Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Symmetriske rum 15
G faktisk har struktur af en Lie gruppe, [10]. Specielt har vi, at sp ∈ G. Hvis σ : G → G
er en automorfi med σ(g) = spgsp, kan vi definere følgende gruppe
Gσ = g ∈ G σ(g) = g .
Desuden kan vi indføre isotropigruppen til p, som også kaldes for stabilisatoren til p ∈ M
ved
K = g ∈ G g(p) = p .
Vi har endvidere følgende resultat, hvor der for bevis henvises til [10].
Lemma 1.4.3. Lad M, G, K og Gσ være som ovenfor. Lad endvidere G0 være identitetskomponenten
til G. Da har vi, at
(i) (Gσ)0 ⊂ K ⊂ Gσ.
(ii) G og G0 virker transitivt på M.
(iii) K er kompakt.
(iv) G/K ∋ gK ↦→ g · p = g(p) ∈ M er en diffeomorfi.
Hvis σ : G → G er involutiv automorfi, har vi en tilhørende involutiv automorfi på Lie
algebra niveau, nemlig
dσe : g → g.
Når det ikke giver anledning til misforståelser, vil vi også skrive σ for automorfien på Lie
algebra niveau. Da σ 2 = Idg, har vi to muligheder for valg af fortegn for σ. Dette giver
anledning til opsplitningen
g = k ⊕ m,
hvor k er Lie algebraen til K og svarer til σ = Idg, og hvor m svarer til σ = − Idg. Vi har
endvidere
[k, k] ⊂ k, [k, m] ⊂ m og [m, m] ⊂ k.
For hvert g ∈ G lader vi [m]gK = {Adg(X) X ∈ m}. Ved at tage foreningen af alle
sideklasser fås et vektorbundt over G/K, som kaldes for det adjungerede bundt til m, og
som betegnes med [m], hvilket betyder, at
[m] =
gK∈G/K
[m]gK.
På tilsvarende vis kan der konstrureres vektorbundtet [k] over G/K, og vi har alt i alt
g = [k] ⊕ [m].