Harmoniske afbildninger af endelig type og med ... - CP3-Origins

Harmoniske afbildninger
af endelig type og med
endeligt unitontal
Speciale af
Simon Bonnerup Pedersen
26. november 2012
Vejleder: Martin Svensson
Institut for Matematik og Datalogi, Syddansk Universitet, Odense

Abstract
In this master thesis we study harmonic maps and investigate how they arise from certain
holomorphic maps into loop groups via the DPW method using the concept of Riemannian
symmetric spaces. The approach to this method uses a lot of algebraic group theory
which turns out to be much simpler than solving the corresponding harmonic differential
equations analytically. We describe how the process of adding a uniton in these loop
groups works, and we will observe that this leads us to a method where we can construct
new harmonic maps from old ones. By introducing harmonic maps of finite uniton number
we will be able to classify harmonic maps from Riemann surfaces into certain symmetric
spaces. We shall in particularly be interested in developing a procedure to construct harmonic
maps into a Grassmannian. We introduce another class of harmonic maps, namely
harmonic maps of finite type arising from a certain class of constant holomorphic potentials
in the DPW approach. Following Pacheco as in [14] we finally study harmonic maps
which are simultaneously of finite type and of finite uniton number, and show that such
harmonic maps from a torus into CP n are constant maps. Furthermore we discuss some
generalisations of this result.
Resumé
I denne specialerapport studerer vi harmoniske afbildninger og undersøger, hvordan de
genereres fra holomorfe afbildninger i løkkegrupper fra DPW-metoden ved brug af Riemannsk
symmetriske rum. Tilgangen til denne metode gør brug af en del algebraisk gruppeteori,
hvilket viser sig at være væsentligt lettere end at skulle løse de tilhørende harmoniske
differentialligninger analytisk. Vi beskriver processen, hvorved en uniton tillægges i disse
løkkegrupper og observerer, at dette giver os en metode, hvor vi kan konstruere nye harmoniske
afbildninger fra en oprindelig harmonisk afbildning. Vi introducerer harmoniske
afbildninger med endeligt unitontal, hvilket gør os i stand til at klassificere harmoniske
afbildninger fra Riemannflader til forskellige typer af symmetriske rum. Vi skal primært
være interesserede i en metode til at konstruere harmoniske afbildninger ind i en Grassmann
mangfoldighed. Vi introducerer en anden klasse af harmoniske afbildninger - nemlig
harmoniske afbildninger af endelig type, som værende harmoniske afbildninger genereret af
holomorfe potentialer fra DPW-metoden, der har en bestemt, konstant form. Ved at følge
Pacheco som i [14] vil vi endeligt studerere harmoniske afbldninger, som både er af endelig
type og har endeligt unitontal og vise, at disse harmoniske afbildninger fra en torus til
CP n er konstante afbildninger. Efterfølgende diskuterer vi nogle generaliseringer af dette
resultat.
i

ii
Taksigelse
Der skal lyde en stor tak til min vejleder, Martin Svensson for al den tid energi, som han
har brugt på at hjælpe mig med mit projekt. For hans store imødekommenhed, interesse og
engagement i min indlæring. For hans evne og vilje til altid at være til rådighed og forklare
mig stoffet samt hans tro på min faglige kunnen. Desuden skal han takkes for pædagogisk
og inspirerende undervisning hele studiet igennem samt for at være et fagligt forbillede for
mange studerende.

Indhold
0 Introduktion 1
1 Harmoniske afbildninger i Lie grupper og symmetriske rum 3
1.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Vektorbundter og konnektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Lie grupper og Lie algebraer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Symmetriske rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Grassmann mangfoldigheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Chern-klasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Harmoniske afbildninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Karakterisering af harmoniske afbildninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 DPW-metoden for harmoniske afbildninger 33
2.1 Løkkegrupper og Iwasawaopsplitning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger . . . . . . . 37
2.3 Harmoniske afbildninger af endelig type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Konstruktion af CMC-flader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Dressing på CMC-flader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Harmoniske afbildninger med endeligt unitontal 54
3.1 Udvidede løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 Unitons i U(n) og Gk(C n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Harmoniske afbildninger og Gaussbundter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Faktorisering af harmoniske afbildninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
iii

4 Endelig type vs. endeligt unitontal 68
4.1 Gaussbundter af endelig type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Endelig type og endeligt unitontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Afsluttende kommentarer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Litteratur 75
iv

Kapitel 0
Introduktion
I studiet af harmoniske afbildninger fra en Riemannflade til et symmetrisk rum spiller to
klasser af harmoniske afbildninger en vigtig rolle, nemlig harmoniske afbildninger med endeligt
unitontal og harmoniske afbildninger af endelig type. I [20] introducerede Uhlenbeck
begrebet harmoniske afbildninger med endeligt unitontal som værende afbildninger, der
stammer fra en familie af afbildninger kaldet udvidede løsninger, som er holomorfe afbildninger
i løkkegrupper, der opfylder en type af førsteordens differentialligninger. Uhlenbeck
indførte tillige en proces, hvor nye harmoniske afbildninger kan konstrureres fra oprindelige
harmoniske afbildninger ved at modificere den oprindelige afbildning ved at udføre en proces,
der kaldes at addere en uniton. Processen bevarer det endelige unitontal og specielt
har Uhlenbeck klassificeret alle harmoniske afbildninger fra 2-sfæren, idet hun har vist,
at enhver harmonisk afbildning fra S 2 til U(n) er en harmonisk afbildning med endeligt
unitontal.
Derimod korresponderer en harmonisk afbildning af endelig type til en afbildning, hvis
holomorfe potentiale, som indgår i DPW-metoden fra [6], kan opskrives på en bestemt,
konstant form. I [15] undersøger Correia og Pacheco, hvorvidt Gaussbundterne til en harmonisk
afbildning af endelig type, der tillæges en uniton, bevarer egenskaben, at de er af
endelig type. I [14] har Pacheco endvidere vist, at enhver harmonisk afbildning fra T 2 til
CP n , som både er af endelig type og har endeligt unitontal, nødvendigvis må være konstant.
Formålet med dette projekt er at undersøge sammenhængen mellem harmoniske afbildninger
af endelig type og harmoniske afbildninger med endeligt unitontal, hvor vi specielt
vil vise ovenstående resultater fra Pacheco, [14] og Correia og Pacheco, [15].
I Kapitel 1 vil vi indføre forskellige begreber, som vi får brug for. Blandt andet vil vi
introducere Riemannflader, vektorbundter samt konnektioner på disse. Vi vil give bevis
for diverse standardresultater, herunder symmetri af den anden fundamentalform. Sammen
med Lie grupper, Lie algebraer og symmetriske rum er alt dette med til at muliggøre
definitionen af harmoniske afbildninger, hvilket vi indfører som værende afbildninger med
forsvindende spændingsfelt. Efterfølgende skal vi specielt vise, at dette præcist svarer til de
kritiske punkter for energifunktionalet. Til sidst i kapitlet gives der forskellige beskrivelser
1

2
til at karakterisere de harmoniske afbildninger i Lie grupper eller symmetriske rum, hvilket
vi skal gøre stor nytte af.
Ved at følge [6] vil vi i Kapitel 2 ved en parameter λ ∈ S 1 indføre løkkegrupper og
løkkealgebraer. Vi anvender Iwasawaopsplitningen på disse og får udviklet en systematisk
metode til at generere en vilkårlig harmonisk afbildning fra en enkeltsammenhængende
Riemannflade til et symmetrisk rum ved anvendelse af udvidede løft, som netop er afbildninger
i disse løkkegrupper. Efterfølgende studeres sammenhængen mellem de udvidede
løft og en klasse af potentialer, som kaldes for holomorfe potentialer. Dermed fås alt i alt
en sammenhæng mellem holomorfe potentialer og harmoniske afbildninger. Metoden til
at generere harmoniske afbildninger fra et holomorft potentiale kaldes for DPW-metoden
opkaldt efter forfatterne til [6], Dorfmeister, Pedit og Wu. Metoden bliver således sammenlignelig
med Weierstrassrepræsentationen for minimalflader, som beskriver sammenhængen
mellem minimalflader og holomorfe funktioner. Vi introducerer endvidere harmoniske afbildninger
af endelig type og ser, at en harmonisk afbildning frembragt ved at gauge en
harmonisk afbildning af endelig type også er af endelig type. Til slut i kapitlet gives der
eksempler på DPW-metoden anvendt til konstruktion af forskellige typer af CMC-flader
på samme måde som i [9] inklusive anvendelse af dressing-virkningen på disse flader.
I Kapitel 3 følger vi [15] og [14] og introducerer udvidede løsninger, som minder om
udvidede løft, men som i modsætning til disse lever i nogle modificerede løkkegrupper.
Der eksisterer stadigvæk en korrespondance til harmoniske afbildninger, hvilket bliver vist.
Begrebet uniton kan nu introduceres, og det vises hvordan nye harmoniske afbildninger
kan konstrueres fra oprindelige harmoniske afbildninger i U(n) ved brug af udvidede løsninger.
Denne metode viderudvikles efterfølgende til en Grassmann mangfoldighed, Gk(C n )
i stil med [14]. Vi beskriver sammenhængen mellem gauging og unitons og viser, at Gaussbundterne
til en harmonisk afbildning er harmoniske. Til sidst i kapitlet gives der eksempler
på, hvordan harmoniske afbildninger med endeligt unitontal kan genereres fuldstændigt
eksplicit ved at følge [8].
Vi vender i Kapitel 4 tilbage til harmoniske afbildninger af endelig type og ser, at Gaussbundterne
til en harmonisk afbildning af endelig type også er af endelig type. Dette resultat
bruger vi således i efterfølgende afsnit i forbindelse med beviset for sætningen fra [14], som
forudsiger, at enhver harmonisk afbildning, som både er af endelig type, og som har endeligt
unitontal fra en torus til det komplekse projektive rum er konstant.

Kapitel 1
Harmoniske afbildninger i Lie grupper
og symmetriske rum
1.1 Indledning
Harmonicitet spiller en central rolle i geometrien og er til genstand for forskellige typer
af problemer, hvoraf mange ligger i grænsefeltet mellem matematik og fysik. For at forstå
harmonicitet kan vi eksempelvis først studere minimalitet. Velkendt er Plateaus problem,
som består i at skulle konstruere og dermed vise eksistens af en flade med mindst muligt
areal givet en bestemt randkurve. Det er navngivet efter Joseph Plateau (1801-1883), da
han har eksperimenteret med dette i form af sæbeflader. Den type af flade, der fremkommer
er en såkaldt minimalflade, hvilket betyder, at middelkrumningen er identisk lig med 0. Vi
ønsker kort at se på sammenhængen mellem minimalflader og Plateaus problem.
Vi lader X : U ⊂ R 2 → R 3 være en parametriseret, glat flade, hvor U er en åben
sammenhængende mængde og lad N : U → S 2 være normalvektoren. Lad en delmængde
V være givet ved V ⊂ V ⊂ U, hvor V er kompakt og lad h : V :→ R være en glat funktion.
Vi ser da på normalvariationen X(V ) af h defineret ved
Vi kan nu opskrive følgende sætning fra [5].
Xt(x, y) = X(x, y) + th(x, y)N(x, y).
Sætning 1.1.1. Lad X : U → R 3 være som ovenfor. Da er X minimal, hvis og kun hvis
der for enhver begrænset delmængde V ⊂ V ⊂ U, og for enhver normalvariation Xt af
X(V ), gælder
d
dt A(Xt(V )) t=0 = 0,
hvor A(Xt(V )) er arealet af (Xt(V )).
Hvis en flade har mindst areal blandt en familie af flade med samme randkurve, er det
således en minimalflade. Ved at betragte konformt parametriserede flader kan vi endvidere
opskrive sammenhængen mellem minimalflader og harmonicitet, [5].
3

4 Indledning
Sætning 1.1.2. Lad U ⊂ R2 være en åben mængde med koordinater (x, y). Hvis X : U →
R3
er en parametriseret, glat flade, som opfylder
∂X
∂x =
∂X
∂y og
∂X ∂X
, = 0, så er
∂x ∂y
X minimal, hvis og kun hvis X er harmonisk.
Velkendt for minimalflader er den såkaldte Weierstrassrepræsentation opkaldt efter Karl
Weierstrass (1815-1897), se f.eks. [5].
Sætning 1.1.3 (Weierstrassrepræsentationen for minimalflader). Antag U ⊂ C er en
åben, enkeltsammenhængende mængde, og X : U → R3 en konformt parametriseret minimalflade.
Da findes en holomorf funktion f : U → C, der ikke er identisk lig nul, og en
g : U → C meromorf funktion, så at fg 2 er holomorf i U, og
X(z) = X(z0) + Re
z
z0
f(w) (1 − g(w) 2 ), i(1 + g(w) 2
), 2g(w) dw (1.1)
for ethvert z0 ∈ U. Omvendt giver ethvert par af funktioner f og g, som opfylder ovenstående
betingelser, anledning til en konformt parametriseret minimalflade frembragt ved
(1.1).
På denne måde slipper vi for at løse et sæt af differentialligninger, men kan nøjes med at
vælge nogle meromorfe funktioner f og g, således at f og fg 2 er holomorfe og ikke identisk
lig 0. For harmoniske afbildninger er vi specielt interesserede i at undersøge, hvorvidt der
findes lignende tilstande. Vi vil derfor først studere harmoniske afbildninger på en type af
flader, hvor holomorficitet spiller en central rolle. Vi introducerer begrebet Riemannflader.
Definition 1.1.4. En flade M kaldes en Riemannflade, hvis M har et atlas, {Uα, ϕα}, hvor
der gælder, at hver gang Uα ∩ Uβ = ∅, så er overgangsfunktionen ϕα ◦ ϕ −1
β : ϕβ(Uα ∩ Uβ) →
ϕα(Uα ∩ Uβ) holomorf.
For Riemannflader gælder der, se [1].
Sætning 1.1.5 (Uniformiseringssætningen for Riemannflader). Lad M være en Riemannflade.
Da findes en enkeltsammenhængende Riemannflade ˆ M, samt en holomorf overdækning
π : ˆ M → M, hvor der gælder, at ˆ M er biholomorf med én af følgende mængder.
(i) S 2
(ii) C
(iii) D = z ∈ C |z| < 1 .
Vi kalder ˆ M i Sætning 1.1.5 for den universelle overdækning.
Det ville være bekvemt, om vi i stil med Sætning 1.1.2 kan vise eksistens af konforme
koordinater i et holomorft atlas for en Riemannflade M. Vi lader derfor

Indledning 5
{ϕα : Uα ⊂ M → ϕα(Uα) ⊂ C} være et holomorft atlas. I hver Uα vælger vi metrikken gα
ved
(gα)x(X, Y ) = 〈d(ϕα)x(X), d(ϕα)x(Y )〉, (1.2)
hvor x ∈ Uα, X, Y ∈ TxM, og 〈 · , · 〉 er det sædvanlige indre produkt i R 2 ∼ = C.
Lemma 1.1.6. Lad M være en Riemannflade og lad Uα og Uβ være to kort i atlasset til
M med metrikkerne gα hhv. gβ defineret i (1.2). Antag at Uα ∩ Uβ = ∅. Da har vi, at
gα = λ 2 αβ gβ i Uα ∩ Uβ for en funktion λαβ : Uα ∩ Uβ → R>0.
Bevis. Hvis Ω := ϕβ(Uα ∩ Uβ), indfører vi f := ϕα ◦ ϕ −1
β : Ω → ϕα(Uα ∩ Uβ) ⊂ C. Da M
er en Riemannflade, er f : Ω → C holomorf. Da R 2 ∼ = C, har vi
f = f1 + if2 ∼ = (f1, f2).
Lad z = x + iy være kompleks koordinat, således at
f(z) = f(x + iy) = (f1(x, y), f2(x, y)).
Ved Cauchy-Riemannligningerne haves ∂xf1 = ∂yf2 og ∂yf1 = −∂xf2, hvilket giver, at
(f1)x
〈df(∂x), df(∂x)〉 = ((f1)x, (f2)x) ·
(f2)x
= (f1) 2 x + (f2) 2 x
= (f1) 2 y + (f2) 2 y = 〈df(∂y), df(∂y)〉 og
(f1)y
〈df(∂x), df(∂y)〉 = ((f1)x, (f2)x) ·
(f2)y
= (f1)x(f1)y + (f2)x(f2)y
= (f1)x(−(f2)x) + (f2)x(f1)x = 0.
Dermed er f konform, hvilket implicerer, at gα = λ 2 αβ gβ for en funktion λαβ : Uα ∩ Uβ →
R>0.
Således kan vi uden tab af generalitet antage, at en Riemannflade M er udstyret med
et atlas bestående af konforme koordinater. Ved at skifte til kompleks koordinat z = x + iy
kan vi indføre
∂z = 1
2 (∂x − i∂y) og ∂z = 1
2 (∂x + i∂y).
Da minimalflader intuitivt set er en type af flader, der er konstrueret med henblik på
at minimere deres overfladeenergi, vil vi tænke på harmoniske afbildninger som optimering
af en bestemt type energi. Vi lader (M m , g) og (N n , h) være Riemannske mangfoldigheder
med dimension m hhv. n og Riemannske metrikker g hhv. h og indfører energifunktionalet.

6 Vektorbundter og konnektioner
Definition 1.1.7. Lad M og N være Riemannske mangfoldigheder, hvor M er kompakt
og orienterbar. Lad φ : M → N være en glat afbildning. Energifunktionalet af φ er givet
ved størrelsen
E(φ) = 1
|dφ|
2
2 d volM.
M
Lad φ : M → N være en glat afbildning. En glat variation af φ er en familie φt af
afbildninger φt : M × (−ε, ε) → N, hvor ε > 0, således at φ0 = φ.
Vi kalder φ for et kritisk punkt for energifuntionalet, hvis d
dt E(φt) t=0 = 0 for enhver
glat variation φt af φ.
1.2 Vektorbundter og konnektioner
Vi ønsker at vise, at harmoniske afbildninger netop er de kritiske punkter for energifunktionalet.
For at dette skal kunne lade sig gøre, må vi indføre harmoniske afbildninger
mellem Riemannske mangfoldigheder på passende vis. Dette kræver bl.a. indførelse af vektorbundter.
Definition 1.2.1. Lad M være en mangfoldighed. En mangfoldighed E kaldes et vektorbundt
af rang k over M, hvis der findes en projektion π : E → M, som er glat, og som
opfylder, at
(i) hver fiber Ex = π −1 (x) for x ∈ M er et vektorrum af dimension k,
(ii) for ethvert x ∈ M findes en åben omegn U ⊂ M til x og en diffeomorfi ϕ : π −1 (U) →
U ×R k med egenskaben, at der til ethvert y ∈ U gælder, at ϕy = ϕ Ey : Ey → {y}×R k
er en isomorfi.
Normalt skriver vi E → M i stedet for π : E → M for at indikere, at E er et vektorbundt
over M.
Eksempel 1.2.2. Lad M være en mangfoldighed. Vi kan da konstruere forskellige vektorbundter.
(i) Mængden af alle tangentrum T M =
x∈M TxM er et vektorbundt, som kaldes tangentbundet.
(ii) For ethvert x ∈ M tilordner M ×R n vektorrummet {x}×R n , som kaldes det trivielle
vektorbundt. Dette betegnes normalt med R n = M × R n . Vi kan gøre fuldstændigt
tilsvarende for C n .
(iii) Givet vektorbundterne E → M og F → M, så er Hom(E, F ) → M et vektorbundt,
da vi for ethvert x ∈ M kan definere (Hom(E, F ))x = Hom(Ex, Fx), som er et
vektorrum.

Vektorbundter og konnektioner 7
(iv) Hvis Ex ⊂ Fx for ethvert x ∈ M, kaldes E for et delbundt til F .
Definition 1.2.3. Lad (E, π, M) være et vektorbundt. Et snit af E er en glat afbildning
s : M → E, så at s(x) ∈ Ex for alle x ∈ M. Ækvivalent er det, at π ◦ s = IdM. Rummet af
snit på E → M skrives som Γ(E).
Lad E → M og F → M være to vektorbundter over en mangfoldighed M. En homomorfi
fra E til F er en afbildning f : E → F , således at der for ethvert x ∈ M gælder, at
f(Ex) ⊂ Fx, og at f Ex : Ex → Fx er lineær.
Hvis f Ex : Ex → Fx er en isomorfi for ethvert x ∈ M, kaldes f en isomorfi eller
bundtmorfi.
Lad E → M være et vektorbundt. En lokal ramme til E over en åben mængde U ⊂ M
er en familie s1, ..., sn af snit på π −1 (U), således at s1(x), ..., sn(x) udgør en basis for Ex
for alle x ∈ U. En lokal ramme eksisterer altid omkring hvert punkt på M. For at se dette
lader vi E → M være et vektorbundt over en mangfoldighed M. Lad U ⊂ M være en åben
mængde. Betragt afbildningen ψ : π −1 (U) → U × R n og lad e1, ..., en være en fiks basis for
R n . For ethvert k ∈ {1, ..., n} og x ∈ U ser vi på afbildningen sk : U → π −1 (U) ⊂ E givet
ved
sk(x) = ψ −1 (x, ek).
Vi ser, at s1(x), ..., sn(x) er en basis for Ex for alle x ∈ U, og s1, ..., sn er således en lokal
ramme til E. Derfor har vi for t ∈ Γ(E), at t = U n k=1 fksk for f1, ..., fn : U → R.
En lokal ramme til E kaldes for en global ramme til E, hvis den er defineret overalt.
Hvis E → M har en global ramme s1, ..., sn, så er E ∼ = R n .
For at kunne indføre harmonicitet på mangfoldigheder må vi endvidere se på konnektioner.
Definition 1.2.4. Lad E → M være et vektorbundt. En konnektion på E er en afbildning
∇ : Γ(T M)×Γ(E) → Γ(E) med (X, s) ↦→ ∇Xs, således at der for alle X, Y ∈ Γ(T M), s, t ∈
Γ(E), f, g ∈ C ∞ (M) gælder, at
(i) ∇fX+gY s = f∇Xs + g∇Y s
(ii) ∇X(s + t) = ∇Xs + ∇Xt
(iii) ∇X(fs) = X(f)s + f∇Xs.
Krumningstensoren R : Γ(T M) × Γ(T M) × Γ(E) → Γ(E) er defineret ved
hvor X, Y ∈ Γ(T M) og s ∈ Γ(E).
R(X, Y )s = ∇X∇Y s − ∇Y ∇Xs − ∇[X,Y ]s,
Eksempel 1.2.5. Hvis ∇ E og ∇ F er konnektioner på E hhv. F , kan vi for
A ∈ Γ(Hom(E, F )) generere en konnektion på Hom(E, F ) ved
∇XA = ∇ F X ◦ A − A ◦ ∇ E X.

8 Vektorbundter og konnektioner
Vi må desuden indføre en anden type bundt.
Definition 1.2.6. Lad φ : M → N være en glat afbildning mellem mangfoldighederne M
og N. Vi indfører pull-back bundtet af φ ved bundet η : φ −1 T N → M over M ved
φ −1 T N = (x, v) x ∈ M, v ∈ Tφ(x)N og η(x, v) = x for x ∈ M, v ∈ Tφ(x)N.
På dette bundt ønsker vi tillige at definere en konnektion på en passende måde. For to
elementer X, Y ∈ C ∞ (T M) og x ∈ M vælger vi en kurve γ : (−ɛ, ɛ) → M med γ(0) = x
og γ ′ (0) = Xx. Lad Pγ,t : TxM → Tγ(t)M være paralleltransport langs γ. Vi har da
∇ M X Y (x) = d
P
dt t=0 −1
γ,t (Yγ(t)).
Definition 1.2.7. Pull-back konnektionen af φ : M → N er konnektionen ∇φ på φ−1T N
defineret ved
∇ φ d
XV (x) = P
dt t=0 −1
φ◦γ,t (Vγ(t)),
for x ∈ M, X ∈ C ∞ (T M), V ∈ C ∞ (φ −1 T N) og en kurve γ : (−ɛ, ɛ) → M med γ(0) = x
og γ ′ (0) = Xx, og hvor Pφ◦γ,t : Tφ(x)N → Tφ(γ(t))N er paralleltransport langs φ ◦ γ.
For Z ∈ C ∞ (T N) har vi endeligt
∇ φ
X φ∗ (Z)(x) = d
dt
t=0 P −1
φ◦γ,t (Zφ◦γ(t)) = (∇ N dφx(X)Z)(φ(x)).
Definition 1.2.8. Hvis φ : M → N er en glat afbildning, har vi for hvert x ∈ M, at
dφx : TxM → Tφ(x)N og dφ ∈ Γ(Hom(T M, φ −1 T N)) er et snit. Da T M og φ −1 T N er
udstyret med konnektionerne ∇ M hhv. ∇ φ , får vi altså en afbildning defineret ved
ˆ∇dφ(X, Y ) := ( ˆ ∇Xdφ)(Y ) = ∇ φ
X dφ(Y ) − dφ(∇M X Y ), (1.3)
som kaldes den anden fundamentalform.
Proposition 1.2.9. Den anden fundamentalform er symmetrisk.
Bevis. Lad X, Y ∈ Γ(T M) og dφ ∈ Γ(Hom(T M, φ ∗ (T N))). Vi får
ˆ∇dφ(X, Y ) − ˆ ∇dφ(Y, X) = ∇ φ
X dφ(Y ) − dφ(∇M X Y ) − ∇ φ
Y dφ(X) + dφ(∇M Y X)
= ∇ φ
Xdφ(Y ) − ∇φ
Y dφ(X) − dφ([X, Y ]). (1.4)
Ovenstående udtryk er lineært i X og Y , hvorfor det er tilstrækkeligt at vise resultatet for
X = ∂ x i og Y = ∂ x j for nogle lokale koordinater x k defineret i en åben omegn af x ∈ M, da
vi i så fald også har udtrykket gældende for en vilkårlig linearkombination. Antag x ∈ M.

Lie grupper og Lie algebraer 9
Lad (y 1 , ..., y n ) være lokale koordinater på U ⊂ N omkring φ(x) ∈ U, hvor U er en åben
mængde. Vi har da, at ∂ y 1 ◦ φ, ..., ∂y n ◦ φ er en lokal ramme for φ−1 T N omkring x, hvor
(∂ y k ◦ φ) z = ∂ y k
∈ Tφ(z)N for ethvert z ∈ φ φ(z) −1 (U).
På denne måde kan vi skrive et vilkårligt snit s til φ −1 T N i φ −1 (U) som
Dermed fås
∇ φ
Xs =
s =
n
k=1
n
fk∂yk ◦ φ, hvor fk : φ −1 (U) → R.
k=1
∇ φ
X fk∂ y k ◦ φ =
n
k=1
X(fk)∂y k ◦ φ + fk∇ φ
X∂y k ◦ φ.
Ved definition har vi ∇ φ
X∂y k ◦ φ := (∇N dφ(X) ∂
yk) ◦ φ, og hvis X = l gl∂xl, får vi
dφ(X) =
gldφ(∂xl) =
hvor y −1 ◦ φ ◦ x = (φ 1 , ..., φ n ), således at
(∇ N dφ(X)∂ y k) ◦ φ =
j,l
l
∂φ
gl
k
∂xl (∇∂yj ∂y l,k
k) ◦ φ =
∂φ
gl
k
∂xl ∂yk ◦ φ,
j,l,r
gl
∂φk ∂xl N r
Γjk ◦ φ∂yr ◦ φ.
Betragtes nu igen (1.4), får vi pga. Christoffelsymbolernes symmetri i de nedre indicer samt
symmetrien i de anden afledte summeret op til 0.
∇ φ
∂xidφ(∂xj) − ∇φ
∂xj dφ(∂x ∇
l
φ ∂φ
∂xi l
∂xj ∂y
∂yl +
i) =
= ∂
l
2φl ∂xi∂xj − ∂2φl ∂xj∂x i
l
=0
= ∂φl ∂xj ∂φk ∂xi
N r
Γkl ◦ φ∂yr ◦ φ −
l,k,r
l,k,r
∂φ l
l −
∇φ
∂xj ∂xi∂y ∂φ l
∂x i
l
∇ φ ∂φ
∂xj l
∂xi ∂yl ∂φl
l ◦ φ −
∂x
∇φ
i ∂xj ∂y ∂φk ∂xj N r
Γkl ◦ φ∂yr ◦ φ = 0.
Tilsvarende er dφ([X, Y ]) = 0, da [∂ x i, ∂ x j] = 0, og det ønskede fås.
1.3 Lie grupper og Lie algebraer
l ◦ φ
Den moderne algebraiske tilgang til differentialgeometri kommer frem i form af brugen af
Lie grupper og Lie algebraer.

10 Lie grupper og Lie algebraer
Definition 1.3.1. En Lie gruppe er en differentiabel mangfoldighed G, som også er en
gruppe, således at afbildningen
G × G ∋ (x, y) ↦→ x · y −1 ∈ G er glat.
Vi indfører tillige Lie algebraer, som vi vil betegne med små gotiske bogstaver.
Definition 1.3.2. En Lie algebra g er et vektorrum udstyret med et produkt kaldet Lie
parentes, [ · , · ] : g × g → g, der er bi-lineær, og som
(i) er antisymmetrisk [X, Y ] = −[Y, X] for alle X, Y ∈ g
(ii) opfylder Jacobiidentiteten [X, [Y, Z]]+[Y, [Z, X]]+[Z, [X, Y ]] = 0 for alle X, Y, Z ∈ g.
Vi ønsker at se på sammenhængen mellem Lie grupper og Lie algebraer. Lad G være
en kompakt Lie gruppe. For g ∈ G betragter vi afbildningen Lg : G → G defineret ved
Lg(h) = gh, som er en diffeomorfi på G. Vi lader e ∈ G være identitetselement. For
X, Y ∈ TeG definerer vi ˜ X, ˜ Y ∈ Γ(T G) ved
På TeG definerer vi [ · , · ] ved
˜Xg = d(Lg)e(X), ˜ Yg = d(Lg)e(Y ).
[X, Y ] = [ ˜ X, ˜ Y ]e ∈ TeG,
hvor subskriften e på Lie parentesen angiver, at vi evaluerer i dette punkt. Med denne Lie
parentes bliver TeG in Lie algebra, som betegnes med g. Vi kalder Lie algebraen g = TeG for
Lie algebraen til G. Det vil generelt være underforstået, at et lille gotisk bogstav betegner
Lie algebraen for tilhørende Lie gruppe, som betegnes med et sædvanligt stort bogstav.
For ethvert g ∈ G har vi desuden isomorfien
d(Lg)e : g ∼ = −→ TgG.
Definition 1.3.3. For ethvert g ∈ G betragtes den inverse afbildning til d(Lg) givet ved
θg : TgG → g, hvor θg( ˜ Xg) = X for ˜ X ∈ Γ(T G).
Afbildningen θ er en 1-form på G med værdier i g og kaldes den (venstre) Maurer-Cartan
form på G.
Vi indfører invariante metrikker på Lie gruppen G.
Definition 1.3.4. Antag at κ er en Riemannsk metrik på G. Da kaldes κ for
(i) venstre-invariant, hvis afbildningen Lg : G → G defineret ved Lg(h) = gh er en
isometri mht. κ for ethvert g ∈ G,

Lie grupper og Lie algebraer 11
(ii) højre-invariant, hvis afbildningen Rg : G → G defineret ved Rg(h) = hg er en
isometri mht. κ for ethvert g ∈ G,
(iii) bi-invariant, hvis κ både er venstre- og højre-invariant.
Ved at fiksere et indre produkt 〈 · , · 〉 på g kan vi få en Riemannsk metrik κ på G
defineret ved
κg(X, Y ) = 〈θg(X), θg(Y )〉, (1.5)
hvor g ∈ G, X, Y ∈ TgG og θ er Maurer-Cartan formen. Da θg = d(L g −1)g, er κ venstreinvariant.
Vi har envidere følgende resultat.
Lemma 1.3.5. Antag, at det indre produkt 〈 · , · 〉 på g er Ad-invariant, dvs. at
〈Adg(X), Adg(Y )〉 = 〈X, Y 〉 for ethvert g ∈ G og X, Y ∈ g.
Da bliver metrikken κ i (1.5) på G bi-invariant.
Bevis. Lad X, Y ∈ ThG. Da κ allerede er venstre-invariant, kan vi nøjes med at vise højreinvarians.
Ved anvendelse af kædereglen giver en udregning, at
κhg(d(Rg)h(X), d(Rg)h(Y )) = 〈θhg(d(Rg)h(X)), θhg(d(Rg)h(Y ))〉
= 〈d(L g −1 h −1)hg ◦ d(Rg)h(X), d(L g −1 h −1)hg ◦ d(Rg)h(Y )〉
= 〈d(L g −1 h −1 ◦ Rg)h(X), d(L g −1 h −1 ◦ Rg)h(Y )〉
= 〈Ad g −1(θh(X)), Ad g −1(θh(Y ))〉
= κh(X, Y ).
Antages det, at 〈 · , · 〉 er Ad-invariant og udnyttes det, at Adexp(X) = exp(adX) for
ethvert X ∈ g, får vi endvidere, at
0 = d
〈Adexp(tX)(Y ), Adexp(tX)(Z)〉
dt t=0
= d
〈exp(t adX(Y )), exp(t adX(Z))〉
dt t=0
= 〈[X, Y ], Z〉 + 〈Y, [X, Z]〉.
Det fremgår, at adX : g → g er skævsymmetrisk, og for X, Y, Z ∈ g har vi for κ, at
κ(∇ ˜
X˜ Y , Z) ˜
1
= ˜Xκ( Y ˜ , Z) ˜ + Y˜ κ( X, ˜ Z) ˜ − Zκ( ˜ X, ˜ Y ˜ )
2
+ κ([ ˜ X, ˜ Y ], ˜ Z) + κ([ ˜ Z, ˜ X], ˜ Y ) − κ([ ˜ Y , ˜ Z], ˜ X) .

12 Lie grupper og Lie algebraer
De tre første led er 0, da eksempelvis κ( ˜ Y , ˜ Z) = 〈Y, Z〉 er konstant, så at ˜ X〈Y, Z〉 = 0. Da
〈[Z, X], Y 〉 = −〈X, [Z, Y ]〉 = 〈[Y, Z], X〉 pga. skævsymmetri af adZ får vi
κ(∇ ˜
X˜ Y , Z) ˜
1
= κ([
2
˜ X, ˜ Y ], ˜ Z) + κ([ ˜ Z, ˜ X], ˜ Y ) − κ([ ˜ Y , ˜ Z], ˜
X)
= 1
(〈[X, Y ], Z〉 + 〈[Z, X], Y 〉 − 〈[Y, Z], X〉)
2
= 1
(〈[X, Y ], Z〉 + 〈[Y, Z], X〉 − 〈[Y, Z], X〉)
2
= 1
〈[X, Y ], Z〉.
2
Dette bruges til at vise nedenstående lemma.
Lemma 1.3.6. Lad G være en kompakt Lie gruppe med Lie algebra g. Lad X, Y ∈ Γ(T G)
og lad θ være Maurer-Cartan formen. Da har vi Levi-Civita konnektionen ∇ på G mht. κ
i (1.5) givet ved
∇XY = d(Lg)e X(θ(Y )) + 1
[θ(X), θ(Y )] .
2
Bevis. Antag at e1, ..., en er en ortonormal basis for g. Da er ( ˜e1)g, ..., ( ˜en)g en ortonormal
basis for TgG for ethvert g ∈ G. Antag at X, Y ∈ Γ(T G). Disse kan skrives ved
X =
n
fk ˜ek og Y =
k=1
n
k=1
hk ˜ek,
hvor fk og hk er glatte for alle k. Endvidere fås for Levi-Civita konnektionen ∇ mht. κ, at
∇XY = ∇X(
n
hk ˜ek) =
k=1
n
(X(hk) ˜ek + ∇X ˜ek)
k=1
=
X(hk) ˜ek +
hkflκ(∇ ˜el ˜ek, ˜ej) ˜ej
k
k
k,l,j
=
X(hk) ˜ek + 1
hkfl
2 〈[el, ek], ej〉 ˜ej
k,l,j
= d(Lg)e X(hk)ek +
k
=X(θ(Y ))
1
2 〈[ flel,
l
=θ(X)
hkek],
ej〉ej
k
=θ(Y )
= d(Lg)e X(θ(Y )) + 1
[θ(X), θ(Y )] .
2
For enkeltsammenhængende Riemannflader spiller Maurer-Cartans Sætning en vigtig
rolle. For et bevis se f. eks. [16].

Symmetriske rum 13
Sætning 1.3.7 (Maurer-Cartans Sætning). Lad θ være Maurer-Cartan formen. Hvis η er
en 1-form på en enkeltsammenhængende Riemannflade M med værdier i g, så findes der
et F : M → G med F ∗ θ = η, hvis og kun hvis
dη + 1
[η, η] = 0.
2
Endvidere er F entydigt bestemt op til vektortranslation af konstante elementer i G.
Ligningen dη + 1
[η, η] = 0 kaldes for Maurer-Cartans ligning.
2
Hvis M er en kompleks mangfoldighed, og hvis (z1 , ..., zn ) er lokale holomorfe koordinater
på M, kan vi betragte de komplekse vektorbundter
Λ p,q = µ µ er en form af typen (p, q)
= µ µ er en linearkombination af typen dz i1 ∧ ... ∧ dz ip ∧ dz j1 ∧ ... ∧ dz jq .
Hvis Λ r := ⊕
p+q=r Λp,q , har vi specielt, at
Λ 2 = Λ 2,0 ⊕ Λ 1,1 ⊕ Λ 0,2 , Λ 1 = Λ 1,0 ⊕ Λ 0,1 .
Endvidere kan vi fra d : Λ r → Λ r+1 indføre afbildningerne ∂ : Λ p,q → Λ p+1,q og ∂ :
Λ p,q → Λ p,q+1 defineret ved ∂ = πp+1,q ◦ d og ∂ = πp,q+1 ◦ d. På denne måde kan vi for
αm ∈ Λ 1 = Λ 1,0 ⊕ Λ 0,1 opsplitte αm = α ′ m + α ′′ m, hvor α ′ m ∈ Λ 1,0 og α ′′ m ∈ Λ 0,1 . På en
Riemannflade M har vi, at Λ 2,0 = Λ 0,2 = 0, og da d 2 = 0, fås det trivielt, at ∂ 2 = ∂ 2 = 0.
For en lokal holomorf koordinat z, har vi
αm = adz + bdz , og får
α ′ m
dα ′ m = d(adz) = da ∧ dz = ∂a
∂z
1.4 Symmetriske rum
α ′′ m
dz ∧ dz
=0
+ ∂a
∂z dz ∧ dz = ∂α′ m. (1.6)
Definition 1.4.1. Lad M være en sammenhængende Riemannsk mangfoldighed. M kaldes
for et (Riemannsk globalt) symmetrisk rum, hvis der for ethvert p ∈ M findes en isometri
sp : M → M, så at
(i) s 2 p = IdM. Dermed er sp en automorfi af orden 2, og dvs. sp er involutiv.
(ii) sp(p) = p og p er et isoleret fikspunkt til sp.

14 Symmetriske rum
Vi har, at IdTpM = (d(sp)p) 2 : TpM → TpM. Hvis d(sp)p(X) = X, er
sp(Exp p(tX)) = Exp sp(p)(d(sp)p(tX)) = Exp p(tX),
hvilket er i modstrid med (ii), idet vi får en hel familie af fikspunkter til sp.
Vi antager nu i stedet for, at d(sp)p(X) = −X, og U og V er åbne mængder på M hhv.
TpM med p ∈ U, så at sp(p) = p, og Exp p : V → U er en diffeomorfi. Hvis q ∈ U er et
andet fikspunkt til sp, må der findes et X ∈ V , således at q = Exp p(X). Da sp er isometri,
fås det, at
Exp p(X) = sp(Exp p(X)) = Exp sp(p)(d(sp)p(X)) = Exp p(−X).
Dermed har vi altså X = −X, således at X = 0, hvorfor q = p, og vi har entydighed af
fikspunktet. Dette giver os et fingerpeg om, at vi i ovenstående kan erstatte de to betingelser
med
(i) sp(p) = p
(ii) d(sp)p = − IdTpM.
At vi i Definition 1.4.1 kan erstatte de to betingelser med ovenstående to betingelser følger
dels af ovenstående udregning samt nedenstående lemma.
Lemma 1.4.2. Lad M være en Riemannsk mangfoldighed og lad φ, ψ : M → M være
isometrier. Antag at
(i) M er sammenhængende
(ii) Der findes et p ∈ M, således at φ(p) = ψ(p) og dφp = dψp.
Da er φ = ψ
Bevis. Lad B ⊂ TpM være åben med Exp p(B) = U åben og diffeomorfien Exp p : B → U.
Vi kalder da U for en normal omegn til p. Da fås det, at
φ(Exp p(X)) = Exp φ(p)(dφp(X)) = Exp ψ(p)(dψp(X)) = ψ(Exp p(X)).
Dermed er φ = ψ i hele U. Hvis nu q ∈ M, kan vi, da M er sammenhængende, forbinde p
med q med linjestykker i normale omegne. Dermed er φ(q) = ψ(q) og φ = ψ i hele M.
Vi lader M være et symmetrisk rum med involution sp og indfører mængden G givet
ved
G = ϕ : M → M ϕ er en isometri .
Da sammensætningen af isometrier på M → M også er en isometri, og da den inverse til
en isometri på M → M også er en isometri, er G en gruppe. Endvidere kan det vises, at

Symmetriske rum 15
G faktisk har struktur af en Lie gruppe, [10]. Specielt har vi, at sp ∈ G. Hvis σ : G → G
er en automorfi med σ(g) = spgsp, kan vi definere følgende gruppe
Gσ = g ∈ G σ(g) = g .
Desuden kan vi indføre isotropigruppen til p, som også kaldes for stabilisatoren til p ∈ M
ved
K = g ∈ G g(p) = p .
Vi har endvidere følgende resultat, hvor der for bevis henvises til [10].
Lemma 1.4.3. Lad M, G, K og Gσ være som ovenfor. Lad endvidere G0 være identitetskomponenten
til G. Da har vi, at
(i) (Gσ)0 ⊂ K ⊂ Gσ.
(ii) G og G0 virker transitivt på M.
(iii) K er kompakt.
(iv) G/K ∋ gK ↦→ g · p = g(p) ∈ M er en diffeomorfi.
Hvis σ : G → G er involutiv automorfi, har vi en tilhørende involutiv automorfi på Lie
algebra niveau, nemlig
dσe : g → g.
Når det ikke giver anledning til misforståelser, vil vi også skrive σ for automorfien på Lie
algebra niveau. Da σ 2 = Idg, har vi to muligheder for valg af fortegn for σ. Dette giver
anledning til opsplitningen
g = k ⊕ m,
hvor k er Lie algebraen til K og svarer til σ = Idg, og hvor m svarer til σ = − Idg. Vi har
endvidere
[k, k] ⊂ k, [k, m] ⊂ m og [m, m] ⊂ k.
For hvert g ∈ G lader vi [m]gK = {Adg(X) X ∈ m}. Ved at tage foreningen af alle
sideklasser fås et vektorbundt over G/K, som kaldes for det adjungerede bundt til m, og
som betegnes med [m], hvilket betyder, at
[m] =
gK∈G/K
[m]gK.
På tilsvarende vis kan der konstrureres vektorbundtet [k] over G/K, og vi har alt i alt
g = [k] ⊕ [m].

16 Symmetriske rum
Givet afbildningen φ : G/K → M, som sender gK ↦→ gp = g(p), har vi således for
tangentplanen isomorfien TgKG/K = g/k ∼ = [m]gK og dermed
[m]gK ∋ Adg(X) ↦→ d
exp(t Adg(X))gK =
dt t=0 d
g exp(tX)K ∈ TgKG/K.
dt t=0
∼=
Denne isomorfi [m]gK −→ TgKG/K har specielt en invers afbildning βgK : TgKG/K →
[m]gK ⊂ g. Vi kan betragte β som en 1-form på G/K med værdier i g. For X ∈ TgKG/K
gælder således pr. definition, at
X = d
(exp(tβgK(X)))gK.
dt t=0
Antag nu at G er en kompakt Lie gruppe, og at K er en lukket undergruppe og antag
endvidere, at σ : G → G er en involutiv automorfi, således at (Gσ)0 ⊂ K ⊂ Gσ. Ved at
fiksere et indre produkt 〈 · , · 〉 på g således at
〈Adg(X), Adg(Y )〉 = 〈X, Y 〉 for alle g ∈ G og for alle X, Y ∈ g,
får [m] ∼ = T G/K et indre produkt, der gør G/K til et symmetrisk rum. For bevis af dette
henvises der til [10].
På G/K har vi den Riemannske metrik h givet ved
hgK(X, Y ) = 〈βgK(X), βgK(Y )〉 for alle X, Y ∈ TgKG/K. (1.7)
På T G/K definerer vi for X, Y ∈ TgKG/K størrelsen ∇ ved
β(∇XY ) := π[m](Xβ(Y )) ∈ Γ([m]), (1.8)
hvor π[m] er projektionen på [m].
Vi vil studere sammenhængen mellem β og Maurer-Cartan formen, der er givet ved
d
θg g exp(tX)
dt t=0 = X for X ∈ g.
Cartan-opsplitningen g = k ⊕ m giver θ = θk + θm, hvor subskriften indikerer hvilken del,
som elementerne er indeholdt i. Maurer-Cartans ligning, dθ + 1
[θ, θ] = 0, frembringer ved
2
opsplitning følgende formler.
0 = d(θk + θm) + 1
2 [θk + θm, θk + θm]
= dθk + dθm + 1
2 [θk, θk] + [θk, θm] + 1
2 [θm, θm],
⎧
⎨
0 = dθk +
så at
⎩
1
2 [θk, θk] + 1
2 [θm, θm],
0 = dθm + [θk, θm].
(1.9)

Symmetriske rum 17
Lemma 1.4.4. Lad β være som ovenfor, lad θ være Maurer-Cartan formen og lad π :
G → G/K være kanonisk projektion. For g ∈ G har vi, at (π ∗ β)g = Adg(θm)g.
Bevis. Vi har, at pullbacken π∗β er en 1-form på G med værdier i g og ved at udnytte
X = Xk + Xm, fås det, at
(π ∗ β)g( d
d
g exp(tX)) = βπ(g) dπg g exp(tX)
dt t=0 dt t=0
= d
π(g exp(tX))
dt t=0
= d
g exp(tX)K =
dt t=0 d
g exp(tXm)K
dt t=0
= Adg Xm = Adg(θm)( d
g exp(tX)),
dt t=0
således at (π ∗ β)g = Adg(θm)g.
Definition 1.4.5. Lad M være en Riemannflade og G en Lie gruppe med stabilisator K.
For en glat afbildning f : M → G/K kaldes en afbildning F : M → G, der opfylder, at
f = π ◦ F : M → G/K, for et løft til f.
Vi lader i det følgende M være en Riemannflade og f : M → G/K en glat afbildning
med løft F : M → G, således at π ◦ F = f. Da fås
α = F ∗ θ = F ∗ θk + F ∗ θm = αk + αm.
Her har vi opdelt α i 1-formerne αk og αm med værdier i k hhv. m. Indsættes dette i (1.9),
får vi ligningerne
0 = dαk + 1
2 [αk, αk] + 1
2 [αm, αm] 0 = dαm + [αk, αm]. (1.10)
Omvendt givet en 1-form α = αk +αm med værdier i g, som opfylder (1.10), fås der, såfremt
M er enkeltsammenhængende, eksistens af en afbildning F : M → G, så at α = F ∗ θ ved
Sætning 1.3.7.
Pga. opsplitningen af tangentrummene T M C = T ′ M ⊕ T ′′ M med d = ∂ + ∂, i (1, 0)- og
(0, 1)-delen kan vi for en 1-form αm på M med værdier i Lie algebraen g lave opslitningen;
nemlig αm = α ′ m + α ′′ m. Givet en lokal holomorf koordinat z = x + iy defineret på en åben
mængde U ⊂ M får vi for nogle funktioner A1, A2 : U → g, at
dz + dz dz − dz
αm = A1dx + A2dy = A1 + A2
2
2i
= 1
2 (A1 − iA2)dz
:=α ′ m
+ 1
2 (A1 + iA2)dz
:=α ′′ m
På tilsvarende måde kan konnektionen opslittes i ∇ = ∇ ′ + ∇ ′′ . Det vil altid være underforstået,
at ′ indikerer (1, 0)-delen og ′′ indikerer (0, 1)-delen.
.

18 Symmetriske rum
Definition 1.4.6. Lad G/K være et symmetrisk rum med automorfi σ. Afbildningen
ι : G/K → G defineret ved ι(gK) = σ(g)g −1 kaldes for Cartan indlejringen af G/K til G.
Lemma 1.4.7. Sammenhængen mellem Cartan-indlejringen ι, Maurer-Cartan-formen θ
og 1-formen β er givet ved ι ∗ θ = −2β.
Bevis. Vi har ι : G/K → G defineret ved ι(gK) = σ(g)g −1 for g ∈ G. Vælg X ∈ m. Da fås
dιgK( d
g exp(tX) · K) =
dt t=0 d
ι(g exp(tX) · K)
dt t=0
= d
σ(g exp(tX)) exp(−tX)g
dt t=0 −1
= d
σ(g) exp(t dσe(X) ) exp(−tX)g
dt t=0 −1
=−X i m
= d
σ(g) exp(−2tX)g
dt t=0 −1
= d
ι(gK) exp(−2t Adg(X))
dt t=0
= d(Lι(gK))e(−2 Adg(X)).
d
Men da Adg(X) = βgK g exp(tX)K , har vi
dt t=0
dιgK( d
d
g exp(tX) · K) = d(Lψ(gK))e −2βgK
g exp(tX)K ,
dt t=0 dt t=0
og der fås således, at
dιgK = −2d(Lι(gK))e ◦ βgK,
og dermed − 2βgK = d(L ι(gK) −1)ι(gK) ◦ dιgK = θι(gK) ◦ dιgK.
Her har vi benyttet, at θg = d(L g −1)g : TgG → g. Vi får endeligt, at ι ∗ θ = −2β som
ønsket.
Da θ opfylder Maurer-Cartan ligningen, dθ + 1
[θ, θ] = 0, kan vi ved anvendelse af
2
pullbaken af Cartan-indlejringen bruge Lemma 1.4.7, således at
0 = dι ∗ θ + 1
2 [ι∗ θ, ι ∗ θ] = −2dβ + 2[β, β],
hvis og kun hvis 0 = dβ − [β, β],
og dβ(X, Y ) = [β, β](X, Y ),
således at Xβ(Y ) − Y β(X) − β([X, Y ]) = 2[β(X), β(Y )].

Grassmann mangfoldigheder 19
Dette giver endeligt, at
β(∇XY − ∇Y X) = π[m](X(β(Y )) − Y (β(X)))
= π[m](2 [β(X), β(Y )] + β([X, Y ]) )
∈[k]
∈[m]
= β([X, Y ]).
Vi har altså ∇XY − ∇Y X = [X, Y ] og ydermere nedenstående lemma.
Lemma 1.4.8. Afbildningen ∇ defineret i (1.8) er Levi-Civita konnektionen på G/K mht.
h defineret i (1.7).
Bevis. Lad X, Y, Z ∈ TgKG/K. Da fås
h(∇XY, Z) + h(Y, ∇XZ) = 〈β(∇XY ), β(Z)〉 + 〈β(Y ), β(∇XZ)〉
= 〈π[m](Xβ(Y )), β(Z)〉 + 〈β(Y ), π[m](Xβ(Z))〉
= 〈(Xβ(Y )), β(Z)〉 + 〈β(Y ), (Xβ(Z))〉
= X〈β(Y ), β(Z)〉 = Xh(Y, Z).
Da ∇XY − ∇Y X = [X, Y ] er ∇ torsionsfri, og resultatet følger.
1.5 Grassmann mangfoldigheder
En type af symmetriske rum, der vil være af særlig interesse, er de komplekse k-dimensionelle
underrum i C n .
Definition 1.5.1. En Grassmann mangfoldighed, der betegnes med Gk(C n ), er mængden
af k-dimensionelle underrum til C n . Dvs., at vi betragter følgende mængde
Gk(C n ) := V er et underrum af C n dim V = k .
Bemærkning 1.5.2. Vi kan identificere en glat afbildning ψ : M → Gk(C n ) med det
glatte, komplekse delbundt ψ af C n , som fås ved at sætte fiberen i z lig med ψ(z) for ethvert
z ∈ M, [4].
Gruppen af unitære matricer, der betegnes med U(n), virker transitivt på Gk(C n ).
Stabilisatorerne er de konjugerede til U(k) × U(n − k), hvor
Således har vi
U(k) × U(n − k) = g ∈ U(n) g(C k × {0}) = C k × {0} .
Gk(C n ) = U(n)/U(k) × U(n − k).

20 Grassmann mangfoldigheder
Givet et V ∈ Gk(Cn ) betegnes projektionen på V ved πV . Tilsvarende har vi, at projektionen
på det ortogonale komplement V ⊥ til V i Gk(Cn ) er givet ved πV ⊥. Hvis Ik betegner
identitetsmatricen i Ck×k , har vi specielt, at
Ik 0
πV − πV ⊥ =
∈ U(n).
0 −In−k
Denne type af matricer har specielt sig selv som invers matrice. Da dette gælder for ethvert
k ∈ {0, ..., n}, vil vi lade k gå fra 0 til n for derefter at tage foreningen af alle disse Gk(Cn ),
som betegnes med G∗(Cn ). På denne måde frembringes alle de unitære matricer, der har
sig selv som invers, og der fås
G∗(C n n
) = Gk(C n ) = g ∈ U(n)
2
g = I . (1.11)
k=0
Lemma 1.4.7 ønskes anvendt på vores tilfælde af Grassmann mangfoldigheder. For
G/K = Gk(C n ), har vi, at G = U(n), og K = U(k) × U(n − k) er stabilisatoren af
V0 = C k × {0} ⊂ C n , og dermed Cartan-indlejringen ιk : Gk(C n ) → U(n), som for
V0 ∈ Gk(C n ) netop er givet ved
For opsplitningen u(n) = k ⊕ m har vi
ιk(V0) = πV0 − π V ⊥
0 .
k C = Hom(V0, V0) ⊕ Hom(V ⊥
0 , V ⊥
0 ) og
m C = Hom(V0, V ⊥
0 ) ⊕ Hom(V ⊥
0 , V0).
Lad Gk(C n ) ∋ V = g · V0 for g ∈ U(n). V er da udspændt af de k første søjler i g, og V ⊥
er udspændt af de n − k sidste søjler i g.
Definition 1.5.3. Det tautologiske delbundt T → Gk(C n ) af C n er defineret ved Tx = x
for x ∈ Gk(C n ).
Ved at lade V0 ∈ Gk(C n ) fås det, at
[m C ] = [Hom(V0, V ⊥
0 )] ⊕ [Hom(V ⊥
0 , V0)]
= Hom(T, T ⊥ ) ⊕ Hom(T ⊥ , T ).
Vi kan definere T (1,0) Gk(Cn ) = β−1 (Hom(T, T ⊥ )) og ved at lade β (1,0) = β
T (1,0) Gk(Cn , får vi )
en isomorfi af Maurer-Cartan formen restrikteret til (1, 0)-vektorer: β (1,0) : T (1,0) Gk(Cn ) →
Hom(T, T ⊥ ).
Definition 1.5.4. Antag at E og F er to delbundter til C n , der opfylder, at Ex ⊥ Fx for
ethvert x ∈ Cn . Da definerer vi afbildningerne A ′ E,F : E → F og A′′ E,F : E → F ved
A ′
∂s
E,F (s) = πF og A
∂z
′′
∂s
E,F (s) = πF ,
∂z
hvor s er et snit af E. Hvis F = E ⊥ , skriver vi bare A ′ E og A′′ E i stedet for A′ E,F hhv. A′′ E,F .

Grassmann mangfoldigheder 21
Eksempel 1.5.5. For det inducerede delbundt ψ = ψ∗T af C n , kan vi indføre ∂- og ∂anden
fundamentalformerne af ψ ved vektorbundtmorfierne A ′ ψ , A′′ ψ : ψ → ψ⊥ defineret
ved
A ′
∂v
ψ(v) = πψ⊥ og A
∂z
′′
∂v
ψ(v) = πψ⊥ ,
∂z
hvor v er et glat snit af ψ.
Lad ψ : M → Gk(C n ) være en glat afbildning. Under identifikationen
T Gk(C n ) ∼ = T (1,0) Gk(C n ) ∼ = Hom(T, T ⊥ )
giver et resultat fra [7], at dψ ∈ Γ(T ∗ M ⊗ ψ ∗ T Gk(C n )) svarer til
Lemma 1.5.6. Lad A ′ ψ og A′′ ψ
A ′ ψdz + A ′′ ψdz ∈ Γ(T ∗ M ⊗ Hom(ψ, ψ ⊥ ).
være som i Eksempel 1.5.5. Da gælder, at
A ′ ψ = −(A ′′
ψ ⊥) ∗ .
Bevis. Lad U være en åben mængde og lad σ : U ⊂ C → C n være en glat afbildning,
således at
(i) z0 ∈ U og σ(z0) = u for en vektor u ∈ ψ(z0) ⊂ C n ,
(ii) σ ∈ Γ(ψ).
Da fås ved definition, at
(A ′ ψ)z0(u) = π ψ ⊥ (z0)((∂zσ) z=z0 ).
Lad nu tillige v ∈ ψ⊥ (z0) være et snit. Vælg σ som ovenfor samt η : U ⊂ C → Cn på
tilsvarende måde blot sådan, at η(z) ∈ ψ⊥ (z) for ethvert z ∈ U og fiks η(z0) = v. Vi får da
′
(A ψ)z0(u), v = πψ⊥ (z0)((∂zσ)
), η(z0) z=z0
= (∂zσ)
, η(z0) z=z0
= ∂zσ, η(z)
z=z0
= ∂z σ, η − σ, ∂zη
z=z0
= − σ, ∂zη
z=z0 = −u, (A ′′
ψ⊥)z0(v) .
Da u og v af vilkårlige snit af ψ hhv. ψ ⊥ , fås det ønskede.
Vi kan nu få opsplitningen
ψ ∗ β(∂z) = ψ ∗ β (1,0) (∂z) + ψ ∗ β (0,1) (∂z) = A ′ ψ + A ′
ψ ⊥.
Fra Lemma 1.4.7 fremgår det således, at der for en afbildning φ = ι ◦ ψ gælder, at
1
2 (φ∗ θ) (1,0) = −(A ′ ψ + A ′
ψ ⊥).

22 Chern-klasser
1.6 Chern-klasser
Lad et komplekst vektorbundt E → M over en mangfoldighed med konnektion ∇ og
krumningen R af ∇ være givet. Vi kan betragte R som en 2-form på M med værdier i
Hom(E), således at der for ethvert x ∈ M gælder
Rx : TxM × TxM → Hom(Ex).
Definition 1.6.1. Den første Chern-klasse af E er kohomologiklassen c1(E) ∈ H 2 (M, C)
induceret af den lukkede komplekse 2-form i
2π Trace R ∈ Ω2 (M).
Hvis M er en sammenhængende, kompakt, orienterbar flade, får vi en isomorfi ved at
integrere elementer i H2 (M, C), [12].
: H 2 (M, C) ∼ = C.
Dermed kan vi lave identifikationen
M
c1(E) = i
2π
M
Trace R.
Lemma 1.6.2. For tallet c1(E) gælder, at c1(E) ∈ Z og kun afhænger af isomorfiklassen
til E.
For bevis henvises der til [12]. Hvis altså E → M er et bundt, giver Lemma 1.6.2, at
hvis F → M er et andet bundt, og hvis f er et snit af Hom(E, F ) med egenskaben, at
fx : Ex → Fx er en isomorfi for alle x ∈ M, så er c1(E) = c1(F ).
Lemma 1.6.3. For en afbildning φ : M → Gk(Cn ) kan vi for et vektorbundt E → M
beregne den første Chern-klasse c1(E) ved
c1(E) = i
(|A
2π
′
φ⊥| 2 − |A ′ φ| 2 )dz ∧ d¯z.
M
Bevis. Betragt afbildningen φ : M → Gk(C n ). For X ∈ Γ(T M) og σ ∈ Γ(φ) vælger vi
konnektionen ∇ ved
∇Xσ = πφX(σ),
hvor πφ er projektion på φ. For X, Y ∈ Γ(T M) og σ, η ∈ Γ(φ), får vi
〈R(X, Y )σ, η〉 =〈∇X∇Y σ, η〉 − 〈∇Y ∇Xσ, η〉 − 〈∇[X,Y ]σ, η〉
=〈X(πφY (σ)), η〉 − 〈Y (πφX(σ)), η〉 − 〈[X, Y ](σ), η〉
=〈X(Y (σ)) − X(π φ ⊥Y (σ)), η〉 − 〈Y (X(σ)) + Y (π φ ⊥X(σ)), η〉
− 〈[X, Y ](σ), η〉
=〈Y (π φ ⊥X(σ)), η〉 − 〈X(π φ ⊥Y (σ)), η〉
=〈π φ ⊥Y (σ), X(η)〉 − 〈π φ ⊥X(σ), Y (η)〉
=〈π φ ⊥Y (σ), π φ ⊥X(η)〉 − 〈π φ ⊥X(σ), π φ ⊥Y (η)〉.

Harmoniske afbildninger 23
Givet lokale koordinater (x, y) på M således at z = x + iy, fås
〈R(∂z, ∂z)σ, η〉 = 〈A ′′ φ(σ), A ′′ φ(η)〉 − 〈A ′ φ(σ), A ′ φ(η)〉,
hvor vi har opsplittet i delene T ′ M og T ′′ M. For en lokal unitær ramme σ1, ..., σk for φ fås
Trace R = (Trace R(∂z, ∂¯z))dz ∧ d¯z =
k
j=1
〈R(∂z, ∂¯z)σj, σj〉dz ∧ d¯z = (|A ′
φ ⊥| 2 − |A ′ φ| 2 )dz ∧ d¯z.
Her er benyttet Lemma 1.5.6, idet (A ′′ φ )∗ = −A ′
φ⊥, samt at der for enhver operator A gælder,
at |A∗ | = |A|. Således fås det endeligt, at den første Chern-klasse c1(E) kan beregnes ved
c1(E) = i
2π
1.7 Harmoniske afbildninger
Vi kan nu se nærmere på harmoniske afbildninger.
M
(|A ′
φ ⊥| 2 − |A ′ φ| 2 )dz ∧ d¯z.
Definition 1.7.1. For en glat afbildning φ : M → N defineres spændingsfeltet τ ved
hvor ˆ ∇dφ er defineret i (1.3).
(i) Vi kalder φ harmonisk, hvis τ(φ) ≡ 0.
τ(φ) := Trace( ˆ ∇dφ),
(ii) Vi kalder φ totalt geodætisk, hvis ˆ ∇dφ ≡ 0.
Af ovenstående definition fremgår det, at enhver totalt geodætisk afbildning φ er harmonisk.
Hvis det ikke giver anledning til misforståelser, vil vi skrive ∇ i stedet for ˆ ∇. For
sammensætning af afbildninger har vi følgende resultat.
Proposition 1.7.2. Lad M, N og P være Riemannske mangfoldigheder og lad φ : M → N
og ψ : N → P være glatte afbildninger derimellem. Da har vi
hvilket implicerer
∇(ψ ◦ φ) = (∇dψ)(dφ, dφ) + dψ(∇dφ),
τ(ψ ◦ φ) = dψ(τ(φ)) + Trace(∇dψ)(dφ, dφ).
Dette resultat følger af kædereglen, og vi får endeligt nedenstående sætning som i [17].

24 Harmoniske afbildninger
Sætning 1.7.3. Lad (M, g) og (N, h) være kompakte Riemannske mangfoldigheder og lad
desuden M være orienteret. Da er en afbildning φ : M → N harmonisk, hvis og kun hvis
den er et kritisk punkt for energifunktionalet.
Bevis. Lad φt være en glat variation af φ og skriv Φ(t, x) = φt(x) : (−ɛ, ɛ) × M → N. Vi
vælger en lokal ortonormal ramme ek og skriver ek i stedet for (0, ek), som er vektorfelt
på (−ɛ, ɛ) × M. Vi får, at ∇ Φ ∂t dΦ(ek) = ∇ Φ ek dΦ(∂t), og vi kan for t ∈ (−ɛ, ɛ) definere Xt ∈
C ∞ (T M) ved g(Xt, Y ) = h(dΦ(∂t), dΦ(Y )) for Y ∈ C ∞ (T M). Vi har energifunktionalet
E(φt) = 1
M 2
|dΦ|2d volM og får således ved differentiation af integranden, at
d 1
dt 2 |dΦ|2
= 1 d
1 d
〈dΦ, dΦ〉 = h(dΦ(ek), dΦ(ek))
2 dt 2 dt
k
=
h(∇ Φ ∂tdΦ(ek), dΦ(ek))
k
=
h(∇ Φ ekdΦ(∂t), dΦ(ek))
k
=
ekh(dΦ(∂t), dΦ(ek)) − h(dΦ(∂t), ∇ Φ ekdΦ(ek)) k
=
ekg(Xt, ek) − h(dΦ(∂t), ∇ekdΦ(ek) + dΦ∇ M ek ek)
k
=
ek(g(Xt, ek)) − g(Xt, ∇ M ek ek) −
h(dΦ(∂t), ∇ekdΦek) k
= div(Xt) − h(dΦ(∂t),
k
∇ek dΦek).
Her har vi benyttet, at Z〈X, Y 〉 = 〈∇ZX, Y 〉 + 〈X, ∇ZY 〉, samt at
∇dΦ(ek, ek) = ∇ Φ ek dΦ(ek)−dΦ(∇ M ek ek) ved definition. Ved Stokes sætning har vi endvidere,
at
M div(Xt)d volM = 0, og da
fås det, at
τ(φ) = Trace(∇dφ) =
(∇ekdφ)(ek) =
(∇ekdΦ)(ek)
t=0
k
d
dt (E(φt))
= − h(dΦ(∂t), τ(φ))d volM.
t=0
M
Dette skal gælde for en vilkårlig glat variation φt af φ. Vi kan eksempelvis for X ∈
Γ(φ −1 T N) vælge φt(x) = exp φ(x)(tXx). Da N er kompakt og dermed fuldstændig, er eksponentialafbildningen
defineret overalt ved Hopf-Rinows sætning. Vi får således endeligt,
at τ(φ) = 0, hvis og kun hvis d
dt (E(φt)) t=0 = 0 som ønsket.
k
k

Harmoniske afbildninger 25
Lemma 1.7.4. Lad M og N være Riemannflader og lad M være udstyret med kompleks
koordinat z = x + iy. En afbildning φ : M → N er harmonisk, hvis og kun hvis
0 = ∇∂z (dφ(∂z)). (1.12)
Bevis. Pga. Lemma 1.1.6 kan vi uden tab af generalitet antage, at koordinaterne (x, y) er
konforme koordinater, således at |∂x| = |∂y| = λ og 〈∂x, ∂y〉 = 0 for et λ ∈ R>0. Hvis g nu
er en metrik for M, får vi specielt, at
〈∇∂x∂x + ∇∂y∂y, ∂x〉 = 〈∇∂x∂x, ∂x〉 + 〈∇∂y∂y, ∂x〉
= 1
2 ∂xg(∂x, ∂x) + ∂y〈∂y, ∂x〉 − 〈∂y, ∇∂y∂x〉
= 1
2 ∂xg(∂x, ∂x) − 〈∂y, ∇∂x∂y〉
= 1
2 ∂x (g(∂x, ∂x) − g(∂y, ∂y)) = 0.
Tilsvarende får vi, at 〈∇∂x∂x + ∇∂y∂y, ∂y〉 = 0, således at ∇∂x∂x + ∇∂y∂y = 0 for en
konform parametrisering. Hvis nu e1 og e2 er en ortonormal basis i ∂x’s hhv. ∂y’s retning,
får vi følgende beregning for spændingsfeltet
τ(φ) = Trace ∇dφ = (∇∂e 1 dφ)(∂e1) + (∇∂e 2 dφ)(∂e2)
= (∇ ∂x dφ)(
λ
∂x
) + (∇ ∂y dφ)(
λ
∂y
λ λ )
= 1
λ2
(∇∂xdφ)(∂x) + (∇∂ydφ)(∂y)
= 1
λ2
∇∂x(dφ(∂x)) − dφ(∇∂x∂x) + ∇∂y(dφ(∂y)) − dφ(∇∂y∂y)
= 1
λ2
∇∂x(dφ(∂x)) + ∇∂y(dφ(∂y)) − 1
λ2 dφ(∇∂x∂x + ∇∂y∂y)
= 4
∇∂z (dφ(∂z)).
λ2 Her har vi sidste trin benyttet, at
∇∂x(dφ(∂x)) + ∇∂y(dφ(∂y)) = ∇∂z+∂z dφ(∂z + ∂z) + ∇i(∂z−∂z)dφ(i(∂z − ∂z))
= ∇∂zdφ(∂z) − ∇∂zdφ((∂z)) + ∇∂zdφ(∂z) + ∇∂zdφ((∂z))
+ ∇∂z dφ(∂z) + ∇∂z dφ((∂z)) + ∇∂z dφ(∂z) − ∇∂z dφ((∂z))
= 4∇∂z (dφ(∂z)).
Vi ser derfor, at φ : M → N er harmonisk, hvis og kun hvis ∇∂z (dφ(∂z)) = 0.
Lemma 1.7.5. Lad M og N være Riemannflader. Antag at Uα og Uβ er to mængder i
atlasset til M, som opfylder, at Uα ∩ Uβ = ∅. Hvis φ : M → N er en afbildning, så er
φ : Uα → N harmonisk, hvis og kun hvis φ Uα : Uβ → N er harmonisk.
Uβ
=0

26 Karakterisering af harmoniske afbildninger
Bevis. Antag at φ Uα : Uα → N er harmonisk, og at Uα er udstyret med koordinaten z,
således at ∇∂z (dφ(∂z)) = 0. Hvis nu w er koordinat på Uβ, fås det, at
Da
∂z = 0, fås det ønskede.
∂w
∇∂w (dφ(∂w)) = ∇ ∂z ∂z
∂z+ ∂w ∂w ∂zdφ ∂z
= ∂z
∂w ∇∂z
∂z
∂w dφ(∂z)
= ∂z
∂w
2 ∇∂z (dφ(∂z)).
∂w ∂z + ∂z
∂w ∂z
=0
1.8 Karakterisering af harmoniske afbildninger
Vi kan karakterisere de harmoniske afbildninger på flere forskellige måder. For harmoniske
afbildninger til Lie grupper, har vi nedenstående lemma.
Lemma 1.8.1. Lad M være en Riemannflade med kompleks koordinat z og lad G være
en Lie gruppe. Lad endvidere θ være Maurer-Cartan formen. En afbildning φ : M → G er
harmonisk, hvis og kun hvis
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) = 0. (1.13)
Bevis. Lad φ : M → G være en afbildning. For spændingsfeltet, τ(φ), får vi, at
τ(φ) = Trace ∇dφ = (∇dφ)(∂z, ∂z)
= (∇∂z dφ)(∂z)
= ∇∂z dφ(∂z)
∈Γ(φ −1 T G)
−dφ(∇∂z ∂z
=0
= d(Lφ)e ∂zθ(dφ(∂z)) + 1
2 [θ(dφ(∂z)), θ(dφ(∂z))] ,
hvor vi i sidste trin har anvendt Lemma 1.3.6. Ved at anvende pullbacken har vi, at
θφ(z)(dφ(∂z)) = (φ ∗ θ)(∂z). Indsættes dette i ovenstående udtryk sammen med tilsvarende
udtryk for den konjugerede til z, får vi pga. symmetri følgende to udtryk for spændingsfeltet
τ(φ) = d(Lφ)e ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + 1
2 [(φ∗θ)(∂z), (φ ∗ θ)(∂z)] ,
τ(φ) = d(Lφ)e ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + 1
2 [(φ∗θ)(∂z), (φ ∗ θ)(∂z)] .
)

Karakterisering af harmoniske afbildninger 27
Tages halvdelen af summen af de to udtryk for τ(φ), fås det, at
τ(φ) = 1
2 d(Lφ)e
og θ(τ(φ)) = 1
2
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) ,
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) .
Dermed fremgår det endeligt, at φ er harmonisk, hvis og kun hvis
∂z((φ ∗ θ)(∂z)) + ∂z((φ ∗ θ)(∂z)) = 0.
Korollar 1.8.2. Lad M være en Riemannflade med kompleks koordinat z og lad G være
en matrix Lie gruppe. En afbildning φ : M → G er harmonisk, hvis og kun hvis
(φ −1 φz)z + (φ −1 φz)z = 0.
Bevis. I en matrix Lie gruppe kan vi skrive dφ(∂z) := φz og dφ(∂z) := φz, og vi får, at
θφ(z)(dφ(∂z)) = φ(z) −1 dφ(∂z) = φ −1 φz. Indsættes dette i (1.13), ser vi, at φ er harmonisk,
hvis og kun hvis (φ −1 φz)z + (φ −1 φz)z = 0.
Hvis vi har givet en harmonisk afbildning f : M → G/K fra en Riemannflade M til et
symmetrisk rum G/K, kan vi ved at anvende et løft F : M → G som i Definition 1.4.5 få
løftet den harmoniske afbildning op til Lie gruppen G. I det følgende vil vi lade F være et
løft til f. Fra (1.8) har vi, at
βgK (∇XY ) = π[m] (X(β(Y ))) .
Lemma 1.8.3. En afbildning f : M → G/K er harmonisk, hvis og kun hvis π[m](∂β ′ ) = 0,
hvor ∂β ′ = ∂z(f ∗ β)(∂z), hvilket for et løft F : M → G af f gælder, hvis og kun hvis
π[m](∂(AdF α ′ m)) = 0.
Bevis. Fra (1.12) har vi, at f : M → G/K er en harmonisk afbilding, hvis og kun hvis
∇∂z (df(∂z)) = 0. Ved at udnytte definitionen af β på denne fås det, at f : M → G/K er
harmonisk, hvis og kun hvis
0 = β(∇∂z df(∂z)) = π[m](∂zβ(df(∂z))) = π[m](∂z(f ∗ β)(∂z)) = π[m](∂β ′ ).
Hvis F : M → G er et løft til f med f = π ◦ F , hvor π er den kanoniske projektion
π : G → G/K givet ved π(g) = gK, har vi fra Lemma 1.4.4, at (π ∗ β)g = Adg(θm)g. Idet
f ∗ = (π ◦ F ) ∗ = F ∗ π ∗ , fås ved anvendelse af F ∗ -afbildningen, at
f ∗ β = F ∗ π ∗ β = AdF (F ∗ θm), således at
π[m](∂z(f ∗ β)(∂z)) = π[m](∂(AdF α ′ m)) = 0.

28 Karakterisering af harmoniske afbildninger
Harmoniske afbildninger fra en Riemannflade til et symmetrisk rum kan karakteriseres
på følgende måde, [6].
Sætning 1.8.4. Lad M være en Riemannflade og G/K et symmetrisk rum. Lad f : M →
G/K være en glat afbildning med løft F : M → G og induceret Maurer-Cartan form
α = F −1 dF = αk + αm. Da er f harmonisk, hvis og kun hvis der gælder, at
dαk + 1
2 [αk, αk] = −[α ′ m, α ′′ m], ∂α ′ m + [αk, α ′ m] = 0. (1.14)
Omvendt hvis αk : T M → k og αm : T M → m er 1-former med værdier i k hhv. m, som
løser (1.14), og hvis M er enkeltsammenhængende, eksisterer der en harmonisk afbildning
f = π ◦ F : M → G/K, hvor F : M → G integrerer F −1 dF = αk + αm. Den harmoniske
afbildning er entydig op til G-translation.
Bevis. Vi antager, at f : M → G/K er en harmonisk afbildning. Ved anvendelse af Lemma
1.8.3 får vi
(f ∗ β) ′ = AdF (F ∗ θm) ′ = AdF (α ′ m), så at
π[m](∂β ′ ) = π[m] (∂z(f ∗ β)(∂z)) = π[m] (∂z AdF (F ∗ θm(∂z)))
∂z(F αm(∂z)F −1 )
= π[m]
= π[m] Fzαm(∂z)F −1 + F ∂zαm(∂z)F −1 − F αm(∂z)F −1 FzF −1
= π[m] F α(∂z)αm(∂z)F −1 + F ∂zαm(∂z)F −1 − F αm(∂z)α(∂z)F −1
= π[m] AdF αk(∂z)αm(∂z) + αm(∂z)αm(∂z) − αm(∂z)αk(∂z)
− αm(∂z)αm(∂z) + (∂z)αm(∂z)
= π[m] (AdF ([αk(∂z), αm(∂z)] + [αm(∂z), αm(∂z)] + ∂zαm(∂z))) .
Men det andet led forsvinder imidlertid, da det er i k. I et punkt z ∈ M er g = [m] ⊕ [k],
hvor [m] = AdF (z)(m) og [k] = AdF (z)(k), så π[m](AdF (X)) = AdF (Xm), og der fås
(f ∗ β) ′ = AdF (∂zαm(∂z) + [αk(∂z), αm(∂z)]) = AdF (∂α ′ m + [α ′′
k , α ′ m]). (1.15)
Afbildningen f : M → G/K er harmonisk, hvis og kun hvis (1.15) er 0, hvilket gælder,
hvis og kun hvis ∂α ′ m + [α ′′
k , α′ m] = 0. Men da
[αk, α ′ m] = [α ′ k, α ′ m] + [α ′′
k , α ′ m] = [α ′′
k , α ′ m],
får vi, at f er harmonisk, hvis og kun hvis ∂α ′ m + [αk, α ′ m] = 0.

Karakterisering af harmoniske afbildninger 29
Omvendt antag at αk og αm er givet og opfylder (1.14). Da fås
d(αk + αm) + 1
2 [αk + αm, αk + αm]
= dαk + dαm + 1
2 [αk, αk] + 1
2 [αk, αm] + 1
2 [αm, αk] + 1
2 [αm, αm]
= dαk + dαm + 1
2 [αk, αk] + [αk, α ′ m + α ′′ m] + 1
2 [α′ m + α ′′ m, α ′ m + α ′′ m]
= dαk + 1
2 [αk, αk] + [αk, α ′ m] + dαm + [αk, α ′′ m] + 1
2 [α′ m, α ′′ m] + 1
2 [α′′ m, α ′ m]
= dαk + 1
2 [αk, αk] + [α ′ m, α ′′ m] +[αk, α
=0
′ m] + d(α ′ m + α ′′ m) + [αk, α ′′ m]
= dα ′ m + dα ′′ m + [αk, α ′ m] + [αk, α ′′ m]
= ∂α ′ m + [αk, α ′ m] + ∂α ′′ m + [αk, α ′′ m]
= ∂α ′ m + [αk, α ′ m]
=0
+∂α ′ m + [αk, α ′ m] = 0.
=0
Da M er enkeltsammenhængende, får vi ved Sætning 1.3.7, at der findes et F : M → G
med F ∗ θ = αk + αm. Sættes nu f = π ◦ F , fås det, at f er harmonisk.
For Cartan-indlejringen har vi nedenstående resultat.
Proposition 1.8.5. Lad G være en kompakt Lie gruppe med stabilisator K. Cartanindlejringen
ι : G/K → G er fuldstændig geodætisk.
Bevis. Lad X, Y ∈ TgKG/K. Ved anvendelse af Levi-Civita konnektionen ∇ har vi ved
definition, at
(∇dι)(X, Y ) = ∇Xdι(Y ) − dι(∇XY ).
Tages pullback af Levi-Civita konnektionen på G, har vi efter anvendelse af Lemma 1.3.6
og Lemma 1.4.7, at
Γ(ι −1 ∗ 1
T G) ∋ ∇Xdι(Y ) = d(Lι)e X(ι θ(Y )) +
2 [ι∗θ(X), ι ∗ θ(Y )]
= d(Lι)e − 2Xβ(Y ) + 2[β(X), β(Y )]
= −2d(Lι)e Xβ(Y ) − [β(X), β(Y )] .
For h ∈ G har vi afbildningen Lh : G/K → G/K defineret ved Lh(gK) = hgK. Da fås
(L ∗ hβ)gK( d
g exp(tX)K) = βhgK(
dt t=0 d
hg exp(tX)K)
dt t=0
= Adhg(X) = Adh(Adg(X))
= Adh(βgK( d
g exp(tX)K)).
dt t=0

30 Karakterisering af harmoniske afbildninger
Dette giver, at L∗ hβ = Adh ◦β, og derfor får vi nu, at
XgK(β(Y )) = d
dt
= d
βa(t)gK(Ya(t)gK)
dt t=0
= d
dt t=0
t=0 βexp tβgK(XgK)gK(Yexp tβgK(XgK)gK)
βa(t)gK(d(La(t))gK)
=(L∗ a(t) β)gK(d(L
(d(La(t) −1)a(t)gK(Ya(t)gK))
a(t) −1 )gKY (a(t)gK))
= d
Ada(t) βgK(d(L
dt t=0 a(t) −1)a(t)gKYa(t)gK)
= [βgK(XgK), βgK(YgK)] + βgK(
∈[k]
d
(d(L
dt t=0 a(t) −1)a(t)gKYa(t)gK)) .
∈[m]
Her har vi indført a(t) = exp tβgK(XgK). Således har vi altså, at
Men også
π[k](X(β(Y ))) = [β(X), β(Y )]
og dermed ∇Xdι(Y ) = −2d(Lι)e(π[m](X(β(Y ))))
= −2d(Lι)e(β(∇XY )).
dιgK((∇XY )gK) = d
ι(exp(t βgK(∇XY )gK gK))
dt t=0
=π [m](XgK(β(Y )))
= d
ι(g exp t Ad
dt t=0 g−1 βgK((∇XY )gK) K)
∈[m]
= −2d(Lι)e(βgK(∇XY )gK).
Således ser vi endeligt, at ∇Xdι(Y ) = dι(∇XY ).
Definition 1.8.6. Lad M være en Riemannflade og lad E → M være et komplekst vektorbundt,
hvor ∇ er konnektion på E. Et snit s ∈ Γ(E) kaldes holomorft, hvis ∇ ′′ s = 0.
Eksempel 1.8.7. For en afbildning ψ : M → Gk(C n ) har vi vektorbundterne ψ, ψ ⊥ → M,
som er udstyret med konnektionerne ∇ ψ hhv. ∇ ψ⊥
defineret ved
∇ ψ
X = πψ ◦ X og ∇ ψ⊥
X = πψ⊥ ◦ X.
Fra Eksempel 1.2.5 har vi på Hom(ψ, ψ ⊥ ) → M konnektionen ∇ givet ved
∇XA = ∇ ψ⊥
X
Hvis X = ∂z, fremgår det endeligt, at
◦ A − A ◦ ∇ψ
X for A ∈ Γ(Hom(ψ, ψ⊥ )).
∇∂z A = π ψ ⊥ ◦ ∂z ◦ A − A ◦ πψ ◦ ∂z,
således at A er holomorf, hvis og kun hvis ∇∂zA = 0.

Karakterisering af harmoniske afbildninger 31
I tilfældet A = A ′ ψ , dvs. for ∂-anden fundamentalformen kan vi anvende Eksempel 1.8.7
til at studere nogle egenskaber, der gør det væsentligt lettere at identificere harmoniske
afbildninger.
Sætning 1.8.8. Afbildningen ψ : M → Gk(Cn ) er harmonisk, hvis og kun hvis A ′ ψ : ψ →
ψ⊥ er holomorf.
Bevis. Antag at z ∈ M og v ∈ ψ(z) er valgt vilkårligt. Vi skal vise, at (∇∂z A′ ψ )z(v) = 0.
Vi vælger et lokalt løft F af ψ omkring z, således at ψ = F · W , hvor W = C k × {0}. Der
findes et u ∈ W , således at v = F (z) · u. Lad σ = F · u. Da er σ et lokalt snit på ψ med
σ(z) = v. Altså er
(A ′ ψ)z(v) = (π ψ ⊥ ◦ ∂zσ)(z) = π ψ ⊥(∂zF · u)(z) = π ψ ⊥(F F −1 Fz · u)(z)
= π ψ ⊥(F α(∂z) · u)(z) = F π W ⊥(α(∂z)u) = F αm(∂z)u = AdF (αm(∂z))(v).
Dermed har vi, at A ′ ψ = AdF (αm(∂z)) og får
(∇∂zA′ ψ)z(v) = ∇ ψ⊥
∂z ◦ A′ ψ(σ) − A ′ ψ ◦ ∇ ψ
∂zσ = πψ⊥ ◦ ∂z AdF (αm(∂z))(σ) − AdF (αm(∂z))πψ ◦ ∂z(σ)
−1
= πψ⊥ AdF [F Fz, αm(∂z)] (v) + πψ⊥ AdF (∂zαm(∂z)) (v)
+ πψ⊥ AdF (αm(∂z)) (σz(z)) − AdF (αm(∂z)πψ) (σz(z))
= AdF [αk(∂z), αm(∂z)] (v) + AdF (∂zαm(∂z)) (v)
+ AdF (αm(∂z)) πψ(σz(z)) − AdF (αm(∂z)πψ) (σz(z))
= AdF [αk(∂z), αm(∂z)] (v) + AdF (∂zαm(∂z)) (v)
= AdF ∂zαm(∂z) + [αk(∂z), αm(∂z)] (v).
Hvis ψ er harmonisk, er ∂zαm(∂z) + [αk(∂z), αm(∂z)] = 0 ved Sætning 1.8.4, og der fås, at
(∇∂zA′ ψ )z(v) = 0, således at A ′ ψ er holomorf.
Omvendt antag A ′ ψ er holomorf. Da fås
AdF ∂zαm(∂z) + [αk(∂z), αm(∂z)] ψ = 0.
Dermed har vi, at (∂zαm(∂z) + [αk(∂z), αm(∂z)]) = 0 på W , således at
B1 := ∂α ′ m + [α ′′
k , α ′ m] = 0 på W.
Vi ønsker at vise, at denne ligning også gælder på W ⊥ . Fordi vi har opsplitningen
m = Hom(W, W ⊥ ) ⊕ Hom(W ⊥ , W ) ∩ u(n), kan vi for ethvert v ∈ ψ ⊥ skrive
A ′
ψ ⊥(v) = AdF (αm(∂z))(v),
og da F · W = ψ har vi, at F · W ⊥ = (F · W ) ⊥ = ψ ⊥ . Ved at udnytte identiteten
(A ′ ψ )∗ = −A ′′
ψ ⊥ får vi, at (∂zαm(∂z) + [αk(∂z), αm(∂z)]) = 0 på W ⊥ , således at
B2 := ∂α ′′ m + [α ′ k, α ′′ m] = 0 på W ⊥ .

32 Karakterisering af harmoniske afbildninger
Ved opsplitning af Maurer-Cartan ligningen i k- og m-dele har vi fra (1.10), at m-delen
specielt giver, at 0 = dαm + [αk, αm], hvilket ydermere bevirker, at
0 = d(α ′ m + α ′′ m) + [α ′ k + α ′′
k , α ′ m + α ′′ m] = ∂α ′ m + [α ′′
k , α ′ m] + ∂α ′′ m + [α ′ k, α ′′ m] = B1 + B2.
Således ser vi, at B1 + B2 = 0. Hvis nu w ∈ W ⊥ , fås det, at
0 = (B1 + B2)(w) = B1(w) + B2(w) = B1(w), da B2(w) = 0.
Dermed er også B1 = 0 på W ⊥ og således identisk lig med 0, hvorfor afbildningen ψ : M →
Gk(C n ) bliver harmonisk.
Hvis vi skal vise, at en afbildning ψ : M → Gk(Cn ) er harmonisk, kan vi således nøjes
med at vise, at A ′ ψ er holomorf. Dette gør vores arbejde noget nemmere, da holomorficitet
som regel er nemmere at arbejde med, end harmonicitet er. Vi skal senere anvende dette
setup til konstruktion af harmoniske afbildninger.

Kapitel 2
DPW-metoden for harmoniske
afbildninger
For vores algebraiske tilgang til studiet af harmoniske afbildninger vil vi i stil med [6]
indføre løkkegrupper, som er en udvidelse af de Lie grupper, som vi arbejder i.
2.1 Løkkegrupper og Iwasawaopsplitning
Et redskab, som vi skal drage stor nytte af, er Iwasawaopsplitningen.
Sætning 2.1.1 (Iwasawaopsplitningen). Antag at G er en kompakt, sammenhængende
semisimpel Lie gruppe med kompleksificering G C . Der findes en løsbar undergruppe B ⊂
G C , således at
G C = GB og G ∩ B = {e}.
For et bevis af Sætning 2.1.1 henvises der til [10]. Sætningen kan eksempelvis anvendes
på G = SU2, der har kompleksificering G C = SL2(C). Vi ønsker imidlertid at gøre brug
af sætningen i det mere generelle tilfælde og fikser derfor en kompakt, sammenhængende,
semisimpel Lie gruppe G med Lie algebra g. Afbildningen σ : G → G er en automorfi af
orden k, der som før også betegnes med σ : g → g på Lie algebra niveau. Vi lader Gσ
betegne fikspunktmængden, hvilket vil sige, at
Gσ = g ∈ G σ(g) = g := K,
og dermed har vi på Lie algebra niveau, at gσ = k. Vi kan anvende Sætning 2.1.1 på
fikspunktmængden K, og på Lie algebra niveau gælder der tilsvarende opslitning i direkte
sum k C = k ⊕ b.
Vi ønsker at udvide Iwasawaopsplitningen til også at omfatte enhedscirklen
33

34 Løkkegrupper og Iwasawaopsplitning
S 1 = λ ∈ C |λ| = 1 . Ved at tage en glat funktion fra S 1 til G C eller g C fås der netop,
hvad vi vil forstå ved en løkke, og vi kan således for løkkegrupper hhv. løkkealgebraer indføre
ΛG C σ = g ∈ C ∞ (S 1 , G C ) g(wλ) = σg(λ), λ ∈ S 1
hhv. Λg C σ = ξ ∈ C ∞ (S 1 , g C ) ξ(wλ) = σξ(λ), λ ∈ S 1 ,
hvor w ∈ S1 er en primitiv enhedsrod af orden k. Vi betragter D = λ ∈ C
|λ| < 1 og
E = (C {∞})\D, dvs. det indre og ydre af cirklen, som bl.a. giver anledning til indførelse
af nedenstående undergrupper.
ΛGσ = g ∈ ΛG C
σ g(λ) ∈ G, λ ∈ S 1
Λ +
H GC σ = g ∈ ΛG C σ
Λ −
H GC σ = g ∈ ΛG C σ
g kan udvides holomorft til D, g(0) ∈ H
g kan udvides holomorft til E, g(∞) ∈ H ,
hvor H er en undergruppe til K C . Eftersom σ ∈ Hom(g C , g C ) med σ k = Id g C, er σ specielt
diagonaliserbar og har egenværdier w i for i ∈ {0, 1, ..., k − 1}. For hvert i betegnes med gi
egenrummet til σ med egenværdi w i . Vi har da
g0 = k C , g−i = gi og [gi, gj] ⊂ gi+j.
Givet et ξ ∈ ΛgC σ kan der Fourierudvikles, således at
ξ =
λ i ξi,
hvor ξi ∈ gi for hvert i. Vi indfører først disse delalgebraer til ΛgC σ
Λgσ = {ξ ∈ Λg C
σ ξ−i = ξi}
Λ +
h gC σ = {ξ ∈ Λg C
σ ξi = 0 for i < 0, ξ0 ∈ h}
ξi = 0 for i > 0, ξ0 ∈ h}.
Λ −
h gC σ = {ξ ∈ Λg C σ
Ved anvendelse af Iwasawaopslitningen fra Sætning 2.1.1 på Lie algebra niveau får vi
Λg C σ ∋ ξ =
λ i ξi =
+
i∈Z
i∈Z
= (ξ − + ξ − + (ξ 0 )k)
∈Λg C σ
= ξ −
∈Λ − ∗ g C σ
= (ξ − + ξ 0 )
∈Λ − g C σ
λ
i0
:=ξ +
+ (ξ + − ξ − + (ξ 0 )b)
∈Λ +
h gC σ
Her har vi brugt notationen Λ − ∗ g C σ for at indikere, at h er triviel og skrevet Λ + g C σ i tilfældet
h = k C . Ovenstående udregning giver en udvidelse af Iwasawaopsplitningen til løkkealgebraer.

Løkkegrupper og Iwasawaopsplitning 35
Lemma 2.1.2. Med ovenstående notation har vi følgende opsplitninger:
(i) Λg C σ = Λgσ ⊕ Λ +
h gC σ,
(ii) Λg C σ = Λ − ∗ g C σ ⊕ Λ + g C σ = Λ − g C σ ⊕ Λ + ∗ g C σ.
For Lie grupper har vi tilsvarende opsplitning i produkt.
Sætning 2.1.3. Lad G C = GB være Iwasawaopsplitning for G C . Da har vi, at
(i) Multiplikationen ΛG × Λ +
B GC → ΛG C er en surjektiv diffeomorfi. Specielt har ethvert
g ∈ ΛG C en entydig opsplitning g = ab, hvor a ∈ ΛG og b ∈ ΛBG C .
(ii) Multiplikationen Λ − ∗ G C × Λ + G C → ΛG C er en surjektiv diffeomorfi på Λ − ∗ G C · Λ + G C ,
som er åben og tæt. Hvis specielt g ∈ ΛG C er indeholdt i Λ − ∗ G C · Λ + G C , gælder det,
at g har en entydig opsplitning g = g−g+, hvor g− ∈ Λ − ∗ G C og g+ ∈ Λ + G C . Vi har
tilsvarende resultat for Λ − G C × Λ + ∗ G C → ΛG C .
Eksempel 2.1.4. For eksempelvis G = SU2 har vi Iwasawaopsplitningen GC = GB med
GC = SL2(C), og vi har diffeomorfien ΛSU2 × Λ +
BSL2(C) ∼ = ΛSL2(C), hvor B i dette
tilfælde er undergruppen af SL2(C) bestående af diagonalmatricer med positive indgange.
Denne opsplitning spiller en central rolle i konstruktionen af flader med konstant middelkrumning.
For mere vedrørende dette kan der henvises til [9]. I Afsnit 2.5 vil vi imidlertid
også kort berøre konstruktionen af denne type af flader.
I Sætning 2.1.3 har vi udeladt subskriften σ, hvilket vi gør, når σ = Id. Sætningen
gælder imidlertid også, hvis vi sætter σ på grupperne. Sammenholdes dette med Lemma
2.1.2, har vi nedenstående sætning.
Sætning 2.1.5. Lad G C = GB være Iwasawaopsplitning for G C . Da har vi, at
(i) ΛGσ × Λ +
B GC σ → ΛG C σ er en surjektiv diffeomorfi.
(ii) Λ − ∗ G C σ × Λ + G C σ → ΛG C σ er en surjektiv diffeomorfi på den åbne og tætte delmængde
Λ − ∗ G C σ · Λ + G C σ. Vi har igen tilsvarende resultat for Λ − G C σ × Λ + ∗ G C σ → ΛG C σ.
For bevis af Sætning 2.1.5 henvises der til [6].
Sætning 1.8.4, som beskriver sammenhængen mellem harmoniske afbildninger og Maurer-Cartan
formen, kan vi ved at introducere en parameter λ ∈ S 1 , der også kaldes en
spektralparameter, udvide til løkkegrupper og løkkealgebraer.
Proposition 2.1.6. Antag at αk : T M → k og αm : T M → m er 1-former med værdier i k
hhv. m. Følgende er ækvivalente.
(i) αk og αm løser (1.14).

36 Løkkegrupper og Iwasawaopsplitning
(ii) αk og λ −1 α ′ m + λα ′′ m løser (1.14) for ethvert λ ∈ S 1 .
(iii) 1-formen A := λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m med værdier i Λgσ løser Maurer-Cartan ligningen
dA + 1
[A, A] = 0.
2
Bevis. (i) ⇒ (ii). Antag αk og αm løser (1.14). Lad ˜αk = αk og ˜αm = ˜α ′ m + ˜α ′′ m, hvor
˜α ′ m = λ −1 α ′ m og ˜α ′′ m = λα ′′ m. Da ses det let, at ˜αk og ˜αm løser (1.14).
(ii) ⇒ (iii). Antag αk og λ −1 α ′ m + λα ′′ m løser (1.14) for ethvert λ ∈ S 1 .
Lad A = λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m. Da fås
dA + 1
2 [A, A] = d(λ−1 α ′ m + αk + λα ′′ m) + 1
2 [λ−1 α ′ m + αk + λα ′′ m, λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m]
= dαk + 1
2 [αk, αk] + 1
2 [α′ m, α ′′ m] + 1
2 [α′′ m, α ′ m]
+ d(λ −1 α ′ m + λα ′′ m) + 1
2 [αk, λ −1 α ′ m + λα ′′ m] + 1
2 [λ−1 α ′ m + λα ′′ m, αk]
= dαk + 1
2 [αk, αk] + [λ −1 α ′ m, λα ′′ m] + d(λ
=0
−1 α ′ m + λα ′′ m) + [αk, λ −1 α ′ m + λα ′′ m] = 0
=0
som ønsket.
(iii) ⇒ (i). Hvis det endeligt antages, at A = λ−1α ′ m+αk+λα ′′ m løser dA+ 1[A,
A] = 0, fås
2
ved tilsvarende udregning som ovenfor efter sammenligning af koefficienterne af potenser
af λ, at αk og αm løser (1.14).
Dermed kan vi pga. Proposition 2.1.6 (iii), hvis M er enkeltsammenhængende integrere
A = λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m op til en afbildning ˜ F : M → ΛGσ, som opfylder ˜ F −1 d ˜ F = A, og
vi kan definere afbildningen fλ ved fλ = π ◦ ˜ Fλ : M → G/K, som er harmonisk for alle
λ ∈ S 1 ved Sætning 1.8.4 og Proposition 2.1.6 (ii). Vi kan således konstruere harmoniske
afbildninger vha. nedenstående korollar.
Korollar 2.1.7. Antag at M er en enkeltsammenhængende Riemannflade. En afbildning
f : M → G/K er harmonisk, hvis og kun hvis der findes en afbildning ˜ F : M → ΛGσ med
˜F −1 d ˜ F = λ −1 α ′ m +αk +λα ′′ m og π ◦ ˜ F1 = f, hvor αk : T M → k og αm : T M → m er 1-former
på M med værdier i k hhv. m.
Definition 2.1.8. Lad f : M → G/K være harmonisk med f(p0) = eK og lad F : M → G
være et løft af f med F −1 dF = αk + αm. Da kaldes ˜ F : M → ΛGσ, som integrerer
˜F −1 d ˜ F = λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m for λ ∈ S 1 og med begyndelsesbetingelse ˜ F (p0) = k ∈ K for
et udvidet løft til f.

Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger 37
2.2 Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske
afbildninger
I teorien for minimalflader indgår der centrale sammenhænge mellem disse og holomorfe
og meromorfe funktioner, idet en enkeltsammenhængende minimalflade kan konstrureres
vha. disse funktionstyper, som det netop fremgår af Weierstrassrepræsentationen for minimalflader,
(Sætning 1.1.3). De holomorfe og meromorfe funktioner i den sammenhæng
fungerer som det, vi lidt løst vil kalde for Weierstrassdata. For harmoniske afbildninger
vil vi vise, at der gælder analoge tilstande. Vi betragter derfor en harmonisk afbildning
f : M → G/K på en enkeltsammenhængende Riemannflade M. Vi kan anvende uniformiseringssætningen
for Riemannflader (Sætning 1.1.5), hvor vi ønsker vores teori anvendt på
tilfældet, hvor M er enten R 2 ∼ = C eller enhedsskiven med global koordinat z. Vi introducerer
først en speciel type af transformationer.
Definition 2.2.1. Lad M være en enkeltsammenhængende Riemannflade og lad K være
en Lie gruppe. En afbildning H : M → K kaldes for en gauge-transformation.
I forhold til spørgsmål vedrørende entydighed af korrespondancen mellem harmoniske
afbildninger og udvidede løft spiller gauge-transformationer en central rolle.
Bemærkning 2.2.2. Givet en harmonisk afbildning f : M → G/K fås det, at et udvidet
løft ˜ F : M → ΛGσ til f kun er bestemt op til en gauge-transformation H : M → K, dvs.
at ˜ F H : M → ΛGσ også er et udvidet løft til f.
Så ˜ F1 og ˜ F2 genererer samme harmoniske afbildning, hvis og kun hvis der findes en
afbildning H : M → K, således at ˜ F2 = ˜ F1H. Vi har da en bijektiv korrespondance
imellem harmoniske afbildninger og udvidede løft modulo gauge-transformationer. Mere
præcist betragter vi følgende mængder.
H := f : M → G/K
f(0) ∈ K, f er harmonisk ,
og F := ˜F : M → ΛGσ F ˜(0) ∈ K, F˜ er et udvidet løft .
Vi definerer nu ækvivalensrelationen ∼ på F ved at ˜ F1 ∼ ˜ F2, hvis og kun hvis ˜ F2 = ˜ F1H for
en gauge-transformation H : M → K. Givet en harmonisk afbildning f ∈ H vælges et løft
F : M → G med F ·K = f. Vi har α = F −1dF og αλ = ˜ −1
F1 dF1, ˜ hvor ˜ F1 : M → ΛGσ med
˜F1(0) = F (0) ∈ K er et udvidet løft mht. F . Vi indfører korrespondancen Z : H → F/ ∼
givet ved
Z(f) = [ ˜ F ], (2.1)
som viser sig at være bijektiv.
Lemma 2.2.3. Afbildningen Z defineret i (2.1) er veldefineret og bijektiv.

38 Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger
Bevis. Lad f : M → G/K være harmonisk afbildning og lad F : M → G være et løft
til f. Lad ˜ F1 : M → ΛGσ være et tilhørende udvidet løft til f. Et andet valg af løft
ˆF : M → G med ˆ F · K = f ville betyde, at F −1F ˆ = H : M → K, dvs. F ˆ = F H for en
gauge-transformation H. Lad ˆα = ˆ F −1d ˆ F , og ˆαλ = ˜ −1
F2 dF2, ˜ hvor ˜ F2 : M → ΛGσ med
˜F2(0) = ˆ F (0) = F (0) · H(0) ∈ K er et udvidet løft mht. ˆ F . For at vise at Z er veldefineret,
må vi vise, at ˜ F1 og ˜ F2 har en gauge-transformation til forskel. Vi ser først på ˆα og får
ˆα = (F H) −1 d(F H) = H −1 F −1 (dF H + F dH)
Udnyttes dette til beregning af ˆαλ, fås
= Ad H −1(α) + H −1 dH
= AdH−1(αk) + H −1 dH + AdH−1(α
′ m) + AdH−1(α ′′ m) .
ˆαk
ˆα ′ m
ˆα ′′ m
−1 ˜F2 dF2 ˜ = ˆαλ = ˆαk + λ −1 ˆα ′ m + λˆα ′′ m
= AdH−1(αk) + H −1 dH + λ −1 AdH−1(α ′ m) + λ AdH−1(α ′′ m)
= Ad H −1(αλ) + H −1 dH
= AdH−1( ˜ −1
F1 dF1) ˜ + H −1 dH
= ( ˜ F1H) −1 d( ˜ F1H).
Da vi også har, at ˜ F2(0) = ˜ F1(0) · H(0), kan vi konkludere, at ˜ F2 = ˜ F1 · H, således at
[ ˜ F2] = [ ˜ F1], og Z er veldefineret.
Omvendt da Z −1 [ ˜ F ] = ˜ Fλ=1 · K ∈ H, er Z bijektiv, og det ønskede fås.
Fra Sætning 2.1.5 har vi løkkegruppeopsplitningen med tilsvarende opsplitning på Lie
algebra niveau
ΛG C σ = ΛGσ · Λ +
B GC σ og Λg C σ = Λgσ ⊕ Λ +
b gC σ. (2.2)
For d ∈ N introducerer vi følgende underrum til Λg C σ
Λd = ξ ∈ Λg C σ
Λ−1,∞ = ξ ∈ Λg C σ
ξ =
|k|≤d
λ k
ξk
λξ kan udvides holomorft til |λ| < 1 .
Underrummet Λ−1,∞ er mængden af alle σ-twistede løkker, der kan udvides holomorft til
hele enhedsskiven med en enkelt pol i 0 ∈ C. Vi har ydermere, at
ξ ∈ Λ−1,∞ hvis og kun hvis ξ =
λ k
k
ξk med ξk ∈
C for k lige
mC for k ulige.
k≥−1
Vi kan nu endeligt indføre vores mængde af Weierstrassdata, som vi får brug for i forbindelse
med harmoniske afbildninger.

Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger 39
Definition 2.2.4. Rummet af holomorfe potentialer er mængden P defineret ved
P := {µ | µ er en holomorf 1-form på M med værdier i Λ−1,∞}. Et element µ ∈ P kaldes
for et holomorft potentiale.
Lemma 2.2.5. Et holomorft potentiale µ ∈ P opfylder Maurer-Cartan ligningen.
Bevis. Lad µ ∈ P. Da har vi µ = ξdz for ξ : M → Λ−1,∞ holomorf, og der fås ved
anvendelse af (1.6), at
dµ + 1
1
[µ, µ] = d(ξdz) + [ξ, ξ]dz ∧ dz = dξ ∧ dz = ∂µ = 0.
2 2
Således får vi opfyldt Maurer-Cartan ligningen og kan dermed ved at integrere få en
entydig afbildning gµ : M → ΛGC σ med g−1 µ dgµ = µ og gµ(0) = e. Ved (2.2) har vi i ethvert
punkt opsplitningen
gµ = Φµbµ, hvor Φµ : M → ΛGσ med Φµ(0) = e og bµ : M → Λ +
B GC σ. (2.3)
Lemma 2.2.6. Afbildningen Φµ : M → ΛGσ defineret i (2.3) er et udvidet løft.
Bevis. Vi ser, at Φµ = gµb −1
µ og får
Φ −1
µ dΦµ = (gµb −1
µ ) −1 d(gµb −1
µ )
= bµg −1
µ (dgµb −1
µ − gµb −1
µ dbµb −1
µ )
= bµ(ξdz)b −1
µ − dbµb −1
µ
= Adbµ(µ) − dbµb −1
µ .
Da dbµb −1
µ ∈ Λ +
b gC σ og Φ −1
µ dΦµ ∈ Λgσ, må vi have
Φ −1
µ dΦµ = πΛgσ(Adbµ(µ)).
Da µ ∈ P og Ad Λ +
B GC σ bevarer Λ−1,∞, har vi, at
Φ −1
µ dΦµ = λ −1 α−1 + α0 + λα1 + λ 2 α2 + ...
= λ −1 α−1 + α0
∈m C
∈k C
+λ α1
∈m C
, da Φ −1
µ dΦµ ∈ Λgσ, så at αk = α−k
for alle k. Her er α−1 = α ′ −1 og α1 = α ′ −1 = α ′′
1 1-former af type (1, 0) hhv. (0, 1). Ved
anvendelse af Korollar 2.1.7 på Φµ fås det ønskede.
Vi ser, at (Φµ)λ=1 · K = f : M → G/K er harmonisk. Vi startede altså med µ ∈ P
og ender med en harmonisk afbildning f ∈ H. Dette giver endeligt anledning til en vigtig
definition.

40 Harmoniske afbildninger af endelig type
Definition 2.2.7. Afbildningen Φ : P → H, som sender µ ↦→ [Φµ] kaldes for Weierstrasstype
repræsentationen for harmoniske afbildninger.
På samme måde som i tilfældet for minimalflader og alle andre CMC-flader kan vi altså
konstruere harmoniske afbildninger vha. holomorfe og meromorfe funktioner. Her vælger
vi et holomorft potentiale og får efterfølgende genereret en harmonisk afbildning. Dette
resultat motiverer navnet Weierstrass-type repræsentation.
Lad os se på hvordan teorien bruges i praksis på et dog noget simpelt eksempel, nemlig
den såkaldte "vacuum-løsning" [6].
Eksempel 2.2.8. Lad µ = λ −1 Cdz = g −1
µ dgµ med C ∈ m C og [C, C] = 0, så
ΛG C σ ∋ gµ(z) = exp(λ −1 Cz) = exp(λ −1 Cz + λCz − λCz)
= exp(λ −1 Cz + λCz)
=Φµ(z)∈ΛGσ
· exp(−λCz)
=bµ(z)∈Λ +
B GC σ
Vi ser, at FC(z) = exp(λ −1 Cz+λCz) = Φµ(z) er et udvidet løft, og f(z) = exp(Cz+Cz)·K
er en harmonisk afbildning.
For at repitere proceduren så konstruerer vi altså den harmoniske afbildning f : M →
G/K ved f = (Φµ)λ=1 · K fra g = Φµ · b, hvor g −1 dg = µ med g(0) = e, og g : M → ΛG C σ
er holomorf.
2.3 Harmoniske afbildninger af endelig type
En interessant klasse af harmoniske afbildninger er de såkaldte harmoniske afbildninger af
endelig type, hvilke er harmoniske afbildninger, der genereres af et potentiale på en konstant
endelig form. For at betragte disse må vi først indføre nogle modificerede løkkegrupper og
løkkealgebraer. Vi lader G være en kompakt, sammenhængende, semisimpel matrix Lie
gruppe med Lie algebra g og definerer
ΩG = γ ∈ C ∞ (S 1 , G) γ(1) = e , Ωg = γ ∈ C ∞ (S 1 , g) γ(1) = 0 og
Ωdg = η ∈ Ωg
η = ηkλ k .
|k|≤d
Vi kan nu definere harmoniske afbildninger af endelig type.
Definition 2.3.1. En harmonisk afbildning ψ : C → G kaldes af endelig type, hvis den fås
fra en udvidet løsning Φµ : C → ΩG, hvis holomorfe potential er af formen µ = λ (d−1) ηdz,
hvor d ∈ N er ulige, og η ∈ Ωdg.
Vi ønsker at betragte gauging anvendt på denne type af harmoniske afbildninger.

Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner 41
Definition 2.3.2. Den holomorfe gauge-gruppe G indføres ved
G = h : M → Λ + G C
σ h er holomorf .
Vi får da en virkning ved gauge-transformationer. Lad µ ∈ P. Da fås for h ∈ G, at
h · µ = Adh(µ) − dhh −1
.
∈P
Endvidere vil vi med Sµ betegne mængden af gauge-transformationer fra M → ΛG C ,
således at
Sµ = h : M → ΛG C Adh(µ) − dhh −1 ∈ P .
For harmoniske afbildninger af endelig type har vi specielt, at disse bevares under gaugetransformationer,
[15].
Sætning 2.3.3. Lad ψµ : C → G være harmonisk afbildning af endelig type med µ =
λ (d−1) ηdz og η ∈ Ωdg. Fiks et underrum V0 af C n og lad πV0 : C n → ℓ0 være tilhørende
Hermitiske projektion. Hvis π V ⊥
0 η−dπV0 = 0, så er ψγℓ 0 ·µ også af endelig type, hvor γℓ0 =
πV0 + λ −1 π V ⊥
0
er en løkke i Sµ.
Bevis. Lad γℓ0 ∈ Sµ. Da γℓ0 = πV0 + λ−1πV ⊥
0
beregning, at
γℓ0µ = (πV0 + λ −1 π ⊥
V0
)(λ(d−1)
|k|≤d
(d−1)
= πV0(λ
|k|≤d
(d−1)
+ λπV0(λ
|k|≤d
og γℓ0µ = γℓ0µγ −1
ℓ0
ηkλ k dz)(πV0 + λπ ⊥ V0 ) − d(πV0 + λ −1 π ⊥ V0 )
ηkλ k dz)πV0 + λ −1
(d−1)
πV ⊥(λ
0
|k|≤d
ηkλ k
(d−1)
dz)πV ⊥ + π
0 V ⊥(λ
0
|k|≤d
−1
− dγℓ0γ , fås der ved en
ℓ0
=0
ηkλ k dz)πV0
ηkλ k dz)π V ⊥
0 .
(πV0 + λπ ⊥ V0 )
Eftersom π ⊥ V0 η−dπV0 netop forsvinder pr. antagelse, kan vi skrive γℓ0µ = λ (d−1) ˜ηdz for noget
˜η ∈ Ωdg, og ψγℓ 0 ·µ er en harmonisk afbildning af endelig type.
Således er gauge-transformationen til en harmonisk afbildning af endelig type også af
endelig type. Vi må dog imidlertid her kræve, at π V ⊥
0 η−dπV0 = 0. Vi skal senere undersøge
en klasse af harmoniske afbildninger for hvilke, der gælder, at betingelsen er opfyldt.
2.4 Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner
Pga. opsplitningen i (2.2) kan vi som i [6] specielt definere en virkning.

42 Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner
Definition 2.4.1. Lad h ∈ ΛG C σ og g ∈ ΛGσ. Vi indfører dressing-virkning af ΛG C σ på
ΛGσ ved operationen # defineret ved
hvor πΛGσ er projektion på ΛGσ.
h#g := πΛGσ(hg),
Løkkegruppen Λ + G C σ virker ved dressing på ΛGσ. Lad F : M → ΛGσ være udvidet løft
og lad h ∈ Λ + G C σ. For z ∈ M har vi punktvist, at
h#F : M → ΛGσ, (h#F )(z) = h#F (z).
Det viser sig, at h#(F H) og h#F faktisk er udvidede løft for samme harmoniske afbildning.
Proposition 2.4.2. For dressing-virkningen defineret ovenfor gælder der følgende.
(i) Hvis F : M → ΛGσ er et udvidet løft, og h ∈ Λ + G C σ, så er h#F : M → ΛGσ også et
udvidet løft.
(ii) Lad H : M → K være en gauge-transformation, og lad F : M → ΛGσ være et udvidet
løft. Givet et h ∈ Λ + G C σ så findes der et ˜ H : M → K, så at
h#(F H) = (h#F ) ˜ H.
Bevis. (i): Vi har h · F = h#F · b, hvor b : M → Λ +
B GC σ, hvilket giver
(h#F ) −1 d(h#F ) = (hF b −1 ) −1 d(hF b −1 )
så (h#F ) −1 d(h#F ) = πΛgσ
= bF −1 h −1 (hdF b −1 − hF b −1 dbb −1 )
= Adb(F −1 dF ) − dbb −1
,
∈Λ +
b gCσ Adb(F −1 dF ) .
Da Ad Λ +
BGCσ bevarer Λ−1,∞, fås det ved at sætte b = b0 ∈ B ⊂ K λ=0 C , at
(λ Adb(F −1dF )) = Adb0(α λ=0 ′ m), og dermed har vi
πΛgσ
Adb(F −1 dF ) = λ −1 Adb0(α ′ m) + Adb0(αk) +λ Adb0(α
′′ m) .
:= αm ′
:=αk
:= αm ′′
Da F (0) = k ∈ K = ΛGσ ∩ Λ + G C σ, har vi (h#F )(0) = h#F (0) = h#k = πΛGσ(hk) ∈ K,
og h#F er derfor et udvidet løft.
(ii): Vi lader H : M → K og h ∈ Λ + G C σ. Da hF, hF H ∈ ΛG C σ, findes der b, ˜ b : M →
Λ +
B GC σ, så at
hF = (h#F )b
og hF H = (h#(F H)) ˜ b = (h#F )bH,
så at ΛGσ ∋ h#(F H) = (h#F )
∈ΛGσ
bH ˜ b −1 og dermed er bH ˜ b −1 ∈ ΛGσ.

Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner 43
Men bH ˜ b −1 ∈ Λ + G C σ, så ˜ H := bH ˜ b −1 ∈ ΛGσ ∩ Λ + G C σ = K.
I begge trin har vi til sidst specielt benyttet, at hvis c ∈ Λ + G C σ, kan vi skrive c =
k≥0 ckλ k , og hvis også c ∈ ΛGσ kan vi skrive c = c. For c ∈ ΛGσ ∩ Λ + G C σ kan vi
sammenfatte begge betingelser og får således, at c = c0, og vi har σ(c(λ)) = c(−λ), hvis
og kun hvis c0 = σ(c0), så c = c0 ∈ K.
Proposition 2.4.2 udstyrer os med en venstre virkning af Λ + G C σ på H givet ved
h#f = π ◦ ((h#F ) λ=1 ),
hvor F : M → ΛGσ er et udvidet løft af den harmoniske afbildning f : M → G/K. Dermed
kan dressing på H defineres på følgende måde.
Definition 2.4.3. Dressing-virkningen virker på H ved, at h#[F ] = [h#F ].
Lemma 2.4.4. Afbildningen Φ : P → H : µ ↦→ [Φµ] er ækvivariant mht. gauge-virkningen
af G på P og dressing-virkningen af Λ + G C σ på H, dvs. [Φh·µ] = h(0)#[Φµ] for h ∈ G.
Bevis. Vi skal vise, at der findes en gauge-transformation H : M → K, så at Φh·µ =
(h(0)#Φµ)H. Vi har Φµ = πΛGσ(gµ), hvor gµ : M → ΛG C σ løser g −1 dg = µ med g(0) = e. Da
fås, at h(0)gµh −1 løser g −1 dg = h·µ med g(0) = e, så gh·µ = h(0)gµh −1 . Lad bµ : M → Λ +
B GC σ
være defineret, således at gµ = Φµbµ. Vi får da, at
Φh·µ = πΛGσ(gh·µ)
= πΛGσ(h(0)gµh −1 )
= πΛGσ(h(0)Φµbµh −1 )
= πΛGσ(h(0)Φµ ˜ H)
= h(0)#(Φµ ˜ H)
= (h(0)#Φµ)H
for H : M → K. Tillige har vi indført ˜ H : M → K og ˜ b : M → Λ +
B GC σ, hvor bµh −1 = ˜ H ˜ b
samt udnyttet Proposition 2.4.2 (ii).
Lemma 2.4.5. Afbildningen Φ : P → H er surjektiv og opfylder Φ −1 [Φµ] = G0 · µ, hvor
G0 = {h ∈ G h(0) = e}.
Bevis. Lad [F ] ∈ F/ ∼ med F (0) = e. Vi søger et h : M → Λ + G C σ, så at h(0) = e og
g := F · h er holomorf. Ækvivalent er det, at µ = g −1 dg er en 1-form af type (1, 0). Ved en
udregning fås det, at
µ = g −1 dg = (F h) −1 d(F h)
= h −1 F −1 (dF h + F dh)
= Ad h −1(F −1 dF ) + h −1 dh
= Ad h −1(λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m) + h −1 dh ∈ P.

44 Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner
Da µ skal være en 1-form af type (1, 0), er µ (0,1) = 0, så at α ′′
k + λα′′ m + ∂hh −1 = 0. Dette
∂-problem kan løses, [6], så at hvis h er en løsning med h(0) = e, har vi
µ = g −1 dg = Ad h −1(λ −1 α ′ m + α ′ k) + h −1 ∂h af type (1, 0).
Altså er g holomorf. Da h : M → Λ + GC σ, og Ad(Λ + GC σ) lader Λ−1,∞ være invariant,
har vi endvidere, at µ ∈ Λ−1,∞, og således er µ ∈ P. Ved anvendelse af opsplitningen
Λ + GC σ = K · Λ +
BGCσ til h = H · b, hvor H : M → K og b : M → Λ +
BGCσ, fås det, at
g = (F H)b og Φµ = F H, således at [Φµ] = [F ], og at afbildningen Φ : P → H er surjektiv.
Antag [Φµ] = [Φη] for µ, η ∈ P, så Φµ = ΦηH for H : M → K. Da fås
Da gµ = gηh −1 , har vi h(0) = e, og vi får
gµ = Φµbµ =ΦηHbµ = gηb −1
η Hbµ = gηh −1 ,
hvor h :=b −1
µ H −1 bη : M → Λ + G C σ.
µ = g −1
µ dgµ =(gηh −1 ) −1 d(gηh −1 )
=hg −1
η (dgηh −1 − gηh −1 dhh −1 )
= Adh(g −1
η dgη) − dhh −1 = h · η.
Dermed har vi µ = h · η og h ∈ G0, så at Φ −1 [Φµ] = G0 · µ.
Harmoniske afbildninger kan altså konstrueres vha. holomorfe potentialer på formen
µ =
k≥−1 λkξkdz. Dette resultat kan imidlertid udvides, således at enhver harmonisk
afbildning kan konstrueres ved et potential på formen µ = λ−1η. Vi må dog betale en pris
for det, idet η i dette tilfælde kun er en meromorf 1-form på M med værdier i mC .
Definition 2.4.6. Mængden B := Λ − ∗ G C σ · Λ + G C σ kaldes for den store celle.
Fra Sætning 2.1.3 har vi, at B er åben og tæt i ΛG C σ, og endvidere har vi følgende
resultat, se [6].
Lemma 2.4.7. Der findes et holomorft linjebundt Det ∗ → ΛG C σ med et holomorft snit τ,
således at τ −1 (0) = ΛG C σ\B. Endvidere har vi, at
τ(g) = 0, hvis og kun hvis g = g−g+, hvor g− ∈ Λ − ∗ G C σ og g+ ∈ Λ + G C σ.
Dermed er g ∈ ΛG C σ indeholdt i B.
Vi betragter nu følgende mængde S givet ved
S = (τ ◦ g) −1 (0) = p ∈ M g(p) /∈ B ⊂ M.
Da τ ◦ g : M → C er holomorf, er S en diskret mængde.

Harmoniske afbildninger og meromorfe funktioner 45
Lemma 2.4.8. Der gælder, at S = (τ ◦ Φµ) −1 (0).
Bevis. Det er nok at vise, at Φµ ∈ B, hvis og kun hvis g ∈ B. Lad b ∈ Λ +
B GC σ. Hvis g ∈ B,
har vi, at
g = Φµb = g−g+ dvs. g−g+b −1
= Φµ, så vi får (Φµ)− = g−
∈B
samt (Φµ)+ = g+b −1 . Altså gælder, at Φµ ∈ B.
Omvendt antag at Φµ ∈ B. Da fås der, at
Φµ = gb −1 = (Φµ)−(Φµ)+ dvs. (Φµ)−(Φµ)+b = g, så vi får g− = (Φµ)−,
∈B
og g+ = (Φµ)+b, således at g ∈ B, og det ønskede fås.
Dette giver anledning til følgende resultat, hvor der for bevis henvises til [6].
Lemma 2.4.9. g− har meromorf udvidelse til hele M med poler i S, dvs. g− : M →
C ∪ {∞}. Da g er holomorf, gælder det samme for g+.
Sætning 2.4.10. Lad f : M → G/K være harmonisk med f(0) = eK. Da findes der en
meromorf 1-form η med værdier i m C på M med poler i S, så at f = [Φ λ −1 η] i M\S.
Bevis. Lad ˜ F : M → ΛGσ være udvidet løft til f med ˜ F (0) = e. På M\S har vi ˜ F ∈ B
og kan derfor opsplitte ˜ F = F−F+, således at F− = ˜ F F −1
+ med F− : M\S → Λ − ∗ G C σ og
F+ : M\S → Λ + G C σ. Vha. Lemma 2.4.9 kan F− udvides meromorft til S. Endvidere giver
en udregning, at
Λ − ∗ g C σ ∋ F −1
− dF− = ( ˜ F F −1
+ ) −1 d( ˜ F F −1
+ )
= AdF+( ˜ F −1 d ˜ F ) − dF+F −1
+
= AdF+(λ −1 α ′ m + αk + λα ′′ m) − dF+F −1
+
= λ −1 Ad(F+)|λ=0 (α′ m) := λ −1 η,
hvor η : M → m C ∪ {∞} er meromorf på M med poler i S. I ovenstående udregning er
opsplitningen Λg C σ = Λ − ∗ g C σ ⊕ Λ + g C σ benyttet, således at AdF+(αk + λα ′′ m) − dF+F −1
+ ∈ Λ + g C σ
forsvinder. Da vi endvidere har, at F−(0) = e, fås det, at F− = g λ −1 η, eftersom både
F− og g λ −1 η er løsninger til samme differentialligning med samme begyndelsesbetingelse.
Endvidere er F− er holomorf, da F −1
− dF− er af type (1, 0). Da F+ : M\S → Λ + G C σ =
Λ +
B GC σ · K, kan der opsplittes F+ = b −1 H −1 for H : M\S → K og b : M\S → Λ +
B GC σ . Dette
giver endeligt, at
g λ −1 η = F− = ˜ F F −1
+ = ˜ F Hb så Φ λ −1 η = ˜ F H og [Φ λ −1 η] = [ ˜ F ] = f.
Enhver harmonisk afbildning f : M → G/K kan således konstrueres vha. et potentiale
på formen µ = λ −1 η, hvor η er en meromorf 1-form.

46 Konstruktion af CMC-flader
2.5 Konstruktion af CMC-flader
Vi vil nu illustrere, hvordan teorien kan anvendes på flader med konstant, ikke-forsvindende
middelkrumning kaldet CMC-flader. Vi lader derfor i dette afsnit M være en flade indlejret
i R 3 . Sammenhængen mellem harmoniske afbildninger og CMC-flader er givet ved følgende
sætning, [9].
Sætning 2.5.1 (Ruh-Vilhms Sætning). Antag at U ⊂ R 2 ∼ = C er en åben mængde. Lad
f : U → M ⊂ R 3 være en konform indlejring med middelkrumning H og Gaussafbildning
N : U → S 2 . Følgende er ækvivalente.
(i) H er konstant.
(ii) N er harmonisk.
Vi kan uden tab af generalitet antage, at f : U ⊂ C → M ⊂ R 3 er en konform indlejring
defineret på et enkeltsammenhængende område U. Med koordinat z = x + iy fås det, at
〈fz, fz〉 = 〈fz, fz〉 = 0, 〈fz, fz〉 = 2e 2u ,
hvor u : U → R er defineret på denne måde. Hvis H er middelkrumningen, N er enhedsnormalen
og Q er Hopf-differentialet, fremkommer Gauss-Weingarten ligningerne, [9]:
fzz = 2uzfz + QN fzz = 2He 2u N, fzz = 2uzfz + QN,
Nz = 1
2 (−2Hfz − Qe −2u fz) og Nz = 1
2 (−2Hfz − Qe −2u fz).
Vi definerer den ortonormale ramme (e1, e2, N), hvor
e1 = fx
|fx| = fz + fz
2eu , e2 = fy
fy = i(fz − fz)
2eu .
Vi ønsker at opskrive denne ramme på matrixform. Vi ser på Paulimatricerne givet ved
σ1 =
0 1
, σ2 =
1 0
0 −i
i 0
og σ3 =
1 0
.
0 −1
Vi kan da lave identifikaitonen R 3 ∼ = su(2) = {A ∈ sl2(C) A + A ∗ = 0} vha. afbildningen
R 3 i
∋ (x1, x2, x3) ↦→ −x1
2 σ1
i
+ x2
2 σ2
i
+ x3
2 σ3 = − i
−x3 x1 + ix2
∈ su(2). (2.4)
2 x1 − ix2 x3
For at bevare det indre produkt på R 3 bruger vi på su(2) det indre produkt
〈X, Y 〉 = −2 Trace(XY ). Vi lader ˆ F = ˆ F (z) ∈ SU2 være matricen, der roterer − i
2 σ1, − i
2 σ2

Konstruktion af CMC-flader 47
og − i
2 σ3 til 2 × 2 matrixformerne af e1, e2 hhv. N med begyndelsesbetingelse ˆ F (z0) = I,
hvor z0 ∈ U. Dermed fås det, at
e1 = 1
2 ˆ F
0
−i
−i 0
ˆF −1 , e2 = 1
2 ˆ F
0
1
−1 0
ˆF −1 og N = 1
2 ˆ
i 0
F
0 −i
Vi definerer nu matricerne Û := ˆ F −1 ˆ Fz og ˆ V := ˆ F −1 ˆ Fz. Fra Sætning 1.3.7 gælder der, at
Û, ˆ V : U → sl2(C) opfylder ligningen
ˆF −1 .
Ûz − ˆ Vz + [ ˆ V , Û] = 0. (2.5)
Ligningen (2.5) implicerer sammen med Gauss-Weingarten ligningerne endeligt ligningerne
4uzz − |Q| 2 e −2u + 4H 2 e 2u = 0
og Qz = 2Hze 2u .
Disse ligninger kaldes Gauss- hhv. Codazzi-ligningerne til f. Codazzi-ligningen giver specielt
følgende resultat.
Proposition 2.5.2. Hopf-differentialet Q er holomorf, hvis og kun hvis middelkrumningen
H er konstant.
Vi får derfor en sammenhæng mellem holomorfe funktioner og CMC-flader. Sammenholdes
dette med Sætning 2.5.1, får vi altså en korrespondance mellem harmoniske afbildninger
og holomorfe funktioner. Denne type af korrespondance har vi imidlerid også set
tidligere i forbindelse med Sætning 1.8.8.
Hvis middelkrumningen er konstant, fremgår det desuden, at Gauss- og Codazzi-ligningerne
stadigvæk er opfyldt, såfremt Q udskiftes med λ −2 Q, hvor λ ∈ S 1 , og på denne måde
har vi altså en hel familie af CMC-flader, som kaldes den associerede familie. Dette er
naturligvis i overensstemmelse med Proposition 2.1.6, som også bygger på Maurer-Cartan
ligningen, hvorved vi opnår identiske tilstande.
Da Û og ˆ V er indført som værende løsning til ˆ Fz = ˆ F Û og ˆ Fz = ˆ F ˆ V , fås det eftersom
fzz = fzz og Trace Û = 0 = Trace ˆ V samt ved udnyttelse af Gauss-Weingarten ligningerne,
at
Û = 1
−uz
2
e −u λ −2 Q
−2He u uz
og ˆ V = 1
uz
2 −e−uλ2Q −uz
2He u
. (2.6)
Vælg en løsning ˆ F og antag at H = 0. Vi indfører ˆ f, som er givet ved nedenstående formel,
der kaldes Sym-Bobenko formlen.
ˆf(z, λ) = 1
ˆF
i 0
2H 0 −i
ˆF −1 − iλ(∂λ ˆ F ) ˆ F −1
. (2.7)
Sym-Bobenko formlen producerer netop den associerede familie til enhver CMC-flade, [9].

48 Konstruktion af CMC-flader
Lemma 2.5.3. CMC-fladerne f(z, λ) med H = 0 og ˆ f(z, λ) har kun evt. translation og
rotation til forskel. Dermed giver (2.7) den associerede familie til enhver CMC-flade fra en
ramme ˆ F , der løser ˆ Fz = ˆ F Û og ˆ Fz = ˆ F ˆ V med Û og ˆ V , som er givet ved (2.6).
Omvendt givet u og Q, som opfylder Gauss- og Codazzi-ligningerne og enhver løsning
ˆF til ˆ Fz = ˆ F Û og ˆ Fz = ˆ F ˆ V , så at ˆ F ∈ SU2 for ethvert λ ∈ S 1 , er ˆ f defineret ved (2.7)
en konform CMC-indlejring i R 3 med metrik ds 2 = 4e 2u (dx 2 + dy 2 ) og Hopfdifferentiale
λ −2 Q.
At finde CMC flader er ækvivalent til at løse ˆ Fz = ˆ F Û og ˆ Fz = ˆ F ˆ V , hvorved Sym-
Bobenkos formel kan anvendes. For at vise at DPW-metoden genererer alle CMC-flader,
er det nok at vise, at DPW giver alle par Û og ˆ V , som opfylder ˆ Fz = ˆ F Û og ˆ Fz = ˆ F ˆ V
med tilhørende løsninger F . Til det skal vi anvende det maskineri, som vi har fået stillet til
rådighed i forbindelse med teorien om løkkegrupper og Iwasawaopsplitning til konstruktion
af harmoniske afbildninger.
Vi anvender Iwasawaopsplitningen fra Eksempel 2.1.4 givet ved ΛSU2 × Λ +
BSL2(C) ∼ =
ΛSL2(C) og introducerer tillige holomorfe potentialer.
Definition 2.5.4. Det holomorfe potentiale, ξ kan skrives på formen
ξ =
∞
ξj(z)λ j dz.
j=−1
hvor z er en kompleks koordinat til M, og hvor ξj = ξj(z) er holomorfe 2 × 2-matricer.
Matricen A := ∞ j=−1 ξj(z)λj er holomorf i både z ∈ M og λ ∈ C\{0}, og A ∈ Λσsl2(C).
Dette medfører, at ξj er off-diagonal hhv. diagonal, når j er ulige hhv. lige og Trace(ξj) = 0
for ethvert j. Desuden kræver vi, at den øverste højre indgang i ξ−1 aldrig er 0 på M.
At ξj er off-diagonal hhv. diagonal korresponderer således til, hvorvidt ξj er i m hhv.
k. Givet et holomorft potentiale ξ er proceduren for DPW-metoden for CMC-flader givet
som følger.
(i) Løs systemet dφ = φξ med begyndelsesbetingelse φ(z∗) = I.
(ii) Iwasawaopsplit φ = F b for et F ∈ ΛSU2.
(iii) Brug Sym-Bobenkos formel til beregning af f(z, λ).
(iv) Sæt λ = 1 for at få den resulterende CMC-flade.
Givet en CMC-flade så findes der et tilhørende holomorft potentiale som i Definition
2.5.4. At vi i ovenstående overhovedet kan lave Iwasawaopsplitning skyldes specielt, at
Trace(φ −1 φz) = Trace(φ −1 φz) = Trace(A) = 0, så at φ ∈ ΛSL2(C) ved [9].
Vi ønsker at anvende ovenstående procedure til bestemmelse af CMC-flader.

Konstruktion af CMC-flader 49
Eksempel 2.5.5. Vi betragter ξ = λ−1
0
1
1
dz. En løsning til dφ = φξ er
0
0
φ = exp(z
1
1
λ
0
−1
) = exp (zλ −1
0
− zλ)
1
1
0
exp zλ
0
1
1
.
0
=F ∈ΛSU2
2 0 1
Da = I, har vi
1 0
F = exp (zλ −1
0 1
− zλ)
1 0
:=c
:=A
= I + cA + 1
2! c2I + 1
3! c3A + 1
4! c4I + 1
5! c5A... ∞ c
=
2n ∞ c
I +
(2n)! 2n+1
(2n + 1)! A
n=0
n=0
= cosh(c)I + sinh(c)A =
=b∈Λ +
B SL2C
cosh(zλ −1 − zλ) sinh(zλ −1 − zλ)
sinh(zλ −1 − zλ) cosh(zλ −1 − zλ)
Vi får ved Sym-Bobenkos formel under indsættelse af H = 1
2
− 1
2 F
i 0
F
0 −i
−1 − iλ(∂λF )F −1
λ=1
f(z, z, λ) = λ=1
= − i
cosh
2
2 (z − z) + sinh 2 (z − z)
2 cosh(z − z) sinh(z − z) − 2(z + z)
−2 cosh(z − z) sinh(z − z) − 2(z + z)
− cosh 2 (z − z) − sinh 2
.
(z − z).
Sammenlignes dette med matrixformen i (2.4), har vi endeligt
, at
(x1, x2, x3) = (−4x, − sin(4y), − cos(4y)),
hvilket er en cylinder med radius 1 og centrum langs x1-aksen.
Definition 2.5.6. En Delaunay-flade i R 3 er en CMC-omdrejningsflade langs en ret linje.
En cylinder er eksempelvis en Delaunay-flade, men de kan også konstrueres mere generelt
som i nedenstående eksempel fra [9].
Eksempel 2.5.7. Vi kan indføre det holomorfe potential ξ ved
ξ = D dz
, hvor D =
z
r sλ −1 + tλ
sλ + tλ −1 −r
med s, t ∈ C, r ∈ R, st ∈ R og for z ∈ M = C\{0}. En løsning til dφ = φξ er
φ = exp(ln(z)D).
.
(2.8)

50 Konstruktion af CMC-flader
Definer ˆ F = exp(iθD) og ˆ b = exp(ln(ρ)D), hvor z = ρe iθ . Da [iθD, ln(ρ)D] = 0, får vi, at
φ = exp(ln(z)D) = exp(iθD + ln(ρ)D) = exp(iθD) exp(ln(ρ)D) = ˆ F ˆ b.
Vi har desuden, at ˆ F ∈ SU2 for alle λ ∈ S 1 , og da D 2 = κ 2 I, hvor
κ =
1
4 + st(λ − λ−1 ) 2 , fås
og ˆ b =
−1 −1 −1
ˆF
cos(κθ) + irκ sin(κθ) iκ sin(κθ)(sλ + tλ)
=
iκ−1 sin(κθ)(sλ + tλ−1 ) cos(κθ) − irκ−1
,
sin(κθ)
−1 −1 −1 cosh(ln(ρ)κ) + rκ sinh(ln(ρ)κ) κ sinh(ln(ρ)κ)(sλ + tλ)
κ−1 sinh(ln(ρ)κ)(sλ + tλ−1 ) cosh(ln(ρ)κ) − rκ−1 sinh(ln(ρ)κ)
Her kan vi Iwasawaopsplitte ˆ b = ˜ F b, hvor ˜ F ∈ SU2 for ethvert λ ∈ S 1 , og hvor potensrækkefremstillingen
af b ikke har nogen negative led i λ. Dette giver netop anledning til
Iwasawaopslitning af φ under indførelse af den ønskede ramme F = ˆ F ˜ F , der skal bruges i
Sym-Bobenkos formel. For φ har vi altså, at
φ = F b = ˆ F ˜ F b = ˆ F ˆ b.
Da ˆ b kun afhænger af ρ, gælder det samme for ˜ F og b. Tilsvarende afhænger ˆ F kun
af θ. Derfor har vi, at der under rotationen z → e iθ0 z for θ0 ∈ R indtræffer følgende
transformationer
F → exp(iθ0D)F og b → b.
Vi har endvidere betingelsen
r 2 + |s + t| 2 = 1
. (2.9)
4
Under rotationen F → exp(iθ0D)F får vi, at Sym-Bobenkos formel ændrer sig på følgende
måde
f(z) → exp(iθ0D)f(z) exp(−iθ0D) − i(∂λ exp(iθ0D)) λ=1 exp(−iθ0D). (2.10)
Det kan vises, [9], at (2.10) repræsenterer en rotation med vinkel θ0 omkring linjen
Re(s − t)
x · (− Re(s + t), − Im(s − t), r) + (0, 0,
Re(s + t) )
x ∈ R .
Dermed er f en omdrejningsflade og således en Delaunay-flade i R 3 .
Fra [11] har vi nedenstående sætning.
Sætning 2.5.8. Det holomorfe potentiale ξ defineret i (2.8), der opfylder (2.9), genererer
en Delaunay-flade i R 3 .
Typen af den genererede Delaunay-flade afhænger af valget af r, s, t.
⎧
⎪⎨ > 0 Unduloide
st = < 0 Nodoide
⎪⎩
= 0 Lineær kæde af sfærer.
En cylinder fås, når |s| = |t| = 1
4 .
.

Dressing på CMC-flader 51
2.6 Dressing på CMC-flader
I Afsnit 2.4 har vi set, at dressing-virkningen spiller en vigtig rolle i konstruktionen af
harmoniske afbildninger. Fra Lemma 2.4.4 har vi specielt, at dressing-virkningen af Λ + G C σ
opfylder [Φh·µ] = h(0)#[Φµ], således at dressing ikke ændrer vores holomorfe potentiale.
I tilfældet af CMC-flader konstureret vha. DPW-metoden kan vi som i [11] også indføre
denne type af virkning. Vi lader φ ∈ ΛSL2(C) være løsning til dφ = φξ med begyndelsesbetingelse
φ(z∗, λ) = I på en enkeltsammenhængende Riemannflade M, hvor ξ er et
holomorft potentiale. Vi indfører nu Cl = l · S 1 , hvor l ∈ (0, 1], dvs. alle cirklerne inden for
S 1 med radius l. Vi sætter da et l som subskrift på vores løkkegrupper og løkkealgebraer
for at indikere, at vi ser på afbildninger fra Cl frem for afbildninger fra S 1 . Eksempelvis
skriver vi Λ +
B,l SL2(C) frem for Λ +
B SL2(C), der er givet ved Eksempel 2.1.4. For dressing
på CMC-flader har vi nu følgende definition.
Definition 2.6.1. Antag at φ er en løsning til systemet φ −1 dφ = ξ med φ(z∗) = I,
hvor ξ er et holomorft potentiale. Vi indfører ˆ φ = h+φ, som kaldes for dressing, hvor
h+ = h+(λ) ∈ Λ +
l SL2(C).
Da h+ kun afhænger af λ, får vi hvis ˆ φ løsning til ˆ φ −1 d ˆ φ = ˆ ξ, at
ˆξ = ˆ φ −1 d ˆ φ = (h+φ) −1 d(h+φ) = φ −1 h −1
+ h+dφ = φ −1 dφ = ξ,
eftersom h+ ikke afhænger af z. Vi har således ˆ ξ = ξ, og potentialet ændres således ikke
under dressing-transformationen. Det gør den resulterende CMC-flade derimod, hvilket vi
i et eksempel vil undersøge nærmere.
Vi ønsker at studere, hvordan CMC-flader ændres under dressing-transformationen φ ↦→
ˆφ = h+φ, hvor h+ er matricen givet ved
⎛
1−α2λ2 h+ = ⎝ λ2−α2 ⎞
0
⎠ , hvor α ∈ C\{0}.
λ2−α2 0
1−α 2 λ 2
Til anvendelse af DPW-metoden skal vi først og fremmest Iwasawaopsplitte ˆ φ. Dette udføres
ved en variant af Iwasawaopsplitningen fra [11].
Sætning 2.6.2. For et vilkårligt l ∈ (0, 1] har vi en globalt defineret reel-analytisk diffeomorfi
fra ΛlSL2(C) til ΛlSU2 × Λ +
B,lSL2(C). Vi har således for et vilkårligt φ ∈ ΛlSL2(C),
at der eksisterer entydige F ∈ ΛlSU2 og b ∈ Λ +
B,lSL2(C), således at φ = F b.
Opsplitningen i Sætning 2.6.2 kaldes for l-Iwasawaopsplitningen.
Vi vender nu tilbage til vores potentiale ˆ φ fremkommet ved dressing-transformation. Vi
lader da ˆ φ = ˆ F ˆ b være l-Iwasawaopsplitningen af ˆ φ. Endvidere lader vi ˆ f være fremkommet
ved Sym-Bobenkos formel anvendt på ˆ F . Hvis |α| < l eller l −1 < |α|, har vi h+ ∈ ΛlSU2, og
fladen ˆ f har kun translation og rotation til forskel fra fladen f frembragt af det oprindelige

52 Dressing på CMC-flader
potentiale φ. Vi antager derfor, at l < |α| < 1.
I stil med [11] ser vi på C2 udstyret med det sædvandlige indre produkt 〈 · , · 〉
og lader e1, e2 ∈ C2 være de standardiserede enhedsvektorer med tilhørende underrum
A1
E1 = span{e1} og E2 = span{e2}. Vi indfører v1 =
λ−1α−1
−1 −λα A2
og v2 =
og
A2
A1
underrummene V1 = span{v1} og V2 = span{v2}, hvor F
A1 A2
= .
λ=α
A3 A4
Lad nu a = λ2 − α 2
1 − α 2 λ 2 . Vi definerer nu linearkombinationerne hE og hV af projektionerne
på Ei- hhv. Vi-underrummene for i ∈ {1, 2} ved
1
−
hE = a 2 πE1 + a 1
1
− 2 πE2 og hV = a 2 πV1 + a 1
2 πV2.
Vi har specielt, at hE = h+. Det kan endvidere let vises, at der for h −1
E
h −1
E
1
1
−
= a 2 πE1 + a 2 πE2 og h −1
1
1
−
V = a 2 πV1 + a 2 πV2.
Fra [11] har vi endvidere nedenstående resultat.
−2 |α| |A2| 2 −λα−1A1A2 −λ−1α−1A1A2 |A1| 2
og h−1
V gælder
Lemma 2.6.3. Vi kan udtrykke πV1 og πV2 på nedenstående måde ift. den sædvanlige basis
i C2 .
1
πV1 =
|A1| 2 + |α| −2 |A2| 2
|A1| 2 λα−1 λ
A1A2
−1α−1A1A2 |α| −2 |A2| 2
1
πV2 =
|A1|
2 + |α| −2 |A2| 2
.
I ΛlSU2 definerer vi matricen C ved
C =
1
|T | 2 + 1
e iθ λe iθ T
−λ −1 e −iθ T e −iθ
hvor T = A1A2(1 + α 2 )
α|A1| 2 − α|A2| 2 og θ = arg(|A1| 2 − α
α |A2| 2 ) + arg( √ −α 2 ).
Sætning 2.6.4. [11] Lad φ være en løsning til dφ = φξ på M med begyndelsesbetingelse
φ(z∗, λ) ∈ ΛlSL2(C) og lad φ = F b være l-Iwasawaopsplitning for φ. Lad endvidere hE, hV
og C være som ovenfor. For dressing-transformationen φ ↦→ hEφ, har vi, at
er l-Iwasawaopsplitning for hEφ.
hEφ = (hEF h −1
V C)
∈ΛlSU2
,
(ChV b)
∈Λ +
B,l SL2(C)

Dressing på CMC-flader 53
Bevis. Det fremgår klart, at C ∈ ΛlSU2, og dermed gælder det samme også for C −1 . Vi har
tillige, at hEF h −1
V ∈ ΛlSU2, fordi F (λ −1 ) = (F −1 (λ)) ∗ , og det samme gør sig gældende for
hE og hV , da en udregning for eksempelvis hE giver, at
hE(λ −1 ) = f(λ −1 1
−
) 2 πE1 + f(λ −1 ) 1
2 πE2,
og (h −1
E (λ))∗ =
f(λ) 1
1
− 2 πE1 + f(λ) 2 πE2
∗
= f(λ −1 1
−
) 2 πE1 + f(λ −1 1
−
) 2 πE2 = hE(λ −1 ).
For hV fås samme resultat ved en tilsvarende udregning. F er holomorf for |λ| ∈ (l, l−1 ),
og hE og hV er holomorfe for |λ| ∈ (l, l−1 ) med singulariteter, når λ = ±α, ±α−1 . Vi må
derfor tjekke, at hEF h −1
V ikke har singulariteter for disse værdier af λ.
hEF h −1
1
−
V λ=±α,±α−1 = (f 2 πE1 + f 1
2 πE2)F (f 1
1 λ=±α,±α
− 2 πV1 + f 2 πV2)
−1
= πE1F πV1 + fπE2F πV1 + f −1
πE1F πV2 + πE2F λ=±α,±α πV2
−1.
De eneste muligt forekomne singulariteter er (fπE2F πV1)
λ=±α−1 og (f −1πE1F πV2) . En λ±α
beregning viser, at singulariteter ikke vil forekomme her. Dermed har vi, at (hEF h −1
V ) ∈
ΛlSU2 og således også, at (hEF h −1
V C−1 ) ∈ ΛlSU2.
Vi mangler nu at vise, at ChV b ∈ Λ +
B,lSL2(C). Vi ved allerede, at dette er tilfældet for
b, så vi kan nøjes med at vise det samme for ChV . En beregning giver, at ChV ∈ ΛlSL2(C).
Samtidigt er ChV holomorf for |λ| ∈ (0, l) og kontinuert for |λ| ∈ (0, l] og endvidere fås
ChV ρ 0
= λ=0 0 ρ−1
|α|
, hvor ρ =
−1 |A1| 2 + |α||A2| 2
|α||A1| 2 + |α| −1 |A2| 2 ∈ R+, så ChV ∈ Λ +
B,lSL2(C). Dressing-virkningen ˆ φ = h+φ genererer således nogle CMC-flader, hvis parametriseringer
kan genereres fuldstændigt eksplicit ved at indsætte (hEF h −1
V C) i Sym-Bobenkos
formel givet ved (2.7). Vi kan imidlertid se, at ændringen fra F til (hEF h −1
V C) giver anledning
til et rimeligt kompliceret udtryk, der ikke bliver mindre kompliceret af at blive
indsat i Sym-Bobenkos formel. På denne måde er det ikke helt trivielt at indse, hvordan
den korresponderende flade ændrer sig. Denne type af CMC-flader, som vores dressingtransformation
genererer, kaldes for bubbeltons. For mere omkring bubbletons henvises der
til [11].

Kapitel 3
Harmoniske afbildninger med endeligt
unitontal
Vi har i Korollar 2.1.7 set, at alle harmoniske afbildninger kan genereres fra udvidede
løft. Vi skal studere en lignende beskrivelse, nemlig udvidede løsninger. Dette muliggør
en definition af harmoniske afbildninger med endeligt unitontal, hvilket betyder, at den
udvidede løsnings tilhørende Fourierrække kun indeholder endeligt mange led.
3.1 Udvidede løsninger
På samme måde som i Kapitel 2 lader vi i dette kapitel G være en kompakt, sammenhængende,
semisimpel matrix Lie gruppe med Lie algebra g og udstyrer endvidere G med en
bi-invariant metrik og lader M være en enkeltsammenhængende Riemannflade. I Afsnit 2.3
indførte vi de modificerede løkkegrupper og løkkealgebraer givet ved
ΩG = γ ∈ C ∞ (S 1 , G) γ(1) = e og Ωg = γ ∈ C ∞ (S 1 , g) γ(1) = 0 .
Disse er med til at muliggøre indførelsen af udvidede løsninger.
Definition 3.1.1. En glat afbildning Φ : M → ΩG kaldes en udvidet løsning, hvis den
opfylder
Φ −1 dΦ = (1 − λ −1 )α ′ + (1 − λ)α ′′
for ethvert λ ∈ S 1 , hvor α ′ og α ′′ er (1, 0)- hhv. (0, 1)-former på M med værdier i g C .
Lemma 3.1.2. Antag at g ∈ G. Der findes et γ ∈ ΩG, således at γ(−1) = g.
Bevis. Tag et g ∈ G. Da findes et X ∈ g, således at g = exp(X). Lad λ = e iθ og vælg
kurven γ ∈ ΩG givet ved
γ(λ) = exp( 1
4 (2 − λ − λ−1 )X) = exp(sin 2 ( θ
− cos θ
)X) = exp(1 X) ∈ ΩG.
2 2
Det fremgår, at γ(1) = e og γ(−1) = g.
54

Udvidede løsninger 55
Ligesom tilfældet var for udvidede løft, har vi for udvidede løsninger, at der er en vigtig
1-1 korrespondance til harmoniske afbildninger.
Sætning 3.1.3. Der gælder følgende sammenhæng mellem harmoniske afbildninger og
udvidede løsninger.
(i) Hvis Φ : M → ΩG er en udvidet løsning, er afbildningen φ : M → G defineret ved
φ(z) = Φ−1(z) harmonisk.
(ii) Hvis φ : M → G er harmonisk, så findes der en udvidet løsning Φ : M → ΩG, således
at φ(z) = Φ−1(z) for alle z ∈ M. Denne Φ er entydig op til multiplikation fra venstre
med et element γ ∈ ΩG, så at γ(−1) = e.
Bevis. (i) Antag at Φ : M → ΩG er en udvidet løsning, dvs. at
Φ −1 dΦ = (1 − λ −1 )α ′ + (1 − λ)α ′′ .
Lad θ være Maurer-Cartan formen på G med værdier i g. Lad φ : M → G være defineret
ved, at φ(z) = Φ−1(z). Vi skriver
A φ = 1
2 φ∗ θ = 1
2 φ−1 dφ = 1
2 φ−1 φz
=A φ z
dz + 1
2 φ−1 φz
=A φ
z
dz. (3.1)
Fra Korollar 1.8.2 har vi, at φ er harmonisk, hvis og kun hvis (φ −1 φz)z + (φ −1 φz)z = 0.
Med ovenstående notation får vi således, at φ er harmonisk, hvis og kun hvis
(A φ z )z + (A φ
z )z = 0. (3.2)
Vi har ydermere, at A φ opfylder Maurer-Cartan ligningen, således at
−(A φ z )z + (A φ
z )z + 2[A φ z , A φ
z ] = 0. (3.3)
Vi indfører
A φ
λ := (1 − λ−1 )A φ z dz + (1 − λ)A φ
z dz (3.4)
og får af Proposition 2.1.6, at dA φ 1
λ +
2 [Aφ λ , Aφ
λ ] = 0, hvis og kun hvis (3.2) og (3.3) gælder.
Sammenhængen mellem den udvidede løsning Φ fremkommer da på følgende måde
Φ −1 dΦ = A φ
λ = (1 − λ−1 )A φ z dz + (1 − λ)A φ
z dz, (3.5)
og vi har Φ−1 = gφ for en konstant g ∈ G, således at givet en udvidet løsning Φ, så er Φ−1
harmonisk. Det fremgår desuden, at Φ −1 Φz = (1 − λ −1 )A φ z og Φ −1 Φz = (1 − λ)A φ
z .
(ii) Antag φ : M → G er harmonisk. Vælg z0 ∈ M. Ifølge Lemma 3.1.2 findes et γ ∈ ΩG,
således at γ(−1) = φ(z0). Da Aλ indført i (3.4) opfylder, at dA φ 1
λ +
2 [Aφ λ
, Aφ
λ
] = 0, findes

56 Udvidede løsninger
der for ethvert λ ∈ S 1 et Φλ : M → ΩG, der opfylder, at Φ −1
λ dΦλ = A φ
λ og Φλ(z0) = γ(λ).
Da er Φ−1(z0) = φ(z0), og af entydighed fås det, at Φ−1 = φ.
For at vise entydighed antages det, at vi nu har to udvidede løsninger ˜ Φ og Φ til φ
med ˜ Φ−1 = φ = Φ−1. Lad η(λ) = Φλ(z0) med η(−1) = φ(z0) og ˜η(λ) = ˜ Φλ(z0) med
˜η(−1) = φ(z0) være givet. Da fås
˜η(λ)η(λ) −1 Φλ(z) z=z0 = ˜ Φλ(z0) for ethvert λ ∈ S 1 .
Dermed er ˜η(λ)η(λ) −1 Φλ(z) = ˜ Φλ(z) for ethvert λ ∈ S 1 og ethvert z ∈ M med γ(λ) =
˜η(λ)η(λ) −1 , hvor γ(−1) = e.
Fra Proposition 1.8.5 har vi, at Cartan-indlejringen er fuldstændigt geodætisk og dermed
også harmonisk. På denne måde får vi altså, at givet en harmonisk afbildning φ : M →
G/K, så er også ι ◦ φ : M → G harmonisk, og ved Sætning 3.1.3 (ii) findes der en udvidet
løsning Φ : M → ΩG, således at ι(φ(z)) = Φ−1(z) og ϕ(z) = ι −1 (Φ−1(z)).
Da vi ved Weierstrass-type repræsentationen for harmoniske afbildninger har en bijektiv
korrespondance mellem harmoniske afbildninger og holomorfe potentialer, får vi ved at
sammenfatte dette med Sætning 3.1.3, at vi også har en korrespondance mellem holomorfe
potentialer og udvidede løsninger. Hvis µ = ξdz er et holomorft potentiale, kan vi integrere
op til en entydig afbildning gµ : M → ΛG C , således at gµdgµ = µ og gµ(0) = e. Men pga.
opsplitningen ΩG × Λ + G ∼ = ΛG C fra [15], som er en variant af Sætning 2.1.5, kan vi skrive
gµ = Φµbµ, hvor Φµ : M → ΩG og bµ : M → Λ + G. (3.6)
Lemma 3.1.4. Afbildningen Φµ : M → ΩG defineret i (3.6) er en udvidet løsning.
Bevis. Da gµ = Φµbµ, får vi præcis som i beviset for Lemma 2.2.6, at
Φ −1
µ dΦµ = Adbµ(µ) − dbµb −1
µ , og at Φ −1
µ dΦµ = πΩg(Adbµ(µ)).
Men ved at skrive µ =
k≥−1 µkλ k , som er en 1-form med værdier i Λ−1,∞, fås
πΩg(Adb(µ)) = (λ −1 − 1) Adb0(µ−1) + (λ − 1)Adb0(µ−1).
Da µ−1 er holomorf 1-form med værdier i g C , kan vi skrive µ−1 = ξ−1dz for en holomorf
funktion ξ−1 : M → g, og der fås endeligt for en (1, 0)-form α ′ på M med værdier i g C , at
α ′ = − Adb0(µ−1) = − Adb0(ξ−1)dz, således at
Dermed er Φµ en udvidet løsning.
Φ −1
µ dΦµ = (1 − λ −1 )α ′ + (1 − λ)α ′′ .
Vi ser således, at det holomorfe potentiale giver anledning til en harmonisk afbildning
φµ : M → G med φµ(z) = Φµ(z) λ=−1 og φµ(0) = Φµ(0) λ=−1 = e.

Unitons i U(n) og Gk(C n ) 57
Definition 3.1.5. Mængden af twistede holomorfe potentialer er mængden Pσ defineret
ved
Pσ = µ ∈ P σ
µ tager værdier i Λ−1,∞ := Λσg C
∩ Λ−1,∞ .
Hvis nu µ ∈ Pσ, kan vi gøre nøjagtigt som ovenfor, da Pσ ⊂ P, dvs. få gµ : M → ΛGC ved integration, opsplitte gµ = Φµbµ for en udvidet løsning Φµ : M → ΩG for derefter at
konstruere den harmoniske afbildning ved Sætning 3.1.3. Men da også gµ : M → ΛGC σ, kan
vi ved Sætning 2.1.3 (i) skrive gµ = F˜b, hvor F : M → ΛGσ er et udvidet løft og ˜b : M →
Λ +
BGCσ. Ved Korollar 2.1.7 har vi den tilhørende harmoniske afbildning f : M → G/K givet
ved f = π ◦ F1. Pga. de to opsplitninger for gµ fås det, at
gµ = F ˜ b = Φµbµ
= F F −1
1
F1
˜b , således at
∈ΩG ∈Λ + G
Φµ = F F −1
1 .
Her har vi i sidste trin anvendt entydighed af opsplitningen ΛGC ι : G/K → G er Cartan-indlejringen, får vi ved at sætte λ = −1, at
∼ +
= ΩG × Λ G. Hvis
= F−1F
λ=−1 −1
= ι ◦ π ◦ F1 = ι ◦ f.
Φµ
1
= σ(F1)F −1
1
Dermed producerer Φµ og F den samme harmoniske afbildning til G/K. På denne måde har
vi altså to ækvivalente beskrivelser af harmoniske afbildninger. De kan enten beskrives ved
udvidede løsninger eller udvidede løft. I Kapitel 2 har vi set, at udvidede løft er passende
for beskrivelsen af harmoniske afbildninger genereret vha. DPW-metoden. I beskrivelsen
af harmoniske afbildninger og unitons er det imidlertid mere bekvemt at arbejde med
udvidede løsninger.
3.2 Unitons i U(n) og Gk(C n )
Vi vil først koncentrere os om tilfældet, hvor G = U(n) for bagefter at se på Grassmann
mangfoldigheder, Gk(C n ).
Sammenhængen mellem harmoniske afbildninger og udvidede løsninger er givet ved
Sætning 3.1.3, der naturligvis også kan anvendes på tilfældet G = U(n). Givet en harmonisk
afbildning φ : M → U(n) findes der altså en udvidet løsning Φ : M → ΩU(n), hvor
Φ−1 = gφ for en konstant g ∈ U(n). Vi ønsker at undersøge, hvorvidt det givet én udvidet
løsning er muligt at generere nye udvidede løsninger. Hvis dette kan lade sig gøre, er
det pga. Sætning 3.1.3 således også muligt at konstruere nye harmoniske afbildninger fra
en oprindelig, givet harmonisk afbildning. For at kunne undersøge dette nærmere må vi
introducere begrebet uniton.
Definition 3.2.1. Lad φ : M → U(n) være en harmonisk afbildning med udvidet løsning
Φ : M → ΩU(n) og lad A φ være givet som i (3.1). Lad ℓ : M → Gk(C n ) være en afbildning.
Vi kalder ℓ for en uniton til φ, hvis følgende er opfyldt

58 Unitons i U(n) og Gk(C n )
(i) π ℓ ⊥A φ z πℓ = 0,
(ii) π ℓ ⊥(∂zπℓ + A φ
z πℓ) = 0.
Ovenstående betingelser kaldes for unitonbetingelserne.
En harmonisk afbildning φ : M → U(n) kaldes af endeligt unitontal, hvis der findes en
udvidet løsning Φ med Φ−1 = gφ for en konstant g ∈ U(n), således at Φ = r k=0 λkTk. Vi
kalder tilfældet for en r-uniton, og summen
Φ = T0 + λT1 + ... + λ r Tr
kaldes for en polynomiel udvidet løsning.
Hvis dette r er det mindste af sådanne r, hvor der findes en udvidet løsning Φ med
Φ−1 = gφ for et g ∈ U(n), kaldes r for det minimale unitontal, og vi kalder tilfældet for
en minimal r-uniton.
Bemærkning 3.2.2. Hvis Φ er en udvidet løsning til φ, har vi
Φ −1 Φz = (1 − λ −1 )A φ z , hvis og kun hvis Φλ=−1 = gφ for en konstant g ∈ U(n).
Hvis T0 = 0, kan polynomiet Φ divideres med λ, som er en konstant løkke. En minimal
r-uniton vil således både have T0 og Tr forskellige fra 0.
Sætning 3.2.3. Den harmoniske afbildning φ : M → U(n) er en 1-uniton, hvis og kun
hvis φ = g(πℓ − π ℓ ⊥), hvor ℓ : M → Gk(C n ) er et holomorft delbundt, og g ∈ U(n) er en
konstant.
Bevis. Hvis φ : M → U(n) er en 1-uniton, findes der en udvidet løsning Φ : M → ΩU(n),
hvor Φ = T0 + λT1. Vi får derfor, at Φ−1 = T0 − T1 = gφ og Φ1 = T0 + T1 = I. Udnyttes
det, at Φ ∈ U(n), har vi
I = Φ ∗ Φ = (T0 + λT1) ∗ (T0 + λT1) = (T ∗ 0 + λ −1 T ∗ 1 )(T0 + λT1)
= T ∗ 0 T0 + T ∗ 1 T1 + λT ∗ 0 T1 + λ −1 T ∗ 1 T0,
T ∗ 0 T0 + T ∗ 1 T1 = I
således at
T ∗ 0 T1 = 0 = T ∗ 1 T0.
Vi ser da, at T0 = πℓ, hvor ℓ : M → Gk(C n ) er et holomorft delbundt. Endvidere haves
T1 = I − πℓ = π ℓ ⊥, så Φ = πℓ + λπ ℓ ⊥.
Da vi fra (3.5) også har, at Φ−1Φz = (1 − λ−1 )Aφ z og Φ−1Φz = (1 − λ)A φ
z , får vi ved
sammenligning af koefficienterne i λ, at
(1 − λ)A φ
z = Φ−1 Φz = (πℓ + λπ ℓ ⊥) −1 (πℓ + λπ ℓ ⊥)z
= (πℓ + λ −1 π ℓ ⊥)((πℓ)z + λ(π ℓ ⊥)z)
= πℓ(πℓ)z + πℓ⊥(πℓ⊥)z +λ πℓ(πℓ⊥)z +λ −1 πℓ⊥(πℓ)z .
=0
A φ
z
=−A φ
z

Unitons i U(n) og Gk(C n ) 59
Da π ℓ ⊥(πℓ)z = 0, har vi for ethvert σ : U ⊂ M → C n med σ ∈ Γ(ℓ), at (∂zσ) ∈ Γ(ℓ), og
dermed er ℓ et holomorft delbundt til C n .
Omvendt hvis ℓ : M → Gk(C n ) er et holomorft delbundt, så er π ℓ ⊥(πℓ)z = 0 pr.
definition, og λ −1 -leddet forsvinder. En udregning giver, at
Φ −1 Φz = πℓ(πℓ)z + λπℓ(π ⊥ ℓ )z + π ℓ ⊥(π ℓ ⊥)z
= (I − π ℓ ⊥)(πℓ)z + λπℓ(I − πℓ)z + π ℓ ⊥(I − πℓ)z
= (πℓ)z + λ(−(πℓ)z) + 0
= (1 − λ)(πℓ)z.
Her har vi benyttet, at π ℓ ⊥(πℓ)z = 0 og πℓ(πℓ)z = (πℓ)z.
Ved konjugering fås det, at
((1 − λ)(πℓ)z) ∗ = (Φ −1 Φz) ∗ og
(1 − λ −1 )(−(πℓ)z) = (Φz) ∗ Φ = (∂zΦ) ∗ Φ = (∂zΦ −1 )Φ = −Φ −1 Φz, så at
Φ −1 Φz = (1 − λ −1 )(πℓ)z.
Der fås således, at Φ = (πℓ + λπ ℓ ⊥) er en udvidet løsning.
Nedenstående sætning fortæller os endeligt set i lys af Sætning 3.1.3, at vi ved at lægge
en uniton til en harmonisk afbildning kan konstruere en ny harmonisk afbildning.
Sætning 3.2.4. Antag at Φ : M → ΩU(n) er en udvidet løsning for den harmoniske
afbildning φ : M → U(n). Antag endvidere at ℓ er uniton til φ. Da er ˜ Φ := Φ(πℓ + λπ ℓ ⊥)
også udvidet løsning.
Bevis. Lad Φ være udvidet løsning, dvs. Φ −1 Φz = (1 − λ)B. Lad ˜ Φ = Φ(πℓ + λπ ℓ ⊥). Da
fås:
˜Φ −1 ˜ Φz =(Φ(πℓ + λπ ℓ ⊥)) −1 (Φ(πℓ + λπ ℓ ⊥))z
=(πℓ + λ −1 π ℓ ⊥)Φ −1 Φz(πℓ + λπ ℓ ⊥) + Φ((πℓ)z + λ(π ℓ ⊥)z)
=(πℓ + λ −1 πℓ⊥) (1 − λ)B(πℓ + λπℓ⊥) + ((πℓ)z + λ(πℓ⊥)z)
=(πℓ + λ −1 πℓ⊥) Bπℓ + λBπℓ⊥ − λBπℓ − λ 2
Bπℓ⊥ + (πℓ)z + λ(πℓ⊥)z =λ −1 (πℓ⊥(Bπℓ + (πℓ)z)) + λ 0 (πℓBπℓ + πℓ(πℓ)z + πℓ⊥Bπℓ ⊥ − πℓ⊥Bπℓ + πℓ⊥(πℓ⊥)z)
=:C
+ λ 1 (πℓBπℓ⊥ − πℓBπℓ + πℓ(πℓ⊥)z − πℓ⊥Bπℓ ⊥) +λ
=:D
2 (−πℓBπℓ⊥). For at ˜ Φ er en udvidet løsning, skal der gælde, at ˜ Φ −1 ˜ Φz = C + Dλ = (1 − λ)C, således
at koefficienterne til λ −1 og λ 2 specielt skal være 0. Dette gør sig imidlertid gældende, da
ℓ opfylder unitonbetingelserne
(i) π ℓ ⊥(Bπℓ + (πℓ)z) = 0,

60 Unitons i U(n) og Gk(C n )
(ii) πℓBπ ℓ ⊥ = 0.
Det skal desuden gælde, at koefficienterne til λ 0 og λ 1 skal have et fortegn til forskel, dvs.
C og D skal summeres op til 0. Dette eftertjekkes
C + D = (πℓBπℓ + πℓ(πℓ)z + π ℓ ⊥Bπ ℓ ⊥ − π ℓ ⊥Bπℓ + π ℓ ⊥(π ℓ ⊥)z)
+ (πℓBπ ℓ ⊥ − πℓBπℓ + πℓ(π ℓ ⊥)z − π ℓ ⊥Bπ ℓ ⊥)
= πℓ(πℓ)z − π ℓ ⊥Bπℓ + π ℓ ⊥(π ℓ ⊥)z + πℓBπ ℓ ⊥ + πℓ(π ℓ ⊥)z
= πℓ(πℓ)z + π ℓ ⊥(I − πℓ)z + πℓ(I − πℓ)z
= πℓ(πℓ)z − π ℓ ⊥(πℓ)z − πℓ(πℓ)z
= −π ℓ ⊥(πℓ)z = 0, da ℓ er holomorf.
Fra tidligere har vi, at hvis Φ−1 = gφ, så er B = A φ
z , således at ˜ Φ er udvidet løsning, hvis
og kun hvis
(i) π ℓ ⊥(A φ
z πℓ + (πℓ)z) = 0
(ii) π ℓ ⊥A φ z πℓ = 0.
Sidste lighed følger af, at A φ z = −(A φ
z )∗ , og vi har, at ˜ Φ er en udvidet løsning, såfremt ℓ er
en uniton til φ.
Lad to holomorfe bundter E → M og F → M over M være givet sammen med en
holomorf bundtmorfi A : E → F . Ved at følge [4] kan vi få delbundter Ker A af E og Im A
af F , der stemmer overens med Ker A og Im A næsten overalt. Mht. disse bundter har vi
fra [8] nu nedenstående resultat.
Proposition 3.2.5. Lad φ : M → U(n) være harmonisk afbildning med endeligt unitiontal,
hvor Φ er en polynomiel udvidet løsning af grad r ≥ 1 med konstant led T Φ 0 = 0. Da findes
der en entydig faktorisering på formen
som opfylder betingelsen
Φ = (πℓ1 + λπ ℓ ⊥ 1 ) · ... · (πℓr + λπ ℓ ⊥ r ),
hvor ℓi er en uniton for i−1 k=1 (πℓk + λπℓ⊥ k
Ved at skrive Φi = (πℓ1 + λπℓ⊥) · ... · (πℓi 1 + λπℓ⊥ i
πℓl−1 ℓl = ℓl−1 for l ∈ {2, 3, ..., i}. (3.7)
) for ethvert i ∈ {1, ..., r}.
) for i ∈ {0, 1, ..., r} har vi endvidere, at
Φi er en polynomiel udvidet løsning, dvs. at
Φi = T Φi
0 + λT Φi
1 + ... + λ i T Φi
i
af grad, som netop er lig med i og med T Φi
0 = 0. Endvidere er
ImT Φi
0 = ℓ1 og Im(T Φi
i )∗ = ℓ ⊥ i .

Unitons i U(n) og Gk(C n ) 61
Vi kalder betingelsen i (3.7) for overdækningsbetingelsen.
I tilfældet hvor M = S 2 er alle harmoniske afbildninger med endeligt unitontal blevet
klassificeret af Uhlenbeck.
Sætning 3.2.6. [20] Enhver harmonisk afbildning φ : S 2 → U(n) har endeligt unitontal.
Da vi har S 2 = C {∞}, har vi endvidere en metode til at løfte harmoniske afbildninger
til 2-sfæren fra det komplekse plan.
Sætning 3.2.7. [20] Hvis φ : C → U(n) er en harmonisk afbildning, findes der en
harmonisk afbildning ˜ φ : S 2 → U(n) med ˜ φ C = φ, hvis og kun hvis
C
|dφ| 2 dxdy < ∞.
Vi skal som nævnt før beskrive, hvordan en uniton kan tillægges en harmonisk afbildning
ind i en Grassmann mangfoldighed. Cartan-indlejringen ιk, der er projektion fra Gk(C n )
på U(n), er central i beviset for følgende sætning, hvor vi netop udvider Sætning 3.2.4 fra
U(n) til Gk(C n ).
Sætning 3.2.8. Antag at ψ : M → Gk(C n ) er en harmonisk afbildning og Φ er en udvidet
løsning til φ = ιk ◦ ψ = πψ − π ψ ⊥. Lad ℓ være en uniton til φ, der opfylder [φ, πℓ] = 0.
Da er ˜ Φ : M → ΩU(n) givet ved ˜ Φλ = Φλ(πℓ + λπ ℓ ⊥) en udvidet løsning til en harmonisk
afbildning ˜ ψ : M → G˜ k (C n ), hvor ˜ Φ−1 = ι˜ k ◦ ˜ ψ.
Bevis. Fra (1.11) har vi, at G∗(C n ) = n
r=0 Gr(C n ) = g ∈ U(n) g 2 = I , og dermed er
det nok at vise, at hvis ˜ φ := φ(πℓ − π ℓ ⊥), så er ˜ φ 2 = I, da vi i så fald har ˜ φ ∈ G∗(C n ),
hvorfor der findes et ˜ k ∈ {0, .., n}, således at ˜ φ ∈ G˜ k (C n ). Da [φ, πℓ] = 0, hvis og kun hvis
[φ, π ℓ ⊥] = 0, får vi
φ(πℓ − π ℓ ⊥) = (πℓ − π ℓ ⊥)φ,
og dermed er ˜ φ 2 = I.
I forbindelse med DPW-metoden har vi set, at gauge-transformationer spiller en vigtig
rolle i beskrivelsen af harmoniske afbildninger, idet denne transformation bevarer den harmoniske
afbildning. Det er derfor interessant at se på hvilke konsekvenser, som en gaugetransformation
spiller i forhold til at lægge en uniton til en harmonisk afbildning.
Sætning 3.2.9. [15] Lad Φµ være en udvidet løsning med et holomorft potentiale µ ∈ P.
Den udvidede løsning Φγℓ·µ opnås ved at lægge en uniton til Φµ. Mere præcist betragtes Iwasawaopsplitningen
af gµ = Φµb og delbundtet ˆ ℓ = b0ℓ, hvor b0(z) = b λ=0 (z) med Hermitisk
projektion πˆ ℓ : C n → ˆ ℓ. Da er ℓ uniton til Φγℓ·µ og Φγℓ·µ = (πˆ ℓ|z=0 +λ−1 πˆ ℓ ⊥ |z=0 )Φµ(πˆ ℓ +λπˆ ℓ ⊥).

62 Harmoniske afbildninger og Gaussbundter
Bevis. Vi får ved en beregning, at
gγℓ·µ = (πˆ ℓ|z=0 + λ−1 πˆ ℓ ⊥ |z=0 )gµ(πℓ + λπ ℓ ⊥)
= (πˆ ℓ|z=0 + λ−1 πˆ ℓ ⊥ |z=0 )Φµb(πℓ + λπ ℓ ⊥)
= (πˆ ℓ|z=0 + λ−1πˆ ℓ⊥ |z=0 )Φµ(πˆ ℓ + λπˆ ℓ⊥) (πˆ ℓ + λ −1 πˆ ℓ⊥)b(πℓ + λπℓ⊥) .
Vi har, at ˆ b ∈ Λ+G C , eftersom ˆ ℓ = b0ℓ, hvis og kun hvis πˆ ℓ ⊥b0πℓ = 0, således at koefficienten
til λ −1 forsvinder, og ˆ b bliver holomorf for λ = 0. Tilsvarende argument kan anvendes til
ˆ b −1 . Dermed giver Iwasawaopsplitningen, at Φγℓ·µ = (πˆ ℓ|z=0 + λ−1 πˆ ℓ ⊥ |z=0 )Φµ(πˆ ℓ + λπˆ ℓ ⊥),
således at ˆ ℓ er uniton til Φµ.
En gauge-transformation svarer således til at lægge en uniton til en harmonisk afbildning.
3.3 Harmoniske afbildninger og Gaussbundter
Hvis ψ : M → Gk(C n ) er en harmonisk afbildning, har vi de holomorfe bundtmorfier
A ′ ψ , A′′ ψ : ψ → ψ⊥ . Vi kan da indføre afbildningerne G ′ (ψ) = A ′ ψ (ψ) : M → G˜ k (C n ) og
G ′′ (ψ) = A ′′ ψ (ψ) : M → G˜ k (C n ) som i [4] for et ˜ k ∈ {1, ..., n}. Dette giver sammen med
delbundterne Ker A og Im A, som vi indførte i Afsnit 3.2 anledning til følgende definition
af Gaussbundter.
Definition 3.3.1. Lad A ′ ψ og A′′ ψ være ∂- hhv. ∂-anden fundamentalformerne af ψ som
defineret i Eksempel 1.5.5. Lad den tilhørende afbildning ψ : M → Gk(Cn ) være harmonisk.
Vi definerer ∂- og ∂-Gaussbundterne G (i) (ψ) : M → G˜ ki (Cn ) ved
G (i) ⎧
Im A
⎪⎨
(ψ) =
′ ψ for i = 1
Im A ′′ ψ for i = −1
ψ for i = 0
G ′ (G (i−1) (ψ)) for i = 1, 2, 3, ...
:= ˆ b
⎪⎩
G ′′ (G (i−1) (ψ)) for i = −1, −2, −3, ...,
hvor ˜ ki ∈ {1, ..., n}. Afbildningen ψ kaldes ∂- hhv. ∂-irreducibel, hvis der gælder, at
Rank ψ = Rank G (1) (ψ) hhv. Rank ψ = Rank G (−1) (ψ) og ∂- hhv. ∂-reducibel ellers.
Definition 3.3.2. Afbildningen c ′ r(ψ) = A ′
G (r) (ψ),ψ
◦ A′
G (r−1) ◦ ... ◦ A′
(ψ) G (1) (ψ) ◦ A′ ψ kaldes for
∂-returneringsafbildningen.
Hvis c ′ r(ψ) = 0 for noget r, kaldes det mindste af disse r for isotropiordnen til ψ, og for
dette r kaldes c ′ r(ψ) for den første ∂-returneringsafbildning af ψ. Hvis c ′ r(ψ) = 0 for alle r,
kaldes ψ for isotropisk.
Vi kalder Im c ′ r(ψ) for billedet af den første ∂-returneringsafbildning.

Harmoniske afbildninger og Gaussbundter 63
Vi skal nu se, hvordan vi kan få opfyldt unitonbetingelserne for dermed at kunne konstrurere
en ny harmonisk afbildning i Gk(C n ).
Lemma 3.3.3. Lad ψ : M → Gk(C n ) være harmonisk afbildning. Lad α og β være holomorfe
delbundter af ψ hhv. ψ ⊥ , som opfylder, at
(i) A ′ ψ (α) ⊂ β, og
(ii) A ′
ψ ⊥(β) ⊂ α.
Da er γ := α ⊕ β en uniton til φ = πψ − π ψ ⊥. Den nye harmoniske afbildning ˜ ψ, som fås
ved at lægge γ til ψ, er givet ved ˜ ψ = (ψ ⊖ α) ⊕ β = (ψ ∩ α ⊥ ) ⊕ β.
Bevis. Vi skal vise, at γ opfylder unitonbetingelserne, hvilket vil sige, at
(i) ∂zγ + A φ
z γ ⊂ γ, og
(ii) A φ z γ ⊂ γ.
Vi ser først, at
A φ z = −A ψ ′ ψ, så at A φ z (α) = A ′ ψ(α) ⊂ β ⊂ γ og
A φ z
ψ⊥ = −A ′
ψ⊥, så at A φ z (β) = A ′
ψ⊥(β) ⊂ α ⊂ γ,
og dermed er anden betingelse opfyldt, da både α og β ender i γ. Lad σ : U ⊂ M → C n
opfylde, at σ(z) ∈ αz for alle z ∈ U. Da fås
∂zσ − A ′′ ψσ = ∂zσ − π ψ ⊥(∂zσ)
= πψ(∂zσ) = πα(∂zσ) + π α ⊥ ∩ψ(∂zσ)
= πα(∂zσ) ⊂ α ⊂ γ, eftersom A ′′
α,α ⊥ ∩ψ = π α ⊥ ∩ψ(∂zσ) = 0.
Dermed er første betingelse også opfyldt.
Betragt nu projektionen P := (πψ − π ψ ⊥)(πγ − π γ ⊥) anvendt på
C n = ψ ⊕ ψ ⊥ = (α ⊕ (α ⊥ ∩ ψ)) ⊕ (β ⊕ (β ⊥ ∩ ψ ⊥ ))
= α ⊕ (α ⊥ ∩ ψ) ⊕ β ⊕ (β ⊥ ∩ ψ ⊥ ).
Anvendes P fx på α, ser vi, at πψπγα = α, og at alle de andre kombinationer anvendt på
α giver 0. Tilsvarende anvendes P på de andre led, og studeres fortegnsændringerne fås
desuden P (β) = −β, P (α ⊥ ∩ψ) = −α ⊥ ∩ψ og P (β ⊥ ∩ψ ⊥ ) = β ⊥ ∩ψ ⊥ . Hvis ˜ ψ = (ψ∩α ⊥ )⊕β,
har vi derfor, at
(πψ − π ψ ⊥)(πγ − π γ ⊥) = −(π ˜ ψ − π ˜ ψ ⊥),
hvilket viser det ønskede.

64 Faktorisering af harmoniske afbildninger
Korollar 3.3.4. Hvis ψ : M → Gk(C n ) er harmonisk, så findes der et ˜ k ∈ {1, ..., n},
således at G (1) (ψ) : M → G˜ k (C n ) er harmonisk.
Bevis. Resultatet følger ved at anvende Lemma 3.3.3 på α = ψ og β = G (1) (ψ), således at
γ = ψ ⊕ G (1) (ψ), og vi får, at ˜ ψ = (ψ ⊖ α) ⊕ β = G (1) (ψ) er harmonisk.
Gaussbundtet G (1) (ψ) af en harmonisk afbildning ψ er således også harmonisk.
3.4 Faktorisering af harmoniske afbildninger
I dette afsnit betegner vi med H (k) den k’ende afledte mht. en lokal kompleks koordinat z
defineret på en Riemannflade M. Vi vil følge [8], hvorfra vi har nedenstående sætning.
Sætning 3.4.1. For ethvert r ∈ {0, 1, ..., n − 1} lader vi (Hi,j)0≤i≤r−1,1≤j≤n være r × n
matrice, hvor elementerne er meromorfe funktioner på M. Desuden lader vi φ0 ∈ U(n) og
for ethvert i ∈ {0, 1, ..., r − 1} sættes αi+1 lig delbundtet udspændt af vektorerne
K (k)
i,j =
i
s=k
C i sH (k)
s−k,j , hvor j ∈ {1, 2, ..., n} og k ∈ {0, 1, ..., i},
og hvor C i s betegner den s’ende elementære funktion af projektionerne π α ⊥ i , ..., π α ⊥ 1 givet ved
C i s =
1≤i1

Faktorisering af harmoniske afbildninger 65
Da vi kun er interesserede i at klassificere harmoniske afbildninger op til venstreækvivalens,
kan vi pga. Definition 3.4.3 antage, at φ0 = I i Sætning 3.4.1.
For i ∈ {0, 1, 2, ...} og k ∈ {0, 1, ..., i} lader vi α (k)
i+1 = span{K(k) i,j }, hvor j ∈ {1, 2, ..., n}. Da
har vi, at αi+1 = i k=0 α(k) i+1 .
Eksempel 3.4.4. Hvis eksempelvis r = 2 og n = 3, har vi matricen
H0,1 H0,2
H0,3
, hvor Hi,j : C → C 3 er meromorfe funktioner.
H1,1 H1,2 H1,3
Vi kan antage, at φ0 = I i (3.8). For i = 0 har vi, at delbundtet α1 ⊂ C 3 udspændes af
K (0)
0,1 = C 0 0H (0)
0,1 = H0,1
K (0)
0,2 = C 0 0H (0)
0,2 = H0,2
K (0)
0,3 = C 0 0H (0)
0,3 = H0,3.
Vi kan skrive α1 = α (0)
1 = span{H0,1, H0,2, H0,3}. Det andet delbundt α2 kan udtrykkes ved
en sum af de nulte og første ordens afledte α2 = α (0)
2 + α (1)
2 , hvor α (0)
2 = span{K (0)
1,j } og
α (1)
2 = span{K (1)
1,j }. Vi får for de nulte ordens afledte
og for de første ordens afledte får vi
Dermed har vi altså, at
K (0)
1,1 = C 1 0H (0)
0,1 + C 1 1H (0)
1,1 = H0,1 + π α ⊥ 1 H1,1
K (0)
1,2 = C 1 0H (0)
0,2 + C 1 1H (0)
1,2 = H0,2 + π α ⊥ 1 H1,2
K (0)
1,3 = C 1 0H (0)
0,3 + C 1 1H (0)
1,3 = H0,3 + π α ⊥ 1 H1,3,
K (1)
1,1 = C 1 1H (1)
0,1 = πα⊥H 1 (1)
0,1
K (1)
1,2 = C 1 1H (1)
0,2 = πα⊥H 1 (1)
0,2
K (1)
1,3 = C 1 1H (1)
0,3 = π α ⊥ 1 H (1)
0,3.
α (0)
2 = span{H0,1 + π α ⊥ 1 H1,1, H0,2 + π α ⊥ 1 H1,2, H0,3 + π α ⊥ 1 H1,3}
α (1)
2 = span{π α ⊥ 1 H (1)
0,1, π α ⊥ 1 H (1)
0,2, π α ⊥ 1 H (1)
0,3}.
Vi har nu, at afbilningen φ : M → U(3) defineret ved
φ =
er harmonisk med α1 og α2 som unitons.
λ=−1
(πα1 + λπα⊥)(πα2 + λπ
1 α⊥) 2

66 Faktorisering af harmoniske afbildninger
Vi kan også bruge Sætning 3.4.1 til konstruktion af harmoniske afbildninger i Grassmann
mangfoldigheder, Gk(Cn ). Vi lader G∗(Cn ) være givet ved (1.11) og ser, at Cartanindlejringen
ι : G∗(Cn ) → U(n) givet ved ι(V ) = πV − πV ⊥ er fuldstændigt geodætisk pga.
Proposition 1.8.5. Dermed er en afbildning φ : M → Gk(Cn ) harmonisk, hvis og kun hvis
ι ◦ φ = πφ − πφ⊥ : M → U(n) er harmonisk, hvorfor vi kan bruge sætningen til at generere
harmoniske afbildninger i Gk(Cn ).
I Eksempel 3.4.4 ser vi imidlertid, at hvis α1 = C 3 , så er πα⊥ = 0, og vi kan fjerne leddet
1
πα1 − π α ⊥ 1
i ovenstående udtryk. Det samme gør sig gældende, hvis α1 = {0}, og vi får
et fuldstændigt tilsvarende resultat hvis α2 = C 3 eller α2 = {0}. Dette sker eksempelvis,
hvis funktionerne H0,1, H0,2 og H0,3 er lineært uafhængige. I praksis må vi derfor vælge
en eller to af H0,j’erne til at være 0 eller vælge dem alle tre lineært afhængige, hvis vi vil
konstruere andet end trivielle harmoniske afbildninger. Men vi må altså heller ikke vælge
alle H0,j’erne til at være 0, da vi i så fald også bare vil få en konstant afbildning. Ved
at ekskludere dette tilfælde og indføre visse ekstra betingelser kan vi imidlertid bestemme
vores unitons αi entydigt.
Definition 3.4.5. Vi kalder et delbundt α af C n for fuld, hvis α ikke er indeholdt i noget
andet ægte trivielt delbundt af C n .
Sætning 3.4.6. [8] Givet en harmonisk afbildning φ : M → U(n) med minimalt unitontal
r, findes der en entydig faktorisering givet ved (3.8) i ægte unitons α1, ..., αr, som opfylder
(3.7), hvor α1 er fuld. Alle harmoniske afbildninger med endeligt unitontal og dermed alle
harmoniske afbildninger fra S 2 fås på denne måde for et r ≤ n − 1.
Bevis. Vi lader Φ være den entydige udvidede polynomielle løsning for φ. Ved Proposition
3.2.5 har vi en entydig faktorisering af ægte unitons, der opfylder overdækningsbetingelsen.
Ved at sætte λ = −1 får vi faktoriseringen som i (3.8).
Da Im T Φi
0 = Im T Φj
0 for alle i, j ∈ {1, 2, ..., r}, er Φi af type 1 for ethvert i. Specielt fås
ved at sætte i = 1, at α1 er fuld.
Omvendt givet en fakorisering som ovenfor af en harmonisk afbildning φ kan vi få en
faktorisering for en udvidet løsning Φ givet ved
Φ = (πα1 + λπ α ⊥ 1 ) · ... · (παr + λπ α ⊥ r ).
Da α1 er fuld, fås det, at Φ er af type 1, og faktoriseringen af φ er entydig.
Korollar 3.4.7. Lad φi for i ∈ {0, 1, ...} være en følge af harmoniske afbildninger, hvor
hver φi er givet ved
φi = φ0(πα1 − π α ⊥ 1 ) · ... · (παi − π α ⊥ i )
for en konstant afbildning φ0 og en følge af unitons α1, ..., αi, som opfylder (3.7). Antag at
α1 er fuld. Da har φi minimalt unitontal lig med i.
Ved at følge [8] kan vi klassificere de harmoniske afbildninger op til multiplikation af
en konstant fra venstre og eventuel sammensætning med Cartan-indlejringen, hvis de harmoniske
afbildninger går ind til G∗(C n ).

Faktorisering af harmoniske afbildninger 67
Eksempel 3.4.8. (i) En harmonisk afbildning φ : M → U(n) har unitontal 0, hvis og
kun hvis den er konstant. Enhver harmonisk afbildning φ : M → U(1) med endeligt
unitontal er konstant.
(ii) En harmonisk afbildning φ : M → U(n) har unitontal 1, hvis og kun hvis det er
en holomorf afbildning ind i en Grassmann mangfoldighed Gd1(C n ), hvor 1 ≤ d1 =
Rank α1 < n. Hvis α1 ikke er fuld, kan vi udskifte dette med et større delbundt, som
er fuld. Enhver harmonisk afbildning φ : M → U(2) af endeligt unitontal, som ikke
er konstant, har unitontal 1 og er således en holomorf afbildning M → CP (1).
(iii) Hvis φ : M → U(3) er en harmonisk afbildning af endeligt unitontal, som ikke er
konstant, har vi mulighederne, at φ
(a) har unitontal 1 og er givet ved en holomorf afbildning φ : M → Gd1(C n ), hvor
d1 ∈ {1, 2}, eller
(b) har unitontal 2 og er givet ved (3.8) med uniton α1 og α2, der har Rank 1
hhv.
H0,1
2, hvor α1 er fuld. Ved anvendelse af Sætning 3.4.1 har vi søjlen , så
α1 = span{H0,1} og α2 = span{H0,1 + π α ⊥ 1 H1,1, π α ⊥ 1 H (1)
0,1}.
(iv) Hvis φ : M → U(4) er en harmonisk afbildning med endeligt unitontal, som ikke er
konstant, har vi mulighederne
(a) at φ har unitontal 1 og er givet ved en holomorf afbildning φ : M → Gd1(C 3 ),
hvor d1 ∈ {1, 2, 3}
(b) at φ har unitontal 2 og er givet ved (3.8) med unitons α1 og α2. Hvis α1 og α2
har Rank 1 hhv. 2, hvor α1 er fuld, er disse givet på samme måde som i tilfældet
φ : M → U(3). Hvis α1 og α2 har Rank 1 hhv. 3, hvor α1 er fuld, har vi
H1,1
α1 = span{H0,1} og α2 = span{H0,1 + π α ⊥ 1 H1,1, π α ⊥ 1 H1,2, π α ⊥ 1 H (1)
0,1}.
Hvis α1 og α2 har Rank 2 hhv. 3, hvor α1 er fuld, kan det vises, at
α1 = span{H0,1, H (1)
0,1} og α2 = span{H0,1 + π α ⊥ 1 H1,1, H (1)
0,1 + π α ⊥ 1 H1,2, π α ⊥ 1 H (1)
0,1}.
(c) at φ har unitontal 3 og er givet ved (3.8), og hvor de tre unitons α1, α2 og α3
har Rank 1, 2 og 3 med α1 fuld. Det kan vises, at de er givet ved
α1 = span{H0,1}, α2 = span{H0,1 + π α ⊥ 1 H1,1, π α ⊥ 1 H (1)
0,1}
α3 = span{H0,1 + (π α ⊥ 1 + π α ⊥ 2 )H1,1 + π α ⊥ 2 π α ⊥ 1 H2,1,
(π α ⊥ 1 + π α ⊥ 2 )H (1)
0,1 + π α ⊥ 2 π α ⊥ 1 H (1)
1,1, π α ⊥ 2 π α ⊥ 1 H (2)
0,1}.

Kapitel 4
Endelig type vs. endeligt unitontal
I Kapitel 3 har vi studeret, hvordan nye harmoniske afbildninger kan konstureres fra
oprindelige harmoniske afbildninger ved at lægge en uniton til den oprindelige afbildning,
og hvilke konsekvenser dette indebærer. Endvidere har vi indført harmoniske afbildninger
med endelig type som værende afbildninger, hvis potentiale kan skrives på en konstant form
og set, hvordan gauging påvirker denne type af harmoniske afbildninger. I dette kapitel vil
vi kombinere disse to typer af harmoniske afbildninger og således undersøge, hvorvidt vi
kan sige noget om harmoniske afbildninger, som både har endeligt unitontal og er af endelig
type.
4.1 Gaussbundter af endelig type
Vi lader igen M betegne en enkeltsammenhængende Riemannflade. Vi vil først koncentere
os om harmoniske afbildninger af endelig type og vise, at Gaussbundterne til denne klasse
af afbildninger er harmoniske afbildninger af endelig type. Dette kræver en hjælpesætning,
idet vi må vise, at der for en harmonisk afbildning af endelig type gælder, at også det
ortogonale komplement til denne afbildning er af endelig type.
Lemma 4.1.1. Hvis ψ : M → Gk(C n ) er en harmonisk afbildning af endelig type, er også
ψ ⊥ harmonisk afbildning af endelig type.
Bevis. Antag ψ er af endelig type, dvs. ψ = π ◦ Φλ=1, hvor π : U(n) → Gk(C n ), og Φ :
M → ΩU(n) er den tilhørende udvidede løsning. Ved anvendelse af Iwasawaopsplitningen
findes der et b : M → Λ+GLn(C), så at Φb = gµ, hvor µ = λ (d−1) ηdz for η ∈ Ωdu(n) og et
ulige d. Vi har π(g) = g(C k × {0}) ⊂ C n , således at
g(C k × {0}) ⊥ = g(C k × {0}) ⊥ = g({0} × C n−k ).
Dermed har vi
ψ ⊥ = Φλ=1{0} × C n−k = ˜π ◦ Φλ=1,
68

Gaussbundter af endelig type 69
hvor ˜π : U(n) → Gn−k(C n ). Dermed er ψ ⊥ også af endelig type, eftersom den samme
udvidede løsning Φ bruges til projektionen på Gn−k(C n ).
Vi kan nu vise følgende resultat vedrørende Gaussbundter.
Sætning 4.1.2. Lad ψ : M → Gk(C n ) være harmonisk afbildning af endelig type. Da er
G (r) (ψ) en harmonisk afbildning af endelig type for ethvert r ∈ Z.
Bevis. Vi kan antage, at ψ(0) = C k × {0} = W er et givet underrum, hvor σ = πW − π W ⊥
er den tilhørende automorfi. Vi lader K = U(n)/U(k)×U(n−k) være isotropiundergruppe
til U(n) for ψ(0). Lad ydermere µ = λ (d−1) ηdz ∈ Pσ være konstant σ-twistet holomorft
potentiale for et ulige d ∈ N, og hvor η =
|k|≤d ηkλ k ∈ Ωdu(n) til ψ. Vi har, at
σ(η(λ)) = η(−λ) og får derfor σ(η−d) = −η−d.
Dermed er η−d ∈ m C = X ∈ u(n) C σ(X) = −X . Vi kan opsplitte m C = m + ⊕ m − , hvor
Dermed får vi
m + = Hom(ψ(0), ψ(0) ⊥ ) og m − = Hom(ψ(0) ⊥ , ψ(0)).
η−d = η +
−d
∈m +
+ η −
−d
Vi deler nu beviset op i to dele, alt afhængigt af r’s fortegn. Vi starter med at koncentrere
os om tilfældet r < 0. Vi definerer ℓ0 := Ker η −
−d . Vi ønsker at anvende Sætning 2.3.3 på
ℓ0, således at det kan konkluderes, at Φγℓ ·µ giver anledning til en harmonisk afbildning
0
af endelig type. Vi må derfor vise, at πℓ⊥η−dπℓ0 = 0. Da ℓ0 = Ker η
0 −
−d , har vi η−
−dπℓ0 = 0,
således at
∈m −
π ℓ ⊥ 0 η−dπℓ0 = π ℓ ⊥ 0 η +
−d πℓ0.
Da η +
−d ∈ m+ , har vi, at η +
−d ψ(0) ⊥ = 0, og således er også η +
−dπℓ0 = 0, hvorfor vi får en
harmonisk afbildning af endelig type.
Vi vil nu vise, at denne harmoniske afbildning præcis er G (−1) (ψ). Vi kan anvende
Lemma 3.3.3 for α = 0 og β = Ker A ′
ψ⊥. Vi ser trivielt, at A ′′
α,α⊥ = 0, fordi α = 0.
∩ψ
Udnyttes harmonicitet for ψ⊥ , får vi
A ′
ψ⊥πψ ⊥∂zβ = πψ∂z A ′
ψ⊥β .
=0
Dermed er π ψ ⊥∂zβ ⊂ β, så A β,β ⊥ ∩ψ ⊥ = 0, og β er også et holomorft delbundt. Vi får
ydermere, at
Dermed fås
β = Ker A ′
ψ ⊥ = (Im A ′′ ψ) ⊥ ∩ ψ ⊥ , og således er β ⊥ ∩ ψ ⊥ = Im A ′′ ψ = G (−1) (ψ).
˜ψ = (ψ ⊖ α) ⊕ β = ψ ⊕ β = G (−1) (ψ) ⊥ .
.

70 Endelig type og endeligt unitontal
Ved Lemma 4.1.1 er G (−1) (ψ) af endelig type, hvorved påstanden fås. Ved at gentage
processen iterativt kan resultatet udvides til G (r) (ψ) for r < 0.
For r > 0 ser vi på bundtet ℓ1 := ψ(0) + Im η +
−d . Da η+
−d : ψ(0) → ψ(0)⊥ , får vi
πℓ⊥η−dπℓ1 = π
1 ℓ⊥η 1 +
πℓ1 −d + πℓ⊥η 1 −
−d
=0
=0
πℓ1 = 0.
Dermed er γℓ1 ∈ Sµ ved Sætning 2.3.3. Vi skal nu vise, at Φγℓ 1 ·µ svarer til G (1) (ψ), der i så
fald er en harmonisk afbildning af endelig type. Vi får, at
A ′ ψ + A ′
ψ ⊥ = Adb0(η−d) = b0η +
−d b−1
0 + b0η −
−d b−1
0 . (4.1)
Heraf fremgår det, at Im A ′ ψ = b0 Im η +
−d , og dermed er A′ ψ
ψ(z) og b0(z) : ψ(0) ⊥ → ψ(z) ⊥ , får vi
b0ℓ1 = b0ψ(0) + b0 Im η +
−d
= ψ(z) + Im A
=α
′ ψ .
=β
Ved anvendelse af Lemma 3.3.3 til α og β, fås endeligt
˜ψ = (ψ ⊖ α) ⊕ β = β = Im A ′ ψ = G (1) (ψ).
= b0η +
−d . Da b0 = b0(z) : ψ(0) →
Dermed er G (1) (ψ) en harmonisk afbildning af endelig type. Ved at gentage processen
iterativt fås det ønskede for G (r) (ψ) også for r > 0.
Bemærkning 4.1.3. Af (4.1) fremgår det, at A ′ ψ +A′ ψ⊥ = Adb0(η−d), således at A ′ ψ specielt
ingen singulære punkter har, hvorfor Rank A ′ ψ er bevaret for enhver harmonisk afbildning
ψ : M → Gk(Cn ), som er af endelig type.
4.2 Endelig type og endeligt unitontal
Vi skal nu endeligt kombinere de to typer af harmoniske afbildninger og undersøge, hvorvidt
man kan sige noget om harmoniske afbildninger, som både har endeligt unitontal og er af
endelig type. Vi vil betragte harmoniske afbildninger φ : C → CP n . Når G (1) (φ) = Im A ′ φ ,
tager vi i hvert punkt de afledte og projicerer væk fra φ. Dermed har vi specielt på samme
måde som i [7], at
G (1) (φ) = span{φ} ⊥ ∩ span{φ, φz}.
Tilsvarende for G (2) (φ) = A ′
G (1) (φ) ◦ A′ φ (φ) projiceres der væk fra både φ og φz. Vi har da
G (2) (φ) = span{φ, φz} ⊥ ∩ span{φ, φz, φzz}
og generelt G (k) (φ) = span{φ, φz, φzz, ..., φzz · ... · z
k−1
} ⊥ ∩ span{φ, φz, φzz, ..., φz · ... · z
k
Harmoniske afbildninger med endeligt unitontal fra C til CP n kan karakteriseres ved holomorfe
funktioner på følgende måde.
}.

Endelig type og endeligt unitontal 71
Sætning 4.2.1. [14] Lad φ : C → CP n være en harmonisk afbildning. Da har φ endeligt
unitontal, hvis og kun hvis φ = G (j) (f) for en holomorf afbildning f : C → CP n og et
j ∈ Z.
Ved at inkludere harmoniske afbildninger af endelig type kan vi nu vise følgende sætning.
Sætning 4.2.2. Lad φ : C → CP n være harmonisk afbildning, som er dobbeltperiodisk, af
endelig type, og som har endeligt unitontal. Da er φ konstant.
Bevis. Lad T 2 være den tilhørende 2-torus. Da φ : C → CP n er dobbeltperiodisk og
harmonisk, er også φ : T 2 → CP n harmonisk.
Hvis det antages, at φ er holomorf, så ved vi, at A ′′ φ = G(−1) (φ) = 0. Det påstås nu, at
G (k) (φ) ⊥ G (l) (φ) for k = l, thi for k > l, har vi, at
〈G (k) (φ), G (l) (φ)〉 = 〈φ, G (l−k) (φ) 〉.
=0
Det samme gør sig naturligvis gældende, hvis k < l ved tilsvarende argument. Dette viser,
at der findes et r ≥ 0, så at G (r+1) (φ) = 0. Hvis φj := G (j) (φ), har vi desuden, da φ er af
endelig type fra Sætning 4.1.2, at φj er af endelig type for alle j. Vi har således, at hver
A ′ φj : φj → φj+1 ingen singulære punkter har, og Rank A ′ φj
er bevaret ved Bemærkning
4.1.3. Vi får da en induceret vektorbundtmorfi givet ved afbildningen A ′ φj : φj → φj+1.
Da både φj og φj+1 begge er 1-dimensionelle, eftersom vi er i CP n , er (A ′ φj )z bijektiv for
ethvert j, der opfylder, at 0 ≤ j < r og for ethvert z ∈ C.
Da T 2 er orienterbar og kompakt, kan vi tillige for et bundt ℓ på T 2 beregne den første
Chern-klasse c1(ℓ). Da A ′ φj er en isomorfi, er φj ∼ = φj+1, hvilket betyder, at de første
Chern-klasser er ens. Dermed har vi, at
c1(φ0) = c1(φ1) = ... = c1(φr).
Ved Lemma 1.6.3 får vi for de første Chern-klasser, at
c1(φj) = i
Trace R =
2π
i
2π
Af de to ovenstående ligninger fremgår det specielt, at
c1(φ0) = 1
r + 1
T 2
r
c1(φj) =
j=0
T 2
|A ′ φj−1 |2 − |A ′ φj |2
dz ∧ dz.
i
2π(r + 1) T 2
′
|A φ−1 |2 − |A ′ φr |2 dz ∧ dz.
Men φ0 er holomorf, således at φ−1 = Im A ′′ φ0 = 0, og A′ φ−1 = 0. Tilsvarende da φr
antiholomorf, fås A
er
′ = 0, og vi har
φr
0 = c1(φ0) = i
2π T 2
′
|A φ−1 |2 − |A ′ φ0 |2 dz ∧ dz = − i
2π T 2
|A ′ φ0 |2dz ∧ dz.

72 Endelig type og endeligt unitontal
Dette kan kun lade sig gøre, hvis A ′ φ0 = 0. Dermed er φ = φ0 både holomorf og antiholomorf
og er således nødsaget til at være konstant.
For det generelle tilfælde antages det, at φ : T 2 → CP n ikke nødvendigvis er holomorf,
men af endelig type og med endeligt unitontal. Da fås ved Sætning 4.2.1, at φ = G (j) (f)
for en holomorf afbildning f : T 2 → CP n . Men da φ er af endelig type, er følgen af
Gaussbundter endelig som ovenfor. Specielt er f = G (−j) (φ), og da f både er af endelig
type og har endeligt unitontal, fordi f er holomorf, er f konstant. Vi får således, at φ = f,
hvilket viser, at φ også i dette tilfælde er konstant.
Hvis en harmonisk afbildning på en torus både er af endelig type og har endeligt unitontal,
er den således konstant.
Det kunne være interessant at undersøge hvor mange harmoniske afbildninger φ : M →
CP n , der rent faktisk er af endelig type, og om der i så fald kunne gives nogle eksempler
på dette. Vi introducerer først begreberne k-ortogonalitet, superminimalitet og superkonformalitet.
Definition 4.2.3. En harmonisk afbildning φ : M → CP n kaldes k-ortogonal, hvis k på
hinanden efterfølgende Gaussbundter G (i) (φ), ..., G (i+k−1) (φ) er indbyrdes ortogonale.
En harmonisk afbildning φ : M → CP n kaldes superminimal, hvis den er (n + 1)ortogonal,
og der gælder A ′ φk = 0 og A′′ φ−k = 0, hvor φk hhv. φ−k er det sidste hhv. første
Gaussbundt.
En harmonisk afbilding φ : M → CP n kaldes superkonform, hvis den er (n + 1)ortogonal,
men ikke superminimal.
Hvis eksempelvis n = 4, har vi, at k = 2 og for (n+1)-ortogonalitet haves opsplitningen
af bundter
φ−2 ⊕ ⊥ φ−1 ⊕ ⊥ φ0 ⊕ ⊥ φ1 ⊕ ⊥ φ2 = C 5 .
Følgen af Gaussbundter er periodisk, således at vi fra φ2 kommer tilbage til φ−2, hvis og
kun hvis φ : M → CP 4 er superkonform. Hvis derimod φ : M → CP 4 er superminimal,
har vi pr. definition holomorficitet. Specielt kan det endvidere vises, at enhver harmonisk
afbildning φ : M → CP 1 enten er holomorf eller superkonform, [2].
For superkonforme torusser haves der endvidere en sammenhæng med harmoniske afbildninger
af endelig type.
Proposition 4.2.4. [2] Enhver superkonform harmonisk afbildning φ : T 2 → CP n er af
endelig type.
Eksempel 4.2.5. Vi kan anvende ovenstående resultat. I stil med [18] betragter vi afbildningen
φ : C → CP 2 givet ved
φ(z) = e z−z , e ζz−ζz , e ζ2z−ζ 2
z
, hvor ζ = e 2πi
3 .
Vi ser, at φ er dobbeltperiodisk i både den reelle og imaginære retning med 2π
√ 3 hhv. 2πi,
således at vi for T 2 = C/ 〈 2π
√3 ,2πi〉 i virkeligheden har φ : T 2 → CP 2 . Da vi endvidere for

Afsluttende kommentarer 73
Gaussbundterne har, at
G (j) (φ) = φj(z) =
e z−z , ζ j e ζz−ζz , ζ 2j e ζ2z−ζ 2
z
for j = 0, 1, 2,
og da G (3) (φ) = G (0) (φ) = φ, har vi altså periodicitet og således et tilfælde af superkonformalitet,
hvorfor det pga. Proposition 4.2.4 følger, at φ er en harmonisk afbildning af
endelig type. Da φ ikke er en konstant afbildning, følger det således af Sætning 4.2.2, at φ
ikke kan have endeligt unitontal.
I [2] fås der endvidere følgende udvidelse af Proposition 4.2.4.
Proposition 4.2.6. Enhver superkonform harmonisk afbildning φ : T 2 → S 2m er af endelig
type.
4.3 Afsluttende kommentarer
Sætning 4.2.2 illustrerer således, at harmoniske afbildninger af endelig type og harmoniske
afbildninger med endeligt unitontal er vidt forskellige, idet en harmonisk afbildning, der
opfylder begge egenskaber er triviel, såfremt afbildningen er defineret på en torus og går ind
i det komplekse projektive rum. Da Ohnita og Udagawa, [13], endvidere har vist, at enhver
harmonisk afbildning fra en torus til det komplekse projektive rum enten er af endelig type
eller har endeligt unitontal, bliver forskelligheden af de to slags harmoniske afbildninger
for alvor understreget.
Man kunne efterfølgende stille spørgsmål om, hvad der ville gælde for harmoniske afbildninger,
der går ind i en vilkårlig Grassmann mangfoldighed og ikke bare CP n . Pacheco
undersøger dette og generaliserer således også Sætning 4.2.2 i [14], idet han viser, at enhver
harmonisk afbildning, som både er af endelig type og har endeligt unitontal fra en torus
til en Grassmann mangfoldighed, er konstant, hvis den er overdækket af en speciel type
af holomorf afbildning kaldet superhorisontal. Denne betingelse er i beviset nemlig med til
at implicere, at følgen af Gaussbundter er endelig nøjagtigt som i beviset for Sætning 4.2.2.
At en harmonisk afbildning fra en Riemannflade til en kompakt Lie gruppe er overdækket
af en superhorisontal afbildning, svarer til en udvidet løsning, som er invariant under
virkningen fra S 1 . Ved at konstruere en totalt geodætisk indlejring af denne kompakte Lie
gruppe til U(n) kan Pacheco i [14] ydermere anvende Sætning 4.2.2 til at vise nøjagtigt som
i tilfældet af harmoniske afbildninger fra T 2 til CP n , at enhver harmonisk afbildning fra T 2
til S n , som både er af endelig type, og som har endeligt unitontal, er konstant. Da Ohnita
og Udagawa i [13] samtidigt og analogt med CP n har vist, at enhver harmonisk afbildning
fra en torus til n-sfæren enten er af endelig type eller er harmonisk med endeligt unitontal,
bliver forskelligheden af de to slags harmoniske afbildninger endnu en gang belyst. Alt i
alt har vi således, at enhver harmonisk afbildning fra T 2 til enten CP n eller S n enten er en
harmonisk afbildning af endelig type eller en harmonisk afbildning med endeligt unitontal.
Hvis den harmoniske afbildning tilfredsstiller begge egenskaber, er den endvidere nødsaget

74 Afsluttende kommentarer
til at være konstant.
Det kunne være interessant at foretage en yderligere undersøgelse af harmoniske afbildninger
og samspillet mellem de to egenskaber. Dette har eksempelvis Burstall og Pedit i [3]
gjort, idet de har vist, at enhver harmonisk afbildning φ af endelig type fra C med kompleks
koordinat z til en matrix Lie gruppe G, som har φ −1 φz semisimpel, ikke har endeligt
unitontal. Burstall og Pedit viser endvidere, at dette implicerer, at der for enhver dobbeltperiodisk
harmonisk afbildning φ fra C til G, hvor φ −1 φz tager værdier i en semisimpel
bane, gælder, at φ er af endelig type og derfor ikke kan have endeligt unitontal, [3].
I forbindelse med Sætning 4.2.2 og den efterfølgende diskussion af harmoniske afbildninger
fra T 2 til enten CP n eller S n rejser der sig imidlertid endnu et interessant spørgsmål
op, nemlig hvorvidt vi kan udvide resultatet, således at der gælder, at alle harmoniske afbildninger
fra en 2-torus til et vilkårligt kompakt symmetrisk rum af rank 1 enten er af
endelig type eller har endeligt unitontal. Dette viser sig imidlertid ikke at være tilfældet,
idet Pacheco i slutningen af [14] viser eksistens af ikke-konstante harmoniske torusser i
det kvaternioniske projektive rum, HP n , som hverken er af endelig type eller har endeligt
unitontal. Der må således findes andre harmoniske afbildninger fra T 2 til HP n end disse
to kategorier, hvorfor det kunne være interessant om muligt at klassificere alle harmoniske
torusser i HP n . I tilfældene n = 2 og n = 3 er de harmoniske afbildninger fra T 2 til HP n
imidlertid blevet klassificeret af Udagawa i [19], idet enhver harmonisk afbildning fra T 2
til HP 2 eller HP 3 er af endelig type, har endeligt unitontal eller fås ved en harmonisk afbildning
af endelig type til en Grassmann mangfoldighed, efter at et endeligt antal unitons
er blevet lagt til afbildningen. For n > 3 er klassifikationen af de harmoniske afbildninger
fra T 2 til HP n dog stadigvæk et åbent spørgsmål ifølge Pachecos artikel fra 2009, [14],
hvorfor dette kunne være af stor interesse at undersøge nærmere. Specielt kunne det være
spændende at studere hvilken egenskab ved HP n , der bevirker, at denne tredje kategori af
harmoniske afbildninger eksisterer.

Litteratur
[1] L. V. Ahlfors og L. Sario, Riemann Surfaces, Princeton Mathematical Series, No. 26,
Princeton University Press, Princeton, N. J., 1960.
[2] J. Bolton et al., Minimal surfaces and the affine Toda field model, J. reine angew.
Math. 459 (1995), 119-150.
[3] F. E. Burstall og F. Pedit, Harmonic maps via Adler-Kostant-Symes theory, in:
A. P. Fordy, J. C. Wood, Harmonic Maps and integrable systems, Aspects Math.,
E23, Vieweg, Braunschweig, (1994), 221-272.
[4] F. E. Burstall og J. E. Wood, The Construction of Harmonic Maps into Complex
Grassmannians, J. Differential Geometry. 23 (1986) 255-297.
[5] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Engelwood
Cliffs, N.J., 1976.
[6] J. Dorfmeister, F. Pedit og H. Wu, Weierstrass type representation of harmonic maps
into symmetric spaces, Comm. Anal. Geom. 6 (1988), 633–668.
[7] J. Eells og J. C. Wood, Harmonic maps from surfaces to complex projective spaces,
Advances in Math. 49 (1983), 217–263.
[8] M. J. Ferreira, B. A. Simões og J. C. Wood, All harmonic 2-spheres in the unitary
group, completely explicitly, Springer-Verlag (2009), 953-978.
[9] S. Fujimori, S. Kobayashi og W. Rossmann, Loop Group Methods for Constant Mean
Curvature Surfaces, arXiv:math/0602570v1 [math.DG] 25 Feb 2006.
[10] S. Helgason, Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces Pure and Applied
Mathematics, 80. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New
York-London, 1978.
[11] S. Kobayashi, Bubbletons in 3-dimensional space forms, Balkan J. Geom. Appl. 9
(2004), 44-68.
[12] I. Madsen og J. Tornehave, From Calculus to Cohomology, De Rham cohomology and
characteristic classes (1997).
75

76 LITTERATUR
[13] Y. Ohnita, S. Udagawa, Harmonic Maps of Finite Type Into Generalized Flag Manifolds
and Twistor Fibrations, Contemporary Mathematics, vol. 308 Amer. Math. Soc.,
(2002).
[14] R. Pacheco, On harmonic tori in compact rank one symmetric spaces, Diff. Geom.
Appl. 27 (2009), 352–361.
[15] N. Correia og R. Pacheco, Adding a uniton via the DPW method, Internat. J. Math.
20 (2009), 997–1010.
[16] R. W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan’s Generalization of Klein’s Erlangen
Program, Springer, 1997.
[17] M. Svensson, Polynomial Harmonic Morphism, Lunds Univeristet, 1998.
[18] M. Svensson and J. C. Wood, New Constructions of Twistor Lifts for Harmonic Maps,
preprint (2011).
[19] S. Udagawa, Harmonic tori in quaternionic projective 3-spaces, Proc. Amer. Math.
Soc. 125 (1997) 275-285.
[20] K. Uhlenbeck, Harmonic maps into Lie groups: classical solutions of the chiral model,
J. Differential Geom. 30 (1989), 1–50.