Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

More documents

Recommendations

Info

36 Løkkegrupper og Iwasawaopsplitning (ii) αk og λ −1 α ′ m + λα ′′ m løser (1.14) for ethvert λ ∈ S 1 . (iii) 1-formen A := λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m med værdier i Λgσ løser Maurer-Cartan ligningen dA + 1 [A, A] = 0. 2 Bevis. (i) ⇒ (ii). Antag αk og αm løser (1.14). Lad ˜αk = αk og ˜αm = ˜α ′ m + ˜α ′′ m, hvor ˜α ′ m = λ −1 α ′ m og ˜α ′′ m = λα ′′ m. Da ses det let, at ˜αk og ˜αm løser (1.14). (ii) ⇒ (iii). Antag αk og λ −1 α ′ m + λα ′′ m løser (1.14) for ethvert λ ∈ S 1 . Lad A = λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m. Da fås dA + 1 2 [A, A] = d(λ−1 α ′ m + αk + λα ′′ m) + 1 2 [λ−1 α ′ m + αk + λα ′′ m, λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m] = dαk + 1 2 [αk, αk] + 1 2 [α′ m, α ′′ m] + 1 2 [α′′ m, α ′ m] + d(λ −1 α ′ m + λα ′′ m) + 1 2 [αk, λ −1 α ′ m + λα ′′ m] + 1 2 [λ−1 α ′ m + λα ′′ m, αk] = dαk + 1 2 [αk, αk] + [λ −1 α ′ m, λα ′′ m] + d(λ =0 −1 α ′ m + λα ′′ m) + [αk, λ −1 α ′ m + λα ′′ m] = 0 =0 som ønsket. (iii) ⇒ (i). Hvis det endeligt antages, at A = λ−1α ′ m+αk+λα ′′ m løser dA+ 1[A, A] = 0, fås 2 ved tilsvarende udregning som ovenfor efter sammenligning af koefficienterne af potenser af λ, at αk og αm løser (1.14). Dermed kan vi pga. Proposition 2.1.6 (iii), hvis M er enkeltsammenhængende integrere A = λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m op til en afbildning ˜ F : M → ΛGσ, som opfylder ˜ F −1 d ˜ F = A, og vi kan definere afbildningen fλ ved fλ = π ◦ ˜ Fλ : M → G/K, som er harmonisk for alle λ ∈ S 1 ved Sætning 1.8.4 og Proposition 2.1.6 (ii). Vi kan således konstruere harmoniske afbildninger vha. nedenstående korollar. Korollar 2.1.7. Antag at M er en enkeltsammenhængende Riemannflade. En afbildning f : M → G/K er harmonisk, hvis og kun hvis der findes en afbildning ˜ F : M → ΛGσ med ˜F −1 d ˜ F = λ −1 α ′ m +αk +λα ′′ m og π ◦ ˜ F1 = f, hvor αk : T M → k og αm : T M → m er 1-former på M med værdier i k hhv. m. Definition 2.1.8. Lad f : M → G/K være harmonisk med f(p0) = eK og lad F : M → G være et løft af f med F −1 dF = αk + αm. Da kaldes ˜ F : M → ΛGσ, som integrerer ˜F −1 d ˜ F = λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m for λ ∈ S 1 og med begyndelsesbetingelse ˜ F (p0) = k ∈ K for et udvidet løft til f.
Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger 37 2.2 Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger I teorien for minimalflader indgår der centrale sammenhænge mellem disse og holomorfe og meromorfe funktioner, idet en enkeltsammenhængende minimalflade kan konstrureres vha. disse funktionstyper, som det netop fremgår af Weierstrassrepræsentationen for minimalflader, (Sætning 1.1.3). De holomorfe og meromorfe funktioner i den sammenhæng fungerer som det, vi lidt løst vil kalde for Weierstrassdata. For harmoniske afbildninger vil vi vise, at der gælder analoge tilstande. Vi betragter derfor en harmonisk afbildning f : M → G/K på en enkeltsammenhængende Riemannflade M. Vi kan anvende uniformiseringssætningen for Riemannflader (Sætning 1.1.5), hvor vi ønsker vores teori anvendt på tilfældet, hvor M er enten R 2 ∼ = C eller enhedsskiven med global koordinat z. Vi introducerer først en speciel type af transformationer. Definition 2.2.1. Lad M være en enkeltsammenhængende Riemannflade og lad K være en Lie gruppe. En afbildning H : M → K kaldes for en gauge-transformation. I forhold til spørgsmål vedrørende entydighed af korrespondancen mellem harmoniske afbildninger og udvidede løft spiller gauge-transformationer en central rolle. Bemærkning 2.2.2. Givet en harmonisk afbildning f : M → G/K fås det, at et udvidet løft ˜ F : M → ΛGσ til f kun er bestemt op til en gauge-transformation H : M → K, dvs. at ˜ F H : M → ΛGσ også er et udvidet løft til f. Så ˜ F1 og ˜ F2 genererer samme harmoniske afbildning, hvis og kun hvis der findes en afbildning H : M → K, således at ˜ F2 = ˜ F1H. Vi har da en bijektiv korrespondance imellem harmoniske afbildninger og udvidede løft modulo gauge-transformationer. Mere præcist betragter vi følgende mængder. H := f : M → G/K f(0) ∈ K, f er harmonisk , og F := ˜F : M → ΛGσ F ˜(0) ∈ K, F˜ er et udvidet løft . Vi definerer nu ækvivalensrelationen ∼ på F ved at ˜ F1 ∼ ˜ F2, hvis og kun hvis ˜ F2 = ˜ F1H for en gauge-transformation H : M → K. Givet en harmonisk afbildning f ∈ H vælges et løft F : M → G med F ·K = f. Vi har α = F −1dF og αλ = ˜ −1 F1 dF1, ˜ hvor ˜ F1 : M → ΛGσ med ˜F1(0) = F (0) ∈ K er et udvidet løft mht. F . Vi indfører korrespondancen Z : H → F/ ∼ givet ved Z(f) = [ ˜ F ], (2.1) som viser sig at være bijektiv. Lemma 2.2.3. Afbildningen Z defineret i (2.1) er veldefineret og bijektiv.
Page 1: Harmoniske afbildninger af endelig
Page 4 and 5: ii Taksigelse Der skal lyde en stor
Page 6 and 7: 4 Endelig type vs. endeligt unitont
Page 8 and 9: 2 til at karakterisere de harmonisk
Page 10 and 11: 4 Indledning Sætning 1.1.2. Lad U
Page 12 and 13: 6 Vektorbundter og konnektioner Def
Page 14 and 15: 8 Vektorbundter og konnektioner Vi
Page 16 and 17: 10 Lie grupper og Lie algebraer Def
Page 18 and 19: 12 Lie grupper og Lie algebraer De
Page 20 and 21: 14 Symmetriske rum Vi har, at IdTpM
Page 22 and 23: 16 Symmetriske rum Givet afbildning
Page 24 and 25: 18 Symmetriske rum Definition 1.4.6
Page 26 and 27: 20 Grassmann mangfoldigheder Givet
Page 28 and 29: 22 Chern-klasser 1.6 Chern-klasser
Page 30 and 31: 24 Harmoniske afbildninger Sætning
Page 32 and 33: 26 Karakterisering af harmoniske af
Page 40 and 41: 34 Løkkegrupper og Iwasawaopsplitn
Page 44 and 45: 38 Weierstrass-type repræsentation
Page 46 and 47: 40 Harmoniske afbildninger af endel
Page 48 and 49: 42 Harmoniske afbildninger og merom
Page 50 and 51: 44 Harmoniske afbildninger og merom
Page 52 and 53: 46 Konstruktion af CMC-flader 2.5 K
Page 54 and 55: 48 Konstruktion af CMC-flader Lemma
Page 56 and 57: 50 Konstruktion af CMC-flader Defin
Page 58 and 59: 52 Dressing på CMC-flader potentia
Page 60 and 61: Kapitel 3 Harmoniske afbildninger m
Page 62 and 63: 56 Udvidede løsninger der for ethv
Page 64 and 65: 58 Unitons i U(n) og Gk(C n ) (i)
Page 66 and 67: 60 Unitons i U(n) og Gk(C n ) (ii)
Page 68 and 69: 62 Harmoniske afbildninger og Gauss
Page 70 and 71: 64 Faktorisering af harmoniske afbi
Page 72 and 73: 66 Faktorisering af harmoniske afbi
Page 74 and 75: Kapitel 4 Endelig type vs. endeligt
Page 76 and 77: 70 Endelig type og endeligt unitont
Page 78 and 79: 72 Endelig type og endeligt unitont
Page 80 and 81: 74 Afsluttende kommentarer til at v
Page 82: 76 LITTERATUR [13] Y. Ohnita, S. Ud

Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?