Matematik for lærerstuderende Omega 4.-10 ... - Samfundslitteratur

Matematik for lærerstuderende 

Omega 

4.-10. klassetrin 

71190_omega_4k.indd 1 27-06-2008 10:13:42


John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess 

og Hans Christian Hansen 




Forlaget Samfundslitteratur 


John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen 




1. udgave 2008 

© 2008, Forlaget Samfundslitteratur 

Omslag: Imperiet 

Tegninger: John Kehlet Schou 

Forlagsredaktion: Ole Jørgensen 

Projektledelse: Thomas Bestle 

Sats og tryk: Narayana Press, Gylling 

Printed in Denmark 2008 

ISBN 978-87-593-1338-1 

Figur 1-4 er gengivet fra Folkeskolens Afgangsprøve i matematisk problemløsning, 

dec. 2007 med tilladelse fra Styrelsen for evaluering og kvalitetsudvikling 

i grundskolen. Figur 2-2 stammer fra de Bild: P.-F. Verhulst. 

Figur 3-2 er gengivet fra Marianne Holmer og Svend Hessing: Faktor 

Arbejdsbog 9, Malling Beck 1995, med forfatternes og forlagets tilladelse. 

Figur 3-11 er gengivet fra Tomas Højgaard Jensen, Lene Hvilsom Larsen, 

Bo Boisen Pedersen og Helle Sonne: Matematrix 9: Grundbog, Alinea 

2002, med forfatternes og forlagets tilladelse. Figur 9-7 stammer fra Lancelot 

Hogben: Videnskab for Hvermand, 1939. Figur 6-7 er fotograferet af 

John Kehlet Schou. Figur 11-7 stammer fra Den Fantastiske Bogstaver i 

3D, der ser ud som om de står op, men faktisk ligger ned, -raport af Stine, 

Vergo, Sidsel, Anja og Signe 3.z. Figur 14-7 er en fotokollage udført af John 

Kehlet Schou. Figur 17-1 © Regina Stinson 2000. Figur 17-4 stammer fra 

www.ilord.com og er gengivet med fotografens tilladelse. 

Forlaget Samfundslitteratur 

Rosenørns Alle 9 

1970 Frederiksberg C 

Tlf. 38153880 

Fax 35357822 

www.biofolia.dk 

Alle rettigheder forbeholdes 

Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået 

aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. 

Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser. 


Indhold 

Forord 11 

dEl I AT ModEllERE VERdEn MEd MATEMATIK 

Introduktion 17 

1 Matematiske modeller og modellering – hvad er 

det, og hvorfor undervises der i dem? 21 

Matematiske modeller og matematisk modellering 22 

Matematisk modellering 23 

Modelanvendelse 36 

Formål med modellering i skolen 40 

Opsamling på kapitel 1 44 

2 Vækstmodeller 45 

Lineær vækst 46 

Genkendelse af lineær vækst i skolen 47 

Eksponentiel vækst 50 

Logistisk vækst 56 

Logistisk vækst som model for antal organismer i lukkede 

miljøer 58 

Den kontinuerte model for logistisk vækst 62 

Tilpasning af logistisk vækst til datamateriale 64 


3 Rentesregning 71 

Termin og rentetilskrivning 74 

Simpel rentesregning 75 

Nominel og effektiv rente 80 

Annuiteter – opsparing 81 

Annuiteter – gæld 86 

Indhold · 5 


Formel for gældsannuitet 88 


4 At tilpasse kurver til punkter 97 

Lineær regression – mindste kvadraters metode 98 

Bedste rette linje på øjemål og med computerprogrammer 101 

Hvor godt passer modellen? 104 

Ikke-lineære modeller 106 

Symbolkompetence via lineær regression med formler 109 


5 Usikkerhedsberegning 115 

Teorien for tilnærmet regning 116 

Fejl på summer og differenser 118 

Fejl på produkter og brøker 120 

Tilnærmet regning i skolen 123 


6 Modellering som generel strategi til 

matematikundervisning 127 

Emergerende modeller hos RME 129 

Relationen mellem matematik og omverden 131 

Model-frembringende aktiviteter hos Lesh og hans kolleger 133 

Modellering og problemløsning 137 

Mål med matematisk modellering i undervisningen 139 


dEl II GEoMETRI 


7 Geometriundervisning i grundskolens sidste trin 149 

Geometri som kulturel aktivitet 150 

At arbejde med form: repræsentationer og begrebsdannelse 154 

Fischbein og figurale geometriske begreber 156 

Van Hieles niveauer 158 

Geometriundervisning i skolen 163 

6 · Indhold 


Logo og Myresnak 163 

Dynamiske geometriprogrammer 164 

Geometriske ræsonnementer 167 


8 Klassisk geometri 173 

Klassisk trekantsgeometri, hvorfor? 173 

Afstandsbestemmelsens geometri 174 

Bevis for Thales’ sætning 176 

Sætningen om ensvinklede trekanter 178 

Thales’ sætning skabt af og anvendt i praksis 180 

Andre beviser baseret på Thales’ sætning 185 

Fischbeins overraskende undersøgelse af et bevis 186 

Trekantens klassiske linjer 187 

Pythagoras’ sætning 189 

Vinkler ved cirklen 197 


9 Trigonometri 205 

Trigonometriens definitioner 206 

Beregninger i den retvinklede trekant 208 

Formler 210 

Beregninger i en vilkårlig trekant (3 sider) 213 

Sinusrelationerne 214 

Cosinusrelationerne 218 

Trigonometri i skolen? 220 

Landmåling og geometri i naturen 223 


10 Analytisk geometri 229 

Afstande i planen 231 

Midtpunkt af et linjestykke 232 

Den rette linje 233 

Vinkelrette linjer 236 

Geometriske steder 238 

Parablen som geometrisk sted 241 

Skæring mellem geometriske figurer 249 

Løsning af den generelle andengradsligning 252 

Indhold · 7 


Geometrisk repræsentation af ligningsløsning 253 

Opsamling på kapitel 10 255 

11 Parameterfremstillinger 259 

Parameterfremstilling for en ret linje 259 

Perspektivtegning 261 

Kasteparabler 266 


12 Modellering i geometriens univers 271 

Færdigudviklede modeller for geometriske målinger 271 

Descartes’ drøm 273 

Det firedimensionale rum 274 

Trigonometriske funktioner som modelleringsredskab 276 

Simulering af bølger 277 

Modellering ved hjælp af et dynamisk geometriprogram 279 

Optimal placering af en fælles brønd 279 


dEl III SToKASTIK 


13 Kombinatorik 293 

Udvælgelse 303 

Ordnet udvælgelse uden tilbagelægning 304 

Uordnet udvælgelse uden tilbagelægning 307 

Ordnet udvælgelse med tilbagelægning 313 

Uordnet udvælgelse med tilbagelægning 314 


14 S andsynligheds fordelinger og indledende 

induktiv statistik 319 

Hypergeometrisk fordeling 324 

Binomialfordeling 333 

Statistiske test – anvendt sandsynlighedsregning 338 

Acceptmængde, kritisk mængde og fejl af 1. og 2. art 340 

8 · Indhold 


Normalfordeling 346 

Kontinuert stokastisk variabel 347 

Normalfordelingen 352 

Hvor godt passer data? 358 


15 At ræsonnere om data 369 

Med fokus på datasæt 371 

Elevers forståelse af “gennemsnit” 372 

Mokros og Russels undersøgelse 372 

Konold og Pollatseks forslag 378 

Cobb og hans kollegers arbejde 380 

Boxplots som analyseværktøj 383 

Sammenhænge mellem variable 386 

Cobb og hans kolleger om samvariation 390 


dEl IV TAl, TAlTEoRI oG KodER 


Udviklingen af talteori i skolens læreplaner 398 

16 Anvendt talteori 403 

Klassiske skoleanvendelser af primfaktoropløsning 404 

Bestemmelse af antal divisorer i et tal 404 

Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 405 

Primiske tal 407 

Euklids udvidede algoritme 408 

Eulers phi-funktion, φ 410 

Moduloregning 411 


17 Koder og kryptering 417 

De dansende mænd 419 

Cæsars kode 420 

Vigéneres kode 421 

Enigma 425 

Indhold · 9 


Moderne systemer 426 

Kryptering ved hjælp af offentlig og privat nøgle 426 

Hvor sikker er RSA? 431 


18 Komplekse tal 435 

Om at kunne løse ligninger – en historie om talmængderne 436 

De komplekse tal – et legeme? 442 

Komplekse tal på flere måder 444 


Referencer 451 

Stikordsregister 455 

10 · Indhold 

71190_omega_4k.indd 10 27-06-2008 10:13:43

Forord 

Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linjefaget 

i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det 

giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig 

til den kommende praksis. Der er næsten tildelt den dobbelte studietid til 

linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal 

kvalificere sig til at undervise på seks af skolens årgange. 

Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen 

mod grundskolens mellem- og sluttrin. Kravene til eleverne og 

lærerne på dette trin er ikke noget statisk, så uddannelsen må sikre, at nye 

lærere er bredt funderet, så de – med støtte fra den efteruddannelse de kan 

få gennem årene – er i stand til at tilrettelægge god matematikundervisning 

under varierende vilkår gennem hele deres professionelle liv. 

De aktuelle bestemmelser for faget i skolen i form af Fælles Mål II er en 

vigtig faglig pegepind, men fortæller os langt fra alt, hvad der skal være 

matematiklærerens faglige fundament. Kravene i den gældende danske 

læreruddannelse er naturligvis meget mere vidtgående – både hvad angår 

fagdidaktik og det rent matematikfaglige fx områder som testteori og digitale 

koder. Det er disse omfattende krav, ω-bogen tilgodeser. 

Fælles Mål II er i øvrigt i god overensstemmelse med den kompetenceorienterede 

tilgang, som vi allerede lagde vægt på i fællesbogen ϒ, hvor vi i 

starten af hvert kapitel skrev, hvilke kompetencer der i særlig grad var i spil 

i kapitlet. Vi havde specielle kapitler eller afsnit om problemløsningskompetence, 

ræsonnementskompetence, tankegangskompetence, repræsentationskompetence 

samt symbol- og formalismekompetence – ligesom vi i 

didaktikbogen δ havde et helt kapitel om kommunikation. 

Selv om alle kompetencer er i spil i alle vores faglige bøger, har vi planlagt, 

at modelleringskompetencen skulle have en særligt fremtrædende plads i 

denne bog, ω-bogen. Meget i den nyere udvikling i faget går på, at matematik 

i anvendelse skal have en stærkere plads i skolen. Som et grundlag herfor 

er der i læreruddannelsen brug for at udvikle en modelleringskompetence, 

hvor matematikken står i et dialogisk forhold til anvendelsen. 

FoRoRd · 11 


Brugeren af dette lærebogssystem, Matematik for lærerstuderende, vil 

være bekendt med, at det fælles grundlag for de efterfølgende specialiseringer 

blev skabt med fællesbogen ϒ og gennem et indledende arbejde med 

fagdidaktikken i δ. 

I overensstemmelse med den aktuelle danske læreruddannelse er dette 

lærebogssystem tænkt, så uddannelsen til aldersspecialisering 6.-10. kl. integrerer 

stof svarende til bøgerne ϒ , δ og ω. Selv om nærværende bog 

ω således er den eneste af de tre, der udelukkende henvender sig til de 

studerende i denne aldersspecialisering, må de to øvrige bøger løbende 

tænkes ind. Dette gælder ikke mindst fagdidaktikken i δ, der er tænkt læst 

over begge de to år, den samlede uddannelse til matematiklærer for 6.-10. 

kl. tager. 

Men en vigtig del af fagdidaktikken er medtaget i selve ω-bogen, nemlig 

den såkaldte stofdidaktik. Det vil sige, at vi i hver del i bogen har didaktiske 

overvejelser om, hvorfor det valgte stof er af betydning, og hvordan elever 

lærer det. Selve den store sammentænkning af alle elementerne til forberedelse 

og gennemførelse af en virkelig undervisningssituation ligger uden 

for lærebogsformatet, skønt den selvfølgelig er slutmålet. Vi prøver dog med 

passende oplæg i form af opgaver, undersøgelser og ‘overvej og diskuter’ at 

simulere situationer i den daglige undervisning, der kan støtte det større 

sammentænkningsprojekt, der jo især vil stå sin prøve i praktikken og siden 

i en professionel karriere. 

Strukturen af denne bog 

Denne bog ω har altså en særlig vægtning af stof, der vedrører sluttrinnet 

og en særlig vægtning af modelleringskompetencen, men er i øvrigt 

struktureret, så den afspejler intentionerne i den aktuelle bekendtgørelse 

for matematik i læreruddannelsen. 

Den falder derfor i fire dele: modeller og modellering, geometri, stokastik, 

talteori og koder. I begyndelsen af hver del findes en indledning, 

der udtrykker intension og sammenhæng i kapitlerne i denne del. Vores 

modelleringsdel kan opfattes som en kombination af algebra og matematik 

i anvendelse, men har dog selve modelleringsaktiviteten som endemål. 

Vender vi os til sidst mod kapitelniveauet, så er der i begyndelsen af hvert 

kapitel en punktopdelt oversigt over hensigten med kapitlet. Og vi slutter 

hvert kapitel med en opsamling, der består af et eller flere forslag, der skal 

12 · FoRoRd 


få den studerende til at se tilbage og danne sig et overblik over, hvad der 

er arbejdet med og lært i kapitlet. For den studerende, der har brug for at 

læse meget på egen hånd, findes der besvarelsesforslag til udvalgte opgaver 

på bogens hjemmeside. 

Vi har stræbt efter at holde denne bog nede på en overskuelig størrelse. Vi 

skrev først en bog, der var for stor, derfor måtte vi udelade nogle videregående 

matematiske emner og i øvrigt gennemgå manus med en tættekam 

mhp. at formindske bogen. I denne proces fandt vi opgaver eller andet materiale, 

som vi gerne stadig vil give læseren adgang til. Det er kort markeret 

fx som ‘Opgave 12 (netopgave)’ efterfulgt af en kort beskrivende tekst. Den 

fulde opgave eller tekst findes på bogens hjemmeside hos Forlaget Samfundslitteratur, 

www.forlagetsl.dk/ (søg på ‘Omega’) på linket ‘netopgaver’. 

De ligger samme sted som forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. 

København, juni 2008 

John Schou, Jeppe Skott, Kristine Jess og Hans Christian Hansen 

FoRoRd · 13 



dEl I · 

AT ModEllErE VErdEn MEd 

MATEMATIK 



InTroduKTIon 

Matematik kan karakteriseres på mange måder. Faget kan fx ses som en deduktivt 

opbygget struktur, som en måde at lede efter mønstre og systemer i fx 

tal og former på, som en værktøjskasse med metoder til at løse praktiske problemer 

med, eller som en del af det at være demokratisk dannet. Men uanset 

hvilke perspektiver der lægges på matematik, er der næppe nogen, der vil se 

bort fra, at faget kan bruges til at bearbejde forskellige omverdensproblemer 

med. Matematikfaget har altså relationer til en verden uden for sig selv. Det 

er de relationer mellem faget selv og ‘omverden’, der er i fokus, når man taler 

om matematiske modeller. Matematiske modeller har altså en tæt forbindelse 

til matematikkens anvendelser i ikke-matematiske sammenhænge. 

Der er flere grunde til, at vi har valgt at fokusere på matematiske modeller 

i denne første del af en lærebog til undervisere på grundskolens sidste trin. 

For det første har ikke-matematiske anvendelser af matematik altid været en 

væsentlig del af diskussionen om fagets berettigelse som skolefag, og diskussionerne 

om målene med modeller i undervisningen er ikke blevet mindre i 

de sidste år (jf. δ-bogen, kapitel 12 og13). Internationalt er der således stor 

opmærksomhed på, hvilken rolle modeller kan spille for matematikundervisningen, 

og i Danmark har diskussionerne bl.a. givet sig udslag i, at en af 

de otte matematiske kompetencer i KOM-rapporten (Niss & Jensen (red.) 

2002) er en kompetence i at behandle matematiske modeller. Der er altså 

en vigtig fagdidaktisk diskussion om matematiske modeller i tilknytning til 

matematikundervisningens begrundelsesproblem. 

For det andet kan de begrundelser, der i en given undervisningssituation 

ses som de vigtigste for at undervise i og om modeller, få indflydelse 

på, hvordan man mere konkret griber arbejdet an. Selv om man ikke kan 

udlede en undervisningspraksis alene af en begrundelsesdiskussion, er der 

en kobling mellem begrundelserne og praksis. Som lærer må man kunne 

forholde sig til denne kobling og overveje, hvordan en konkret undervisning 

i modeller kan tilrettelægges, så den er i rimelig overensstemmelse med de 

begrundelser, der er en del af dens udgangspunkt, og løbende reflektere 

over, om praksis udvikler sig tilsvarende. 

InTRodUKTIon · 17 


Og for det tredje er det af indlysende vigtighed, at man som lærer kender 

til en række af de modeller, der kan bringes i anvendelse, og fagligt behersker 

en del af dem, når nu de er blevet en central del af undervisningen. 

Ved siden af at man generelt skal kende til diskussionerne om modellernes 

rolle i matematikundervisningen, skal man altså som underviser selv kunne 

arbejde kvalificeret med modeller af forskellig slags. Også af den grund må 

matematiske modeller få en betydelig plads i en matematiklæreruddannelse. 

På den baggrund har vi valgt i denne del af bogen at introducere en række 

af de matematiske modeller, der i særlig grad kan kvalificere læseren til 

undervisning i 7.-10. klasse. I kapitel 2 skal vi således se på matematiske 

beskrivelser af vækst, dvs. af kvantitative forandringer over tid. Det kan være 

forandringer i befolkningers størrelse, i økonomisk formåen, i stråling fra 

radioaktive materialer eller i andre fænomener. I forbindelse med vækst forsøger 

man at beskrive, forudsige eller evt. foreskrive, hvad der karakteriserer 

en sådan forandring. Det er der udviklet omfattende matematiske modeller 

til, og det er nogle af dem, der er omdrejningspunktet i kapitel 2. 

I kapitel 3 ser vi på noget, der til dels også har med vækst at gøre, men 

vækst af en ganske særlig slags: renter. Det er et område, som traditionelt 

spiller en stor rolle i grundskolens sidste klassetrin. Vi skal her udvide diskussionen 

med en behandling af, hvordan man matematisk kan beskrive 

opsparings- og afbetalingssituationer. 

I kapitel 4 skal vi behandle sammenhænge mellem variable. Man kan fx 

have fundet nogle sammenhørende værdier mellem årstal og lærerlønninger, 

mellem 9. klasseelevers højde og vægt, eller mellem hastighed og bremselængde, 

når man kører på cykel. Man er så ofte interesseret i at udtale sig 

om en generel sammenhæng og ikke bare om de relativt få værdier, man 

har målt eller fundet på anden måde. Værdierne kan så afsættes i et koordinatsystem, 

og man kan overveje, om der er kurver, der passer godt med 

dem. Det er sådanne overvejelser, vi skal gøre os i kapitel 4: Kan vi tilpasse 

kurver til punkter? 

I kapitel 5 lægger vi en anden synsvinkel på de punkter, der er udgangspunktet 

for kurvetilpasningen i kapitel 4. Punkterne er resultat af målinger 

af forskellig slags, og målinger er ofte behæftet med usikkerhed og målefejl. 

I dette kapitel skal vi arbejde med, hvad der sker med sådanne fejl, hvis 

man skal regne videre på resultatet af en måling, fx fordi det indgår i en 

18 · dEl I · AT ModEllERE VERdEn MEd MATEMATIK 


formel af en slags. Hvor stor er fx usikkerheden på beregningen af arealet 

af en cirkel, hvis der er en usikkerhed på målingen af radius på 5 %? Det 

generelle problem, vi skal behandle, er altså, hvilken usikkerhedsmargin der 

må lægges ind i beregninger, når de baserer sig på målinger. 

I kapitel 2, 3, 4 og 5 ser vi altså på eksempler på det at arbejde med matematiske 

modeller, og vi lægger hovedvægt på de tekniske sider af sagen: Hvilke 

metoder kan man bruge, og hvilke usikkerheder er der involveret, når man 

vil behandle et omverdensproblem matematisk? Kapitel 1 og 6 pakker på 

forskellig vis disse tekniske spørgsmål ind i nogle mere generelle synsvinkler 

på matematiske modeller og deres rolle i undervisningen. 

I kapitel 1 skal vi diskutere, hvad en matematisk model overhovedet er: 

Hvad mener vi, når vi taler om matematiske modeller og om matematisk 

modellering? Som nævnt drejer en matematisk model sig om relationen 

mellem noget matematik og en omverdenssituation, og at modellere er at 

udvikle den matematik, der skal bruges, dvs. at bygge modellen. Der kan 

imidlertid siges meget mere om forståelserne af de to ord, modeller og 

modellering, og i praksis bruges de forskelligt i forskellige sammenhænge. 

Disse forskelle i sprogbrug afspejler ofte forskelle i opfattelsen af målene med 

matematikundervisning, og de får praktisk-pædagogiske konsekvenser: Hvis 

man lægger hovedvægt på én type forståelser af en model, vil undervisningen 

typisk tage én form, mens den med andre forståelser ofte vil se anderledes 

ud. Der er således en forbindelse mellem undervisningens formål, forståelsen 

af, hvad en matematisk model er, og hvordan undervisningen gribes an. Det 

er disse forbindelser, kapitel 1 drejer sig om. 

I det sidste kapitel i vores behandling af modeller, kapitel 6, skal vi relatere 

diskussionen af modeller og modellering til en mere generel tilgang til 

matematikundervisning. Man kan – med udgangspunkt i en af de forståelser 

af model og modellering som vi diskuterer i kapitel 1 – argumentere for, at 

elevernes aktivitet i matematiktimerne generelt skal kunne karakteriseres 

som en modelleringsaktivitet. Man knytter da ofte modellering til matematisk 

problemløsning. Det at løse matematiske problemer bliver da set 

som at bygge stadigt mere avancerede matematiske modeller af den situation, 

der behandles. Det bliver hermed sat til diskussion, om arbejdet med 

matematiske modeller skal være en aktivitet, der skal supplere den øvrige 

undervisning i relativt isolerede perioder, eller om modellering skal ses som 

en generel tilgang til matematikundervisning. 

InTRodUKTIon · 19 



1 

MATEMATIsKE ModEllEr 

og ModEllErIng – hVAd 

Er dET, og hVorFor 

undErVIsEs dEr I dEM? 

Vi sagde i indledningen til dette afsnit, at begreberne om en matematisk 

model og om matematisk modellering bruges på forskellig vis i forskellige 

sammenhænge. Desuden gjorde vi opmærksom på, at der kan tænkes – og 

har været anvendt – ganske forskellige begrundelser for at give matematisk 

modellering en plads i skolen. Endelig kan der tænkes forskellige tilgange 

til, hvordan der skal arbejdes med matematisk modellering. 

I dette kapitel skal vi arbejde med idéerne om en matematisk model og om 

matematisk modellering. Vi sætter således scenen til arbejdet med modeller 

ved at se på spørgsmålet: hvad mener vi, når vi siger modeller og modellering? 

Vi skal se på, hvordan begreberne er blevet brugt og lave en model 

af matematisk modellering, en modellerings-model. Desuden skal vi gøre 

rede for nogle begrundelser for at arbejde med modeller i undervisningen 

og for nogle af de måder, det kan gøres på. 

Når vi genoptager diskussion i kapitel 6, er den primære hensigt at koble 

modellering til problemløsning og i den sammenhæng knytte modelleringsdiskussionen 

til nogle mere generelle syn på matematikfaget i skolen. I dette 

kapitel foregår den indledende begrebsafklaring med en modelleringsopgave 

for grundskolens sene klassetrin som gennemgående eksempel. 

Efter læsning af dette kapitel er det hensigten, at læseren kan: 

– Skelne mellem forskellige måder at benytte termen en matematisk model 

på. 

KAPITEl 1 · MATEMATISKE ModEllER oG ModEllERInG · 21 


– Gøre rede for indholdet i og relationerne mellem forskellige trin i en 

matematisk modelleringsproces. 

– Forholde sig til forskellige begrundelser for at arbejde med matematiske 

modeller og anvendelser af matematik i undervisningen. 

– Skelne mellem grundlæggende måder at arbejde med modeller på i skolen. 

MATEMATISKE ModEllER oG 

MATEMATISK ModEllERInG 

Man har at gøre med matematiske modeller i alle de tilfælde, hvor matematik 

bringes i anvendelse for at analysere eller beskrive en situation eller et 

problem fra omverdenen. Det har man også, når faget bruges til at forudsige 

eller foreskrive, hvordan en given situation kan udvikle sig, eller et bestemt 

problem kan håndteres. Fx har man med matematiske modeller at gøre, når 

man bruger matematik til at: 

– lave et overslag over, hvor mange elever der går på skolen, 

– vurdere, om der er benzin nok i tanken til, at man kan komme hjem, 

– undersøge, om der er sammenhæng mellem lærerstuderendes køn og 

deres valg af første linjefag, 

– forudsige udviklingen i bestanden af kaniner på en ø, 

– bestemme, hvor meget der skal udbetales i erstatning fra forsikringsselskabet 

for en stjålet cykel, 

– analysere en mulig sammenhæng mellem skattetryk og økonomisk 

vækst, 

– forudsige klimakonsekvenserne af en stadigt voksende biltrafik. 

I ethvert arbejde med en matematisk model arbejder man således både med 

et omverdensfænomen (elever på skolen, lærerstuderendes fagvalg, kaniner 

osv.) og med en matematisk beskrivelse af det (en række udregninger, en 

statistisk sammenhæng, en funktionsforskrift osv.). Matematisk modellering 

drejer sig da om forholdet mellem to til dels adskilte verdener, én der har 

omverdenskarakter, og én der (i højere grad) er matematisk. 



Matematisk modellering 

Matematikverden 

Omverdenssituation 

Figur 1. Matematik og omverden. 

Der kan stilles forskellige krav til de omverdenssituationer, der anvendes som 

udgangspunkt for at arbejde med matematisk modellering i grundskolens 

ældste klasser. Situationerne skal gerne eksemplificere, at matematik kan 

benyttes i forbindelse med reelle omverdensproblemer af en vis vigtighed. 

Desuden skal det om muligt dreje sig om situationer, som eleverne selv kan 

se betydningen af at forholde sig til, enten for at kunne tage beslutninger 

om dem eller bare for blive klogere på dem. Sådanne omverdenssituationer 

vil vi kalde autentiske. 

Det er imidlertid ikke altid en enkel sag at benytte autentiske situationer 

som udgangspunkt for modellering, ja måske er det nærmest principielt 

umuligt. Det komplicerede består i, at autentiske anvendelser af matematik 

ofte bliver meget komplicerede, både matematisk og kontekstuelt. Dels er 

den matematik, der skal anvendes, ofte meget mere kompleks end det, der 

er fagligt muligt i grundskolen; dels kræver anvendelsen af matematik i 

forbindelse med fx økonomiske, naturvidenskabelige eller andre tilsvarende 

sammenhænge forståelser af disse områder, som eleverne ikke har mulighed 

for at udvikle. 

Desuden kan man sige, at det i en vis forstand er umuligt at arbejde med 

autentiske modeller. Det skyldes, at i samme øjeblik et autentisk eksempel 

bliver til et undervisningseksempel, der er taget ud af sin oprindelige sammenhæng, 

mister det sin autenticitet. 

Disse forbehold ændrer dog ikke ved, at der i undervisningen kan tages 

i hvert fald et semi-autentisk udgangspunkt. Det betyder, at eleverne kan se 

sig selv i situationer, som det kunne være vigtigt for nogen at blive klogere 

på og forholde sig til ved at anvende matematik. Vi skal benytte et sådant 



semi-autentisk eksempel for at uddybe, hvad der menes med en matematisk 

model og med matematisk modellering. 

Eksempel 1 

Et modelleringseksempel: Kan vi lave en gensidig cykelforsikring? 

I løbet af foråret og sommeren har der på skolen været en del cykeltyverier. 

Da eleverne møder efter sommerferien, er deres reaktion 

en blanding af aggression og irritation. Aggressionen er rettet mod 

de ukendte gerningsmænd, mens irritationen gælder politiet pga. de 

manglende opklaringer og forsikringsselskaberne pga. små erstatninger 

(“Det kan da godt være, at den cykel var 1½ år gammel, men den 

havde ikke en skramme!”). 

Fordi det har en aktuel interesse, inspireret af, at nogen har hørt om 

en motorcykelklub, der har lavet en gensidig forsikringsordning, og 

fordi der er gode muligheder for at anvende matematik, beslutter de i 

9. c at undersøge, om en indbyrdes forsikringsordning kan organiseres 

blandt eleverne i overbygningen. Der kommer prompte en reaktion fra 

nogle elever: “det bliver da aldrig til noget!” Alligevel er der enighed 

om, at det kunne være en meget sjov ting at undersøge. 

Overvej/diskuter 1 

Forestil jer, at I er lærere i 9. c. Gennemtænk, hvordan den nævnte 

undersøgelse kan foregå. Læg særlig vægt på, hvilke spørgsmål der 

konkret skal findes svar på, og hvilken matematik eleverne kan forventes 

at skulle udvikle eller bringe i anvendelse for at finde dem. 

Situationen ovenfor kan give anledning til en lang række overvejelser om 

fx: 

– hvor stor risikoen egentlig er for at få en cykel stjålet, 

– hvad de stjålne cykler kostede, da de var nye, 

– hvad cykelhandleren tager for brugte cykler, 

– hvordan antallet af stjålne cykler udvikler sig år for år, 

– hvor stor en økonomisk sikkerhedsmargin man skal regne med, dvs. hvor 

meget skal hver betale det første år, hvis ikke det nye selskab skal gå fallit 

med det samme, 

– og sikkert mange flere. 



Disse spørgsmål kan man forsøge at svare faktuelt på. Det kan ske ved 

at indsamle data over antallet og prisen på de stjålne cykler; ved at se på 

forsikringsoplysningens hjemmeside; og ved at eksperimentere med kuglemodeller 

på computeren. 

Men derudover skal eleverne tage stilling til det centrale spørgsmål om 

erstatningens størrelse. Opgaven er, at de skal skrive en instruktion på dansk 

og på ‘matematisk’ (dvs. i form af forskrift) til den sekretær i ‘forsikringsselskabet’, 

der skal beregne og udbetale erstatningen. I forlængelse af instruktionen 

på ‘matematisk’ skal eleverne konstruere et regneark, som sekretæren 

skal arbejde med. 

Opgave 1 

Løs opgaven med at finde erstatningsbeløbet, som den er beskrevet 

ovenfor, på måder, som I tror, en 9. klasse ville gøre det. 

Find selv mere avancerede løsninger, hvor I inddrager flere relevante 

variable i løsningen. 

Lav i hvert tilfælde et regneark, som sekretæren kan bruge til at finde 

erstatningsbeløbet ved hjælp af. 

I elevernes arbejde med at finde en rimelig erstatning får spørgsmålet om 

cyklernes pris og alder snart en plads (“- man skal da ikke have en formue 

for en gammel havelåge!”). Desuden diskuterer eleverne for eksempel, om 

der skal være en selvrisiko; om der skal være en maksimumsgrænse for, 

hvor meget man kan få udbetalt uanset cyklens nypris; om man skal have 

flere penge, hvis cyklen er velholdt; og om nogle cykelmærker holder prisen 

bedre end andre. 

Johan, Freja, Kristin og Gustav arbejder også med spørgsmålet om erstatningsbeløbets 

størrelse. Deres indledende overvejelser går på, hvad der skal 

tages i betragtning. Også hos dem bliver alder hurtigt et emne: 

Gustav: Det ville jo være ærgerligt, hvis man lige havde fået en ny cykel 

og så fik den stjålet, og man fik lige så meget som en, der har haft den 

i 10 år! 

[…] 



5 

10 

15 

20 

25 

30 

35 

Freja: […] man kan sige, at en cykel er en cykel, også selv om den så er 

10 år gammel, så er den jo stadigvæk, så skal man jo stadigvæk have de 

samme penge for at få en ny. 

Johan: Ja. 

Gustav: Men den er jo ikke det samme værd efter 10 år. 

Freja: Ja, det kan man jo så diskutere. Fordi den er jo//den kan jo stadigvæk 

nogenlunde de samme ting, den er jo stadigvæk et transportmiddel. 

Så man skal vel have så mange penge, så man kan få et nyt transportmiddel, 

kan man sige, en ny cykel. 

Johan: Hm, hm (bekræftende). 

Gustav: Altså af en vis kvalitet. 

Kristin: Altså, man kunne jo finde ud, hvad den cykel kostede, altså hvis 

man skulle købe den samme cykel igen. 

Johan: Altså, man skal jo nok have nogenlunde det samme tilbage som 

man har betalt for den. 

Andre: [bekræfter]. 

Gustav: Det afhænger lidt af, hvad det er for en cykel. 

Freja: Så skal man bare finde ud af, hvor meget, der skal trækkes fra; for 

hvert år, afhængig af, hvor gammel den er. 

Der bliver efterhånden enighed om, at alder spiller en rolle, og de fire elever 

tager skridt til mere konkrete initiativer (så en skal skrive, og en skal lave 

en matematisk udregning, samtidig). De er godt i gang med det, da en ny 

variabel kommer ind i billedet: 

Freja: Men altså, der er jo også nogen der falder hurtigere i værdi end 

andre. Fordi hvis du køber en rigtig kvalitetscykel, så er der også nogen 

ting, der holder helt af sig selv. Sådan lakeringen og sådan. 

Johan: Kvaliteten af cyklen tæller og sådan noget. 

Kristin: Ja. 

Gustav: Det skal så være noget med startprisen eller sådan noget. 

Freja: Det hører også ind under startprisen, men der er også nogen, der 

taber prisen hurtigere end andre. 

Kristin: Men tror du ikke også, det er//det er vel bare de billige, der taber 

hurtigt. 

Gustav: Ja. 

[Andre bekræfter] 



40 

45 

50 

55 

60 

Johan: Så det kan godt være, at man i stedet for procent bare skal finde 

et beløb, og hvis den så er dyrere, så er det så flere penge, man får … end 

for en billig cykel. 

Freja: Jeg tror det er bedre med procenter … end med tal. For det kommer 

an på, hvordan vi vil bruge det tal, for hvis det bare er et tal om året 

generelt for hver cykel, så er det jo//så har vi måske ikke taget så meget 

i forhold til forskellighed cykler imellem. 

Johan: Nej, men så hvis du tænker, så også hvis du tager procenter, som 

vi har snakket om, så vil, hvad hedder det, de cykler der er dyre, de vil 

jo falde hurtigere i værdi, ikke// 

Freja: //ja, ja det er rigtigt. [tonen er “Nåh, ja det er klart, men det havde 

jeg ikke lige tænkt på”] 

Gustav: De vil tabe meget mere. 

Johan: De vil tabe meget mere. Så hvis man kan finde to forskellige pro// 

Freja: //men hvis den kostede, altså jo dyrere den var, jo færre procent 

ville der blive trukket fra pr. år. 

Johan: Ja. 

Gustav: Så kunne vi lave sådan … 

Freja: … et skema, 

Gustav: Et skema, så hvis det koster over det, så er det så det procentantal, 

der bliver trukket fra, og sådan. 

Kristin: Lidt lige som med skat på en måde. 

Gustav: Ja. Jo mere man tjener, jo mere bliver der trukket fra, og … 

Freja: Ja, lige præcis. 

Gustav: Men jo mere den koster, jo mindre bliver der trukket fra. Så det 

er sådan det omvendte af skat. 

Blandet enighed: Ja, ja. 


Del citatet ovenfor op i sektioner, fx i linje 24-34, linje 35-56 og linje 

57-62. (I kan godt vælge andre inddelinger). 

Overvej og diskuter, hvad der sker i de forskellige sektioner. Hvordan 

forholder aktiviteten i hver sektion sig til den overordnede intention 

om at udvikle en beregningsmetode for erstatningsbeløbet? 

Hvad er det faglige indhold i hver sektion? 



Således bliver cyklens kvalitet – operationaliseret som dens pris – en del af 

diskussionen. Efter en længere diskussion om, hvad en cykel overhovedet 

koster, producerer gruppen tabellen i figur 2. De bliver da spurgt, om de 

også kan finde en beregningsmetode, som sekretæren kan benytte, evt. bare 

for en af prisgrupperne. 

Figur 2. 

Gustav: Vi tager den nemmeste. 

Freja: Så hvis cyklen er, nå nej, det kommer an på, hvad den har kostet. 



65 

70 

75 

80 

85 

90 

95 

100 

Hvis nu den har kostet 400 kr., ikke. Og den er, hvor gammel er den? 

Kristin: Den er … 

Gustav: Den er 1 år. 

Freja [skriver: 400 – 1 ∙ 20; det er linje 2 under skemaet i figur 2]: Sådan 

her. 

Gustav: Ja. Det er jo rigtigt nok. 

Johan: Det er ganske almindelig procentregning, er det ikke? 

Gustav: Hvad? 

Johan: Er det ikke procentregning? 

Gustav: Hvad//så//det er faktisk x gange 20, fordi … 

Freja: Ja, men sådan her//når man ved tallene, så er det jo bare … 

Gustav: Ja, så er det sådan der. 

[…] 

Johan: Du skal jo, formlen, den skal jo sådan være generel, ikke? 

[…] 

Gustav: Altså, hvis det alt sammen, det skal være sådan noget, som man 

kan sætte ind// 

Johan://så skal der være x og sådan noget, ikke// 

Gustav: //så skal der være x, y, og et eller andet andet. 

Freja: Det skal være 20 % og ikke kroner. 

Kristin: [uhørligt] 

Freja: Det må være// 

Kristin og Freja i kor://400 divideret med 100 

Freja: … gange 1 gange 20, ikke? [skriver 400: 100 ∙ 1 ∙ 20; det er en del af 

den øverste linje under skemaet, hvor der nu står 400 i stedet for y] 

Johan: Ja, gange 20, ikke? 

Freja: Ja, men vi skal jo have året med ind i formlen ikke, hvis det var to 

år, så var det, vi siger, den var to år gammel// 

Johan: …parentes// 

Freja: //to år gammel, så siger vi, nej vent, jo … 

Johan: Nej, det behøver man ikke, når man har været inde at aflæse i 

skemaet. Så behøver man jo ikke at have år med. 

Freja: Nej, det er rigtigt, men det er ikke sikkert, at der står i skemaet 

hver gang. Det kan jo godt være, at man bare kan se, at den falder 20 % 

om året. 

Johan: Det forstod jeg ikke. 




110 

115 

120 

125 

130 

135 

Gustav: Altså, hvis det er den øverste der, så skal man så sige ‘gange x 

gange 20’, fordi så jo ældre den så bliver [visker 1-tallet ud og skriver x 

i stedet for]. 

Kristin: Ja. 

[…] 

Freja: Og x det er så lig 2, det er lig 1, siger vi, x er lig 1 [skriver x = 1 

efter formlen]. 

[…] 

Freja: Det her, det er det, der skal trækkes fra … den pris, man har fået 

den for. 

[…] 

Gustav: Kan man så ikke gøre sådan her? [skriver parentes om x ∙ 20 og 

om 400 : 100 ∙ x ∙ 20] Parentes inden i en parentes. 

Freja: Jo. 

Gustav: 400 minus parentes det der, parentes det der. 

Freja: Hm [bekræftende]. 

Kristin: Ja, men i stedet for 400, så skal det være et bogstav i stedet for, 

som skal stå for// 

Johan:// det skal så være y. 

Gustav: Det skal så være begge 400’er [streger 400 ud begge steder og 

skriver y i stedet for]. 

Freja: Ja. 

Johan: Og det er så pris ved køb ikke? 

Flere: Ja. 

[Skriver nedenunder hvad y og x betyder] 

Gustav: 20, det skal så også være et bogstav. 

Freja og Kristin: Ja. 

[Lidt snak om, hvad det skal være for et bogstav. M for matematik, c 

for klassens bogstav, og flere andre bliver foreslået. De ender med p for 

procenter]. 

Kristin: Men hvad, hvad siger man, at p er? 

Gustav: Procent. 

Freja: Procent fratrukket pr. år. 

[Kristin skriver først forklaringen om p og siden formlen nederst på siden: 

y−( y:100 ⋅( x⋅ p)). 

De andre følger med] 

Gustav: Parentes slut. 

Johan: To parenteser. 




Del citatet op i sektioner, fx i linje 63-73, linje 74-83, linje 84-90, linje 

91-108, linje 109-125 og linje 126-137. (I kan godt vælge andre inddelinger). 

Overvej og diskuter, hvad der sker i de forskellige sektioner. Hvordan 

forholder aktiviteten i hver sektion sig til den overordnede intention 

om at udvikle en beregningsmetode for erstatningsbeløbet? 

Hvad er det faglige indhold i hver sektion? 


Johan, Freja, Kristin og Gustav får ikke lavet et regneark, der kan 

beregne erstatningsbeløbet. Det skyldes, at det er for besværligt med 

de forskellige satser afhængig af cyklens nypris. 

Overvej, hvad I som lærere i 9. c ville gøre i den situation. 

Lav selv et regneark, som ‘sekretæren’ kan benytte til at beregne erstatningsbeløb 

ifølge den forskrift. 

En modellerings-model 

Arbejdet ovenfor med spørgsmålet om erstatningens størrelse ved et cykeltyveri 

kan bruges som udgangspunkt for at præcisere, hvad arbejdet med 

matematisk modellering består af. I figur 1 (s. 32) så vi på en matematisk 

model som en sammenhæng mellem et omverdensfænomen og en matematisk 

behandling af det. Den figur kan nu udvikles (se figur 3 s. 32). 

Når eleverne i 9. c skal arbejde med erstatningsspørgsmålet har de først 

diskussioner om, hvad der overhovedet er relevant at inddrage. På baggrund 

af diskussioner i grupperne kommer de frem til, at erstatningen skal afhænge 

af cyklens nypris og af dens alder. Desuden mener nogle grupper, at der 

skal tages hensyn til cyklens kvalitet, eller at der skal være en selvrisiko, for 

“man kan også være lidt ude om det selv, hvis man stiller den et dumt sted.” 

Johans gruppe overvejer at tage cyklens vedligeholdelsesstand i betragtning, 

men opgiver det. 

Resultatet af diskussionerne bliver altså en præcisering af det oprindelige 

spørgsmål om erstatningens størrelse. Spørgsmålet “Hvor stor skal erstat- 



ningen være?” bliver da erstattet af spørgsmålet “Hvad skal sammenhængen 

være mellem cyklens nypris og alder på den ene side og erstatningen på den 

anden?” Omverdensfænomenet er altså ikke bare ét fænomen, men består 

af et foreløbigt spørgsmål eller et interesseområde, der skal analyseres og 

præciseres. I eksemplet med cykeltyverierne består den første del af denne 

proces i at bestemme sig for, hvilke variable der skal tages i betragtning. 

Det næste spørgsmål er, hvilken rolle de indgående variable skal spille. 

Hvordan skal erstatningen fx afhænge af cyklens alder? Det spørgsmål kræver 

forhandling om nye spørgsmål som fx: “Taber cyklen mere det første 

år end senere?” “Taber nogle cykler mere i værdi end andre?” “Hvornår er 

cyklen så gammel, at den ikke længere er noget værd?” 

Svaret på spørgsmålet om variablernes rolle udgør en begyndende matematisering 

af problemet. Eleverne begynder således at overveje beløbsstørrelser, 

procentsatser mv. Det er resultatet af den slags overvejelser, der siden 

skal skrives ‘på matematisk’, dvs. som skal angives i nogle tabeller, regneregler 

eller funktionsforskrifter. I figur 3 er denne fortsatte matematiseringsproces 

repræsenteret i pilen betegnet ‘oversættelse’ fra omverdensniveauet til 

matematikniveauet. I eksemplet med Johan og hans gruppe er den første 

matematisering konstruktionen af skemaet, mens de næste skridt er den 

gradvise formulering af udtrykket y−( y:100 ⋅( x⋅p)). Matematikverden 

Matematisk manipulation 

Matematisk “repræsentation” Matematisk løsning 

“Oversættelse” “Oversættelse” 

Struktureret omverdensproblem 

Præcisering Fortolkning 

Indledende omverdensproblem 

Omverdenssituation 

Figur 3. En modellerings-model. 



Modelleringsmodellen i figur 3 og gennemgangen af den indikerer, at den 

gennemløbes med uret. Helt så enkelt er det dog ikke. Præciseringen af 

det indledende omverdensproblem er ikke bare et spørgsmål om at lægge 

sig fast på, hvad der betragtes som rimeligt, og så formulere sig om, hvilke 

variable der er af betydning. Det kan i lige så høj grad være et spørgsmål 

om at begrænse sig til noget, der kan håndteres fagligt eller praktisk, jf. 

kommentaren fra Johans gruppe om cyklens vedligeholdelsesstand. Det 

betyder, at bevægelsen til matematikniveauet og manipulationerne inden 

for det virker tilbage på det strukturerede problem. I eksemplet kan det 

fx vise sig i matematiseringen, at der reelt er uenighed om det, eleverne 

har forhandlet sig frem til som det strukturerede problem. Hvis der fx er 

opnået enighed om, at erstatningsbeløbet skal blive 10 % mindre hvert år, 

er der ikke nødvendigvis enighed om, hvad de 10 % skal beregnes af: De 

kunne beregnes af cyklens nypris eller af erstatningsbeløbet for en cykel, 

der er et år yngre. 

Desuden kan den matematiske løsning føre til, at man faktisk finder 

ud af, at det, man allerede har besluttet, måske ikke har de konsekvenser, 

man havde forestillet sig. Således opdager Johan og hans gruppe først til 

allersidst, at hvis man får en dyr cykel stjålet, så skal man have penge i 50 

år. De havde da ikke mere tid, men det var en erkendelse, som fik dem til at 

se behovet for at gå tilbage til nye overvejelser over, hvilken sammenhæng 

der skal være mellem pris og det årlige fradrag i erstatningen. En anden 

gruppe synes (i modsætning til Johans gruppe) ikke, at man skal have hele 

købsprisen udbetalt, indtil cyklen er et år gammel. Men de opdager, da de 

afprøver deres model, at det får man med det forslag, de har lavet. På den 

måde kan der for dem, der gennemfører modelleringen, blive tale om flere 

forskellige gennemløb af i hvert fald dele af den samlede proces. 

Opgave 2 

Overvej jeres eget svar på modelleringsproblemet i opgave 1. 

I hvilken udstrækning svarer jeres arbejde med at udvikle en metode 

til at bestemme erstatningsbeløbet til modelleringsmodellen? 

I hvilken udstrækning gik I frem og tilbage i modellens felter i jeres 

arbejde med erstatningsbeløbet? 



Et bredt og snævert modelbegreb 

En gruppe elever er blevet indbyrdes enige om, at der i eksemplet med erstatningen 

for en stjålet cykel skal være en selvrisiko på 500 kr. Desuden skal 

erstatningen aftrappes med lige meget hvert år, til cyklen er 10 år gammel. De 

får efter en del eksperimenteren, at hvis de kalder erstatningen for E, cyklens 

pris for p og dens alder målt i år for a, kan de beregne erstatningen som: 

[1] E p p a 1 

= ( −500) −( −500) ⋅ ⋅10. 

Her er erstatningen en funktion af to variable, cyklens nypris og alder. 

Funktionsforskriften i [1] kan da omtales som elevernes model af problemet 

med at finde erstatningsbeløbet for en cykel. Modellen er altså med 

denne sprogbrug det matematiske værktøj, som eleverne har udviklet for at 

behandle det strukturerede problem. I denne forstand er elevernes model 

af problemet den matematiske repræsentation af det (jf. figur 3). Der er 

to forhold, der skal nævnes i forbindelse med denne forståelse af [1] som 

elevernes model af situationen. 

For det første får udtrykket i [1] nu – efter den er udviklet – en anden 

status. Forestil jer, at eleverne senere vil udvide forsikringsordningen til at 

omfatte andre ejendele, som fx iPods, telefoner o.lign. Udtrykket kan så 

skifte karakter til at blive en model for, hvordan man håndterer den slags 

situationer. Der er i [1] to konstanter, nemlig Selvrisikoen (her 500) og det 

antal År, hvor der skal udbetales erstatning i (her 10). Men man kan jo tænke 

sig de størrelser som parametre, der i andre situationer kunne antage andre 

værdier. Hvis vi kalder dem for hhv. S og Å, får vi udtrykket: 

[2] 

E p S p S a 

Å 

1 

= ( − ) −( − ) ⋅ ⋅ . 

For alle mulige ejendele kan man nu bare skifte ud i værdierne af S og Å 

og så få en brugbar forskrift. Modellen skifter hermed status fra at være en 

model af erstatningsbeløbet ved cykeltyverier til at være en model for erstatningsbeløb 

ved tyverier generelt. Det kræver blot, at modellen modificeres 

ved at skifte parameterværdier. 

For det andet er der stor forskel på elevernes forsøg på at udvikle modellen 

og det, sekretæren i ‘forsikringsselskabet’ skal gøre med den senere: Hans 

eller hendes opgave er at bruge modellen ved at sætte et par talværdier ind 



for pris og alder og finde den rigtige erstatning. Det er der ganske få matematiske 

udfordringer i, specielt hvis der er lavet et velfungerede regneark 

til formålet. 

Ovenfor omtalte vi altså en funktionsforskrift som den i [1] eller [2] som en 

model. I andre situationer bruges udtrykket en matematisk model i en anden 

og bredere betydning. En matematisk model bruges så om indholdet i hele 

figur 3. Med den sprogbrug er en matematisk model ikke bare det matematiske 

værktøj, som fx en funktionsforskrift, men et omverdensproblem, 

en matematisk behandling af det og relationerne mellem omverdens- og 

matematikniveauerne. En model omfatter da: 

– Den indledende strukturering af omverdenssituationen. 

– Det matematiske begrebsapparat, der introduceres (fx variable, formler 

o.lign.), og de måder, det skal bearbejdes på. 

– De adskillige bevægelser frem og tilbage mellem det, vi kaldte omverdens- 

og matematikniveauerne. 

– En afsluttende vurdering af, hvordan resultatet af den matematiske behandling 

relaterer til den oprindelige sammenhæng. I eksemplet består 

det i at besinde sig på, om og i hvilken udstrækning det foreløbige resultat 

af anstrengelserne, fx i form af en funktionsforskrift, står i et rimeligt 

forhold til såvel det strukturerede som det oprindelige problem. 

Man kan således bruge modelbegrebet i både en snæver og en bred betydning 

(Skott 1992), og man må i en konkret situation være opmærksom på, 

hvilken forståelse der implicit eller eksplicit ligger til grund. 

Distinktionen mellem det snævre og det brede modelbegreb er især relevant 

i forbindelse med de forskellige aktiviteter, der knytter sig til modelbegrebet. 

Udviklingen af en model omfatter alle trinene i den brede betydning af 

ordet. Situationen er en anden ved modelanvendelse. Der kan da være tale 

om at modificere en (snæver) model fx efter overvejelse over, hvordan en 

ny situation ændrer de indgående parametre. Eller der kan være tale om 

blot at benytte en (snæver) model til beregningsformål, så man kun behøver 

at bevæge sig i beregningsdelen af modelleringsmodellen og at oversætte 

resultatet af beregningerne som svar på spørgsmålet om fx erstatningens 

størrelse. 



I eksemplet med udvikling af en gensidig cykelforsikring har vi ovenfor beskrevet 

elevernes arbejde med delproblemet med at bestemme erstatningsbeløbets 

størrelse. I det eksempel arbejder eleverne både med modeludvikling, 

dvs. med modellering, og med modelanvendelse. Vi skal nu se lidt nærmere 

på anvendelsesaspektet, dvs. på modelbrug og modelmodifikation. 

Modelanvendelse 

Eleverne kan i forløbet om cykelforsikring anvende (snævre) matematiske 

modeller på i hvert fald to måder. For det første benytter de hinandens 

modeller til beregninger, bl.a. for at sammenligne de resultater, de får, ved 

de forskellige forslag. Der er her i udgangspunktet tale om en aktivitet, der 

minder om den, sekretæren forventes at engagere sig i, blot med det forbehold, 

at de skal benytte og sammenligne forskellige modeller. For det andet 

modificerer de andre modeller, der har en mere generel karakter. Vi skal se 

på et eksempel på det sidste. 

I en indledende fase af forløbet har eleverne indsamlet data om antallet af 

stjålne cykler og fundet, at der er en risiko på 6,3 % om året for, at en elev i 

skolens overbygning får stjålet sin cykel. Hos forsikringsoplysningen får de 

at vide, at væksten i antallet af cykeltyverier for tiden er 12,7 % om året. Det 

kan føre til en anvendelse af eksponentiel vækst (jf. s. 50 ff.) til at forudsige 

risikoen for cykeltyverier over de næste år. Her bruges eksponentiel vækst 

som model for situationen. Eksponentiel vækst er da en standardmodel, 

der blot skal modificeres. 

t 

Modellen for eksponentiel vækst kan generelt skrives som f( t) = b⋅ a . 

Her er t tiden, fx målt i antal år; b er begyndelsesværdien, dvs. værdien på det 

tidspunkt der bruges som udgangspunkt for beregningen; og a er fremskrivningsfaktoren, 

dvs. det tal man til enhver tid skal gange funktionsværdien 

med for at finde værdien én tidsenhed senere. I eksemplet ovenfor er det 

elevernes opgave at erstatte a og b i det generelle udtryk med de relevante 

t 

værdier, dvs. at sætte b = 0,063 og a = 1,127 og få: f( t) 

= 0,063⋅ 1,127 . 

Modelanvendelse er i denne forstand altså et spørgsmål om at benytte en 

på forhånd udviklet (snæver) model, evt. i modificeret form. En sådan 

modelanvendelse ses i forbindelse med det, der på dansk ofte omtales som 

problemregning eller opgaver til matematisk problemløsning. Det er tekst- 



opgaver, hvor eleverne normalt skal anvende matematik, som de forventes 

allerede at have lært sig. En anden mulighed er, at eleverne præsenteres for 

matematiske resultater, fx formler, som de skal kunne bruge umiddelbart, 

evt. efter at have ændret på nogle af de indgående parametre. Opgaverne i 

eksempel 2 illustrerer de to muligheder. 

Eksempel 2 

Opgave 4 fra prøvesættet i “Matematisk problemløsning” fra Folkeskolens 

Afgangsprøve, december 2007. 

Figur 4. 



Opgave 3 

Løs opgaverne i eksempel 2 eller find evt. opgaver med matematiske 

modeller fra nyere prøvesæt. 

Undersøg, hvordan eleverne forventes at arbejde med matematiske 

modeller i opgaverne. 

Sådanne opgaver genfindes i vid udstrækning i lærebøger til matematikundervisning, 

ikke mindst i bøger til grundskolens ældste klasser. Som 

prøveopgaver forventes opgaverne at teste, om eleverne har tilegnet sig 

kompetence i dels at kunne afkode og benytte et matematisk symbolsprog, 

dels at kunne genkende situationer, hvor forskellige typer af matematiske 

modeller kan bringes i spil. Som lærebogsopgaver har de deres berettigelse 

i, at de kan bidrage til udviklingen af sådanne kompetencer. 

Som nævnt omtales opgaver som de viste ofte på dansk som opgaver til problemløsning. 

Imidlertid har de ikke karakter af problemer i den betydning, 

som ordet normalt tillægges i matematikkens didaktik (jf. δ-bogen, s. 33 ff.). 

Her anvendes ‘et problem’ om et oplæg til elevaktivitet, som eleverne ikke 

på forhånd kender en standardmetode til at løse. Problemer er altså med 

den sprogbrug netop kendetegnet ved, at eleverne ikke har tilegnet sig en 

standardmodel, de kan bringe i anvendelse. I det øjeblik de har det, ophører 

oplægget med at have problemkarakter for de pågældende elever 1 . 

Denne lidt kritiske kommentar betyder ikke, at det ikke giver mening at 

arbejde med modelanvendelse som fx i afgangsprøverne. Der er god grund 

til, at elever efterhånden skal udvikle en rutine i at anvende nogle standardbegreber 

og -resultater i faget. Det kunne fx være rutine i at benytte variable, 

i at anvende lineære eller eksponentielle funktioner og i at opstille og bruge 

simple sandsynlighedsteoretiske modeller. 

En sådan rutine har at gøre med det syn på læring, som vi i δ-bogen 

omtalte som læring som deltagelse. Med henvisning til Sfard, beskrev vi 

der matematiklæring som det gradvist at blive i stand til at kunne fortælle 

underbyggede og accepterede matematiske fortællinger ved hjælp af in- 

1 Vi skal i kapitel 6 se på en anden kobling mellem arbejdet med matematiske modeller og problemløsning, 

der i højere grad er i overensstemmelse med anvendelsen af termen problemløsning 

i matematikkens didaktik. 



dividualiserede rutiner. Det betyder to ting. Dels skal man kunne benytte 

de matematiske begreber og metoder, der er generelt accepterede. Det kan 

være regningsarterne, forskellige funktionstyper eller grundlæggende geometriske 

begreber og metoder. Dels skal man kunne fortolke de resultater, 

man finder ved at benytte disse metoder og begreber og bruge dem til at 

fortælle velunderbyggede, faglige ‘historier’. Der er således ikke meget ved 

at kunne benytte en funktionstype, hvis man ikke kan bruge resultaterne til 

at berette om de sammenhænge, funktionen er blevet anvendt på (δ-bogen, 

s. 94 ff.). 

Sfards eksempel handler om to 4-årige piger, der bliver spurgt om, i hvilken 

af to kasser der er flest marmorkugler. Pigerne har imidlertid endnu ikke 

individualiseret en tællerutine i forbindelse med antalsbestemmelse. De har 

således ikke deltaget i tælleritualer så hyppigt, at de af sig selv begynder at 

tælle, når de bliver bedt om at sammenligne mængder. Og selv om de godt 

kan tælleremsen og tæller rigtigt, når de opfordres til at tælle, bruger de ikke 

af sig selv resultatet til at afgøre, hvor der er flest kugler. De underbygger 

altså ikke en matematisk historie om sammenligning af mængder ved at 

angive resultatet af en tællerutine. 

Eksemplet kan fortolkes med en modelterminologi. Der er en omverdenssituation, 

der består af marmorkuglerne i kasserne. Denne situation skal 

forbindes med en matematisk gengivelse, dvs. den skal genkendes som en, 

hvor tælleritualet kan bringes i spil. M.a.o. forventes pigerne at bringe en 

standardmodel i anvendelse. Dernæst skal tælleritualet gennemføres, dvs. 

pigerne skal benytte tælleremsen på kuglerne. Her er der tale om at operere 

i den matematiske verden. Og endelig skal resultatet af ritualet fortolkes i 

forhold til den oprindelige situation. Det kræver, at pigerne kan se, at de tal, 

de har fundet, kan bruges til at svare på spørgsmålet om, hvor der er flest 

kugler. Af disse trin beherskede pigerne kun selve tælleremsen. 

Sfards beskrivelse af læring som deltagelse kan også benyttes i forbindelse 

med Johans gruppes arbejde med at finde erstatningsbeløbet for en stjålet 

cykel. Fx ser det ud, som om eleverne i gruppen alle forsøger at underbygge 

en matematisk fortælling om generaliserede sammenhænge mellem tal. Det 

gør de med udgangspunkt i et eksempel, nemlig erstatningen for en cykel til 

400 kr., der er et år gammel. De erstatter nogle af talværdierne i eksemplet 

med variabelbetegnelser, og de får dermed en generel sammenhæng mellem 

cyklens nypris og alder på den ene side og erstatningsbeløbet på den anden. 



Eleverne har således individualiseret den rutine, det er at indføre variable 

for at finde generelle udtryk for sammenhænge. 

Et andet eksempel fra samme forløb er, at eleverne er eller skal blive i 

stand til at fortælle underbyggede matematiske fortællinger om omverdensfænomener, 

der vokser med samme procentsats hvert år. Det kræver 

deres deltagelse i et ritual med at opstille en ligning for eksponentiel vækst. 

Efterhånden kan det blive en rutine, som eleverne selvstændigt kan bringe 

i anvendelse i den slags situationer, så de fx kan opstille funktionsudtryk 

t 

som fx f( t) 

= 0,063⋅ 1,127 . Desuden kræver en matematisk fortælling om 

konstant procentuel vækst, at eleverne kan operere i den matematikverden, 

der således er indført, dvs. at de kan manipulere med konstanterne og 

variablene i et sådant funktionsudtryk. Og endelig skal de kunne fortolke 

resultaterne af deres beregninger som svar på det oprindelige spørgsmål. De 

skal altså fx kunne underbygge en matematisk fortælling om, hvor mange 

elever der kan forventes at få stjålet en cykel om nogle år med resultatet af 

t 

de beregninger, de har lavet med udtrykket f( t) 

= 0,063⋅ 1,127 . 

FoRMål MEd ModEllERInG I SKolEn 

Vi har tidligere nævnt, at det er et gennemgående argument for matematik 

i skolen, at faget kan anvendes. Det har imidlertid ikke altid givet sig udslag 

i, at matematisk modellering har fået en plads i undervisningen. 

Således har der været perioder, hvor en forventning om matematikkens 

principielle anvendelighed har ført til, at man i undervisningen i hovedsagen 

har koncentreret sig om matematikken selv. Udgangspunktet synes at 

have været det retoriske spørgsmål om, hvordan man skal kunne anvende 

noget (her: matematik), som man ikke behersker. Idéen i dette synspunkt 

er, at eleverne først skal komme til at beherske nogle principielt anvendelige 

matematiske begreber og teknikker, og at de derefter skal bringe disse 

begreber og teknikker i anvendelse uden for timerne. 

Til andre tider har man arbejdet med anvendt matematik. Det har ført 

til, at eleverne ikke bare har arbejdet med principielt anvendelig matematik, 

men at de også har set på eksempler på sådanne anvendelser i undervisningen. 

Men også i dette tilfælde har matematisk modellering, i den forstand 

som vi har beskrevet den ovenfor, sjældent haft plads i undervisningen. 



Imidlertid er der andre tilgange til matematikundervisning, der tillægger 

ikke-matematiske sammenhænge, herunder modellering, betydelig vægt i 

undervisningen. Den slags overvejelser har fået større vægt i de sidste årtier, 

og der synes at være nogen enighed om, at matematikkens anvendelser og 

matematisk modellering skal have i hvert fald en vis plads i matematiktimerne. 

På trods heraf er der dog ikke enighed om, hvorfor det er vigtigt. 

Der kan således nævnes forskellige argumenter, der ikke nødvendigvis er 

i indbyrdes modstrid med hinanden, men som lægger hovedvægten på 

forskellige begrundelser. 

Det er en hyppigt nævnt begrundelse for matematiske modellers og anvendelsers 

placering i undervisningen, at det er her, de fleste elevers motivation 

for faget skal findes (Skott 1992, s. 71 ff.). Den pointe har en lang række 

empiriske undersøgelser underbygget. Freudenthal bemærker allerede i sin 

første store bog om matematikkens didaktik, at det måske nok er en fornøjelse 

for matematikere at arbejde med matematikkens egne systemer, men 

for alle andre er glæden meget større, hvis faget forbindes til en omverden 

(Freudenthal 1973, s. 77). 

Der kan således argumenteres motivationsmæssigt for at arbejde med 

matematikkens anvendelser og matematiske modeller. I en sådan argumentation 

spiller modellerne en taktisk rolle for at højne elevernes interesse for 

faget. 

Der er imidlertid to andre typer af argumenter for at arbejde med modellering 

i skolen. Det ene af disse argumenter er, at modellering er en del af 

selve faget matematik, og derfor noget man må beskæftige sig med i et fag 

med det navn. Det betyder, at eleverne ikke får et ordentligt billede af, hvad 

matematik er, hvis de ikke arbejder med modellering. Det er fx tilfældet i 

den matematikdidaktiske skole, der kaldes realistisk matematikundervisning 

(RME), og som har sit udspring i Holland (se δ-bogen, kapitel 10). 

I RME er det en gennemgående idé, at eleverne skal arbejde med omverdensproblemer, 

ligesom de til en begyndelse skal bearbejde med uformelle 

metoder. De lærer sig mere formel matematik ved gradvist og i kraft af det 

sociale faglige fællesskab i klassen at videreudvikle og forfine deres første 

uformelle måder at gå til problemerne på. Denne udvikling kan ses som en 

modelleringsproces, hvor en metode til at begynde med har karakter af at 

være en model af den pågældende problemstilling, men derefter kan betrag- 



tes som en model for, hvordan andre tilsvarende problemer kan behandles. 

Eleverne skal arbejde på denne måde for dels at udvikle en bedre faglig 

forståelse af den formelle matematik, dels – og mindst lige så vigtigt – fordi 

matematik i høj grad identificeres med den proces, det er til stadighed at 

videreudvikle sine metoder til behandling af kvantitative og geometriske 

sammenhænge. Vi skal vende tilbage til dette syn på modeller og deres rolle 

i matematikundervisningen i kapitel 6. 

Det andet hovedargument for modellering i matematikundervisning refererer 

direkte til et af tidens hyppigt anvendte begrundelser for, hvorfor 

matematik stadig spiller så stor en rolle som undervisningsfag. Det er argumentet 

om fagets rolle i et demokratisk samfund. Vi gjorde i δ-bogen 

rede for, at et evt. demokratisk bidrag fra matematikfaget nok ikke ligger i, 

at eleverne kommer til at beherske de former for matematik, der anvendes 

som grundlag for fx politiske beslutninger. Med Skovsmoses (1994) formulering 

er det imidlertid vigtigt, at eleverne kan forholde sig refleksivt til 

sådanne anvendelser. 

I Skovsmoses terminologi er refleksiv viden knyttet til det at kunne stille 

de kritiske spørgsmål til en matematisk model. Det er der behov for, fordi 

selve modellen er med til at skjule nogle af de valg, der er truffet i modelleringsprocessen. 

Der opstår derfor nogle indbyrdes forbundne problemer. 

For eksempel er modellen (i den snævre betydning af ordet) ikke en model 

af verden som sådan, men en model af en fortolkning. Modellen modellerer 

ikke omverdenssituationen, men i bedste fald det strukturerede omverdensproblem. 

Og som vi så i forbindelse med eksemplet med cykelforsikringen, 

er der truffet en lang række valg i forbindelse med struktureringen. Erstatningsbeløbet 

for en stjålet cykel kan således beregnes på mange forskellige 

måder alt efter, hvad man i praksis lægger vægt på, og det er som regel 

uigennemskueligt, hvilke kriterier der er lagt til grund. 

Et andet problem består i, at man ofte er tilbøjelig til at fortolke et modelsvar 

som en beskrivelse af verden. I eksemplet med beregningen af erstatningsbeløbet 

for en stjålet cykel, kunne man således fortolke erstatningen 

som en måde at beskrive, hvor meget cyklen er værd. Imidlertid har modellen 

i denne situation primært en anden rolle, idet den skal foreskrive, hvor stort 

beløbet skal være – uafhængigt af fx cyklens stand. I andre tilfælde, hvor 

modellen stadig kan se beskrivende ud, skal den i virkeligheden bruges til at 

forudsige en udvikling med. Den bygger da på en række antagelser, der ofte 



er forbundet med nogen usikkerhed. Det gælder fx, hvis man benytter sidste 

års stigning i antallet af cykeltyverier til at udtale sig om antallet i år. Og det 

gælder fx for modeller af udviklingen inden for samfundsøkonomien. 

Fra en kritisk-demokratisk synsvinkel skal matematikundervisning (også) 

gøre det muligt for eleverne at forholde sig til sådanne problemer. Det kræver 

imidlertid, at matematisk modellering bliver en del af undervisningen. 

I eksemplet med erstatningsbeløbet for en stjålet cykel kan de forskellige 

elevforslag til model sættes til diskussion og således anskueliggøre, at en 

model ikke er en objektiv beskrivelse, men et resultat af en lang række 

fortolkninger. 

Tilsvarende kan en anvendelse af en eksponentiel model til at forudsige 

antallet af stjålne cykler problematiseres. Det er på ingen måde givet, at 

udviklingen er eksponentiel – ikke engang på kort sigt, og selv hvis den er, 

er der stor usikkerhed om værdien af de indgående parametre. Hvis man 

har spurgt en mindre stikprøve af elever om, hvor mange cykler, de har 

fået stjålet, hvor sikker kan man så fx være på, at det er den rigtige andel af 

cykeltyverier i området? 

Disse to eksempler illustrerer to aspekter af en kompetence i at kunne 

håndtere matematiske modeller (Niss & Jensen 2002, s. 52 ff.). Det ene 

aspekt er aktivt at kunne bygge matematiske modeller. Det er det, vi kaldte 

matematisk modellering. Det er en omfattende proces, der går ud på “at 

bringe matematik i spil og anvendelse til behandling af anliggender uden 

for matematikken selv” (ibid.). Gennem en sådan proces kan eleverne få 

eksemplificeret de valg, der indgår i en modelbygning, og de kan opleve, at 

der kan tænkes alternativer til den model, der er anvendt i en given situation. 

Det andet aspekt er at kunne “analysere grundlaget for og egenskaberne 

ved foreliggende modeller og at kunne bedømme deres rækkevidde og 

holdbarhed” (ibid.), herunder at kunne afmatematisere en matematisk model. 

Det kan fx betyde at lægge en kritisk vinkel på værdien af de brugte 

parametre. 

Der kan fra en kritisk-demokratisk synsvinkel argumenteres for, at begge 

dele må have en plads i matematikundervisningen i grundskolens ældste 

klasser. 



oPSAMlInG På KAPITEl 1 

Idéen med dette kapitel er, at læseren skal udvikle en forestilling om, hvad 

en matematisk model er og kunne gøre rede for forskellige roller som matematiske 

modeller kan spille i undervisningen, herunder hvilke begrundelser 

der er for at arbejde på forskellige måder. Forsøg derfor at: 

– Forklare hvad en matematisk model er, og giv eksempler på modeller, der 

kan arbejdes med i grundskolens sidste klasser (hent evt. inspiration i 

lærebøger). Gør rede for, hvilken rolle modellerne spiller i eksemplerne, 

herunder hvad der er det primære formål med at arbejde med dem. 

– Gøre rede for forskellige formål med at arbejde med matematiske modeller 

og overvej om og evt. hvordan, forskellige formål kan føre til forskellige 

måder at arbejde med modeller på. 

– Gøre rede for, hvad der adskiller en idé om anvendt matematik eller 

modelanvendelse fra en idé om matematisk modellering. 



2 

VæKsTModEllEr 

I dette kapitel skal vi se nærmere på det matematiske grundlag for to hyppigt 

forekommende matematiske vækstmodeller: eksponentiel vækst og 

logistisk vækst. 

‘Vækst’ kommer af verbet ‘vokse’ – et ord, der betyder, at noget bliver 

større over tid. I matematikken opfattes ‘vækst’ dog mere generelt og betyder 

kort og godt en proces, der kan beskrives som en funktion af tiden, hvad 

enten funktionen er voksende, aftagende eller svingende. Rent fagligt kan vi 

således komme langt i læren om vækst med det grundlag for funktionslæren, 

der blev lagt i ϒ -bogens kapitel 11 om funktioner og funktionsbegrebet. 

Den generelle markør x for den uafhængige variabel ændres dog ofte i 

vækstsammenhænge til t, således at en vækstfunktion som f( x) 

betegnes 

f( t). 

Læseren vil efter arbejdet med kapitlet kunne: 

– Genkende og beskrive de vigtigste former for vækst: lineær, eksponentiel 

og logistisk. 

– Opfatte disse vækstfunktioner som modeller af virkelige udviklinger. 

– Kende til typiske tilgange til disse funktioner i skolens matematikbøger. 

– Tilpasse en vækstfunktion til et foreliggende observationsmateriale. 

– Omskrive rekursionsformler til direkte funktionsforskrifter og vice 

versa. 

KAPITEl 2 · VæKSTModEllER · 45 


lInEæR VæKST 

I ϒ-bogen behandlede vi den lineære funktion ganske grundigt, og i det 

følgende vil vi reaktivere denne viden, men nu i et perspektiv, der lægger 

vægten på vækst, udvikling og modellering. 

Eksempel 1 

Opsparing uden rente 

Den første i hver måned lægger Ib 25 kr. i sin sparebøsse. Indholdet 

af sparebøssen er derfor 25 kr., 50 kr., 75 kr. osv. Hvis vi kalder den 

første måned for nummer 1 og kalder indholdet af sparebøssen for i, 

kan vi skrive: i( 1 = ) , i(2) 2 5 = 50 … 

Vi kan også beskrive udviklingen ved en såkaldt rekursiv formel, der 

fortæller, hvorledes sparebøssens indhold vokser fra måned til måned. 

Dette kan vi gøre ved at skrive i( n+ 1) = i( n) 

+ 2 5 , altså at indholdet i 

en given måned er 25 kr. større end indholdet den forrige måned. 

Vi kan også bestemme en direkte funktionsforskrift: i( t) = 25t, 

for 

t ≥ 0 , men denne er ikke helt uproblematisk. Hvad betyder det fx, at 

f (1,5) = 37,5? Der er jo intet tidspunkt, hvor der er 37,50 kr. i sparebøssen. 

Hvis vi vil bruge funktionsforskriften i( t) = 25t, 

er vi nødt 

til at begrænse definitionsmængden til tallene 1, 2, 3, …, altså til de 

naturlige tal, eller at skrive f( t = ) t2, 

hvor 5 [ [t] ] betyder heltalsværdien 

af t, dvs. det største hele tal, der er mindre end eller lig med t. 

Opgave 1 

Tegn for t ≥ 0 de grafiske billeder af f( t) = 25t 

og f( t = ) t25 

i et [ ] 

koordinatsystem. Diskuter, om f( t ) = 2 t5 

+ [ giver 1 ] et mere præcist 

billede af udviklingen i Ibs sparebøsse end den oprindelige forskrift. 

I ϒ-bogen så vi, hvorledes man kan vurdere, hvorvidt et talmateriale ser ud 

til at stamme fra en lineær udvikling. Idéen er enten at tegne data ind i et 

koordinatsystem og pr. øjemål vurdere, hvorvidt en lineær sammenhæng 

ser fornuftig ud, eller fx at sætte et regneark til at bestemme den bedste 

rette linje. I et modelleringsperspektiv kaldes det at benytte en lineær model. 

Vi vender tilbage til problemet med at finde den bedste lineære model 

i kapitel 4 i denne bog. 



Her vil vi blot slå fast, at det menneskelige øje har en særlig udviklet evne 

til at genkende en lineær vækst, altså til at fastslå om en række punkter i et 

koordinatsystem ligger tilnærmelsesvis på linje. Når det drejer sig om andre 

funktionssammenhænge, kan de færreste genkende dem ud fra et udvalg 

af punkter på grafen. Dette har tidligere givet anledning til en større produktion 

af særlige, matematiske papirer som semilogaritmisk papir, der fik 

andre funktionstyper, som fx eksponentielle funktioner til at fremtræde som 

rette linjer. Med computerprogrammernes fremkomst er disse papirer blevet 

overflødige, idet computeren kan sættes til at spore særlige funktionstyper. 

Vi vil dog i dette kapitel af pædagogiske årsager udnytte vores særlige evne 

til at genkende den rette linje. 

Genkendelse af lineær vækst i skolen 

Hvis man vil undervise eleverne på sluttrinet i at genkende en lineær vækst i 

nogle givne data målt i den virkelige verden, vil man oftest lade dem udvikle 

en grafisk metode med tre trin: 

1) Plot data ind som punkter i et koordinatsystem. 

2) Bedøm, om punkterne med rimelighed kan siges at ligge på eller tæt 

omkring en ret linje og tegn så den linje så godt som muligt. 

3) Opfat den tegnede linje som en model, der kan forudsige målepunkter 

mellem de givne punkter (interpolation) og længere væk fra de givne (ekstrapolation). 

I en klasse med godt kendskab til regneark vil en del af processen foregå 

på regneark og måske med arkets indbyggede tendenslinje. Imidlertid går 

det ikke altid sådan. 

En gruppe på fire elever fra en dansk 8. klasse skulle udføre en sådan 

modelleringsproces, og de benyttede en helt anden strategi, som imidlertid 

gav rimelige resultater. De fik udleveret en tabel med længde og bredde af æg 

hos en særlig fugleart og blev spurgt, om de kunne finde en sammenhæng 

i tabellen. Desuden blev de spurgt, om de ud fra de givne data kunne give 

et bud på, hvor bredt et æg med længde 25 cm kunne være. Svararket, som 

de arbejdede på, er gengivet i figur 1. 



Figur 1. 

Gruppen var fra starten enige om at finde forholdet mellem tallene. Én startede 

med at dividere bredden med længden. En anden tog over, fordi han 

syntes, det var bedre at dividere længden med bredden, hvilket han gjorde 

med alle lommeregneres betydende cifre skrevet ud. En pige i gruppen sagde 

hele tiden, at resultatet jo var 1,3, og det blev gruppens bud på en sammenhæng. 

Der var ikke ansatser til at plotte data ind i et koordinatsystem og 

begreberne ‘funktion’, ‘lineær’ eller ‘ret linje’ blev ikke benyttet. Gruppen 

kunne imidlertid godt komme med et bud på bredden af et æg med længde 

25 cm, idet de benyttede den fundne proportionalitetsfaktor. 




Hvordan ville I følge op på denne gruppes arbejde? Ville I fx bede eleverne 

om at undersøge, om de ville få samme resultat, hvis de forsøgte 

at finde et svar ved at plotte punkterne ind i et regneark? 

Undersøgelse 1 

Drømmemilen 

Den store drøm for atleter i første halvdel af 1900-tallet var at løbe en 

mile (1,6 km) på under fire minutter. Rekorderne udviklede sig ifølge 

Berry og Houston (1995) som i tabellen herunder, hvis vi indskrænker 

os til en enkelt repræsentant for hvert årti: 

Navn År Tid 

Jones 1913 4 min. 14,4 sek. 

Nurmi 1923 4 min. 10,4 sek. 

Cunningham 1934 4 min. 6,8 sek. 

Andersson 1943 4 min. 2,6 sek. 

Bannister 1954 3 min. 59,4 sek. 

Snell 1964 4 min. 54,1 sek. 

Walker 1975 3 min. 49,4 sek. 

Cram 1985 3 min. 46,31 sek. 

Morceli 1993 3 min. 44,39 sek. 

Kan denne udvikling med rimelighed beskrives med en lineær model, 

og i hvilket omfang kan modellen bruges til at lave prognoser for 

udviklingen i det 21. århundrede? Hvordan stemmer modellen med 

det faktum, at verdensrekorden i skrivende stund i foråret før olympiaden 

i Beijing 2008 er på 3 min. 43,13 sek. og sat af El Guerroui i 

1999 i Rom? 

Hvordan kan opgaven tilpasses, så en 9. klasse kan arbejde med 

den? 

Opgave 2 

Sammenlign behandlingen af lineær vækst i en række lærebogssystemer 

og nå frem til en liste over de vigtigste anvendelsesområder set 

med lærebogsforfatternes øjne. Brug fx: 



Andersen, M.W.; Thomsen, H.; Holte, H. (2004): Kontext 8. Kernebog. 

København: L&R Uddannelse. Temperaturen stiger, s. 194-95. 

Frentz, J.; Høegh, J.; Skånstrøm, M. (1997): Matematiktak for niende 

klasse. København: Alinea. for niende klasse. I dybden, funktioner, 

s. 70-75. Telefontakst til internettet, to ligninger med to ubekendte. 

s. 114-118. 

Sparre, S.; Pedersen, R.S. (2004): Flexmat, Tal og algebra 7.-9. klasse. 

Tal i sammenhæng. København: Forlaget Malling Beck. Vaner der 

koster, s. 30-41 og s. 42-55. 

EKSPonEnTIEl VæKST 

Opgave 3 

Signe har en børneopsparing med et indestående på 63.155 kr. Hvert 

år forrentes kontoen med 5 %. 

Beskriv udviklingen i Signes børneopsparing. 

Eksempel 2 

En bakteriekultur fordobles hvert døgn. Til at begynde med er der 

2.000 bakterier. 

Hvis vi kalder antallet af bakterier for b og starten af døgnene for t = 

0, 1, 2, 3, 4, …, kan vi beskrive udviklingen i antallet af bakterier som 

b(0) = 2.000 , b(1) = 4.000 , b(2) = 8.000 , … 

Vi kan også lave en rekursiv beskrivelse, idet fordoblingen af bakterieantallet 

betyder, at b( 1 ) = 2 b· 

, ( b0 ( ) 2 ) = 2 b· 

osv. ( 1 ) Vi kan generelt skrive 

b( t+ 1) = 2 · b ( t ) . Ved at benytte den rekursive sammenhæng kan vi beregne 

fx b(4), idet b(4) = 2· b(3) = 2·2· b(2) = 2·2·2· b(1) = 2·2·2·2· b(0) 

, 

4 

altså er b(4) 

= 2.000 ·2 . 

Det ser altså ud til, at væksten giver anledning til den eksponen- 

t 

tielle funktion b( t) 

= 2.000 ·2 , og i modsætning til eksempel 1 giver 

det formentlig mening at spørge modellen om, hvor mange bakterier 

der er efter halvandet døgn, dvs. det giver mening at beregne, at der 



1,5 

er b(1,5) 

= 2.000 ·2 ≈ 5.657 bakterier efter halvandet døgn. I et 

modelleringsperspektiv har vi her valgt en eksponentiel model til at 

beskrive bakteriernes udvikling. 

Udviklingen i Signes børneopsparing i opgave 3 og i bakteriekulturen i 

eksempel 2 er begge eksponentielle udviklinger. 

t 

I ϒ-bogen så vi på side 447, at den eksponentielle funktion f( t) = b· a 

f( t+ 1) b⋅at+ 1 f( t 1 ) 

opfylder = t = a. 

I a 

f( t) b⋅a f( t) 

= 

+ 

står der, at forholdet mellem 

funktionsværdierne til tiden (t + 1) og til tiden t er a. Hvis vi ganger med 

f( t) 

på begge sider, får vi så f( t+ 1) = a· f ( t ) . Eksponentielle funktioner 

beskriver derfor udviklinger over tid, hvor man for hver tidsenhed, der går, 

skal multiplicere med en fremskrivningsfaktor, a, for at finde ud af, hvor 

meget udviklingen er vokset til. 

De lineære funktioner dækker tilsvarende over udviklinger, hvor man for 

hver tidsenhed adderer en fast talstørrelse. 

Lineære funktioner svarer til additive udviklinger, og eksponentielle funktioner 

svarer til multiplikative udviklinger. 

Opgave 4 

Fremskrivningsegenskaben for eksponentielle modeller, 

f( t+ 1) = a · f ( t ) , kan benyttes til at få en idé om, hvorvidt en observeret 

udvikling er eksponentiel. Betragt fx følgende datamateriale: 

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

f( t) 

6,82 7,76 9,66 12,12 14,31 17,96 21,80 26,26 32,87 40,36 

Hvis tallene stammer fra en eksponentiel udvikling, burde forholdet 

f( t+ 

1 ) 

være konstant. 

f( t) 

Undersøg, om dette er tilfældet. 

Hvad er f (20) ? 



Som det fremgår af eksemplet og opgaven kan det være vanskeligt at afgøre 

ud fra beregningerne, hvorvidt der i en konkret situation er tale om 

en eksponentiel udvikling. Fremskrivningen fra periode til periode er ikke 

konstant, men på den anden side ligger de forskellige fremskrivninger ikke 

specielt langt fra hinanden. Diskussioner af autentiske observationer af 

vækst er ikke desto mindre en god mulighed for at introducere idéen om 

eksponentiel vækst i skolen. Dels kan der arbejdes med multiplikative sammenhænge, 

som eleverne kender til, og som er kernen i eksponentiel vækst. 

Dels kan det løbende diskuteres og pointeres, at der er tale om vækstmodeller, 

dvs. om matematiske beskrivelser af omverdensfænomener, der sjældent 

passer præcist med modellens matematiske beskrivelse. 

Opgave 5 

Skitser et kort forløb i fx en 8.klasse, hvor idéen bag eksponentiel vækst 

introduceres, og eksponentielle modeller introduceres udelukkende 

ved multiplikation og division – og i første omgang uden abstrakt 

notation for variable og funktioner. 

Sammenlign forløbet med behandlingen af eksponentiel vækst i 

forskellige lærebøger til overbygningen, fx følgende: 

Lindhardt, B.; Thomsen, H.; Weng, P. (2007): Kontext 9. Kernebog. København: 

Forlaget Malling Beck. Der bliver flere og flere, s. 167-169. 

Beck, H. J.; Graff, L.; Hansen, N. J. (2001): Matematik i niende. Grundbog. 

København: Gyldendal. Vækstmodeller, s.188-189. 

Sparre, S.; Pedersen, R. S. (2004): Flexmat, Tal og algebra 7.-9. klasse. 

Tal i sammenhæng. København: Forlaget Malling Beck. Når noget 

vokser vildt. s. 68-77. 

Ejersbo, L.R.; Mogensen, A. (2001): Faktor i syvende. Fællesbog. København: 

Malling Beck. Mon det fortsætter sådan? s. 42-49. 

I opgave 4 ovenfor var fremgangsmåden med at undersøge, hvorvidt tallene 

f( t+ 

1 ) 

syntes at være konstante, ikke nødvendigvis specielt hensigtsmæs- 

f( t) 

sig. Hvis man på den måde vil afgøre, om data stammer fra en eksponentiel 

udvikling, må man have en forestilling om, hvor ‘konstante’ tallene skal være. 



I forhold til den mulighed vi havde for at tegne en lineær udvikling ind i 

et koordinatsystem og finde den bedste rette linje, er det mere krævende at 

bedømme de forskellige fremskrivningsfaktorer, som vi fandt i opgave 4. 

Én grafisk mulighed er dog at afsætte fremskrivningsfaktorerne (i stedet 

for funktionsværdierne) i et koordinatsystem og bedømme, om de ligger på 

en vandret linje (prøv!). Som vi antydede i vores korte behandling af lineær 

vækst, findes der dog en anden mulighed, der kan lave den eksponentielle 

funktion om til en funktion, der vil give en ret linje i et koordinatsystem! 

Betragt den eksponentielle funktion y= b· a . Hvis vi forudsætter, at tallene 

er positive og tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet, får vi 

x 

log( y) = log( b· a ) . 

I ϒ -bogen beskæftigede vi os på s. 453 med to vigtige regneregler for 

x 

logaritmer. 1) log( s· t) = log( s) + log( t) 

og 2) log( n ) = x·log( n) 

. Hvis vi 

x 

benytter disse regler på log( y) = log( b· a ) , får vi 

log( y) = log( b· a ) ⇒ 

x 

log( y) = log( b) + log ( a ) ⇒ 

log( y) = log( b) + x·log ( a). 

x 

Her er log( a) 

og log( b) 

konstanter, mens log( y) 

kan betragtes som en funktion 

af x. For bedre at kunne fokusere på hvad der står i den sidste linje af 

omskrivningen, vil vi kalde tallet log( b) 

for B, kalde tallet log( a) 

for A og 

variablen log( y) 

for Y. log( y) = log( b) + x·log ( a) 

oversætter vi med denne 

notation til Y = B+ A· x. 

For at undersøge, om et datasæt stammer fra en eksponentiel udvikling, 

vil vi derfor plotte punkterne ( x, Y) 

i et koordinatsystem. Hvis disse punkter 

ser ud til at ligge på en ret linje, kan vi bestemme/tegne den bedste rette linje 

gennem dem. Denne linje har ligningen Y = B+ A· x. 

Der er som bekendt 

metoder til at bestemme A og B for en sådan ret linje. Og når A og B er 

kendt, kan vi bestemme størrelserne a og b i den eksponentielle model ud 

A 

B 

fra sammenhængen A= log( a) ⇒ a= 

10 og B= log( b) ⇒ b= 

10 , idet vi 

husker, at sammenhængen mellem logaritmefunktionen og dens omvendte 

x x 

funktion kan beskrives: y= 10 ⇔ log( y) = log(10 ) ⇔ log( y) = x. 

x 



Eksempel 3 

Vi fortsætter med datamaterialet fra opgave 4 og transformerer ykoordinaten 

til Y = log( y). 

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

y 6,82 7,76 9,66 12,12 14,31 17,96 21,8 26,26 32,87 40,36 

Y 0,83 0,89 0,98 

Udfyld selv resten af tabellen. 

Hvis vi plotter punkterne ( t, Y) 

i koordinatsystemet, giver det følgende 

billede: 

1,8 

1,6 

1,4 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

Plot af (t,log(y)) 

0 2 4 6 8 10 12 

Figur 2. 

Punkterne ser pr. øjemål ud til at ligge pænt omkring en ret linje, og 

sammenhængen mellem de to variable, x og Y, kan altså skrives som 

Y = B+ A· x . Det er derfor rimeligt at antage, at der er en eksponentiel 

sammenhæng mellem de oprindelige variable, t og y. 

Opgave 6 

Find værdierne af konstanterne A og B i eksemplet ovenfor. 

A er jo logaritmen til fremskrivningsfaktoren, a, og B er logaritmen 

til begyndelsesværdien, b. 

Find værdien af a og b. Hvad betyder de to tal for funktionens udvikling? 



I stedet for selv at beregne A og B kan man benytte regnearkets funktion 

tendenslinje 1 til at bestemme den bedste rette linje gennem punkterne. 

Vha. regnearket findes den bedste model, når A = 0,0873 og B = 0,7277, 

så Y = 0,0873t+ 0,7277 er en fornuftig model for disse data. 

Vi har således bestemt, at der med rimelighed er tale om en eksponentiel mo- 

t 

A 0,0873 

B 0,7277 

del, y= b· a , og at a = 10 = 10 = 1,223 og b = 10 = 10 = 5,342. 

x 

Modellen er altså y = 5,342⋅ 1,223 . 

Opgave 7 

Verdens befolkning 

Undersøg, om udviklingen i verdens befolkning siden 1950 kan beskrives 

ved en eksponentiel model. 

År 1950 1955 1960 1965 

Befolkning 2.518.629 2.755.823 2.981.659 3.334.874 

År 1970 1975 1980 1985 

Befolkning 3.692.492 4.068.109 4.434.682 4.830.979 

År 1990 1995 2000 2005 

Befolkning 5.263.593 5.674.380 6.070.581 6.453.628 

Opgave 8 

Radioaktivt henfald af Barium 137 

Tabellen viser antal henfald pr. sekund (aktiviteten) af det radioaktive 

stof Barium 137 målt med 10 sekunders mellemrum. 

Tid (sek.) 0 10 20 30 40 50 60 

Antal henfald 1.126 1.115 1.063 996 995 959 905 

Tid (sek.) 70 80 90 100 110 120 130 

Antal henfald 882 853 758 787 764 744 636 

Tid (sek.) 140 150 160 170 180 190 200 

Antal henfald 640 620 579 572 557 548 522 

1 Der kan læses mere udførligt om tendenslinjer i kapitel 4. 



Undersøg, om henfaldet kan beskrives ved hjælp af en eksponentiel 

model. Bestem i bekræftende fald den såkaldte halveringstid, der 

angiver den tid, der skal til, for at aktiviteten falder til det halve (jf. 

ϒ -bogen , s. 455). 

Opgave 9 

Find i litteraturen eller på nettet data for udviklinger, som måske kan 

beskrives ved hjælp af en eksponentiel model, og undersøg, hvorvidt 

tallene med rimelighed kan beskrives ved en sådan model. 

Opgave 10 

I den foreslåede metode til at påvise eksponentiel vækst i observationsdata 

med har vi mhp. det følgende afsnit valgt at gå via logaritmer 

og rette linjer. Selvfølgelig kan regnearket i computeren gå en mere 

direkte vej, idet man efter indtastning af funktionstabellerne som i de 

foregående eksempler og opgaver direkte beder om at få eksponentiel 

tendenslinje. Denne facilitet i regnearket giver den eksponentielle 

model, der er bedst tilpasset til data. Den direkte vej kan give et resultat, 

som afviger lidt fra det resultat, som blev fundet med metoden, 

der gik via den bedst rette linje. Se på, hvor stor forskellen bliver i 

eksempel 3. 

loGISTISK VæKST 

Figur 3. 


I første halvdel af 1800-tallet arbejdede den belgiske 

matematiker P. F. Verhulst (1804-1849) med 

befolkningsudviklingen i USA. De tal, der var til 

rådighed, var fra folketællingerne i de første årtier 

efter unionens dannelse. De fremgår af tabel 1. På 

baggrund af tallene i tabellen forsøgte Verhulst at 

forudsige udviklingen i befolkningstallet frem til 

1940 2 . 

2 Oplysningerne her stammer fra The Mathematical Association of America: http://mathdl. 

maa.org/mathDL/4/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=484&bodyId=635 (lokaliseret 

februar 2008). 


Tabel 1. 

Årstal Befolkning i mio. 

1790 3,929 

1800 5,308 

1810 7,240 

1820 9,638 

1830 12,866 

1840 17,069 

Opgave 11 

Undersøg udviklingen i USA’s befolkningstal med udgangspunkt i 

tallene i tabellen. Forudsig på den baggrund befolkningsudviklingen 

hvert tiende år frem til 1940. 

Overvej, hvilke forudsætninger I lægger til grund for forudsigelsen, 

og hvor afgørende de er for resultatet. 

Som udgangspunkt kunne man lede efter en eksponentiel sammenhæng i 

tallene 3 . Men dels kan en eksponentiel vækst næppe forventes at fortsætte i 

det uendelige, og dels er der noget i tallene, der måske antyder, at væksten 

i procent ikke er konstant, men netop ændrer sig over tid. Man kan på den 

baggrund forestille sig, at den procentuelle vækst, vækstraten, ikke er den 

samme, men at den falder, efterhånden som befolkningstallet stiger. 

År Befolkning i mio. Vækstrate Vækstrate ift. befolkning 

1790 3,929 

1800 5,308 0,3510 0,0893 

1810 7,240 0,3640 0,0686 

1820 9,638 0,3312 0,0457 

1830 12,866 0,3349 0,0348 

1840 17,069 0,3267 0,0254 

3 Verhulsts arbejde var til dels en reaktion på den engelske demograf og økonom Thomas Malthus. 

Malthus mente, at befolkningstallet ville stige eksponentielt, hvis det ikke blev begrænset 

af især hungersnød, men også af fx naturkatastrofer og krig. Da Malthus samtidig mente, at 

fødevareproduktionen kun ville stige lineært, var udsigterne til at overvinde verdens fattigdom 

små, hvis man ikke kunne begrænse børnetallet på andre måder. 



Opgave 12 

Brug tabellen på forrige side til at foretage en ny beregning af det 

forventede befolkningstal i USA i årene mellem 1840 og 1940. 

Det kunne altså se ud, som om der er brug for en anden og mere kompliceret 

model for vækst end den eksponentielle. Den model, vi nu skal se 

på, udviklede Verhulst som en model af befolkningsudviklingen i USA. 

Verhulsts model var så præcis, at den faktisk forudsagde udviklingen i 100 

år, dvs. frem til 1940, med meget stor præcision (se figur 4). Til gengæld 

passer modellen dårligt med tiden efter 1940. 

Verhulsts model er siden blevet benyttet til at beskrive og forudsige udviklingen 

i antallet af levende organismer i et lukket miljø. Der er således 

lavet en model for sådanne udviklinger, selv om den har sine svagheder, 

som udviklingen i USA efter 1990 viser. 

Befolkning 

250 

200 

150 


50 

1790 1850 1900 1950 2000 

Årstal 

Figur 4. den S-formede logistiske vækst, som Verhulst nåede frem til i 1840’erne (fuldt 

optrukket linje), kom til at passe med den faktiske udvikling (sorte prikker) frem til 1940. 

logistisk vækst som model for antal 

organismer i lukkede miljøer 

I eksempel 2 så vi, hvorledes bakterier formerede sig med en fordobling hvert 

døgn. Vi beskrev udviklingen ved en fremskrivning, hvor b( t+ 1) = 2 · b ( t ) . 

Dette kan vi også tænke på som b( t+ 1) = b( t) + 1 ⋅ b( t) 

, hvor det første b( t) 

er bakteriemængden, der var forrige døgn, og det andet 1∙ b( t) 

er vækstraten 



1 ganget den forrige tilvækst b( t), 

som giver den tilvækst, der er kommet det 

seneste døgn. Denne opfattelse af udviklingen som “det, der var i perioden 

før plus det, der kommer til, T”, beskrives i det efterfølgende som: 

[1] b( t+ 1) = b( t) + T, 

– hvor T altså er tilvæksten. 

Nu behøvede tilvæksten i den første periode naturligvis ikke være den 

samme som hele den oprindelige funktionsværdi. Vækstraten kan altså 

være noget andet end 1. I denne mere generelle situation, hvor vækstraten 

er a, er tilvæksten T = a⋅ b( t) 

, og funktionsværdien til tiden t( + er: 1 ) 

b( t+ 1) = b( t) + a⋅b( t). 

Hvis bakterierne befinder sig i et lukket miljø, fx en kolbe, er det urealistisk 

at forestille sig, at vækstraten bliver ved med at være den samme. Livsbetingelserne 

for bakterierne bliver ringere og ringere, og der må være en 

øvre grænse, et maksimum, for, hvor mange bakterier næringsmængden 

i en given kolbe kan understøtte. Det betyder, at tilvæksten ikke længere 

kan findes som a⋅ b( t) 

, hvor a er en konstant. Derimod aftager vækstraten, 

efterhånden som b( t)vokser, 

og den bliver 0, når antallet af bakterier når 

maksimumsgrænsen. 

Vi vil nu finde et udtryk for tilvæksten, der lever op til disse krav og i 

øvrigt er så simpelt som muligt. Når vi har fundet et udtryk for den ønskede 

tilvækst, vil vi konstruere vores model ved at sætte det ind i den generelle 

formel [1]. 

Kalder vi maksimumgrænsen for M, vil vi altså lave en model, der opfylder, 

at vækstraten er a, når b( t) 

lille, og at vækstraten er 0, når vi når grænsen 

for antallet af bakterier, dvs. når b( t) = M. 

Ud fra ønsket om forenkling 

tillader vi os en antagelse om den relative vækstrate, dvs. om vækstraten i 

forhold til antallet af bakterier. Antagelsen er, at denne relative vækstrate 

aftager lineært i takt med, at antallet af bakterier øges. Den antagelse kan 

vi repræsentere grafisk. Hvis a fx er 0,5 og M = 10.000, så viser figur 5 

vækstraten som funktion af b( t). 



Vækstrate i forhold til b(t) 

0,5 

0 

0 

Vækstrate i forhold til b(t) 

a 

0 

0 

0,5 _ 

a _ 

b(t ) 

0 

0,5 

10.000 

Figur 5. 

a 

·b(t) 

M 

Figur 6. 

· b(t) 


b(t) 

10.000 = maks. grænse 

b(t) 

M, maks. grænse 

I det mere generelle tilfælde får vi figur 6. Hældningen på grafen er her 

− a (hvorfor?). 

M 

Vi kan så udtrykke vækstraten i forhold til, hvor mange bakterier der 

er på et givet tidspunkt, t0 . Hvis antallet af bakterier er mellem 0 og M, er 

vækstraten: 

a a ⎛ b( t M b t 

b t a 0) ⎞ ⎛ ( 

( a 0) 

⎞ 

M 0) 

⎜1 ⎟ ⎜ 

− 

− ⋅ = ⋅⎜ − = ⋅ ⎟ 

⎜ M 

⎟ ⎜ M 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎜⎝ 

⎟ 

. 

⎟⎠ 

⎛M b( t) 

⎞ 

Tilvæksten, T, målt i antal bakterier er så generelt: T a ⎜ 

− 

= ⋅⎜ ⎟ 

⎜⎝ 

⋅b( 

t) 

M ⎟ . 

⎠ 

Hvis vi indfører denne variable tilvækst i modellen [1], får vi en ny model 

for udviklingen af bakterierne: 

⎛Mbt ( ) ⎞ ⎛ M bt ( ) ⎞ 

bt ( 1) bt ( ) a⎜ − ⎟· bt ( ) bt ( ) ⎜ 

− 

+ = + ⋅ ⎜ = ⋅ 1+ 

a⋅ 

⎟ 

⎜⎝ M ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ 

M ⎟ ⎟. 

⎠ 


Her står, at bakteriemængden på et givet tidspunkt fås ved at gange antallet 

⎛ M b( t) 

⎞ 

af bakterier et døgn tidligere med faktoren ⎜ 

− 

⎜1+ a⋅ ⎟ 

⎜⎝ M ⎟ ⎟. 

I modsætning 

⎠ 

til det eksponentielle tilfælde, hvor fremskrivningsfaktoren var konstant, så 

afhænger faktoren her af antallet af bakterier. 

Hvis fx M = 10.000 og b(0) = 2.000, og væksten til at begynde med er 

halvdelen af begyndelsesværdien, får vi, at 

b (1) = 2.000+ 0,5 ⋅ 10.000 − 2.000 · 2.000= 2.800 ; 


b (2) = 2.800+ 0,5 ⋅ 10.000 − 2.800 · 2.800= 3.808 ; 


… 

Vi får så udviklingen i figur 7 frem: 

12000 


8000 

6000 

4000 

2000 

Opgave 13 

0 

0 5 10 15 20 25 

Figur 7. logistisk vækst med b(0) = 2.000, M = 10.000 og a = 0,5. 

Lav et regneark med den model, som er afbildet på figur 7. Hvordan 

udvikler modellen sig, hvis man ændrer på startbetingelsen, altså på 

b(0)? Hvad nu, hvis man ændrer på maksimumsgrænsen M? Hvordan 

skal modellen ændres, hvis bakterierne formerer sig med en faktor 3 

i begyndelsen, altså hvis a = 2? 



Opgave 14 

På en øde ø udsættes nogle kaniner. Der kan højst leve 1.000 kaniner 

på øen. Kaninerne kan maksimalt formere sig med en tilvækst på 20 % 

om måneden, svarende til en maksimal fremskrivningsfaktor på 1,2. 

Hvis kaninbestanden følger en logistisk vækstmodel, kan vi opstille 

denne model for antallet af kaniner på øen: 

1.000 − b( t) 

b( t+ 1) = b( t) + 0,2 ⋅ 

1.000 

· b( t) 

. 

Benyt et regneark til at undersøge, hvorledes kaninbestanden udvikler 

sig for forskellige startværdier b( 0 ) . Hvis vi, inden der er gået et år, 

vil have en bestand på mere end 500 kaniner på øen, hvor mange skal 

vi så sætte ud? 

den kontinuerte model for logistisk vækst 

Vi så tidligere, at den eksponentielle vækst kan skrives som en relativt pæn 

funktion, nemlig en eksponentiel funktion af tiden. Logistisk vækst kan 

også beskrives ved hjælp af funktioner, men de er knap så enkle som for 

den eksponentielle vækst. 

Hvis den rekursive fremstilling for den logistiske vækst er: 

M−f( t) 

f( t+ 1) = f( t) + a⋅ ⋅f( 

t) 

, 

M 

vil funktionen f( t) 

= M 

1+ 

ce−at 

beskrive den samme udvikling, hvis kon- 

M f(0) 

stanten c sættes lig følgende brøk c = 

f (0) 

− 

, 

hvor f (0 ) er startværdien for f. c er altså et udtryk for, hvor mange gange så 

stor som udgangspunktet, den mulige vækst er. I formlen angiver a vækstraten 

for små populationer, og e er grundtallet for den naturlige logaritme. 

Eksempel 4 

I modellen i figur 7 havde vi b(0) = 2.000 , M = 10.000, 

a = 0,5 . Vi 

kan derfor bestemme 

10.000 − 2.000 

c = 

2.000 

= 4 , og opstille funktionsforskriften 



t 

e t 0,5 

( ) = 10.000 

1+ 4⋅ − ⋅ 

. 

Forskriften i eksempel 4: b t 

e t 0,5 


1+ 4⋅ − ⋅ 

giver ikke anledning til helt 

de samme tal, som vi fik i fremskrivningen i udregningerne inden figur 7. 

Dette skyldes, at fremskrivningsmodellen b t 

e t 0,5 


1+ 4⋅ − ⋅ 

og modellen 

b t 

e t 0,5 


1+ 4⋅ − ⋅ 

henter deres løsningsmetoder fra to forskellige discipli- 

⎛ − ⎞ 

ner inden for matematikken. Modellen ⎜ 

10.000 b( t) 

b( t+ 1) = ⎜ + ⋅ ⎟ 

⎜⎝ 

1 0, 5 ⎟· 

b( t ) 

10.000 ⎠ 

er ‘diskret’, i den forstand at den forholder sig til tidsskridt af en vis længde, 

og egentlig ikke siger noget om antallet af bakterier i tidsrummet mellem 

t og t + 1. 

Antallet af bakterier i et givet tidspunkt beregnes på grundlag 

af antallet i én tidsperiode inden, og der er ikke taget hensyn til, at antallet 

af bakterier udvikler sig gradvist i den mellemliggende periode. Grafen i 

figur 7 er derfor også en tilsnigelse, idet vi har tegnet en kontinuert kurve 

mellem de værdier, modellen giver os. 

Modellen b t 

e t 0,5 


1+ 4⋅ − ⋅ 

er en ‘kontinuert’ model, der tillader os 

at beregne befolkningsstørrelsen til et hvilket som helst tidspunkt. Matematikken 

bag denne model forholder sig til væksten “hele tiden” og ikke kun i 

diskrete tidshop 4 . Når vi fx beregner b(1) 

= 10.000 

e 0,5 1 

2918,75 

1 4 − ⋅ 

= tager 

+ ⋅ 

modellen således hensyn til, at antallet af bakterier har udviklet sig gradvist 

i tidsrummet fra 0 til 1, hvorimod beregningen ved hjælp af fremskrivningen, 

b (1) = 2.000+ 0,5 ⋅ 10.000 − 2.000 · 2.000= 2.800 , helt ignorerer, at 


antallet af bakterier ikke udvikler sig i spring. 

Hvis vi skal analysere nogle virkelige vækstdata ved hjælp af en logistisk 

fremskrivningsmodel, er det vigtigt, at vi vælger en tidsenhed, der svarer 

til virkeligheden. Hvis fx en dyrepopulation formerer sig én gang om året, 

så skal vi vælge en fremskrivningsmodel, hvor 1 på tidsaksen betyder 1 år. 

Hvis derimod populationen formerer eller udvikler sig kontinuert, så skal 

vi vælge en lille tidsenhed i vores fremskrivning eller simpelthen anvende 

funktionsforskriften fra den kontinuerte model. Små tidsmæssige spring vil 

4 Rent teknisk er der tale om en differentialligning. 



esultere i, at den fejl, modellen begår ved at ignorere udviklingen i mellem to 

beregningstidspunkter, bliver lille, og faktisk er det sådan, at hvis vi forestiller 

os tidsspringene uendelig små, leverer den trinvise fremskrivningsmodel 

de samme resultater som den kontinuerte model. 

Opgave 15 

Opstil den kontinuerte funktion, der er model for udviklingen i opgave 

14. 

Tegn grafer for modellen f( t) 

= M 

1+ 

ce−at 

for forskellige værdier af 

M, c og a. Hvordan vil du beskrive grafernes udseende? 

Tilpasning af logistisk vækst til datamateriale 

Vi slutter dette kapitel med at se, hvorledes man kan tilpasse den logistiske 

model til et datamateriale. Hvis man benytter den rekursive, trinvise 

fremskrivningsmodel for logistisk vækst, så taster man sit datamateriale 

ind i et regneark og prøver så ved at gætte og korrigere på de indgående 

konstanter i modellen, b( 0 ) , M og a, at tilpasse modellen til data. Dette er 

en noget besværlig metode, hvor der skal lidt held til at finde på nogle gode 

gæt i starten. 

Der findes også en mere systematisk metode til at få den kontinuerte 

logistiske model til at passe til datamaterialet. Ligesom ved tilpasningen af 

en eksponentiel vækst består tricket i at omskrive den logistiske vækst til 

en form, der vil give anledning til rette linjer i et koordinatsystem. Vores 

udgangspunkt er derfor funktionssammenhængen y = M 

1+ 

ce−ax 

, som vi 

omskriver på følgende måde: 

M −ax 

−ax 

1 M 

y 

y = ⇒ + ce = ⇒ 

1+ 

ce 

−ax−ax⎛ ⎞ 

= − ⇒ = ⎜ 

M 

ce M 1 log( ) log⎜ − ⎟ 

y 

ce 

⎜⎝ 

1 ⎟ 

⇒ 

y ⎠ 

⎛ ⎞ 

⎜ 

M 

log⎜ − ⎟ 

⎜⎝ 

1 ⎟ 

=− a·log( e)· x+ log( c) 

y ⎠ 

⎛ ⎞ 

Hvis vi sætter ⎜ 

M 

log⎜ − ⎟ 

⎜⎝ 

1 ⎟ 

= Y , log( e)· x= X , − a= A og log( c) = B, 

er 

y ⎠ 

sidste linje af omskrivningen ændret til Y = A· X+ B, 

som vi genkender 



som den rette linjes ligning. Hvis vi vil undersøge, om et givet datamateriale 

er fordelt efter den logistiske model, bør vi derfor plotte punkterne 

( X, Y) 

i et koordinatsystem. Hvis de ligger op ad en ret linje, kan vi finde 

ligningen for denne linje, og altså A og B og dermed parametrene a og c i 

den logistiske model. 

⎛ ⎞ 

Og så er det alligevel ikke helt så let endda, fordi variablen ⎜ 

M 

Y = log⎜ − ⎟ 

⎜⎝ 

1 

y ⎟⎠ 

kræver, at vi har kendskab til den øvre grænse M. Det har vi måske, fordi 

vi kan se den stabile slutsituation for udviklingen i de observerede data. 

Hvis vi ikke kan aflæse M ud fra data, kan vi måske alligevel godt finde en 

brugbar model, som vi skal se i det følgende eksempel. 

Eksempel 5 

Andelen af husstande i USA med videomaskine: 

År 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 

X 0 1 2 3 4 5 6 

% 0,3 0,5 1,1 1,8 3,1 5,5 10,6 

År 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 

X 7 8 9 10 11 12 13 

% 20,8 36,0 48,7 58,0 64 72 72 

Hvis man plotter data, kan man se, at de ligner den karakteristiske 

svungne S-kurve for den logistiske model. 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 


0 

0 5 10 15 20 25 

Figur 8. 



Det kunne se ud, som om M ligger i nærheden af 75 %, så vi laver 

⎛ ⎞ 

transformationen ⎜ 

M 

Y = log⎜ − ⎟ 

⎜⎝ 

1 

⎟ 

med M = 75. 

Hvis man laver ud- 

y ⎠ 

regningerne i et regneark, kan man med fordel have værdien af M i en 

celle for sig selv, da man så nemt kan variere den og se, hvilken værdi 

der evt. giver den pæneste rette linje, når man plotter ( X, Y). 

X 0,00 0,43 0,87 1,30 1,74 2,17 2,61 3,04 3,47 3,91 4,34 4,78 5,21 5,65 

Y 2,40 2,17 1,83 1,61 1,37 1,10 0,78 0,42 0,03 -0,27 -0,53 -0,78 -1,37 -1,37 

Plotter vi disse tal i koordinatsystemet, får vi dette billede, 

3,00 

2,50 

2,00 

1,50 

1,00 

0,50 

0,00 

-0,50 

-1,00 

-1,50 

-2,00 

1,00 2,00 3,00 5,00 

Figur 9. 

– hvor vi kan se, at punkterne ligger ganske pænt op ad en ret linje. 

For at undersøge hvor godt M = 75 passer, kan vi prøve med andre 

værdier af M. Prøver vi med M = 85, får vi plottet: 

3,00 

2,50 

2,00 

1,50 

1,00 

0,50 

0,00 

-0,50 

-1,00 

1,00 2,00 3,00 5,00 

Figur 10. 



Vi prøver også med M = 80: 

3,00 

2,50 

2,00 

1,50 

1,00 

0,50 

0,00 

-0,50 

-1,00 

-1,50 

1,00 2,00 3,00 5,00 

Figur 11. 

Umiddelbart kunne det se ud, som om plottet for M = 80 er den 

‘mest’ rette linje, så vi foretager de resterende beregninger på transformationen 

med M = 80. 

Hvis vi benytter regnearkets tendenslinje til at finde forskriften 

for den bedste rette linje, finder vi Y =− 0,6406X+ 2,4423 . Vi har 

altså bestemt M = 80, 

A =−0,6406og B = 2,4423 . Så mangler vi 

blot at oversætte til den oprindelige model. A=−⇒ a a= 0,6406 

2,4423 

og log( c) = B= 2,4423 ⇒ c= 

10 = 276,9. 

Dermed har vi fundet 

modellen: f t 

e t 0,6404· 

( ) 

80 

1 276,9 · − 

= . 

+ 

På billedet ses, hvorledes modellen (fuldt optrukken linje) og data 

(sorte prikker) ser ud i forhold til hinanden: 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

30 

20 


0 

0 5 10 15 20 25 

Figur 12. 



Opgave 16 

I denne opgave skal du selv forsøge at tilpasse data til modellen for 

logistisk vækst f( t) 

= M 

1+ 

ce−at 

ved at bestemme parametrene a , c 

og M. 

1) Tabellen viser størrelsen af den jødiske befolkningsgruppe i Toronto. 

År 1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991 

t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 

Indb. 3.103 18.294 34.770 46.751 52.798 66.773 85.000 97.000 128.650 162.605 

Udviklingen passer rimelig godt med en logistisk model med 

M = 175.000. 

Tabellen viser antallet af nykonstaterede AIDS-tilfælde i staten Ohio 

i USA. 

År 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Antal 2 8 27 58 121 209 394 533 628 674 746 

Udviklingen passer rimelig godt med en logistisk model med 

M = 760 . 

Tabellen viser antallet af polioramte under den store epidemi i 1949 

i USA. 

jan. feb. marts april maj juni juli aug. sep. okt. nov. dec. 

Antal 494 759 1.016 1.215 1.619 2.964 8.489 22.377 32.618 38.153 43.462 42.375 

Undersøg, om udviklingen kan beskrives ved hjælp af en logistisk 

model. 

Opgave 17 

Bestem formlen f( t) 

= M 

1+ 

ce−at 

til at beregne Verhulsts forudsigelse 

af USA’s befolkningstal i 1940 ud fra de data i tabel 1 på side 57, 

Verhulst selv benyttede. 



Opgave 18 

Hvis man spilder en dråbe blæk på trækpapir, kan det så passe, at 

plettens areal udvikler sig over tid efter en logistisk model? 

oPSAMlInG På KAPITEl 2 

1) Udform så mange forskellige repræsentationer som muligt af de forskellige 

funktioner, vi har omtalt i kapitlet, og placer disse repræsentationer i 

et begrebskort. 

2) Hjælp en ung kollega – inspiration fra café-modellen (se evt. side 351 i 

δ-bogen). 

Forestil dig den situation, at du som erfaren matematiklærer sidder på 

lærerværelset før en matematiktime i 8. klasse, hvor du skal begynde på et 

forløb om vækstfunktioner. 

Over for dig sidder en ny ung kollega, der spørger, hvilke funktioner du 

vil inddrage, og hvordan du vil gøre det. Og du fortæller din unge kollega 

hvordan. Dvs. niveauet for forklaringen er som mellem fagkolleger. Prøv 

dette i café-modellen. 

Holdet opdeles i grupper på fire studerende med to a’ er og to b’ er i hver. 

Alle a’ erne får til opgave at gøre rede for, hvilke funktioner de vil inddrage 

i undervisningen, begrunde valget og finde eksempler på de valgte. 

Alle b’ erne får til opgave at give en første faglig introduktion til lineær og 

eksponentiel vækst. 

a’ erne fremlægger to og to i fx 7 minutter, de to b’er i grupperne lytter. 

Herefter giver b’ erne feedback på a’ ernes fremstilling. a’ erne kan nu nå at 

forbedre deres fremstilling lidt, mens b’erne roterer til nye a’ er. a’ erne giver 

nu deres forklaring en gang til og får igen feedback. 

Forløbet gentages, men nu er det b’ ernes tur til at fremlægge, og a’ erne 

giver feedback. 



Overvej til slut, hvordan denne model kan bruges i skolen. Skal man fx give 

eleverne numre i to-mandsgrupperne, således at begge får lejlighed til at 

stå for forklaringen? Ud fra erfaring med jeres eget forløb er der så andre 

forhold, der skal tages i betragtning, hvis modellen overføres til skolen?

Matematik for lærerstuderende Omega 4.-10 ... - Samfundslitteratur

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?