Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Dressing på CMC-flader 51
2.6 Dressing på CMC-flader
I Afsnit 2.4 har vi set, at dressing-virkningen spiller en vigtig rolle i konstruktionen af
harmoniske afbildninger. Fra Lemma 2.4.4 har vi specielt, at dressing-virkningen af Λ + G C σ
opfylder [Φh·µ] = h(0)#[Φµ], således at dressing ikke ændrer vores holomorfe potentiale.
I tilfældet af CMC-flader konstureret vha. DPW-metoden kan vi som i [11] også indføre
denne type af virkning. Vi lader φ ∈ ΛSL2(C) være løsning til dφ = φξ med begyndelsesbetingelse
φ(z∗, λ) = I på en enkeltsammenhængende Riemannflade M, hvor ξ er et
holomorft potentiale. Vi indfører nu Cl = l · S 1 , hvor l ∈ (0, 1], dvs. alle cirklerne inden for
S 1 med radius l. Vi sætter da et l som subskrift på vores løkkegrupper og løkkealgebraer
for at indikere, at vi ser på afbildninger fra Cl frem for afbildninger fra S 1 . Eksempelvis
skriver vi Λ +
B,l SL2(C) frem for Λ +
B SL2(C), der er givet ved Eksempel 2.1.4. For dressing
på CMC-flader har vi nu følgende definition.
Definition 2.6.1. Antag at φ er en løsning til systemet φ −1 dφ = ξ med φ(z∗) = I,
hvor ξ er et holomorft potentiale. Vi indfører ˆ φ = h+φ, som kaldes for dressing, hvor
h+ = h+(λ) ∈ Λ +
l SL2(C).
Da h+ kun afhænger af λ, får vi hvis ˆ φ løsning til ˆ φ −1 d ˆ φ = ˆ ξ, at
ˆξ = ˆ φ −1 d ˆ φ = (h+φ) −1 d(h+φ) = φ −1 h −1
+ h+dφ = φ −1 dφ = ξ,
eftersom h+ ikke afhænger af z. Vi har således ˆ ξ = ξ, og potentialet ændres således ikke
under dressing-transformationen. Det gør den resulterende CMC-flade derimod, hvilket vi
i et eksempel vil undersøge nærmere.
Vi ønsker at studere, hvordan CMC-flader ændres under dressing-transformationen φ ↦→
ˆφ = h+φ, hvor h+ er matricen givet ved
⎛
1−α2λ2 h+ = ⎝ λ2−α2 ⎞
0
⎠ , hvor α ∈ C\{0}.
λ2−α2 0
1−α 2 λ 2
Til anvendelse af DPW-metoden skal vi først og fremmest Iwasawaopsplitte ˆ φ. Dette udføres
ved en variant af Iwasawaopsplitningen fra [11].
Sætning 2.6.2. For et vilkårligt l ∈ (0, 1] har vi en globalt defineret reel-analytisk diffeomorfi
fra ΛlSL2(C) til ΛlSU2 × Λ +
B,lSL2(C). Vi har således for et vilkårligt φ ∈ ΛlSL2(C),
at der eksisterer entydige F ∈ ΛlSU2 og b ∈ Λ +
B,lSL2(C), således at φ = F b.
Opsplitningen i Sætning 2.6.2 kaldes for l-Iwasawaopsplitningen.
Vi vender nu tilbage til vores potentiale ˆ φ fremkommet ved dressing-transformation. Vi
lader da ˆ φ = ˆ F ˆ b være l-Iwasawaopsplitningen af ˆ φ. Endvidere lader vi ˆ f være fremkommet
ved Sym-Bobenkos formel anvendt på ˆ F . Hvis |α| < l eller l −1 < |α|, har vi h+ ∈ ΛlSU2, og
fladen ˆ f har kun translation og rotation til forskel fra fladen f frembragt af det oprindelige