Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Symmetriske rum 17
Lemma 1.4.4. Lad β være som ovenfor, lad θ være Maurer-Cartan formen og lad π :
G → G/K være kanonisk projektion. For g ∈ G har vi, at (π ∗ β)g = Adg(θm)g.
Bevis. Vi har, at pullbacken π∗β er en 1-form på G med værdier i g og ved at udnytte
X = Xk + Xm, fås det, at
(π ∗ β)g( d
d
g exp(tX)) = βπ(g) dπg g exp(tX)
dt t=0 dt t=0
= d
π(g exp(tX))
dt t=0
= d
g exp(tX)K =
dt t=0 d
g exp(tXm)K
dt t=0
= Adg Xm = Adg(θm)( d
g exp(tX)),
dt t=0
således at (π ∗ β)g = Adg(θm)g.
Definition 1.4.5. Lad M være en Riemannflade og G en Lie gruppe med stabilisator K.
For en glat afbildning f : M → G/K kaldes en afbildning F : M → G, der opfylder, at
f = π ◦ F : M → G/K, for et løft til f.
Vi lader i det følgende M være en Riemannflade og f : M → G/K en glat afbildning
med løft F : M → G, således at π ◦ F = f. Da fås
α = F ∗ θ = F ∗ θk + F ∗ θm = αk + αm.
Her har vi opdelt α i 1-formerne αk og αm med værdier i k hhv. m. Indsættes dette i (1.9),
får vi ligningerne
0 = dαk + 1
2 [αk, αk] + 1
2 [αm, αm] 0 = dαm + [αk, αm]. (1.10)
Omvendt givet en 1-form α = αk +αm med værdier i g, som opfylder (1.10), fås der, såfremt
M er enkeltsammenhængende, eksistens af en afbildning F : M → G, så at α = F ∗ θ ved
Sætning 1.3.7.
Pga. opsplitningen af tangentrummene T M C = T ′ M ⊕ T ′′ M med d = ∂ + ∂, i (1, 0)- og
(0, 1)-delen kan vi for en 1-form αm på M med værdier i Lie algebraen g lave opslitningen;
nemlig αm = α ′ m + α ′′ m. Givet en lokal holomorf koordinat z = x + iy defineret på en åben
mængde U ⊂ M får vi for nogle funktioner A1, A2 : U → g, at
dz + dz dz − dz
αm = A1dx + A2dy = A1 + A2
2
2i
= 1
2 (A1 − iA2)dz
:=α ′ m
+ 1
2 (A1 + iA2)dz
:=α ′′ m
På tilsvarende måde kan konnektionen opslittes i ∇ = ∇ ′ + ∇ ′′ . Det vil altid være underforstået,
at ′ indikerer (1, 0)-delen og ′′ indikerer (0, 1)-delen.
.