Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Indledning 5
{ϕα : Uα ⊂ M → ϕα(Uα) ⊂ C} være et holomorft atlas. I hver Uα vælger vi metrikken gα
ved
(gα)x(X, Y ) = 〈d(ϕα)x(X), d(ϕα)x(Y )〉, (1.2)
hvor x ∈ Uα, X, Y ∈ TxM, og 〈 · , · 〉 er det sædvanlige indre produkt i R 2 ∼ = C.
Lemma 1.1.6. Lad M være en Riemannflade og lad Uα og Uβ være to kort i atlasset til
M med metrikkerne gα hhv. gβ defineret i (1.2). Antag at Uα ∩ Uβ = ∅. Da har vi, at
gα = λ 2 αβ gβ i Uα ∩ Uβ for en funktion λαβ : Uα ∩ Uβ → R>0.
Bevis. Hvis Ω := ϕβ(Uα ∩ Uβ), indfører vi f := ϕα ◦ ϕ −1
β : Ω → ϕα(Uα ∩ Uβ) ⊂ C. Da M
er en Riemannflade, er f : Ω → C holomorf. Da R 2 ∼ = C, har vi
f = f1 + if2 ∼ = (f1, f2).
Lad z = x + iy være kompleks koordinat, således at
f(z) = f(x + iy) = (f1(x, y), f2(x, y)).
Ved Cauchy-Riemannligningerne haves ∂xf1 = ∂yf2 og ∂yf1 = −∂xf2, hvilket giver, at
(f1)x
〈df(∂x), df(∂x)〉 = ((f1)x, (f2)x) ·
(f2)x
= (f1) 2 x + (f2) 2 x
= (f1) 2 y + (f2) 2 y = 〈df(∂y), df(∂y)〉 og
(f1)y
〈df(∂x), df(∂y)〉 = ((f1)x, (f2)x) ·
(f2)y
= (f1)x(f1)y + (f2)x(f2)y
= (f1)x(−(f2)x) + (f2)x(f1)x = 0.
Dermed er f konform, hvilket implicerer, at gα = λ 2 αβ gβ for en funktion λαβ : Uα ∩ Uβ →
R>0.
Således kan vi uden tab af generalitet antage, at en Riemannflade M er udstyret med
et atlas bestående af konforme koordinater. Ved at skifte til kompleks koordinat z = x + iy
kan vi indføre
∂z = 1
2 (∂x − i∂y) og ∂z = 1
2 (∂x + i∂y).
Da minimalflader intuitivt set er en type af flader, der er konstrueret med henblik på
at minimere deres overfladeenergi, vil vi tænke på harmoniske afbildninger som optimering
af en bestemt type energi. Vi lader (M m , g) og (N n , h) være Riemannske mangfoldigheder
med dimension m hhv. n og Riemannske metrikker g hhv. h og indfører energifunktionalet.