Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

16 Symmetriske rum
Givet afbildningen φ : G/K → M, som sender gK ↦→ gp = g(p), har vi således for
tangentplanen isomorfien TgKG/K = g/k ∼ = [m]gK og dermed
[m]gK ∋ Adg(X) ↦→ d
exp(t Adg(X))gK =
dt t=0 d
g exp(tX)K ∈ TgKG/K.
dt t=0
∼=
Denne isomorfi [m]gK −→ TgKG/K har specielt en invers afbildning βgK : TgKG/K →
[m]gK ⊂ g. Vi kan betragte β som en 1-form på G/K med værdier i g. For X ∈ TgKG/K
gælder således pr. definition, at
X = d
(exp(tβgK(X)))gK.
dt t=0
Antag nu at G er en kompakt Lie gruppe, og at K er en lukket undergruppe og antag
endvidere, at σ : G → G er en involutiv automorfi, således at (Gσ)0 ⊂ K ⊂ Gσ. Ved at
fiksere et indre produkt 〈 · , · 〉 på g således at
〈Adg(X), Adg(Y )〉 = 〈X, Y 〉 for alle g ∈ G og for alle X, Y ∈ g,
får [m] ∼ = T G/K et indre produkt, der gør G/K til et symmetrisk rum. For bevis af dette
henvises der til [10].
På G/K har vi den Riemannske metrik h givet ved
hgK(X, Y ) = 〈βgK(X), βgK(Y )〉 for alle X, Y ∈ TgKG/K. (1.7)
På T G/K definerer vi for X, Y ∈ TgKG/K størrelsen ∇ ved
β(∇XY ) := π[m](Xβ(Y )) ∈ Γ([m]), (1.8)
hvor π[m] er projektionen på [m].
Vi vil studere sammenhængen mellem β og Maurer-Cartan formen, der er givet ved
d
θg g exp(tX)
dt t=0 = X for X ∈ g.
Cartan-opsplitningen g = k ⊕ m giver θ = θk + θm, hvor subskriften indikerer hvilken del,
som elementerne er indeholdt i. Maurer-Cartans ligning, dθ + 1
[θ, θ] = 0, frembringer ved
2
opsplitning følgende formler.
0 = d(θk + θm) + 1
2 [θk + θm, θk + θm]
= dθk + dθm + 1
2 [θk, θk] + [θk, θm] + 1
2 [θm, θm],
⎧
⎨
0 = dθk +
så at
⎩
1
2 [θk, θk] + 1
2 [θm, θm],
0 = dθm + [θk, θm].
(1.9)