Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Kapitel 0
Introduktion
I studiet af harmoniske afbildninger fra en Riemannflade til et symmetrisk rum spiller to
klasser af harmoniske afbildninger en vigtig rolle, nemlig harmoniske afbildninger med endeligt
unitontal og harmoniske afbildninger af endelig type. I [20] introducerede Uhlenbeck
begrebet harmoniske afbildninger med endeligt unitontal som værende afbildninger, der
stammer fra en familie af afbildninger kaldet udvidede løsninger, som er holomorfe afbildninger
i løkkegrupper, der opfylder en type af førsteordens differentialligninger. Uhlenbeck
indførte tillige en proces, hvor nye harmoniske afbildninger kan konstrureres fra oprindelige
harmoniske afbildninger ved at modificere den oprindelige afbildning ved at udføre en proces,
der kaldes at addere en uniton. Processen bevarer det endelige unitontal og specielt
har Uhlenbeck klassificeret alle harmoniske afbildninger fra 2-sfæren, idet hun har vist,
at enhver harmonisk afbildning fra S 2 til U(n) er en harmonisk afbildning med endeligt
unitontal.
Derimod korresponderer en harmonisk afbildning af endelig type til en afbildning, hvis
holomorfe potentiale, som indgår i DPW-metoden fra [6], kan opskrives på en bestemt,
konstant form. I [15] undersøger Correia og Pacheco, hvorvidt Gaussbundterne til en harmonisk
afbildning af endelig type, der tillæges en uniton, bevarer egenskaben, at de er af
endelig type. I [14] har Pacheco endvidere vist, at enhver harmonisk afbildning fra T 2 til
CP n , som både er af endelig type og har endeligt unitontal, nødvendigvis må være konstant.
Formålet med dette projekt er at undersøge sammenhængen mellem harmoniske afbildninger
af endelig type og harmoniske afbildninger med endeligt unitontal, hvor vi specielt
vil vise ovenstående resultater fra Pacheco, [14] og Correia og Pacheco, [15].
I Kapitel 1 vil vi indføre forskellige begreber, som vi får brug for. Blandt andet vil vi
introducere Riemannflader, vektorbundter samt konnektioner på disse. Vi vil give bevis
for diverse standardresultater, herunder symmetri af den anden fundamentalform. Sammen
med Lie grupper, Lie algebraer og symmetriske rum er alt dette med til at muliggøre
definitionen af harmoniske afbildninger, hvilket vi indfører som værende afbildninger med
forsvindende spændingsfelt. Efterfølgende skal vi specielt vise, at dette præcist svarer til de
kritiske punkter for energifunktionalet. Til sidst i kapitlet gives der forskellige beskrivelser
1