Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner 43
Men bH ˜ b −1 ∈ Λ + G C σ, så ˜ H := bH ˜ b −1 ∈ ΛGσ ∩ Λ + G C σ = K.
I begge trin har vi til sidst specielt benyttet, at hvis c ∈ Λ + G C σ, kan vi skrive c =
k≥0 ckλ k , og hvis også c ∈ ΛGσ kan vi skrive c = c. For c ∈ ΛGσ ∩ Λ + G C σ kan vi
sammenfatte begge betingelser og får således, at c = c0, og vi har σ(c(λ)) = c(−λ), hvis
og kun hvis c0 = σ(c0), så c = c0 ∈ K.
Proposition 2.4.2 udstyrer os med en venstre virkning af Λ + G C σ på H givet ved
h#f = π ◦ ((h#F ) λ=1 ),
hvor F : M → ΛGσ er et udvidet løft af den harmoniske afbildning f : M → G/K. Dermed
kan dressing på H defineres på følgende måde.
Definition 2.4.3. Dressing-virkningen virker på H ved, at h#[F ] = [h#F ].
Lemma 2.4.4. Afbildningen Φ : P → H : µ ↦→ [Φµ] er ækvivariant mht. gauge-virkningen
af G på P og dressing-virkningen af Λ + G C σ på H, dvs. [Φh·µ] = h(0)#[Φµ] for h ∈ G.
Bevis. Vi skal vise, at der findes en gauge-transformation H : M → K, så at Φh·µ =
(h(0)#Φµ)H. Vi har Φµ = πΛGσ(gµ), hvor gµ : M → ΛG C σ løser g −1 dg = µ med g(0) = e. Da
fås, at h(0)gµh −1 løser g −1 dg = h·µ med g(0) = e, så gh·µ = h(0)gµh −1 . Lad bµ : M → Λ +
B GC σ
være defineret, således at gµ = Φµbµ. Vi får da, at
Φh·µ = πΛGσ(gh·µ)
= πΛGσ(h(0)gµh −1 )
= πΛGσ(h(0)Φµbµh −1 )
= πΛGσ(h(0)Φµ ˜ H)
= h(0)#(Φµ ˜ H)
= (h(0)#Φµ)H
for H : M → K. Tillige har vi indført ˜ H : M → K og ˜ b : M → Λ +
B GC σ, hvor bµh −1 = ˜ H ˜ b
samt udnyttet Proposition 2.4.2 (ii).
Lemma 2.4.5. Afbildningen Φ : P → H er surjektiv og opfylder Φ −1 [Φµ] = G0 · µ, hvor
G0 = {h ∈ G h(0) = e}.
Bevis. Lad [F ] ∈ F/ ∼ med F (0) = e. Vi søger et h : M → Λ + G C σ, så at h(0) = e og
g := F · h er holomorf. Ækvivalent er det, at µ = g −1 dg er en 1-form af type (1, 0). Ved en
udregning fås det, at
µ = g −1 dg = (F h) −1 d(F h)
= h −1 F −1 (dF h + F dh)
= Ad h −1(F −1 dF ) + h −1 dh
= Ad h −1(λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m) + h −1 dh ∈ P.