Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Grassmann mangfoldigheder 19
Dette giver endeligt, at
β(∇XY − ∇Y X) = π[m](X(β(Y )) − Y (β(X)))
= π[m](2 [β(X), β(Y )] + β([X, Y ]) )
∈[k]
∈[m]
= β([X, Y ]).
Vi har altså ∇XY − ∇Y X = [X, Y ] og ydermere nedenstående lemma.
Lemma 1.4.8. Afbildningen ∇ defineret i (1.8) er Levi-Civita konnektionen på G/K mht.
h defineret i (1.7).
Bevis. Lad X, Y, Z ∈ TgKG/K. Da fås
h(∇XY, Z) + h(Y, ∇XZ) = 〈β(∇XY ), β(Z)〉 + 〈β(Y ), β(∇XZ)〉
= 〈π[m](Xβ(Y )), β(Z)〉 + 〈β(Y ), π[m](Xβ(Z))〉
= 〈(Xβ(Y )), β(Z)〉 + 〈β(Y ), (Xβ(Z))〉
= X〈β(Y ), β(Z)〉 = Xh(Y, Z).
Da ∇XY − ∇Y X = [X, Y ] er ∇ torsionsfri, og resultatet følger.
1.5 Grassmann mangfoldigheder
En type af symmetriske rum, der vil være af særlig interesse, er de komplekse k-dimensionelle
underrum i C n .
Definition 1.5.1. En Grassmann mangfoldighed, der betegnes med Gk(C n ), er mængden
af k-dimensionelle underrum til C n . Dvs., at vi betragter følgende mængde
Gk(C n ) := V er et underrum af C n dim V = k .
Bemærkning 1.5.2. Vi kan identificere en glat afbildning ψ : M → Gk(C n ) med det
glatte, komplekse delbundt ψ af C n , som fås ved at sætte fiberen i z lig med ψ(z) for ethvert
z ∈ M, [4].
Gruppen af unitære matricer, der betegnes med U(n), virker transitivt på Gk(C n ).
Stabilisatorerne er de konjugerede til U(k) × U(n − k), hvor
Således har vi
U(k) × U(n − k) = g ∈ U(n) g(C k × {0}) = C k × {0} .
Gk(C n ) = U(n)/U(k) × U(n − k).