Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Lie grupper og Lie algebraer 9
Lad (y 1 , ..., y n ) være lokale koordinater på U ⊂ N omkring φ(x) ∈ U, hvor U er en åben
mængde. Vi har da, at ∂ y 1 ◦ φ, ..., ∂y n ◦ φ er en lokal ramme for φ−1 T N omkring x, hvor
(∂ y k ◦ φ) z = ∂ y k
∈ Tφ(z)N for ethvert z ∈ φ φ(z) −1 (U).
På denne måde kan vi skrive et vilkårligt snit s til φ −1 T N i φ −1 (U) som
Dermed fås
∇ φ
Xs =
s =
n
k=1
n
fk∂yk ◦ φ, hvor fk : φ −1 (U) → R.
k=1
∇ φ
X fk∂ y k ◦ φ =
n
k=1
X(fk)∂y k ◦ φ + fk∇ φ
X∂y k ◦ φ.
Ved definition har vi ∇ φ
X∂y k ◦ φ := (∇N dφ(X) ∂
yk) ◦ φ, og hvis X = l gl∂xl, får vi
dφ(X) =
gldφ(∂xl) =
hvor y −1 ◦ φ ◦ x = (φ 1 , ..., φ n ), således at
(∇ N dφ(X)∂ y k) ◦ φ =
j,l
l
∂φ
gl
k
∂xl (∇∂yj ∂y l,k
k) ◦ φ =
∂φ
gl
k
∂xl ∂yk ◦ φ,
j,l,r
gl
∂φk ∂xl N r
Γjk ◦ φ∂yr ◦ φ.
Betragtes nu igen (1.4), får vi pga. Christoffelsymbolernes symmetri i de nedre indicer samt
symmetrien i de anden afledte summeret op til 0.
∇ φ
∂xidφ(∂xj) − ∇φ
∂xj dφ(∂x ∇
l
φ ∂φ
∂xi l
∂xj ∂y
∂yl +
i) =
= ∂
l
2φl ∂xi∂xj − ∂2φl ∂xj∂x i
l
=0
= ∂φl ∂xj ∂φk ∂xi
N r
Γkl ◦ φ∂yr ◦ φ −
l,k,r
l,k,r
∂φ l
l −
∇φ
∂xj ∂xi∂y ∂φ l
∂x i
l
∇ φ ∂φ
∂xj l
∂xi ∂yl ∂φl
l ◦ φ −
∂x
∇φ
i ∂xj ∂y ∂φk ∂xj N r
Γkl ◦ φ∂yr ◦ φ = 0.
Tilsvarende er dφ([X, Y ]) = 0, da [∂ x i, ∂ x j] = 0, og det ønskede fås.
1.3 Lie grupper og Lie algebraer
l ◦ φ
Den moderne algebraiske tilgang til differentialgeometri kommer frem i form af brugen af
Lie grupper og Lie algebraer.