Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins
Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins
Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Dressing på CMC-flader 51<br />
2.6 Dressing på CMC-flader<br />
I Afsnit 2.4 har vi set, at dressing-virkningen spiller en vigtig rolle i konstruktionen <strong>af</strong><br />
harmoniske <strong><strong>af</strong>bildninger</strong>. Fra Lemma 2.4.4 har vi specielt, at dressing-virkningen <strong>af</strong> Λ + G C σ<br />
opfylder [Φh·µ] = h(0)#[Φµ], således at dressing ikke ændrer vores holomorfe potentiale.<br />
I tilfældet <strong>af</strong> CMC-flader konstureret vha. DPW-metoden kan vi som i [11] <strong>og</strong>så indføre<br />
denne <strong>type</strong> <strong>af</strong> virkning. Vi lader φ ∈ ΛSL2(C) være løsning til dφ = φξ <strong>med</strong> begyndelsesbetingelse<br />
φ(z∗, λ) = I på en enkeltsammenhængende Riemannflade M, hvor ξ er et<br />
holomorft potentiale. Vi indfører nu Cl = l · S 1 , hvor l ∈ (0, 1], dvs. alle cirklerne inden for<br />
S 1 <strong>med</strong> radius l. Vi sætter da et l som subskrift på vores løkkegrupper <strong>og</strong> løkkealgebraer<br />
for at indikere, at vi ser på <strong><strong>af</strong>bildninger</strong> fra Cl frem for <strong><strong>af</strong>bildninger</strong> fra S 1 . Eksempelvis<br />
skriver vi Λ +<br />
B,l SL2(C) frem for Λ +<br />
B SL2(C), der er givet ved Eksempel 2.1.4. For dressing<br />
på CMC-flader har vi nu følgende definition.<br />
Definition 2.6.1. Antag at φ er en løsning til systemet φ −1 dφ = ξ <strong>med</strong> φ(z∗) = I,<br />
hvor ξ er et holomorft potentiale. Vi indfører ˆ φ = h+φ, som kaldes for dressing, hvor<br />
h+ = h+(λ) ∈ Λ +<br />
l SL2(C).<br />
Da h+ kun <strong>af</strong>hænger <strong>af</strong> λ, får vi hvis ˆ φ løsning til ˆ φ −1 d ˆ φ = ˆ ξ, at<br />
ˆξ = ˆ φ −1 d ˆ φ = (h+φ) −1 d(h+φ) = φ −1 h −1<br />
+ h+dφ = φ −1 dφ = ξ,<br />
eftersom h+ ikke <strong>af</strong>hænger <strong>af</strong> z. Vi har således ˆ ξ = ξ, <strong>og</strong> potentialet ændres således ikke<br />
under dressing-transformationen. Det gør den resulterende CMC-flade derimod, hvilket vi<br />
i et eksempel vil undersøge nærmere.<br />
Vi ønsker at studere, hvordan CMC-flader ændres under dressing-transformationen φ ↦→<br />
ˆφ = h+φ, hvor h+ er matricen givet ved<br />
⎛<br />
1−α2λ2 h+ = ⎝ λ2−α2 ⎞<br />
0<br />
⎠ , hvor α ∈ C\{0}.<br />
λ2−α2 0<br />
1−α 2 λ 2<br />
Til anvendelse <strong>af</strong> DPW-metoden skal vi først <strong>og</strong> fremmest Iwasawaopsplitte ˆ φ. Dette udføres<br />
ved en variant <strong>af</strong> Iwasawaopsplitningen fra [11].<br />
Sætning 2.6.2. For et vilkårligt l ∈ (0, 1] har vi en globalt defineret reel-analytisk diffeomorfi<br />
fra ΛlSL2(C) til ΛlSU2 × Λ +<br />
B,lSL2(C). Vi har således for et vilkårligt φ ∈ ΛlSL2(C),<br />
at der eksisterer entydige F ∈ ΛlSU2 <strong>og</strong> b ∈ Λ +<br />
B,lSL2(C), således at φ = F b.<br />
Opsplitningen i Sætning 2.6.2 kaldes for l-Iwasawaopsplitningen.<br />
Vi vender nu tilbage til vores potentiale ˆ φ fremkommet ved dressing-transformation. Vi<br />
lader da ˆ φ = ˆ F ˆ b være l-Iwasawaopsplitningen <strong>af</strong> ˆ φ. Endvidere lader vi ˆ f være fremkommet<br />
ved Sym-Bobenkos formel anvendt på ˆ F . Hvis |α| < l eller l −1 < |α|, har vi h+ ∈ ΛlSU2, <strong>og</strong><br />
fladen ˆ f har kun translation <strong>og</strong> rotation til forskel fra fladen f frembragt <strong>af</strong> det oprindelige