Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Kapitel 1
Harmoniske afbildninger i Lie grupper
og symmetriske rum
1.1 Indledning
Harmonicitet spiller en central rolle i geometrien og er til genstand for forskellige typer
af problemer, hvoraf mange ligger i grænsefeltet mellem matematik og fysik. For at forstå
harmonicitet kan vi eksempelvis først studere minimalitet. Velkendt er Plateaus problem,
som består i at skulle konstruere og dermed vise eksistens af en flade med mindst muligt
areal givet en bestemt randkurve. Det er navngivet efter Joseph Plateau (1801-1883), da
han har eksperimenteret med dette i form af sæbeflader. Den type af flade, der fremkommer
er en såkaldt minimalflade, hvilket betyder, at middelkrumningen er identisk lig med 0. Vi
ønsker kort at se på sammenhængen mellem minimalflader og Plateaus problem.
Vi lader X : U ⊂ R 2 → R 3 være en parametriseret, glat flade, hvor U er en åben
sammenhængende mængde og lad N : U → S 2 være normalvektoren. Lad en delmængde
V være givet ved V ⊂ V ⊂ U, hvor V er kompakt og lad h : V :→ R være en glat funktion.
Vi ser da på normalvariationen X(V ) af h defineret ved
Vi kan nu opskrive følgende sætning fra [5].
Xt(x, y) = X(x, y) + th(x, y)N(x, y).
Sætning 1.1.1. Lad X : U → R 3 være som ovenfor. Da er X minimal, hvis og kun hvis
der for enhver begrænset delmængde V ⊂ V ⊂ U, og for enhver normalvariation Xt af
X(V ), gælder
d
dt A(Xt(V )) t=0 = 0,
hvor A(Xt(V )) er arealet af (Xt(V )).
Hvis en flade har mindst areal blandt en familie af flade med samme randkurve, er det
således en minimalflade. Ved at betragte konformt parametriserede flader kan vi endvidere
opskrive sammenhængen mellem minimalflader og harmonicitet, [5].
3