Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Harmoniske afbildninger 23
Givet lokale koordinater (x, y) på M således at z = x + iy, fås
〈R(∂z, ∂z)σ, η〉 = 〈A ′′ φ(σ), A ′′ φ(η)〉 − 〈A ′ φ(σ), A ′ φ(η)〉,
hvor vi har opsplittet i delene T ′ M og T ′′ M. For en lokal unitær ramme σ1, ..., σk for φ fås
Trace R = (Trace R(∂z, ∂¯z))dz ∧ d¯z =
k
j=1
〈R(∂z, ∂¯z)σj, σj〉dz ∧ d¯z = (|A ′
φ ⊥| 2 − |A ′ φ| 2 )dz ∧ d¯z.
Her er benyttet Lemma 1.5.6, idet (A ′′ φ )∗ = −A ′
φ⊥, samt at der for enhver operator A gælder,
at |A∗ | = |A|. Således fås det endeligt, at den første Chern-klasse c1(E) kan beregnes ved
c1(E) = i
2π
1.7 Harmoniske afbildninger
Vi kan nu se nærmere på harmoniske afbildninger.
M
(|A ′
φ ⊥| 2 − |A ′ φ| 2 )dz ∧ d¯z.
Definition 1.7.1. For en glat afbildning φ : M → N defineres spændingsfeltet τ ved
hvor ˆ ∇dφ er defineret i (1.3).
(i) Vi kalder φ harmonisk, hvis τ(φ) ≡ 0.
τ(φ) := Trace( ˆ ∇dφ),
(ii) Vi kalder φ totalt geodætisk, hvis ˆ ∇dφ ≡ 0.
Af ovenstående definition fremgår det, at enhver totalt geodætisk afbildning φ er harmonisk.
Hvis det ikke giver anledning til misforståelser, vil vi skrive ∇ i stedet for ˆ ∇. For
sammensætning af afbildninger har vi følgende resultat.
Proposition 1.7.2. Lad M, N og P være Riemannske mangfoldigheder og lad φ : M → N
og ψ : N → P være glatte afbildninger derimellem. Da har vi
hvilket implicerer
∇(ψ ◦ φ) = (∇dψ)(dφ, dφ) + dψ(∇dφ),
τ(ψ ◦ φ) = dψ(τ(φ)) + Trace(∇dψ)(dφ, dφ).
Dette resultat følger af kædereglen, og vi får endeligt nedenstående sætning som i [17].