Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Karakterisering af harmoniske afbildninger 27
Tages halvdelen af summen af de to udtryk for τ(φ), fås det, at
τ(φ) = 1
2 d(Lφ)e
og θ(τ(φ)) = 1
2
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) ,
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) .
Dermed fremgår det endeligt, at φ er harmonisk, hvis og kun hvis
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) = 0.
Korollar 1.8.2. Lad M være en Riemannflade med kompleks koordinat z og lad G være
en matrix Lie gruppe. En afbildning φ : M → G er harmonisk, hvis og kun hvis
(φ −1 φz)z + (φ −1 φz)z = 0.
Bevis. I en matrix Lie gruppe kan vi skrive dφ(∂z) := φz og dφ(∂z) := φz, og vi får, at
θφ(z)(dφ(∂z)) = φ(z) −1 dφ(∂z) = φ −1 φz. Indsættes dette i (1.13), ser vi, at φ er harmonisk,
hvis og kun hvis (φ −1 φz)z + (φ −1 φz)z = 0.
Hvis vi har givet en harmonisk afbildning f : M → G/K fra en Riemannflade M til et
symmetrisk rum G/K, kan vi ved at anvende et løft F : M → G som i Definition 1.4.5 få
løftet den harmoniske afbildning op til Lie gruppen G. I det følgende vil vi lade F være et
løft til f. Fra (1.8) har vi, at
βgK (∇XY ) = π[m] (X(β(Y ))) .
Lemma 1.8.3. En afbildning f : M → G/K er harmonisk, hvis og kun hvis π[m](∂β ′ ) = 0,
hvor ∂β ′ = ∂z(f ∗ β)(∂z), hvilket for et løft F : M → G af f gælder, hvis og kun hvis
π[m](∂(AdF α ′ m)) = 0.
Bevis. Fra (1.12) har vi, at f : M → G/K er en harmonisk afbilding, hvis og kun hvis
∇∂z (df(∂z)) = 0. Ved at udnytte definitionen af β på denne fås det, at f : M → G/K er
harmonisk, hvis og kun hvis
0 = β(∇∂z df(∂z)) = π[m](∂zβ(df(∂z))) = π[m](∂z(f ∗ β)(∂z)) = π[m](∂β ′ ).
Hvis F : M → G er et løft til f med f = π ◦ F , hvor π er den kanoniske projektion
π : G → G/K givet ved π(g) = gK, har vi fra Lemma 1.4.4, at (π ∗ β)g = Adg(θm)g. Idet
f ∗ = (π ◦ F ) ∗ = F ∗ π ∗ , fås ved anvendelse af F ∗ -afbildningen, at
f ∗ β = F ∗ π ∗ β = AdF (F ∗ θm), således at
π[m](∂z(f ∗ β)(∂z)) = π[m](∂(AdF α ′ m)) = 0.