Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Abstract
In this master thesis we study harmonic maps and investigate how they arise from certain
holomorphic maps into loop groups via the DPW method using the concept of Riemannian
symmetric spaces. The approach to this method uses a lot of algebraic group theory
which turns out to be much simpler than solving the corresponding harmonic differential
equations analytically. We describe how the process of adding a uniton in these loop
groups works, and we will observe that this leads us to a method where we can construct
new harmonic maps from old ones. By introducing harmonic maps of finite uniton number
we will be able to classify harmonic maps from Riemann surfaces into certain symmetric
spaces. We shall in particularly be interested in developing a procedure to construct harmonic
maps into a Grassmannian. We introduce another class of harmonic maps, namely
harmonic maps of finite type arising from a certain class of constant holomorphic potentials
in the DPW approach. Following Pacheco as in [14] we finally study harmonic maps
which are simultaneously of finite type and of finite uniton number, and show that such
harmonic maps from a torus into CP n are constant maps. Furthermore we discuss some
generalisations of this result.
Resumé
I denne specialerapport studerer vi harmoniske afbildninger og undersøger, hvordan de
genereres fra holomorfe afbildninger i løkkegrupper fra DPW-metoden ved brug af Riemannsk
symmetriske rum. Tilgangen til denne metode gør brug af en del algebraisk gruppeteori,
hvilket viser sig at være væsentligt lettere end at skulle løse de tilhørende harmoniske
differentialligninger analytisk. Vi beskriver processen, hvorved en uniton tillægges i disse
løkkegrupper og observerer, at dette giver os en metode, hvor vi kan konstruere nye harmoniske
afbildninger fra en oprindelig harmonisk afbildning. Vi introducerer harmoniske
afbildninger med endeligt unitontal, hvilket gør os i stand til at klassificere harmoniske
afbildninger fra Riemannflader til forskellige typer af symmetriske rum. Vi skal primært
være interesserede i en metode til at konstruere harmoniske afbildninger ind i en Grassmann
mangfoldighed. Vi introducerer en anden klasse af harmoniske afbildninger - nemlig
harmoniske afbildninger af endelig type, som værende harmoniske afbildninger genereret af
holomorfe potentialer fra DPW-metoden, der har en bestemt, konstant form. Ved at følge
Pacheco som i [14] vil vi endeligt studerere harmoniske afbldninger, som både er af endelig
type og har endeligt unitontal og vise, at disse harmoniske afbildninger fra en torus til
CP n er konstante afbildninger. Efterfølgende diskuterer vi nogle generaliseringer af dette
resultat.
i