fundet ud fra Mohrs diagram, skal gerne være lig friktionsvinklen
uden kohæsion fundet ud fra et Coulomb (p, q)-diagram, og afvigelsen
mellem de to størrelser skyldes upræcis indlæggelse af sekant og tendenslinie.
Gennemsnittet fås til 37,3 ◦ , hvilket følgeligt benævnes den endeligt
fastlagte sekantfriktionsvinkel for sandet. Sekantfriktionsvinklen på 37,3 ◦ skal
anvendes i funderingsberegninger, når sandet regnes som rent friktionsmateriale.
På samme måde skal tangentfriktionsvinklen og friktionsvinklen med kohæsion
fundet ud fra et Coulomb (p, q)-diagram gerne have samme værdi, og ved
at tage gennemsnittet af de to størrelser fås en endeligt bestemt tangentfriktionsvinkel
på 35,6 ◦ . Tangentfriktionsvinklen benyttes i funderingsberegninger,
208

E. Triaksialforsøg
når sandet antages at have kohæsion. Kohæsionen, ct, fastsættes til gennemsnitligt
21 kPa. De endeligt fastlagte friktionsvinkler fremgår af tabel E.2.
ϕtr = ϕs (c = 0) ϕtr = ϕt (ct = 21 kPa)
37,3 ◦ 35,6 ◦
Tabel E.2
Triaksiale friktionsvinkler.
Da langt de fleste geotekniske analyser karakteriseres ved en plan deformationstilstand,
se formel (E.5), anvendes den plane friktionsvinkel, ϕpl, som er givet
ved udtryk (E.6) [Harremoës et al. 2000, s. 8.17].
σ1 > σ2 > σ3
ϕpl = 1, 1 · ϕtr
De plane friktionsvinkler for de to tilfælde fremgår af tabel E.3.
ϕpl (c = 0) ϕpl (c = 0)
41,0 ◦ 39,2 ◦
Tabel E.3
Plane friktionsvinkler.
(E.5)
(E.6)
Da projektgruppen ikke selv har udført triaksialforsøgene, vides det ikke, om
der under forsøgene har været forsøgsfejl af betydning. De plottede kurver
tyder dog ikke på større fejlkilder, hvorfor resultaterne vurderes at være tilfredsstillende.
209

APPENDIKS
F. Cone Penetration Test
F ttt
Cone Penetration Test
ttt
F.1 Formål
Formålet med denne test er at vurdere lagfølgen ned igennem jorden på den
undersøgte lokalitet og bestemme forskellige parametre for disse lag. Disse
parametre skal senere bruges til dimensionering af fundament, ved brudlinier
og i Plaxis.
En cone penetration test, (CPT) er et markforsøg. Ved analyse af testresultaterne
er det muligt at finde en lagfølge af jorden til prøvens dybde. Følgende
måles på lokaliteten:
• Spidsmodstand, qc
• Overflademodstand, fs
• Poretryk, u2
Følgende beregnes ud fra måleresultater:
• Rumvægt, γ
• Relativ lejringstæthed, ID
• Friktionsvinkel, ϕ
• Constrained modul/Oedometerstivhed, M/Eoed
F.2 Forudsætninger
Det forudsættes, at jordprofilet hovedsagligt består af normalkonsolideret sand
med svagt indhold af organisk materiale. Alle beregninger udføres derfor med
formler gældende for friktionsjord. Hvis der enkelte steder optræder lag med et
211

F. Cone Penetration Test
stigende organisk indhold forventes det, at resultaterne ved disse beregninger
afviger fra det aktuelle.
Ved bestemmelse af jordtype og rumvægt, er der dog brugt empiriske diagrammer,
som passer til alle jordtyper.
F.3 Forsøgsopstilling/Udførelse
Måleinstrumentet består af en kegle og en friktionsmåler, se figur F.1, som
er placeret yderst på det spyd, der skal presses ned i jorden. Keglen måler
spidsmodstanden, qc, og poretrykket, u2, mens overflademodstanden, fs, måles
af friktionsmåleren.
Figur F.1
Illustration af CPT instrumentets nederste del der registrere de forskellige parametre.
På figur F.2 ses opstillingen af selve forsøget. Selve instrumentet er 1 m langt,
og derfor skal det, for at nå ned i dybere liggende lag, påskrues stænger af
1 m, mens den presses ned i jorden. Instrumentet presses vha. et hydraulisk
tryk ned i jorden med en konstant hastighed på 1,2 m/min, til en dybde af ca.
16 m. Som det ses på figuren, er det nødvendigt med modvægt for at presse
instrumentet ned.
212

Figur F.2
Forsøgsopstilling.
F. Cone Penetration Test
Der blev udført fire CPT forsøg (CPT-B212, CPT-B213, CPT-B223 og CPT-
Ekstra). I det følgende afbildes forsøg CPT-B212, og resultaterne af de andre
forsøg fremgår af opsamlingstabellerne.
F.4 Resultater
CPT udstyret måler med et tidsinterval, der svarer til en måling hver 0,02 m
ned gennem jorden. Hydraulikken kan kun presse 80 cm af gangen, hvorefter de
måles mens hydraulikken gør klar til at presse igen. Derfor er det ikke muligt
at lave en kontinuert måling, og der fremkommer som resultat heraf forkerte
målinger med mellemrum på 80 cm. Resultaterne skal derfor korrigeres manuelt
for disse fejlmålinger, og på figur F.3 ses de korrigerede resultater fra forsøget.
213

F. Cone Penetration Test
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
0 2 4 6 8 10 12 14
Spidsmodstand q c [MPa]
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Lag 1
Lag 2
Lag 3
Hydrostatisk tryk
Lag 4
Poretryk u 2 og u 0 [MPa]
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
Figur F.3
De korrigerede CPT resultater fra CPT-B212.
0 0,02 0,04 0,06 0,08
Overflademodstand f s [MPa]
Det er muligt, vha. poretrykket, u2, at bestemme placeringen af grundvandspejlet.
På lokaliteten så det ud som om, at vandpejlet var placeret i kote 0,
men ud fra CPT-målingerne ses det, at det er kapilarvand, og at vandspejlet er
beliggende i kote -1,5. Den ekstra måling giver dog en vandstand i kote 0, idet
at de andre prøver alle får GVS i kote -1,5, må det være en fejl i måleapparatet
ved denne prøve.
Ud fra figur F.3 er det muligt at skønne en lagdeling af jorden. Disse 4 lag
er gældende for alle forsøg. Dog er dybden af de enkelte lag forskellige, og de
varierer med op til ca. 1,5 m. se tabel F.1.
214

F. Cone Penetration Test
CPT B212 B213 B223 Ekstra
Lag 1: 0,0 – -5,3 0,0 – -4,5 0,0 – -5,0 0,0 – -6,3
Lag 2: -5,3 – -7,0 -4,5 – -7,0 -5,0 – -6,8 -6,3 – -8,6
Lag 3: -7,0 – -10,7 -7,0 – -10,5 -6,8 – -10,7 -8,6 – -10,7
Lag 4: -10,7 – (-16,1) -10,5 – (-15,4) -10,7 – (-16,0) -10,7 – (-16,1)
GVS: -1,5 -1,5 -1,5 0
Tabel F.1
Koten af de forskellige lag. (-) er dybden af den enkelte CPT-prøve.
F.5 Rumvægt- og jordartsbestemmelse
Ud fra empiriske formler og skemaer er det muligt at bestemme rumvægten af
jorden og jordtypen.
Spidsmodstanden skal korrigeres for et ekstra poretryk på spidsmodstanden.
Den korrigerede spidsmodstand, qt, bestemmes ud fra formel (F.1) [Jacobsen
& Gwizdala 1992, s. 26].
qt = qc + u2(1 − a) (F.1)
Hvor u2 er poretrykket [MPa].
a er et arealforhold, se figur F.1 [-].
D = 36 mm , d = 32,8 mm , a = 9,11
En rumvægt skønnes til udregning af den vertikale spænding, σv0, og det normaliserede
friktionsforhold, Fr, og poretryksforholdet, Bq, bestemmes ud fra
formel (F.2) og (F.3) [Lunne, Robertson & Powell 1997, s. 53].
Fr =
fs
qt − σv0
Bq = u2 − u0
qt − σv0
· 100 [%] (F.2)
[-] (F.3)
Disse kan afbildes sammen med den korrigerede spidsmodstand i et Robertson
diagram [Lunne et al. 1997, s. 53], og udfra placering af de plottede værdier kan
rumvægten aflæses i tabel F.2. Ud fra Robertson diagrammet kan jordtypen
også bestemmes. På figur F.4 til F.7 ses en afbildning af lag 1-4.
215

F. Cone Penetration Test
216
Figur F.4
Afbildning af lag 1 fra CPT-B212 i Robertson diagram.
Figur F.5
Afbildning af lag 2 fra CPT-B212 i Robertson diagram.
Figur F.6
Afbildning af lag 3 fra CPT-B212 i Robertson diagram.

Figur F.7
Afbildning af lag 4 fra CPT-B212 i Robertson diagram.
F. Cone Penetration Test
Områderne på figur F.4 til F.7 angiver rumvægt, som ses i tabel F.2 [Lunne
et al. 1997, s. 56].
Zone Rumvægt [kN/m 3 ]
4 18,0
5 18,0
6 18,0
7 18,5
8 19,0
9 19,5
10 20,0
Tabel F.2
Skønnede rumvægte baseret på jordbeskrivelsen.
Ved at plotte de forskellige lag i et Robertson diagram kan jordtypen af lagene
bestemmes:
Lag 1: er et sandlag.
Lag 2: er et sandet siltlag.
Lag 3: er et sandlag.
Lag 4: er et leret siltlag/gruslag.
I tabel F.3 ses rumvægten for de forskellige lag.
CPT: B212 B213 B223 Ekstra
Lag 1: 19,25 19,25 19,25 19,25
Lag 2: 19,75 19,75 19,75 19,75
Lag 3: 19,00 19,00 19,00 19,00
Lag 4: 18,00 18,00 18,00 18,00
Gennemsnit ∗) : 18,83 18,88 18,83 18,87
Tabel F.3
Rumvægt af de forskellige lag [kN/m 3 ]. ∗) Gennemsnittet er vægtet med dybden af laget.
217

F. Cone Penetration Test
F.6 Lejringstæthed og poretal
Ved at bruge den modificerede Schmertmann, metode er det muligt at bestemme
den relative lejringstæthed. Til dette bruges formel (F.4) og (F.5) [Jacobsen
& Gwizdala 1992, s. 38-39].
qc
ID = −98 + 66 · log
(σ ′ v) 0,5
Blå, figur F.8 (F.4)
ID = 1
qc
· ln
· 100 Rød, figur F.8 (F.5)
C2
C0(σ ′ v )C1
Hvor qc er spidsmodstanden [MPa].
σ ′ v
er den effektive spænding σv0 − u0 [MPa].
C0 C1 C2 er jordkonstanter [-]
C0 = 61 C1 = 0, 71 C2 = 2, 91
Ud fra lejringstætheden er det muligt, med kendskab til det maksimale (emax =
0, 93) og minimale (emin = 0, 56) poretal fra tabel D.12, at regne insitu poretal
(einsitu). Det maksimale og minimale poretal er bestemt ud fra klasifikationsforsøg,
se appendiks D. Insitu poretallet regnes ud fra formel (F.6) [Lunne
et al. 1997, s. 82].
ID = emax − einsitu
emax − emin
(F.6)
På figur F.8 ses lejringstætheden ned igennem jordlagene for prøve CPT-B212.
Det ses, at formel (F.5) ikke passer, idet den giver lejringstætheder over 100%
samt negative lejringstætheder. Formel (F.5) kan alternativt udregnes med
andre jordkonstanter. Der er regnet med konstanter fra [Lunne et al. 1997, s.
84] og fra 10. semester projekt:
[Lunne et al. 1997, s. 84]: C0 = 157 C1 = 0, 55 C2 = 2, 41
10. semester projekt: C0 = 181 C1 = 0, 55 C2 = 2, 61
Men disse giver også lejringstætheder over 100% og negative lejringstætheder.
Derfor ses der bort fra denne formel ved de videre sammenligninger.
218

-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
-50 0 50 100 150
Lag 1
Lag 2
Lag 3
Lag 4
Relativ lejringstæthed I D [%]
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Insitu poretal e insitu [-]
F. Cone Penetration Test
I D = 76,59 %
e insitu = 0,64
I D = 46,47 %
e insitu = 0,75
I D = 58,22 %
e insitu = 0,71
I D = 12,62 %
e insitu = 0,88
Figur F.8
Afbildning af den relative lejringstæthed for CPT-B212.
I tabel F.4 ses resultaterne fra de andre prøver.
CPT: B212 B213 B223 Ekstra
Lejringstæthed:
Interval: -2% – 103% -5% – 105% -20% – 101% -35% – 115%
Middel: 44,7% 46,1% 43,1% 47,7%
Insitu poretal:
Interval: 0,54 – 0,93 0,53 – 0,94 0,55 – 1,00 0,49 – 1,06
Middel: 0,75 0,76 0,77 0,75
Tabel F.4
Lejringstætheder og insitu poretal for alle prøver.
Det ses i tabel F.4, at lejringstætheden bliver over 100%, hvilket skyldes, at
formlen er en empirisk formel, og derfor ikke passer i alle tilfælde. Hvis formlerne
skulle passe til dette sand, skal der udføres en række forsøg og formlerne
skal fittes til disse forsøg. Insituporetallet overstiger nogle tilfælde også det
219

F. Cone Penetration Test
maksimale og minimale poretal. Det betyder, at sandet på lokaliteten er mere
eller mindre komprimeret, end det er muligt, at gøre i laboratoriet.
F.7 Friktionsvinkel
Ved at bruge den modificerede Janbu og Senneset metode, er det muligt, at
bestemme jordens effektive friktionsvinkel, ϕ, igennem jordlagene, hvilket gøres
ud fra formel (F.7) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 34-40].
Nq = tan 45 + ϕ
2 · e
2
Nq = qc
σ ′ v
π
( +4ϕ) tan(ϕ)
3
Hvor Nq er en bæreevnefaktor [-].
ϕ er jordens effektive friktionsvinkel [ ◦ ].
qc er spidsmodstanden målt ved CPT-forsøg [MPa].
σ ′ v er den effektive spænding [MPa].
(F.7)
Dette giver en fordeling af friktionsvinklen for prøve CPT-B212, som ses på
figur F.9. Som det ses på figuren, er der stor variation af friktiononsvinklen
ned igennem lagene. Dette er også forventet, idet det nederste lag er et kohæsionslag,
og det øverste er friktionslag. En anden grund til at der findes små
friktionsvinkler i leret, er at formel (F.7) kun gælder for normalkonsolideret og
let overkonsolideret sand. Derfor vurderes at friktionsvinklerne for leret ikke
er de rigtige.
220

-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
20 30 40 50 60
Friktionsvinkel φ [º]
Lag 1
φ = 42,69º
Lag 2
φ = 35,81º
Lag 3
φ = 37,38º
Lag 4
φ = 27,28º
Figur F.9
Friktionsvinkel for prøve CPT-B212.
I tabel F.5 ses friktionsvinklen for de resterende prøver.
F. Cone Penetration Test
CPT: B212 B213 B223 Ekstra
Interval: 23,3 ◦ – 50,9 ◦ 22,9 ◦ – 50,3 ◦ 18,2 ◦ – 49,4 ◦ 13,1 ◦ – 51,1 ◦
Middel: 35,4 ◦ 35,8 ◦ 35,1 ◦ 36,4 ◦
Tabel F.5
Friktionsvinkel for alle prøver.
F.8 Constrained modul - Oedometerstivhed
Der kan ud fra forsøget bestemmes en constrained modul, M, som er en endimensional
elastisitetsmodul for lagene. Dette gøres, for at sammenligne med
resultaterne fra triaksial forsøg, jf. appendiks E.
221

F. Cone Penetration Test
Baggrunden for bestemmelsen af modulet er en empirisk formel udarbejdet
af Lunne og Christophersen. De har udviklet følgende empiriske formel for
constrained modulen for siltet sand der beregnes efter hvilken spidsmodstand
jorden har, se formel (F.8) [Jacobsen & Gwizdala 1992, s. 42].
M = 4qc for qc < 10MPa
M = 2qc + 20MPa for 10MPa < qc < 50MPa (F.8)
M = 120MPa for qc < 50MPa
Dette giver en variation af constrained modulen, M, ned igennem jordlagene,
som ses på figur F.10. Ud for hvert lag vises den gennemsnitlige constrained
modul for det tilhørende lag.
-0,5
-1,5
-2,5
-3,5
-4,5
-5,5
-6,5
-7,5
-8,5
-9,5
-10,5
-11,5
-12,5
-13,5
-14,5
-15,5
-16,5
0 10 20 30 40 50 60
Constrained Modul M [MPa]
Lag 1
M = 31,26 MPa
Lag 2
M = 17,01 MPa
Lag 3
M = 29,59 MPa
Lag 4
M = 7,28 MPa
Figur F.10
Constrained modul for prøve CPT-B212.
Middelværdi og variation af constrained modulen fremgår af tabel F.6.
222

CPT: B212 B213 B223 Ekstra
F. Cone Penetration Test
Interval: 3,5 – 44,6 0,9 – 47,0 0,8 – 46,3 1,2 – 48,6
Middel: 21,0 20,5 19,4 20,1
F.9 Opsummering
Tabel F.6
Constrained modul for alle prøver [MPa].
Ud fra CPT-forsøget er det muligt at optegne en lagfølgetegning af lokaliteten.
Der er muligt at bestemme enkelte parametre for jorden, og efterfølgende er
de gennemsnitlige værdier af disse opstillet.
• Rumvægt: γ = 18, 9 kN/m 3 .
• Relativ lejringtæthed: ID = 45, 4 %.
• Friktionsvinkel: ϕ = 35, 7 ◦ .
• Constrained modul: M = 20, 3 MPa.
Der er ved dette forsøg en del usikkerheder. Udregningerne antager, at det er
friktionsjord, hvilket det ikke er i bunden af prøven (lag 4), og værdierne er
derfor ikke korrekte i dette lag.
Idet der i projektet kun skal bruges et fyldlag på ca. 10 m, er der regnet de
gennemsnitlige værdier af parametrene for de øverste 3 lag.
• Rumvægt: γ = 19, 3 kN/m 3 .
• Relativ lejringtæthed: ID = 64, 3 %.
• Friktionsvinkel: ϕ = 40, 1 ◦ .
• Constrained modul: M = 27, 0 MPa.
223

APPENDIKS
G. Materialemodeller
G ttt
Materialemodeller
ttt
I elementprogrammet Plaxis kan benyttes flere forskellige materialemodeller,
hvoraf Mohr-Coulomb modellen er den mest simple. En mere avanceret model
er Hardening-Soil modellen, der anvender en spændingsafhængig stivhed
og en hyperbolsk arbejdskurve. I det følgende redegøres der for de to nævnte
materialemodeller, da det er disse to modeller, der er anvendt i den numeriske
analyse af fundamentet til bropillen.
G.1 Mohr-Coulomb modellen
Modellen kaldes Mohr-Coulomb, da brudmåden kan beskrives ved Mohrske
cirkler, og brudkriteriet er opstillet af Coulomb. Modellen er simpel, da jordmaterialet
antages lineær elastisk-idealplastisk. Det betyder, at for spændinger
mindre end flydespændingen er materialet lineærelastisk, og når der indtræder
flydning, opfører materialet sig idealplastisk, se figur G.1.
Figur G.1
Mohr-Coulomb arbejdskurve.
225

G. Materialemodeller
I hovedspændingsrummet er Coulombs brudbetingelse givet ved følgende flydeflade:
f = 1
2 (σ′ max − σ′ 1
min ) −
2 (σ′ max + σ′ min ) sin ϕ − c cosϕ ≤ 0
For f < 0 er spændingerne mindre end flydespændingen, og materialeopførslen
er elastisk. Når f er lig med nul, betyder det, at spændingerne er lig med
flydespændingen, og materialeopførslen er plastisk.
På figur G.2 ses Mohr-Coulombs brudbetingelse, for en kohæsion lig nul, i
hovedspændingsrummet.
Figur G.2
Mohr-Coulomb flydefladen i hovedspændingsrummet for c lig nul.
Indenfor plasticitetsteorien er plastiske tøjninger, ˙ε p , proportionale med den
afledte af flydefunktionen, f, med hensyn til spændingerne, σ, hvilket betegnes
associeret plasticitet (f = g). Anvendes associeret plasticitet ved Mohr-
Coulomb modellen, fås for store volumentøjninger, hvorfor det er mere hensigtsmæssigt,
at benytte ikke-associeret plasticitet (f = g) [Brinkgreve 2002,
s. 3-1]. Begreberne associeret og ikke associeret plasticitet beskrives yderligere
i appendiks I. Den ikke-associerede Mohr-Coulomb model fås ved at indføre en
potentialfunktion, som beskriver modellens plastiske tøjninger. Potentialfunktionen
fremgår af formel (G.1).
g = 1
2 (σ′ max − σ′ 1
min ) −
2 (σ′ max + σ′ min )sin ψ (G.1)
I potentialfunktionen indgår dilatationsvinklen, ψ, som anvendes til at modellere
de plastiske volumentøjninger. Samtidig er kohæsionsleddet fjernet, da
det ikke har betydning for tøjningerne. Dette skyldes, at tøjningerne bestemmes
ud fra den afledte af potentialfunktionen og leddet udgår derfor.
226

G. Materialemodeller
Når det antages, at jordmaterialet har en vis kohæsion, c, så tillader Mohr-
Coulomb modellen, at jorden kan optage træk. I virkeligheden kan jord ikke
optage træk, hvorfor der i Plaxis er mulighed for, at aktivere tension cutoff
[Brinkgreve 2002, s. 3-4]. Ved anvendelse af tension cut-off ses der bort fra
trækspændinger, hvilket svarer til, at flydefladen afskæres for hovedspændinger
mindre end nul. Der indføres yderligere en flydefunktion, svarende til Rankines
kriterium, til beskrivelse af tension cut-off, se formel (G.2).
ft = σ ′ max − σ ′ t ≥ 0 (G.2)
For flydefunktionen til beskrivelse af Rankines kriterium antages associeret
plasticitet.
G.2 Hardening-Soil modellen
Hardening-Soil modellen er mere avanceret end Mohr-Coulomb modellen, idet
den tager hensyn til hærdning af jorden. Foruden forskydningshærdning indregner
modellen også volumen-/trykhærdning.
Hardening-Soil modellen beskriver jordmaterialets arbejdskurve ved et hyperbolskt
udtryk, da der herved opnås en god tilnærmelse til den virkelige krumme
arbejdskurve. Jordens stivhed bliver spændingsafhængig, og på figur G.3 ses en
hyperbolsk Hardening-Soil (ε1, q)-arbejdskurve for en primær belastning. Den
krumme arbejdskurve nærmer sig ved store aksialtøjninger asymptotisk til
en deviatorspænding, qa, men Hardening-Soil modellen anvender idealplastisk
opførsel, så snart en ultimativ deviatorspænding, qf, er nået [Brinkgreve 2002,
s. 5-3].
Figur G.3
Hyperbolsk Hardening-Soil arbejdskurve ved primær belastning.
Flydefladen er givet ved et udtryk, der afhænger af deviatorspændinger og
plastiske tøjninger, se formel (G.3).
227

G. Materialemodeller
f = ¯ f − γ p
Hvor ¯ f er en funktion af deviatorspændinger.
γ p er en funktion af plastiske tøjninger.
Størrelserne ¯ f og γ p er givet ved følgende udtryk:
¯f = 1
E50
q
1 − q/qa
− 2q
Eur
Hvor E50 er den elasto-plastiske modul [MPa].
q er deviatorspændingen [kPa].
qa er den asymptotiske deviatorspænding [kPa].
Eur er den elastiske genbelastningsmodul [MPa].
γ p = −(2ε p
1 − ε p v) ≈ −2ε p
1
Hvor γ p er en tøjningshærdeparameter [-].
ε p
1 er den plastiske aksialtøjning [-].
ε p v er den plastiske volumentøjning [-].
(G.3)
(G.4)
I formel (G.4) negligeres den plastiske volumentøjning, idet denne er relativt
lille for hårde jordmaterialer [Brinkgreve 2002, s. 5-4].
Under den primære belastning er flydefunktionen lig nul, og der fås følgende
relation [Brinkgreve 2002, s. 5-4]:
−ε p
1 ≈ 1
2E50
q
1 − q/qa
− q
Eur
De elastiske tøjninger, ε e 1, opstår både under den deviatoriske belastning samt
ved aflastning/genbelastning, og er givet ved Hookes lov, se formel (G.5).
−ε e 1
= q
Eur
(G.5)
Under den deviatoriske belastning er den aksiale tøjning givet ved summen af
de elastiske og plastiske tøjninger, hvilket giver følgende hyperbolske udtryk:
−ε1 = −ε e 1 − ε p
1 ≈ 1
2E50
q
1 − q/qa
Til beskrivelse af volumenhærdningen, svarende til oedometerbelastningen (isotropisk
tryk), indføres en cap-flydefunktion, se formel (G.6). Cap-flydefladen
afgrænser det elastisk hærdende område for normalspændinger mens flydefladen
afgrænser hærdningen for forskydningsspændinger. Cap-flydefladen fremgår
af figur G.4.
228

G. Materialemodeller
Figur G.4
Hardening-Soil modellens totale flydeflade afbildet i hovedspændingsrummet for c lig 0.
Cap-flydefunktionen, f c , er givet ved følgende formel (G.6). I udtrykket indgår
en hjælpeparameter, α, der har indflydelse på formen af cap-flydefladen.
f c = ˜q2
α 2 + p2 − p 2 p
Hvor f c er cap-flydefunktionen.
˜q er en korrigeret deviatorspænding [kPa].
α er en hjælpeparameter, der beskriver formen af capfladen [-].
p er den isotrope normalspænding [kPa].
pp er den isotrope forbelastningsnormalspænding [kPa].
(G.6)
Den korrigerede deviatorspænding, ˜q, og den isotrope normalspænding, p, er
givet ved følgende udtryk:
˜q = σ1 + (δ − 1)σ2 − δσ3, δ =
p = − 1
3 (σ1 + σ2 + σ3)
(3 + sin(ϕ))
(3 − sin(ϕ))
Forbelastningsnormalspændingen, pp, indgår i en relation med cap-volumentøjningen,
ε pc
v , se formel (G.7).
ε pc
v
β pp
=
1 − m pref 1−m (G.7)
229

G. Materialemodeller
Hvor ε pc
v
er en cap-volumentøjning [-].
β er en hjælpeparameter [-].
m er en potensfunktions-eksponent [-].
pref er et referencetryk [kPa].
Hjælpeparametrene α og β anvendes ikke som direkte indgangsparametre i
Plaxis, istedet anvendes følgende relationer:
α ⇔ K nc
0 , Knc 0 = 1 − sin(ϕ)
β ⇔ E ref
oed , Eref
oed
= Eref
50
For at få en forståelse for cap-flydefladens form kan figur G.5 betragtes.
Figur G.5
Flydefladerne i et (p,˜q)-diagram. Den elastiske zone kan reduceres vha. tension cut-off.
I et (p, ˜q)-diagram udgør cap’en en ellipse, som har længden pp ud af p-aksen
og αpp op ad ˜q-aksen. Ellipsen anvendes både som flydeflade og potentialflade,
og derfor gælder følgende udtryk:
˙ε pc = λ ∂fc
β pp
, λ =
∂σ 2p pref m ˙pp
pref Cap-flydefladen er altså baseret på associeret plasticitet, hvorimod kegleflydefladen
er baseret på ikke-associeret plasticitet. Herved er volumentøjninger der
opstår fra forskydninger afhængige af dilatationsvinklen ψ, mens volumentøjninger
på cap-flydefladen er funktioner af spændingstilstanden samt jordens
stivhed, Eoed.
230

APPENDIKS
H
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
ttt
Modellering af
triaksialforsøg i
Plaxis
ttt
Formålet med dette appendiks er at kalibrere de materialeparametre, der er
fundet for sandet ved triaksialforsøg, appendiks E, således at de ved indsættelse
i Plaxis giver tilnærmelsesvis samme resultater som triaksialforsøgene. Dette
sikrer, at de materialeparametre, der benyttes ved modellering af fundamentet
i Plaxis, giver resultater, der svarer til virkeligheden. Samtidig giver det en
bedre forståelse for, hvilken betydning de forskellige materialerparametre har
for sandets egenskaber.
I det følgende gøres der først rede for, hvorledes triaksialsforsøget modelleres
og beregnes i Plaxis, og derefter kalibreres Hardening-Soil og Mohr-Coulomb
materialemodellerne.
H.1 Plaxismodel
Da det i Plaxis ikke er muligt at modellere forsøgslegemet fra triaksialforsøgene
i tre dimensioner, modelleres der kun et udsnit af prøven, som dog er repræsentativt
for hele prøven. På figur H.1 ses det udsnit af prøven der modelleres, og
det ses, at dette udsnit er rotations-symmetrisk omkring en lodret akse gennem
cylinderens centrum, og symmetrisk omkring midten af cylinderen.
231

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
Figur H.1
Udsnit af triaksialprøve der modelleres.
Figur H.2
Plaxismodel der benyttes ved modellering
af triaksialforsøg.
På figur H.2 ses udsnittet modelleret i Plaxis. Udsnittet er understøttet således
at der tillades vandrette flytninger langs den nederste rand og lodrette flytninger
langs den venstre rand. Derudover belastes udsnittet af prøven på den
øverste og den højre rand. Beregningerne i Plaxis udføres i to trin:
1. Udsnittet påføres det ønskede kammertryk ved at sætte lasterne A og B
lig størrelsen af kammertrykket.
2. Udsnittet påføres et stempeltryk ved at øge lasten A samtidig med at
lasten B holdes konstant lig kammertrykket. Stempeltrykket beregnes
derefter som forskellen mellem lasten A i trin 1 og trin 2.
H.2 Hardening-Soil model
I det følgende bestemmes først de begyndelses indgangsparametre, der er nødvendige
for at benytte Hardening-Soil modellen. Disse parametre bestemmes
udfra resultaterne af triaksialforsøgene, som fremgår af tabel E.1 appendiks
E. Derefter kalibreres disse indgangsparametre således, at arbejdskurverne fra
triaksialforsøgene stemmer tilnærmelsesvis overens med arbejdskurverne fra
Plaxis.
Følgende indgangsparametre bestemmes for materialet:
232
• Den plane friktionsvinkel, ϕpl, og dilatationsvinkel, ψ.
• Kohæsionen, cref.
• Poissons forhold, ν.

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
• Referenceværdier for den elasto-plastiske modul, E ref
50 , oedometer mo-
dulen, E ref
oed
, og den elastiske genbelastningsmodul, Eref
ur
, for et refer-
encetryk, p ref , og en potens, m, der angiver forholdet mellem spænding
og stivhed.
Dette er dog ikke alle parametre i Hardening-Soil modellen, men det vælges at
benytte standardværdierne i Plaxis for de resterende, da disse ikke er bestemt
ved forsøg, og standardværdierne i Plaxis giver realistiske bud på disse
[Brinkgreve 2002, s. 5-10].
I det følgende bestemmes begyndelses indgangsparametrene udfra triaksialforsøget,
og derefter kalibreres disse.
H.2.1 Friktions- og dilatationsvinkel
Ii henhold til appendiks E vurderes det, at tangentfriktionsvinklen er den mest
troværdige, og derfor vælges det at benytte denne som begyndelsesværdi. Tangentfriktionsvinklen
er ved triaksialforsøgene bestemt til 35,6 ◦ , hvilket giver en
plan friktionsvinkel på 39,2 ◦ .
Som dilatationsvinkel vælges det at benytte dilatationsvinklen bestemt i triaksialforsøget
ved referencekammertrykket, som i afsnit H.2.4 bestemmes til
40 kPa. Dilatationsvinklen sættes derfor til 12,1 ◦ .
H.2.2 Kohæsion
Det antages, at jorden ikke er ren friktionsjord, da det vælges at benytte
tangentfriktionsvinklen. Derfor benyttes den kohæsion, som bestemmes sammen
med tangentfriktionsvinklen som begyndelses indgangsparameter. For den
valgte tangentfriktionsvinkel er kohæsionen bestemt til 21,0 kPa, jf. tabel E.1
appendiks E.
H.2.3 Poissons forhold
Begyndelses indgangsparametren for Poissons forhold findes ved gennemsnittet
ved de forskellige kammertryk i triaksialforsøgene, tabel E.1 appendiks E,
hvilket giver et Poissons forhold på 0,31.
H.2.4 Stivhedsmoduler
I Hardening-Soil modellen bestemmes den elasto-plastiske modul og den elastiske
genbelastningsmodul udfra referenceværdier vha. formel (H.1) og (H.2)
[Brinkgreve 2002, s. 5-2 og 5-3].
233

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
E50 = E ref
50
Eur = E ref
ur
c cosϕpl − σ3 sin ϕpl
c cosϕpl + p ref sin ϕpl
c cosϕpl − σ3 sin ϕpl
c cosϕpl + p ref sin ϕpl
Hvor pref er referencetrykket [kPa].
E ref
50 er referenceværdien af den elasto-plastiske modul ved
referencetrykket, pref [kPa].
Eref ur er referenceværdien af den elastiske genbelastningsmodul ved
referencetrykket, pref [kPa].
ϕpl er den plane friktionsvinkel, som er 39,2 [ ◦ ].
c er kohæsionen som sættes lig 21,0 [kPa].
Potensen m findes ved mindste kvadraters metode udfra følgende trin:
234
m
m
(H.1)
(H.2)
1. For en valgt værdi af m bestemmes E50(m) og Eur(m) for de fire kammertryk
ved varierende værdier af pref , E ref
50 og Eref ur , idet disse sættes
lig resultaterne fra triaksialforsøgene ved de forskellige kammertryk.
2. Efterfølgende bestemmes forskellen mellem de målte og de beregnede
moduler ved samme kammertryk. Da det ønskes at finde den samlede
fejl for både E50 og Eur for den valgte værdi af m, divideres forskellen
mellem de målte og beregnede moduler med de målte værdier.
3. Den samlede fejl bestemmes udfra formel (H.3) for den valgte værdi af
m.
Samlet fejl(m) =
E50(m) − E ref
2 50
2 + Eur(m) − Eref 2 ur
2 E ref
50
E ref
ur
(H.3)
På figur H.3 plottes den samlede fejl som funktion af m, og herudfra
bestemmes m til 0,37 ved den mindste samlede fejl.
Samlet fejl (m) [−]
15
10
5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
m [−]
Figur H.3
Samlet fejl for værdier af m mellem 0 og 1.

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
Referencetrykket og dermed de referencemoduler der giver de bedste resultater
i forhold til forsøgsresultaterne, findes ligeledes ved mindste kvadraters metode,
hvor potensen m er fastsat til 0,37. Fremgangsmåden er følgende:
1. Den elasto-plastiske modul og den elastiske genbelastningsmodul beregnes
udfra formel (H.1) og (H.2) ved de fire forskellige kammertryk, hvor
værdierne fra forsøgene benyttes som referenceværdier.
2. Afvigelsen mellem de beregnede og målte moduler beregnes, og disse
divideres med de målte værdier, således at den samlede fejl for modulerne
kan beregnes.
3. Den samlede fejl beregnes udfra formel (H.4) for de forskellige referenceværdier,
og i tabel H.1 ses den samlede afvigelse for de forskellige
referenceværdier.
Samlet fejl(p ref ) =
E50(p ref ) − E ref
50
E ref
50
2
2
+ Eur(pref ) − Eref ur
E ref
ur
p ref [kPa] 40 80 160 320
Samlet fejl(p ref ) [%] 6,32 11,41 9,53 6,56
Tabel H.1
Samlet fejl ved de fire forskellige referenceværdier.
2
2
(H.4)
Af tabel H.1 fremgår det, at den samlede fejl er mindst ved et referencetryk på
40 kPa, og derfor benyttes dette sammen med de tilhørende reference moduler
som begyndelses indgangsparametre i Plaxis.
Da oedometermodulen ikke kendes ved det valgte referencetryk, sættes referenceværdien
for oedometer modulen lig referenceværdien for den elasto-plastiske
modul, dvs. E50 = Eoed. Dette vælges, da Plaxis som standard benytter dette
ved indtastning af referenceværdien for den elasto-plastiske modul.
H.2.5 Kalibrering
I tabel H.2 ses begyndelses indgangsparametrene, der benyttes ved modellering
af triaksialforsøget i Plaxis, og på figur H.4 ses arbejdskurverne for disse
parametre og triaksialforsøgene.
cref ϕ ψ m ν p ref E ref
50
E ref
oed
E ref
ur
[kPa] [ ◦ ] [ ◦ ] [-] [-] [kPa] [MPa] [MPa] [MPa]
21,0 39,2 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8
Tabel H.2
Begyndelses indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis.
235

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
I de følgende figurer benævnes Hardening-Soil modellen H-S.
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.4
Arbejdskurver for forsøgsresultater og Plaxismodel.
Forsøg 40 kPa
Forsøg 80 kPa
Forsøg 160 kPa
Forsøg 320 kPa
H−S 40 kPa
H−S 80 kPa
H−S 160 kPa
H−S 320 kPa
Af figur H.4 ses det, at der især ved store kammertryk, er væsentlige forskelle
mellem arbejdskurverne. Det tyder dog på, at den relative afvigelse mellem arbejdskurverne
tilnærmelsesvis er konstant for alle kammertrykkene. Derfor undersøges
det i det følgende, hvilken betydning de forskellige indgangsparametre
har for arbejdskurvens udseende og placering, således at disse kan kalibreres i
henhold til forsøgsparametrene. Indgangsparametrenes betydning undersøges
ved at variere parametrene en af gangen og optegne og sammenligne disse
arbejdskurver med arbejdskurven optegnet udfra begyndelses indgangsparametrene.
På de følgende figurer illustreres arbejdskurven fra forsøg og begyndelses indgangsparametrene
til Plaxis med de samme benævnelser som på figur H.4, og
hvis ikke andet angives, benyttes indgangsparametrene i tabel H.2.
Ved at reducere kohæsionen fra 21,0 til 10,0 kPa ses det af figur H.5, at flydespændingen
reduceres med den samme værdi for alle kammertryk, mens
arbejdskurvernes forløb op til flydespændingen næsten ikke ændres.
236
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.5
Arbejdskurver ved reduceret kohæsion.
c ref = 10,0 kPa
c ref = 10,0 kPa
c ref = 10,0 kPa
c ref = 10,0 kPa

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
Ved at ændre friktionsvinklen med ca. ± 2 ◦ ses det af figur H.6, at flydespændingen
øges når, friktionsvinklen øges. Derudover ses det, at forøgelsen
af flydespændinger afhænger af kammertrykket. Endvidere kan det vises, at
flydespændingen tilnærmelsesvis varierer lineært med tangens til friktionsvinklen.
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.6
Arbejdskurver ved variation af friktionsvinklen.
φ = 37,0 °
φ = 37,0 °
φ = 37,0 °
φ = 37,0 °
φ = 41,0 °
φ = 41,0 °
φ = 41,0 °
φ = 41,0 °
Af figur H.7 fremgår det som forventet, at dilatationsvinklen ikke har betydning
for flydespændingen, da Plaxismodellen kan deformeres frit. Den lille afvigelse
i arbejdskurvernes forløb kan skyldes beregningsgangen i Plaxis.
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.7
Arbejdskurver ved variation af dilatationsvinklen.
ψ = 10,0 °
ψ = 10,0 °
ψ = 10,0 °
ψ = 10,0 °
ψ = 14,0 °
ψ = 14,0 °
ψ = 14,0 °
ψ = 14,0 °
Poissons forhold har ikke betydning for flydespændingen og kun lille betydning
for arbejdskurvens forløb, hvilket fremgår af figur H.8, hvor Poissons forhold
er ændret med ca. ± 0,1.
237

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.8
Arbejdskurver ved variation af Poissons forhold.
ν = 0,20
ν = 0,20
ν = 0,20
ν = 0,20
ν = 0,40
ν = 0,40
ν = 0,40
ν = 0,40
Den sidste indgangsparameter der varieres, er sandets stivhedsmodul. Det
vælges at variere stivhedsmodulerne således, at forholdet mellem dem ikke
ændres i forhold til modulerne i tabel H.2, da der ved at variere oedometermodulen
og genbelastningsmodulen enkeltvis, ikke opnås væsentlige forandringer
i arbejdskurvernes forløb. Af figur H.9 fremgår det, at variationer af
stivhedsmodulerne giver ændringer i arbejdskurvernes forløb og har betydning
for, hvor stor tøjningen bliver, før der opnås flydning.
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.9
Arbejdskurver ved variation af stivhedsmoduler.
E 50 = 15,0 MPa
E 50 = 15,0 MPa
E 50 = 15,0 MPa
E 50 = 15,0 MPa
E 50 = 23,0 MPa
E 50 = 23,0 MPa
E 50 = 23,0 MPa
E 50 = 23,0 MPa
Derudover vurderes det, at potensen m ikke har betydning for flydespændingens
størrelse, men at den til gengæld har betydning for arbejdskurvens forløb.
Dette ses af, at en forøgelse af m i henhold til formel (H.1) og (H.2) medfører en
forøgelse af modulerne, hvilket betyder, at den elastiske del af arbejdskurverne
bliver stejlere.
Udfra fra ovenstående undersøgelser af de forskellige indgangsparametres betydning
for arbejdskurvernes forløb vælges det at ændre kohæsionen og friktionsvinklen
således, at den relative forskel mellem flydespændingerne bestemt
ved henholdsvis forsøg og Plaxis minimeres. Det vælges at ændre disse parametre,
da kun disse har betydning for flydespændingernes størrelse. Herudfra
238

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
bestemmes kohæsionen til 8,5 kPa og friktionsvinklen til 36,5 ◦ , og på figur H.10
ses arbejdskurverne, når disse parametre ændres i forhold til de oprindelige
indgangsparametre i tabel H.2.
q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.10
Arbejdskurver ved en kohæsion på 8,5 kPa og en friktionsvinkel på 36,5 ◦ .
Forsøg 40 kPa
Forsøg 80 kPa
Forsøg 160 kPa
Forsøg 320 kPa
H−S 40 kPa
H−S 80 kPa
H−S 160 kPa
H−S 320 kPa
Af figur H.10 ses det, at flydespændingernes størrelse bestemt vha. Plaxis stemmer
tilnærmelsesvis overens med flydespændingerne bestemt udfra triaksialforsøg.
Det ses dog også af figuren, at arbejdskurvernes forløb ikke stemmer
overens, hvilket især gør sig gældende for det høje kammertryk på 320 kPa.
Af figur H.11 fremgår det, at arbejdskurverne bestemt vha. Plaxis ligger under
arbejdskurven bestemt ved forsøg ved små kammertryk og over ved større. Derfor
er det ikke muligt at opnå bedre overensstemmelse mellem arbejdskurverne
ved at ændre stivhedsparametrene, da dette blot øger eller sænker stejlheden
af den første del af arbejdskurverne.
q [kPa]
600
500
400
300
200
100
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
ε [%]
1
Figur H.11
Arbejdskurver ved en kohæsion på 8,5 kPa og en friktionsvinkel på 36,5 ◦ .
Forsøg 40 kPa
Forsøg 80 kPa
Forsøg 160 kPa
Forsøg 320 kPa
H−S 40 kPa
H−S 80 kPa
H−S 160 kPa
H−S 320 kPa
I tabel H.3 ses de kalibrede materialeparametre for Hardening-Soil modellen,
som benyttes ved modellering af fundamentet i Plaxis.
239

H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
cref ϕ ψ m ν p ref E ref
50
E ref
oed
E ref
ur
[kPa] [ ◦ ] [ ◦ ] [-] [-] [kPa] [MPa] [MPa] [MPa]
8,5 36,5 12,1 0,37 0,31 40 19,0 19,0 53,8
Tabel H.3
Kalibrerede indgangsparametre til Hardening-Soil modellen i Plaxis.
Det ses af tabel H.3, at den kalibrerede friktionsvinkel ligger forholdsvis tæt
på den triaksiale tangentfriktionsvinkel, som ved triaksialforsøg bestemmes
til 35,6 ◦ . Herudfra kan det konkluderes, at det havde været hensigtsmæssigt
at benytte denne som begyndelses indgangsparameter i stedet for den plane
tangentfriktionsvinkel.
Da den kalibrerede friktionsvinkel er større end tangentfriktionsvinklen, forventes
det også, jf. appendiks E, at den kalibrerede kohæsion skal være mindre,
hvilket også er resultatet af kalibreringen.
H.3 Mohr-Coulomb model
I Mohr-Coulomb modellen skal følgende indgangsparametre for materialet bestemmes:
• Kohæsionen, c.
• Den plane friktions- og dilatationsvinkel, ϕ og ψ.
• Elasticitetsmodulen, Eref, og Poissons forhold, ν.
Det vælges at benytte de kalibrerede indgangsparametre i tabel H.3 som begyndelses
indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen.
H.3.1 Kalibrering
I tabel H.4 ses begyndelses indgangsparametrene, der benyttes ved modellering
af triaksialforsøget i Plaxis, og på figur H.12 ses arbejdskurverne for disse
parametre og triaksialforsøgene.
240
c ϕ ψ Eref ν
[kN/m 2 ] [ ◦ ] [ ◦ ] [MPa] [-]
8,5 36,5 12,1 19,0 0,31
Tabel H.4
Begyndelses indgangsparametre til Mohr-Coulomb modellen i Plaxis.

q [kPa]
1400
1200
1000
800
600
400
200
H. Modellering af triaksialforsøg i Plaxis
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ε [%]
1
Figur H.12
Arbejdskurver for forsøg og Plaxismodel.
Forsøg 40 kPa
Forsøg 80 kPa
Forsøg 160 kPa
Forsøg 320 kPa
M−C 40 kPa
M−C 80 kPa
M−C 160 kPa
M−C 320 kPa
Af figur H.12 fremgår det, at flydespændingerne bestemt ved henholdsvis forsøg
og Plaxis tilnærmelsesvis stemmer overens, men at forløbet af den elastiske del
af arbejdskurverne især er forskellig fra forsøget. Dette kan skyldes, at Mohr-
Coulomb modellen ikke tager højde for, at sandets stivhed stiger ned gennem
dybden. I Plaxis er det dog muligt at tage højde for dette ved at indsætte
et elasticitetsinkrement, Eincrement, som angiver en forøgelse af stivheden pr.
dybdeenhed. Til dette inkrement knytter der sig også en dybde, yref, som
angiver hvor i jorden, indgangsparametren for elasticitetsmodulen befinder sig.
Eincrement og yref bestemmes dog ikke, da Eincrement kun kan variere med dybden,
hvor den bør variere med kammertrykket.
241

APPENDIKS
I. Plasticitetsteori
I ttt
Plasticitetsteori
ttt
I dette appendiks præsenteres plasticitetsteoriens grundlag, og beskrivelser af
beregninger i forskellige specialtilfælde. Det forudsættes, at materialet, der
beskrives, er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk. Dette betyder, at
der kan bestemmes en maksimal last, hvorved jorden går i brud. Dette plastiske
brud kan bestemmes ud fra en øvre- og en nedreværdibestemmelse. Disse
beskrives senere og først redegøres for forudsætningerne der anvendes.
I.1 Normalitetsbetingelsen
Når et materiale er lineærelastisk-idealplastisk eller stivplastisk betyder det,
at når spændningerne opnår det plastiske niveau (flydespændingen) opstår der
uendeligt store tøjninger uden at spændingerne bliver større, se figur I.1.
Figur I.1
Arbejdskurve for lineærelastisk-idealplaticitet og stivplastisitet.
Det plastiske niveau benævnes også som flydefladen/flydefunktionen, f, som
er defineret ved:
f(σ) = 0 (I.1)
Denne flydeflade antager forskellige funktioner alt efter om det er et udrænet
eller drænet tilfælde, men fælles for dem begge er, at de skal opfylde nor-
243

I. Plasticitetsteori
malitetsbetingelsen. Normalitetsbetingelsen betyder, at det plastiske tøjningsinkrementet,
dεp a , sættes lig med den første afledte af flydefunktionen, dette
kaldes også associeret plasticitet [Krabbenhøft 2002, s. 13].
dε p a = dλ ∂f
∂σi
Hvor dε p a er det plastiske tøjningsinkrement for associeret plasticitet [-].
λ er en plastisk multiplikator, hvorfor det gælder at λ = 0 ved
elastiske tøjninger, og λ > 0 ved plastiske tøjninger [-].
(I.2)
Associeret plasticitet beskriver ikke altid de rigtige tøjninger. Eksempelvis
beskriver associeret plasticitet i en Mohr-Coulomb model en for stor dillatationsvinkel.
Derfor er det i nogle tilfælde bedre at beskrive det plastiske tøjningsinkrement
ud fra den afledte af det plastiske potentiale, g. Dette kaldes
også for ikke-associeret plasticitet. [Krabbenhøft 2002, s. 12].
dε p ∂g
ia = dλ
∂σi
Hvor dε p
ia er det plastiske tøjningsinkrementet for ikke-associeret
plasticitet [-].
Princippet af associeret og ikke-associeret plasticitet fremgår af figur I.2.
Figur I.2
Mohr-Coulomb model med associeret og ikke-associeret plasticitet.
(I.3)
Jord kan beskrives ud fra en Mohr-Coulomb model, som er givet ved følgende
formeludtryk. På figur I.2 ses Mohr-Coulombs brudbetingelse som flydefunktionen
f:
τ = c + σ tan(ϕ)
Herefter beskrives flydefunktionen for specialtilfælde, henholdsvis udrænet og
drænet tilfælde henholdsvis kohæsions og friktionsmateriale med udgangspunkt
i associeret plasticitet.
244

I.2 Udrænet brud i kohæsionsjord
I. Plasticitetsteori
Til bestemmelse af flydefunktionen for udrænet brud i kohæsionsjord, tages
der udgangspunkt i Mohr-Coulombs brudkriterium. Hvis friktionsvinklen, ϕ,
sættes lig 0 i brudbetingelsen, fremkommer Trescas brudbetingelse. Ved at
sætte Trescas brudbetingelse i spændingsrummet lig 0, giver dette følgende
flydefunktion [Jacobsen 1989, s. 109].
f(σ) = σmax − σmin − 2cu = 0
Hvor σmin er den mindste hovedspænding [kPa].
σmax er den største hovedspænding [kPa].
cu
er den udrænede forskydningsstyrke [kPa].
Trescas brudbetingelse giver, at materialet bryder, når det opnår en forskydningsspænding,
τ, der er lig med kohæsionen, og idet der er associeret plasticitet,
går bevægelserne (tøj-ningsinkrementet) i brudzonen i forskydningens
retning. På figur I.3 ses Trescas brudbeting-else og tøjningsinkrementet, og på
figur I.4 ses spændingerne i brudzonen.
Figur I.3
Trescas brudkriterium.
Figur I.4
Spændinger i den udrænede brudzone.
Idet der ved brud betragtes en plan spændningstilstand (σ1; σ3), kan der udfra
formel (I.1) bestemmes to brudflader i spændingsplanen. Den plane spændingstilstand
indsættes i flydefunktionen til bestemmelse af tøjningsinkrementet
ved formel (I.3), og derefter kan brudbetingelsen optegnes i spændingsplanen.
I det tilfælde hvor σ1 > σ3, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet følgende:
f(σ) = σ1 − σ3 − 2cu = 0 ⇒
σ3 = σ1 − 2cu
dε p ∂f(σ)
= =
∂σ1
∂f(σ)
∂σ3
1
−1
I det tilfælde hvor σ3 > σ1, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet:
245

I. Plasticitetsteori
f(σ) = σ3 − σ1 − 2cu = 0 ⇒
σ3 = σ1 + 2cu
dε p ∂f(σ)
= =
∂σ1
∂f(σ)
∂σ3
−1
1
På figur I.5 ses brudbetingelsen optegnet i spændingsplanen. Det ses, at flydefladen
er rette linier, der skærer akserne i 2cu.
Figur I.5
Tresca’s brudkriterium for kohæsionsjord vist i spændingsrummet.
I.3 Drænet brud i friktionsjord
For drænet brud i friktionsjord tages der udgangspunkt i Mohr-Coulombs brudkriterium,
hvor kohæsionen c sættes lig 0. Dette giver en flydeflade, der er
defineret ved følgende formel [[Jacobsen 1989, s. 129] [Nordal 2000, s. 6.2]]:
f(σ) = (1 − sin(ϕ ′ )) σ ′ max − (1 + sin(ϕ′ )) σ ′ min
Hvor σ ′ min er den mindste effektive hovedspænding [kPa].
σ ′ max er den største effektive hovedspænding [kPa].
ϕ ′ er jordens effektive friktionsvinkel [ ◦ ].
= 0 (I.4)
På figur I.6 og I.7 ses brudbetingelsen for brudzonen. Der forudsættes associeret
plasticitet, altså normalitetsbetingelsen, hvilket betyder, at dilationsvinklen,
ψ ′ , sættes lig friktionsvinkel, ϕ ′ . Denne forudsætning er i god overenstemmelse
med eksperimentielle observationer, og giver en fortrinsvis lille fejl [Atkinson
1993, s. 217]. Som det ses på figurene, bevæges jordvolumen (tøjningsinkrementet)
ikke kun i forskydningens retningen, men i en vinkel på ϕ ′ i forhold
til forskydningens retning.
246

Figur I.6
Mohr-Coulombs brudkriterium.
I. Plasticitetsteori
Figur I.7
Spændingerne i den drænede brudzone.
Idet der ved brud betragtes en plan spændningstilstand (σ1; σ3), kan der udfra
formel (I.4) bestemmes to brudflader i spændingsplanet. Den plane spændningstilstand
indsættes i flydefunktionen til bestemmelse af tøjningsinkrementet,
og derefter kan brudbetingelsen optegnes i spændingsplanen.
I det tilfælde hvor σ1 > σ3, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet følgende:
f(σ) = (1 − sin(ϕ ′ ))σ ′ 1 − (1 + sin(ϕ ′ )) σ ′ 3 = 0 ⇒
σ ′ 3 = σ′ 1 − sin(ϕ
1
′ )
1 + sin(ϕ ′ )
dε p ∂f(σ)
= =
∂σ1
∂f(σ)
∂σ3
1 − sin(ϕ ′ )
−1 − sin(ϕ ′ )
I det tilfælde hvor σ3 > σ1, bliver flydefladen og tøjningsinkrementet:
f(σ) = (1 − sin(ϕ ′ ))σ ′ 3 − (1 + sin(ϕ′ )) σ ′ 1
σ ′ 3 = σ′ 1 + sin(ϕ
1
′ )
1 − sin(ϕ ′ )
dε p ∂f(σ)
= =
∂σ1
∂f(σ)
∂σ3
−1 − sin(ϕ ′ )
1 − sin(ϕ ′ )
= 0 ⇒
På figur I.8 ses brudbetingelsen optegnet i spændingsrummet. Det ses, at flydefladen
er rette linier, som udspringer fra origo af spændingsrummet.
Figur I.8
Mohr-Coulombs brudkriterium for friktionsjord vist i den effektive spændingsplan.
247

APPENDIKS
J. Dynamisk modellering
J ttt
Dynamisk modellering
ttt
Egenfrekvenserne for et udæmpet system (MDOF) findes af formel (J.1) [Nielsen
2004, s. 46].
M¨q + Kq = 0 (J.1)
Hvor M er den globale massematrice.
K er den globale stivhedsmatrice.
q er flytninger i frihedsgraderne.
Til opbygningen af en model anvendes i programmet CALFEM FEM-elementer
med tre frihedsgrader pr. knude. Elementerne er Bernoulli-Euler bjælker med
lineær-elastiske deformationer. Flytningsfeltet, u, for en bjælke kan beskrives
ved anvendelse af formfunktioner, N [Nielsen 2004, s. 152].
uj(x, t) =
N =
ux(x, t)
= N(x)qj(t)
uy(x, t)
Nx(x) N1(x)
=
Ny(x) 0
0 0
N2(x) N3(x)
N4(x)
0
0 0
N5(x) N6(x)
(J.2)
Formfunktionerne N1 − N6 er givet ved følgende.
N1(x) = 1 − ξ N4(x) = ξ
N2(x) = 2ξ 3 − 3ξ 2 + 1 N3(x) = ξ 3 − 2ξ 2 + ξ
N5(x) = −2ξ 3 + 3ξ 2 N6(x) = ξ 3 − ξ 2
Hvor ξ er den relative længde x
l [-].
Figur J.1 viser et bjælkeelement med tilhørende frihedsgrader.
(J.3)
249

J. Dynamisk modellering
Figur J.1
Frihedsgrader for FEM bjælkeelement.
Ud fra frihedsgraderne på figuren findes formfunktioner til stivheder, der afhængig
af en models globale frihedsgrader omregnes hertil ved en transformationsmatrice.
Elementstivhedsmatricen, kj, og elementmassematricen, mj, for et enkelt element
findes ved følgende [Nielsen 2004, s. 153].
l
kj = EA dNTx dx
⎡
0
⎢ 0 12
⎢
⎣
EI
l3 0 6EI l2 − AE
0 0
l
dNx
dx + EI d2NT y
dx2 d 2 Ny
dx 2
dx =
AE
l 0 0 − AE
l 0 0
6EI l2 0 −12EI l3 4EI l 0 −6EI l2 6 EI
l 2
2 EI
l
AE
l 0 0
0 −12EI l3 −6EI l2 0 12EI l3 0 6 EI
l 2
l
mj = µN T (x)N(x)dx =
µl
420
0
2EI 0 −6 l EI
l2 ⎡
140 0 0 70 0 0
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎣
156
22l
22l
4l
0 54 −13l
2 0 13l −3l2 ⎤
70
0
0
54
0
13l
140
0
0
156
⎥
0 ⎥
−22l⎦
0 −13l −3l 2 0 −22l 4l 2
−6 EI
l 2
4 EI
l
Alle elementer i systemet tillægges fire materialeværdier:
Hvor E er elasticitetsmodulen [MPa].
A er tværsnitsareal [m 2 ].
I er inertimoment [m 4 ].
µ er masse pr.længdeenhed [kg/m].
250
⎤
⎥
⎦
(J.4)
(J.5)

J. Dynamisk modellering
Ud fra disse findes elementets stivheds-, K, og massematrice, M, der assembleres
til globale matricer for hele modellen. De cirkulære egensvingningsfrekvenser
og tilhørende egensvingningsformer bestemmes efterfølgende ved
udtryk (J.6) [Nielsen 2004, s. 46, 156].
det(K − λM)Φ = 0 (J.6)
Hvor λj er en dimensionsløs parameter givet ved λj = 1
ωj er den cirkulære egenfrekvens [s −1 ].
Φ er egensvingningsformen [-].
420 · ω2 j · µl4
EI [-].
251

KAPITEL
ttt
Litteratur
ttt
Litteratur
Henvisning: [Atkinson 1993]
Forfatter: Atkinson, J.
Titel: An Introduction to the Mechanics of Soils and Foundations Through Critical
State Soil Mechanics.
Udgiver: McGraw-Hill, London.
Udgivelsesår: 1993.
Henvisning: [B-studienævnet 2005]
Forfatter: B-studienævnet.
Titel: Studievejledning for 8. semester - Bygge- og anlægskonstruktion.
Udgiver: Aalborg Universitet.
Udgivelsesår: 2005.
Henvisning: [Brinkgreve 2002]
Forfatter: Brinkgreve, R. B. J.
Titel: Plaxis 2D - Version 8 - Material Models Manual.
Udgiver: A. A. Balkema Publishers Lisse/Abindgdon/Exton(Pa)/Tokyo.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Brorsen 2000]
Forfatter: Brorsen, Michael.
Titel: Bølgekræfter på store konstruktioner.
Udgiver: Aalborg Universitet.
Udgivelsesår: 2000.
Henvisning: [Brorsen 2003]
Forfatter: Brorsen, Michael.
Titel: Vind og vindbelastning.
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.
Udgivelsesår: 2003.
Henvisning: [Brorsen & Larsen 2002]
Forfatter: Brorsen, Michael & Larsen, Torben.
Titel: Hydraulik.
Udgiver: Aalborg Universitet.
253

Litteratur
Udgave: 1.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Broteknik 2002]
Titel: Broteknik - Vej- og stibroer - Belastnings- og beregningsregler.
Udgiver: Vejdirektoratet - Vejregelrådet.
Udgave: 2.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Burcharth 2002]
Forfatter: Burcharth, H.F.
Titel: Strøm- og bølgekræfter på stive legemer.
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.
Udgave: 2.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Burcharth 2004]
Forfatter: Burcharth, H.F.
Titel: Islaster på konstruktioner.
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.
Udgave: 4.
Udgivelsesår: 2004.
Henvisning: [Bygværker 2002]
Titel: Bygværker - Beregningsregler for eksisterende broers bæreevne.
Udgiver: Vejdirektoratet - Vejregelrådet.
Udgave: 2.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Christensen 1989]
Forfatter: Christensen, Flemming Thunbo.
Titel: Determination of extreme ice forces.
Udgiver: University of Salford.
Udgivelsesår: 1989.
Henvisning: [Cowi & International 1999]
Forfatter: Cowi & International, Lahmeyer.
Titel: Fehmarn Belt Feasibility Study - Phase 2 Report.
Udgiver: Cowi.
Udgave: 2.
Udgivelsesår: 1999.
Henvisning: [Designgrundlag 2000]
Titel: Designgrundlag for vindmølleparker på havet.
Udgiver: RISØ.
Udgave: 1.
Udgivelsesår: 2000.
Henvisning: [Det Norske Veritas. 1992]
Titel: Det Norske Veritas - Foundations.
Udgiver: Det Norske Veritas.
Udgivelsesår: 1992.
Henvisning: [DS409 1998]
Titel: Norm for sikkerhedsbestemmelse på konstruktioner.
254

Udgiver: Dansk Standard.
Udgave: 4.
Udgivelsesår: 1998.
Henvisning: [DS410 1999]
Titel: Norm for last på konstruktioner.
Udgiver: Dansk Standard.
Udgave: 4.
Udgivelsesår: 1999.
Henvisning: [DS415 1999]
Titel: Norm for fundering.
Udgiver: Dansk Standard.
Udgave: 4.
Udgivelsesår: 1999.
Henvisning: [DS449 1983]
Titel: Pælefunderede offshore stålkonstruktioner.
Udgiver: Dansk Standard.
Udgave: 1.
Udgivelsesår: 1983.
Henvisning: [DS/ENV1-3 1995]
Titel: Eurocode 1 - Del 3 - Trafiklast på broer.
Udgiver: Dansk Standard.
Udgave: 1.
Udgivelsesår: 1995.
Henvisning: [Femer bælt-forbindelsen 1999]
Titel: Femer bælt-forbindelsen - Forundersøgelser - Resumérapport.
Udgiver: Trafikministeriet.
Udgivelsesår: 1999.
Henvisning: [Frigaard & Hald 2004]
Forfatter: Frigaard, Peter & Hald, Tue.
Titel: Bølgehydraulik.
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.
Udgave: 2.
Udgivelsesår: 2004.
Henvisning: [Frydendahl 1971]
Forfatter: Frydendahl, Knud.
Titel: Danmarks klima i vind.
Udgiver: Dansk metrologisk institut.
Udgivelsesår: 1971.
Henvisning: [Harremoës et al. 2000]
Forfatter: Harremoës, Poul, Jacobsen, H. Moust & Ovesen, N. Krebs.
Titel: Lærebog i geoteknik.
Udgiver: Polyteknisk Forlag.
Udgave: 5.
Udgivelsesår: 2000.
Henvisning: [Hurdle & Stive 1988]
Forfatter: Hurdle, D. P. & Stive, R. J. H.
Litteratur
255

Litteratur
Titel: Revision of SPM 1984 Wave hindcast model to avoid inconsistencies in
engineering applications.
Udgiver: Delft Hydraulics.
Udgivelsesår: 1988.
Henvisning: [Ibsen 1993]
Forfatter: Ibsen, Lars Bo.
Titel: Poretryksopbygning i sand Ph.D.-afhandling.
Udgiver: Aalborg Universitetscenter.
Udgivelsesår: 1993.
Henvisning: [Jacobsen 1989]
Forfatter: Jacobsen, Moust.
Titel: Lærebog i videregående geoteknik 1 - Brud i jord.
Udgiver: Aalborg Tekniske Universitetsforlag.
Udgivelsesår: 1989.
Henvisning: [Jacobsen & Gwizdala 1992]
Forfatter: Jacobsen, Moust & Gwizdala, Kazimierz.
Titel: Bearing capacity and settlements of piles.
Udgiver: Aalborg Universitet.
Udgave: 1.
Udgivelsesår: 1992.
Henvisning: [Jacobsen & Thorsen 1984]
Forfatter: Jacobsen, Moust & Thorsen, Grethe.
Titel: Lærebog i fundering.
Udgiver: Aalborg Universitet.
Udgivelsesår: 1984.
Henvisning: [Krabbenhøft 2002]
Forfatter: Krabbenhøft, Krustian.
Titel: Basic Computational Plasticity.
Udgiver: Aalborg Universitet.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Krenk 1998]
Forfatter: Krenk, Steen.
Titel: Failure and flow of friction materials.
Udgiver: Technical University of Denmark.
Udgivelsesår: 1998.
Henvisning: [Larsen 1993]
Forfatter: Larsen, Ole Damgaard.
Titel: Ship collision with bridges.
Udgiver: ETH - Hönggerberg.
Udgivelsesår: 1993.
Henvisning: [Liu & Frigaard 2001]
Forfatter: Liu, Zhou & Frigaard, Peter.
Titel: Generation and analysis of random waves.
Udgiver: Instituttet for Vand Jord og Miljøteknik, Aalborg Universitet.
Udgave: 3.
Udgivelsesår: 2001.
256

Henvisning: [Lunne et al. 1997]
Forfatter: Lunne, T., Robertson, P.K. & Powell, J.J.M.
Titel: Cone Penetration Testing in Geotechnical Practice.
Udgiver: Blackie Academic & Professional.
Udgivelsesår: 1997.
Henvisning: [Nielsen 2004]
Forfatter: Nielsen, Søren R. K.
Titel: Vibration Theory, Vol. 1.
Udgiver: Aalborg Tekniske Universitetsforlag.
Udgivelsesår: 2004.
Litteratur
Henvisning: [Nordal 2000]
Forfatter: Nordal, S.
Titel: Soil Modeling - a continuum mechanics based approach to elasto-plasticity
for soils.
Udgiver: Norges Teknisk-Naturvidenskabelige Universitet.
Udgivelsesår: 2000.
Henvisning: [Ramböll 1996]
Forfatter: Ramböll.
Titel: Geologiske/Geotekniske undersøgelser.
Udgiver: Trafikministeriet.
Udgivelsesår: 1996.
Henvisning: [Søkort Østersøen 1980]
Titel: Østersøen vestlige del fra 16 ◦ 40’ E.LGD. samt sundet og bælterne.
Udgiver: Farvandsdirektoratet.
Udgivelsesår: 1980.
Henvisning: [Teknisk Ståbi 2002]
Titel: Teknisk Ståbi.
Udgiver: Ingeniøren|bøger.
Udgave: 18.
Udgivelsesår: 2002.
Henvisning: [Trafikministeriet 2004]
Forfatter: Trafikministeriet.
Titel: Femern Bælt - en ny forbindelse til Europa.
Udgiver: Trafikministeriet.
Udgivelsesår: 2004.
Henvisning: [Wood 1990]
Forfatter: Wood, David Muir.
Titel: Soil Behaviour and Critical State Soil Mechanics.
Udgiver: Cambridge University Press.
Udgivelsesår: 1990.
257