Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Symmetriske rum 13
Sætning 1.3.7 (Maurer-Cartans Sætning). Lad θ være Maurer-Cartan formen. Hvis η er
en 1-form på en enkeltsammenhængende Riemannflade M med værdier i g, så findes der
et F : M → G med F ∗ θ = η, hvis og kun hvis
dη + 1
[η, η] = 0.
2
Endvidere er F entydigt bestemt op til vektortranslation af konstante elementer i G.
Ligningen dη + 1
[η, η] = 0 kaldes for Maurer-Cartans ligning.
2
Hvis M er en kompleks mangfoldighed, og hvis (z1 , ..., zn ) er lokale holomorfe koordinater
på M, kan vi betragte de komplekse vektorbundter
Λ p,q = µ µ er en form af typen (p, q)
= µ µ er en linearkombination af typen dz i1 ∧ ... ∧ dz ip ∧ dz j1 ∧ ... ∧ dz jq .
Hvis Λ r := ⊕
p+q=r Λp,q , har vi specielt, at
Λ 2 = Λ 2,0 ⊕ Λ 1,1 ⊕ Λ 0,2 , Λ 1 = Λ 1,0 ⊕ Λ 0,1 .
Endvidere kan vi fra d : Λ r → Λ r+1 indføre afbildningerne ∂ : Λ p,q → Λ p+1,q og ∂ :
Λ p,q → Λ p,q+1 defineret ved ∂ = πp+1,q ◦ d og ∂ = πp,q+1 ◦ d. På denne måde kan vi for
αm ∈ Λ 1 = Λ 1,0 ⊕ Λ 0,1 opsplitte αm = α ′ m + α ′′ m, hvor α ′ m ∈ Λ 1,0 og α ′′ m ∈ Λ 0,1 . På en
Riemannflade M har vi, at Λ 2,0 = Λ 0,2 = 0, og da d 2 = 0, fås det trivielt, at ∂ 2 = ∂ 2 = 0.
For en lokal holomorf koordinat z, har vi
αm = adz + bdz , og får
α ′ m
dα ′ m = d(adz) = da ∧ dz = ∂a
∂z
1.4 Symmetriske rum
α ′′ m
dz ∧ dz
=0
+ ∂a
∂z dz ∧ dz = ∂α′ m. (1.6)
Definition 1.4.1. Lad M være en sammenhængende Riemannsk mangfoldighed. M kaldes
for et (Riemannsk globalt) symmetrisk rum, hvis der for ethvert p ∈ M findes en isometri
sp : M → M, så at
(i) s 2 p = IdM. Dermed er sp en automorfi af orden 2, og dvs. sp er involutiv.
(ii) sp(p) = p og p er et isoleret fikspunkt til sp.