rapport - Institut for Matematik og Datalogi

MAPLE PÅ
FØRSTE-ÅRS
MATEMATIK
ET MATERIALE FOR
UNDERVISERE
BASERET PÅ
ET UDVIKLINGSPROJEKT VED KU
Jan Philip Solovej
Inst. for Matematiske Fag
Københavns Universitet
2100 København Ø
solovej@math.ku.dk
Carl Winsløw
Inst. for Curriculumforskning
Danmarks Pædagogiske Universitet
2400 København NV
cawi@dpu.dk

Indhold.
1. Den overordnede problemstilling ………..……………………………….. 1
A. Baggrund
B. Hvorfor CAS på universitetet?
C. Betydningen af aktører og kontekst: fra trekant til firkant
D. Hvordan CAS på universitetet?
E. Nogle litteraturhenvisninger
2. Kort præsentation af projektet. …………….……………………………. 11
A. Konteksten
B. Projektets problemstillinger
C. De ’eksemplariske’ Maple-ark
D. De to Maple-klasser
E. Dokumentationsarbejdet
3. Det tekniske udviklingsarbejde. ….…………………………………….. 16
A. Indledning
B. Maple-brug ved forelæsninger og eksempeltimer
C. Maple-brug i klassetimerne
D. Maple-brug i forbindelse med skriftlige opgaver og skriftlig
eksamen
E. Maple-brug ved projektet
F. Om udviklingen af Maple-arkene
4. Udvalgte observationer fra undervisningsforløbet. ………….………...… 39
A. Indledning
B. Den første spørgeskemaundersøgelse
C. Brug af Maple ved forelæsningerne
D. Brug af Maple i klassetimerne
E. Det obligatoriske projekt
F. Interviewundersøgelserne
G. De sidste spørgeskemaundersøgelser
H. Eksamen
5. Afsluttende bemærkninger, spørgsmål og anbefalinger. …………...…… 65
Appendix A: spørgeskemaer
Appendix B: projektformuleringen
Appendix C: skriftlig eksamen i kurset
Appendix D (diskette): Maple-ark udviklet i projektet
1

1.
Den overordnede
problemstilling
A. Baggrund.
Brugen af computer algebra systemer (herefter forkortet CAS) er
indenfor de seneste 10 år blevet stadig mere udbredt, i takt med at
teknologien er blevet stadig bedre og billigere. Man kan i dag for
få hundrede kroner erhverve en ’lommeregner’, som har såvel
grafiske som symbolske funktioner. Mere avancerede CAS –
såsom Mathcad, Maple og Mathematica – bruges professionelt
både i matematisk forskning og i andre erhvervsmæssige
sammenhænge, hvor videregående matematik indgår. Samtidig
vokser brugen af CAS i ungdomsuddannelserne. De studerende,
som tager matematikkurser på universiteterne, vil derfor i stigende
omfang have forudgående erfaringer med CAS-brug i løsningen af
matematiske problemstillinger, og de vil med stor sikkerhed
komme til at bruge CAS i deres efterfølgende arbejdsliv. Denne
situation giver naturligvis anledning til at overveje at inddrage
CAS-brug også i universiteternes matematikundervisning. I dansk
sammenhæng er det endnu ikke særlig almindeligt. Det gælder
ikke kun i den mere avancerede undervisning, hvor CAS-brug ofte
er mindre oplagt, men også i den indledende undervisning
(calculus og lineær algebra) hvor CAS-brug i hvert fald er
særdeles mulig. Om CAS også er en relevant, en gunstig eller
måske ligefrem en nødvendig medspiller i denne sammenhæng, er
et åbent spørgsmål, der rummer både subjektive og objektive
momenter. Der er dog næppe tvivl om at spørgsmålet med stigende
intensitet vil melde sig i lyset af den tidligere skitserede udvikling i
matematisk praksis udenfor universiteterne. I den forskning, som
beskæftiger sig med matematikundervisning på universitetsniveau,
2

er det da også et af de emner, som for tiden gives allerstørst
opmærksomhed. Det er selvfølgelig ikke uden sammenhæng med
den uddannelsespolitiske diskussion om ’Reform Calculus’ o.lign.,
som særlig i USA har været ført med stor heftighed.
B. Hvorfor CAS på universitetet?
Man kan groft sagt tale om to typer af argumenter for og imod
brug af CAS i en given matematikundervisning:
• pragmatiske argumenter, der angår den studerendes
forudsætninger og undervisningens kompetencemål
• didaktiske argumenter, der angår den rolle CAS-brug kan
spille for den studerendes læring.
Denne skelnen er ret vigtig, bl.a. fordi dette projekt i det
væsentlige kun forholder sig til didaktiske argumenter. Det vil
typisk være tilfældet, hvor man undersøger effekten af CAS
indenfor en på forhånd helt fastlagt ramme (pensum,
undervisningsform mv.) For at tydeliggøre denne indskrænkning,
vil vi dog også give eksempler af den første type, som er relevante
for universiteternes matematikundervisning.
I denne sammenhæng kunne pragmatiske argumenter
for CAS-brug fx. baseres på, at de studerende fra gymnasiets
matematikundervisning er vant til at bruge CAS i visse
sammenhænge, eller på at uddannelsens kompetencemål aht. deres
erhvervsmuligheder må omfatte fortrolighed med brug af CAS i
forbindelse med det faglige stof. Men det kunne fx. også tale imod
inddragelse af CAS, hvis de studerende ikke før universitetet
havde opnået tilstrækkelige færdigheder pga. overdrevent eller
forkert CAS-brug, eller at brugen af CAS er i så hastig forandring
at den måske bedst tilegnes efter studiet, i den enkeltes konkrete
erhvervssammenhæng. Under alle omstændigheder er der en stærk
akademisk tradition for at se med stor skepsis på pragmatiske
argumenter for at ændre magisteruddannelsernes indhold, med
mindre disse er direkte afledt af udviklinger i videnskabsfaget. Og
her sker ændringer af arbejdsformer typisk langsommere.
3

Didaktiske argumenter for brug af CAS i
universitetsundervisning drejer sig typisk om, at man kan opnå et
mere varieret eller lettere tilgængeligt eksempelmateriale, fordi
den praktiske side af arbejdet med eksempler (beregning, tegning
mv.) lettes eller ligefrem muliggøres af CAS. Ideen er så, at man
derved skulle kunne fokusere mere direkte på forståelsen af de
begreber og sammenhænge som eksemplificeres. Eller, som den
israelske matematik-didaktiker T. Dreyfus udtrykker det:
The idea is for students to operate on a high conceptual level;
in other words, they can concentrate on the operations that are
intended to be the focus of the attention and leave the lowerlevel
operations to the computer. [1, side 205]
Ideen om CAS som en ‘kognitiv slave’ vil vi referere til som
Dreyfus’ potentiale. En mulig konsekvens kunne fx være, at der i
undervisningssituationen udvikles nye og bedre arbejdsformer,
specielt en større grad af selvstændig studenteraktivitet – og det er
jo ikke mindst ønskeligt i en universitetssammenhæng.
Modsat er det ofte fremført, at CAS-brug har en
tendens til at fokusere studenteraktiviteten på eksempler alene, og
at dette kan være til skade for væsentlige faglige aktiviteter (såsom
ræsonnement og bevisførelse) der ikke så oplagt understøttes af
CAS. Den amerikanske matematikdidaktiker Z. Usiskin har
ligefrem givet udtryk for, at CAS-brug fremmer en induktiv
arbejdsform (konklusioner baseres på specielle eksempler), på
bekostning af den deduktive (konklusioner baseres på generelle
sammenhænge) som har været central i den videregående
matematik siden oldtiden:
Computers present particular problems to those who favour
more work with deduction. Because of their ability to display
example after example, computers encourage induction as a
valid method of argument. (...) These developments reflect a
fundamental problem for mathematics education. [1, side 325]
Vi refererer ofte til denne risiko for ’induktiv slagside’ som
Usiskins problem.
4

Det kan være vanskeligt at dokumentere validiteten af
argumenter for og imod CAS-brug, specielt hvor de er stærkt
normative; men det er på den anden side ikke umuligt at
dokumentere argumenter af den skitserede art, når de formuleres
mere præcist (og måske dermed mindre interessant): fx kan
konkrete forsøg med mange studerende godt give evidens for, at
CAS-brug i undervisningen støtter læringen af bestemte
begrebsmæssige sammenhænge (målt ved bestemte tests) mere
eller mindre. Men da vi er i en fase, hvor både teknologien og dens
brug i undervisning er noget ret nyt, er det måske mere frugtbart at
søge at gøre argumenterne – og spørgsmålene – mere nuancerede
ved at basere dem på konkrete og reflekterede erfaringer.
C. Betydningen af aktører og kontekst: fra trekant til
firkant.
I den daglige undervisning er det naturligvis ikke kun det
matematiske stof, som man må tage i betragtning. Mindst lige så
afgørende er lærerens og de studerendes egne forudsætninger,
interesser, intentioner osv., ligesom den institutionelle kontekst i
form af studieplaner, regler, fysiske forhold etc. kan spille en stor
rolle for, hvordan undervisningen forløber. Man har ofte brugt
’den didaktiske trekant’ (figur 1) som en simpel model for dette
forhold; dens hovedbudskab er, at undervisning udfolder sig i
relationer mellem lærer, stof og studerende, og at disse relationer
må forstås i forhold til konteksten.
Et computeralgebrasystem er vanskeligt at placere i
den didaktiske trekant. Det kan typisk ikke betragtes som blot ’en
del af stoffet’, og det vil også normalt opleves som eksternt i
forhold til såvel studerende som lærere. Man kunne måske vælge
at henføre det til konteksten, på linie med andre redskaber, men det
er langt mere frugtbart at ’udvide’ trekanten med endnu en aktør:
CAS (se Figur 2). Der er nemlig både erfaringsmæssigt og
teoretisk belæg for at se CAS som en reel (om end automatiseret)
aktør i forhold til lærere, studerende og stof – og i forholdet
5

mellem dem. Computeralgebrasystemet kan fx påvirke den måde,
hvorpå studerende og lærere behandler en opgave sammen, og det
kan endda være reel ’deltager’ i løsningen af opgaven.
Stof
Lærer Studerende
Figur 1
Stof CAS
Lærer Studerende
Figur 2
Når man vil forstå hvordan undervisningen forandres
når man indfører CAS, viser det sig nemlig ofte at man ledes til at
betragte relationer mellem CAS og hver af de tre oprindelige
’aktører’. De to modeller i figur 1-2 er selvfølgelig blot
6
kontekst
kontekst

illustrationer af helt banale tanker om den didaktiske situation. Det
interessante for projektet her ligger i den øgede kompleksitet, som
overgangen fra figur 1-2 medfører for den didaktiske situation. I
stedet for 3 relationer har vi nu 6 at holde styr på. Det er også klart,
at de ’velkendte’ tre relationer ændrer sig fra den ene tegning til
den anden.
Der er således grund til at interessere sig for hvordan
CAS påvirker hver af aktørerne i den didaktiske trekant, og for
hvordan forholdet mellem disse aktører og CAS påvirker
undervisningen. Og det kan være med til at strukturere
diskussionen at gøre sig klart, hvilke af relationerne i figur 1-2
som det enkelte argument forholder sig til.
Meget ofte vil didaktiske argumenter for CAS-brug i
en eller anden form hævde, at CAS gør det lettere for den
studerende at ’forstå stoffet’. Hvis vi fx igen betragter citatet af
Dreyfus på forgående side, drejer det sig jo i første omgang om at
de studerende takket være CAS kan fokusere på operationer på et
højere begrebsmæssigt niveau. Men hvilke operationer der er tale
om, afhænger jo (som citatet udtrykker) af intentioner, som først
og fremmest repræsenteres og formidles af læreren. Man kan
derfor også sige, at lærerens forhold til stoffet (herunder faglige
prioriteringer) og til CAS (herunder teknisk overblik) er afgørende
for, om CAS kan bruges til at højne niveauet for den studerendes
aktivitet og dermed for hans læring. Under alle omstændigheder er
det vigtigt at tage alle modellens elementer i betragtning.
D. Hvordan CAS på universitetet?
Spørgsmålet om, hvorvidt og hvor meget CAS kan bruges i en
undervisnings-sammenhæng, er selvfølgelig nært forbundet med
hvilke muligheder der ligger i CAS-brug. Der foreligger en række
dokumenterede forsøg med CAS-brug i indledende
matematikundervisning, ikke mindst i USA. Af sådanne forsøg
kan man naturligvis uddrage nogle typiske problemstillinger og
tendenser. Forsøgene har bl.a. spillet en væsentlig rolle i den mere
7

overordnede debat om problemer og principper i ’reform calculus’,
som har raset i USA siden begyndelsen af 90’erne.
Men det som typisk vil interessere en underviser er jo
det metodiske spørgsmål: ’hvordan kan jeg bruge CAS i
forbindelse med dette stof’. Selvom stof og CAS kunne være helt
ens, kan man ikke blot overtage amerikanske ’svar’ på dette
spørgsmål. En overordnet begrundelse ses i figur 2: den didaktiske
situation ændres af den anderledes kontekst, og det forhold at
metoden bruges med andre lærere og studerende (med en
systematisk anderledes baggrund).
Derfor er der brug for udviklingsprojekter, hvor der
gøres erfaringer i dansk sammenhæng – og i virkeligheden også i
hver eneste institutionelle kontekst. Denne rapport beskriver sådan
et projekt. Det er vigtigt at understrege, at projektets resultater kun
er ment som inspiration for undervisere, og at de metoder som
præsenteres må tilpasses den enkelte undervisers egen konkrete
kontekst, studentergruppe og måske CAS – foruden selvfølgelig
underviserens personlige egenskaber. Det er også givet, at Maplekyndige
undervisere vil kunne finde mange andre og mere
avancerede anvendelser af Maple i forbindelse med det faglige stof
end de, der er bragt i anvendelse her.
I praksis er jo ethvert undervisningsforløb et større
eller mindre stykke udviklingsarbejde – men nyttiggørelse for
andre forudsætter normalt en grad af dokumentation, som der ikke
er ressourcer til. Dette arbejde har været støttet af Dansk Center
for Naturvidenskabs-didaktik, som vi takker for denne mulighed
for refleksion og tværinstitutionelt samarbejde.
E. Nogle litteraturhenvisninger.
Generelle oversigtsværker om matematikkens didaktik:
[1] R. Biehler m.fl. (udg.): Didactics of Mathematics as a scientific
discipline. Kluwer, Dordrecht, 1994.
[2] G. Brousseau: Theory of didactical situation in mathematics. Kluwer,
Dordrecht, 1997.
8

[3] C. McKnight m. fl.: Mathematics education research: A guide for the
research mathematician. AMS, 2000.
En teknisk gennemgang af de vigtigste computeralgebrasystemer til
universitetsbrug:
[4] M. J. Wester (udg.): Computer algebra systems, a practical guide.
John Wiley, 1999.
Om CAS-brug i gymnasiets matematikundervisning:
[5] M. Blomhøj: Edb i gymnasiets matematikundervisning – betydning
for undervisning og læring. Center for forskning i matematiklæring,
rapport, 1998.
Om CAS-brug i videregående matematikundervisning:
[6] J. Berry m.fl. (udg.): The state of Computer Algebra in Mathematics
Education. Chartwel-Bratt, 1997.
[7] E. Dubinsky og K. Schwingendorf. Constructing calculus concepts:
Cooperation in a computer laboratory. In L. C. Leinbach (udg.), The
laboratory approach to teaching calculus, side 47-70. Washington,
DC: The Mathematical Association of America, 1991.
[8] Z. Karian (udg.): Symbolic computation in undergraduate
mathematics education. MAA notes,1992.
[9] C. Keitel m.fl. (udg.): Learning from computers: Mathematics
education and technology. Springer, 1992.
[10] K. Park og K. Travers: A comparative study of a computer-based
and a standard college first-year calculus course. CBMS Issues in
Mathematics Education, 6 (1996) 155-176.
[11] C. Winsløw: Linguistic aspects of computer algebra systems in
higher mathematics education. In: T. Nakahara m.fl. (udg.)
Proceedings of the 24 th Conference of PME (2000), vol. 4, side 281-
288.
Web-steder med artikler og referencer:
www.math.okstate.edu/archives/projects.html - Links til amerikanske
’Reform Calculus’ projekter
9

math.la.asu.edu/~hauk/arume/arumeldb.html – Bibliografi med ca. 500
artikler og bøger om forskning i matematikundervisning på
universitetsniveau
wwwstaff.murdoch.edu.au/~kissane/ICME-9.htm
verdenskongressen ICME-9, 2000
- Artikler fra
Tidsskrifter som specialiserer sig i CAS-brug og lign.:
International Journal of Computer Algebra in Mathematics
Education.
International Journal of Computers for Mathematical Learning.
10

2.
Kort præsentation af
projektet
A. Konteksten.
Førsteårskurset Matematik 1 ved Københavns Universitet har
årligt ca. 350 studerende. Kurset er den matematiske
’hovedindgang’ til naturvidenskabelige studier ved universitetet.
Kurset består af to dele: Mat. 1GA og Mat. 1GB, som afholdes i
hhv. efterårs- og forårssemesteret. De faglige emner er elementær
analyse og lineær algebra. Begge emner indgår både efterår og
forår. Dette projekt angår alene Mat. 1GB, hvis indhold i foråret
2001 kan beskrives overordnet ved flg. emneliste: egenværdier og
egenvektorer for matricer og lineære afbildninger, reel
funktionsteori i en og flere variable (kontinuitet, differentiation,
integration), Taylors formel, samt simple ordinære
differentialligninger.
Undervisningen består dels af forelæsninger for alle
de studerende, hvor der gennemgås teori og indledende eksempler,
dels af øvelsestimer i såkaldte ’klasser’ med hver ca. 20-30
studerende. Klassetimerne omfatter såvel præsentation af
hjemmeopgaver som gennemgang af lettere beviser. Den
sidstnævnte aktivitet er eksplicit træning i gennemgang af de
emner, som kan trækkes ved den mundtlige eksamen. For at kunne
indstille sig til eksamen (der omfatter en skriftlig og en mundtlig
prøve) skal man aflevere skriftlige opgaver i et vist omfang,
herunder have godkendt et større obligatorisk projekt.
På dette kursus indgår computeralgebrasystemer ikke
normalt i den almindelige undervisning. Der er mange grunde til,
at man har holdt sig tilbage (tekniske, spredning i såvel læreres
som studerendes interesser, computerforudsætninger, etc.) – men
11

dette projekt havde som mål omsider at gøre forsøget i større stil.
Selve adgangen til programmet Maple – der er ret kostbart at
anskaffe – var ikke et problem. Institut for Matematiske fag på
Københavns Universitet har en Maple-licens, der gør det muligt at
give alle studerende på samtlige matematikkurser en kopi af
programmet.
B. Projektets problemstillinger.
Udviklingsprojektets overordnede mål var at undersøge, hvordan
og hvor vidt computer algebra systemet Maple i denne faglige og
institutionelle sammenhæng kan
• give de studerendes redskaber til løsning af opgaver indenfor
fagområdet,
• give de studerende muligheder for eksperimenterende
aktiviteter (herunder udvikle og afprøve hypoteser) med
henblik på at fremme deres faglige begrebsdannelse,
• understøtte og styrke de studerendes geometriske sans som
teoretisk og praktisk redskab i arbejdet med
flervariabelanalyse,
• medvirke til at fremme hensigtsmæssige arbejdsformer
(herunder studiegrupper) i forbindelse med kurset.
• give de studerende en dybere forståelse af samspillet mellem
teoretiske overvejelser og praktiske beregningsmetoder.
• benyttes som illustrerende redskab ved forelæsninger.
Bortset fra det sidste punkt drejede projektet sig altså i det
væsentlige om de studerendes brug af Maple i deres eget arbejde
med stof og opgaver.
C. De ’eksemplariske’ Maple-ark.
Et hovedelement i udviklingsarbejdet var udarbejdelsen af en
række Maple-ark, som ved eksempler og enklere forklaringer
belyste nogle muligheder for at bruge Maple i forbindelse med det
stof, som i en given uge blev gennemgået ved forelæsningerne (og
den flg. uge behandlet i klassetimerne). De første ark skulle kunne
12

læses og bruges også af studerende, som ikke havde erfaringer
med Maple brug. Det skal dog nævnes, at de fleste studerende
havde stiftet bekendtskab med Maple tidligere, specielt på
efterårskurset ’Datalogi A’.
Maple-arkene blev løbende lagt ud på kursets
hjemmeside, hvor de kunne hentes dels som Maple-ark, dels ses
direkte som html-dokumenter. Arkene dannede ofte grundlag for
den nævnte brug af Maple som illustrationsredskab ved
forelæsningerne, ligesom de typisk indeholdt eksempler, som var
brugbare i forbindelse med hjemmeopgaver. Afsnit 3 af denne
rapport indeholder bl.a. en nærmere beskrivelse af disse ark, der
alle findes på disketten (Appendix D).
D. De to Maple-klasser.
For at begrænse omfanget af projektet – herunder
lærerforbrug og mulige skadevirkninger! – kom implementeringen
af Maple-brug i klassetimerne kun til at omfatte to af i alt 13
klasser. Disse blev annonceret som Maple-klasser allerede i
december, hvor de studerende selv vælger klasse for det flg.
semester. Det var med andre ord frivilligt at deltage i disse klasser,
der blev præsenteret som et ’tilbud’ om at kunne arbejde med
stoffet på en ny måde. Beskrivelsen, som de studerende tog stilling
til, var som flg.:
De to specielle Maple klasser (klasse A og B) 1 vil få
instruktion i brugen af programmet og vil kunne
vælge at tage den skriftlige eksamen ved brug af
Maple. Det betyder mere præcist, at de studerende
ved besvarelser af de skriftlige opgaver vil kunne
benytte Mapleoutput som begrundelse, medmindre
det klart fremgår, at en anden metode skal benyttes.
Det var fra starten klart, at Maple-brug ved skriftlig eksamen ville
være et tilbud, som var forbeholdt studerende fra Maple-klasserne
1
Klasserne havde i virkeligheden andre navne, men vi vil bruge betegnelserne
A og B her.
13

(spec. pga. mangel på egnede lokaler). Muligheden for at benytte
Maple omfattede i øvrigt også det obligatoriske projekt (for disse
to klasser).
E. Dokumentationsarbejdet.
Forskellen på almindelig undervisningsplanlægning og
udviklingsarbejde er bl.a., at der som en del af et udviklingsprojekt
foretages en dokumentation af udviklede metoder og resultaterne
af deres implementering. Det er erfaringsmæssigt ofte en fordel,
hvis en anden person end underviseren forestår den sidste del af
dette dokumentationsarbejde – om end det naturligvis altid bør ske
i forståelse og i samråd med underviseren. I dette projekt stod den
første af rapportens forfattere for det metodiske udviklingsarbejde,
mens dokumentationen af dets resultater blev udført af den anden,
der også deltog som ’fagdidaktisk sparringspartner’ i dele af
udviklingsarbejdet.
Der blev brugt flg. metoder til at indsamle data, som siden
kunne belyse effekterne af de skitserede initiativer og metoder:
• To spørgeskemaundersøgelser vedr. de studerendes egne
erfaringer med og vurderinger af Maple-brug,
• Punktvise observationer af klassetimer og forelæsninger,
specielt i forbindelse med særlig Maple-relevante emner,
• Rapporter (mundtlige og skriftlige) fra underviserne om
egne erfaringer i klassetimer og forelæsninger,
• To individuelle interviews med fire udvalgte studerende fra
Maple-klasserne.
Vigtige datakilder var desuden flg., som blev systematisk
indsamlet men kun punktvist undersøgt:
• Maple-ark udarbejdet i klassetimerne (af studerende
og/eller lærere),
• Udvalgte Maple-baserede besvarelser af hjemmeopgaver,
obligatorisk projekt og skriftlig eksamen.
Det er klart, at en væsentlig opgave i arbejdet med et så
omfattende datamateriale var af selektiv karakter, specielt da
14

slutproduktet (denne rapport) havde til formål at levere kvalificeret
inspiration for undervisere i tilsvarende kontekster. Destillationen
af det omfattende datamateriale til afsnit 4. i denne rapport har da
også indebåret en række valg af ’typiske situationer’ eller
’overraskende iagttagelser’, som i højere grad vil kunne tjene det
nævnte formål end det samlede materiale.
15

3.
Det tekniske
udviklingsarbejde
A. Indledning.
Det tekniske udviklingsarbejde bestod af to dele. Den ene var
udfærdigelsen af en række Mapleark til brug ved undervisningen,
den anden var udviklingen af en velfungerende teknisk
implementering af Maple i selve undervisningen. Begge dele af
udviklingsarbejdet blev påbegyndt og planlagt længe før
undervisningen startede, men blev sideløbende med
undervisningen færdiggjort og finpudset.
Det var selvfølgelig en ledetråd i udviklingsarbejdet,
at et hovedformål var at få belyst projektets problemstilling.
Specielt var det vigtigt, at Maple skulle fungere som både
regneteknisk redskab, som undersøgelsesværktøj til
eksperimenterende aktiviteter og som illustrerende redskab ved
forelæsninger. Maple blev brugt i alle dele af undervisningen og
evalueringen (cf. afsnit 2A) på nær den mundtlige eksamen. Fra
starten var vi naturligvis opmærksomme på, at disse forskellige
elementer i kurset ikke er lige egnede i forhold til de nævnte
mulige funktioner af Maple. Udviklingsarbejdet blev bl. a. baseret
på den antagelse, at klassetimer og skriftlige projekter som de mest
fleksible (specielt i forhold til forelæsninger, hvor fx
eksperimenterende aktiviteter ikke tænktes anvendt i større
omfang).
Vi vil i dette afsnit først kort skitsere den tekniske
implementering af Maple i de forskellige dele af Matematik 1GB
(afsnit A-E). Herunder beskrives også erfaringer fra selve
undervisningsforløbet, som fik betydning for implementeringen
(herved foregribes enkelte dele af kap. 4). Derefter beskrives det
tekniske arbejde med udfærdigelsen af Mapleark (afsnit F).
16

B. Maple-brug ved forelæsninger og eksempeltimer.
Ved forelæsningerne blev der benyttet en bærbar PC med
tilslutning til en ekstern videoprojektør, så de studerende kunne se
computerens skærmbillede på en storskærm. De Maple-ark, som
blev anvendt ved forelæsningerne, var lavet på forhånd. Specielt
var det tanken at udnytte Maple’s dynamiske effekter, såsom
animationer og interaktiv bevægelig grafik, til illustrative formål.
At aktivere disse effekter via Maple-ark kræver en del teknisk
skriveri, som bedst gøres på forhånd (det var ikke tanken, at de
studerende skulle lære Maple-teknik ved forelæsningerne).
Der er flere muligheder for at lave animationer i
Maple. Man kan enten benytte kommandoerne animate eller
animate3d. Hvis man i højere grad vil styre animationen, f.eks. så
den foregår på et fast baggrundsbillede, kan man simpelthen lave
en sekvens af billeder ved brug af kommandoerne seq og plot eller
plot3d og derefter vise billederne med kommandoen display med
valget insequence=true. Animationerne kan enten vises som en
lille film eller et billede ad gangen.
Ved forelæsningerne blev Maple næsten
udelukkende brugt som illustrativt værktøj. De studerendes rolle
overfor Maple var passiv. Det var derfor ikke for de studerende
nødvendigt at forstå de tekniske sider af programmet eller at have
noget forhåndskendskab til det.
Efter brug af Maple ved en forelæsning blev
sekvensen oftest lagt på internettet i HTML format. Det gav de
studerende mulighed for at gense denne del af forelæsningen
stadig uden noget kendskab til Maple. Selve det benyttede
Mapleark blev også lagt på nettet til de studerende, der måtte
ønske at hente det for mulig videre eksperimentering, samt for at
sætte sig ind i de bagvedliggende Maple-kommandoer.
Teknisk bemærkning. Når man eksporterer et Mapleark til HTML format
bliver grafikken gemt som gif billeder, også når der tale om animationer.
17

Specielt for animationer er disse giffiler ofte meget store. Desuden vises de i en
kontinuert cyklus. Man kan med fordel selv manipulere giffilerne efter, at de er
blevet eksporteret fra Maple. For de konkrete Mat1GB hjemmesider blev
giffilerne manipuleret med unix kommandoen convert. Denne kommando
tillader f.eks. at mindske billedkvaliteten og dermed filstørrelsen, indsætte delay
mellem de enkelte billeder i en animation for at styre spillehastigheden og at
stoppe animationene efter et endeligt antal repetitioner.
Udover blot at fremvise færdige Mapleark kan man
selvfølgelig også skrive i Maplearkene under selve forelæsningen,
specielt hvis uforudsete aspekter eller spørgsmål kommer op. Som
eksempel kan nævnes diskussionen af divergensen af den
harmoniske række. Efter ved forelæsningen at have givet det
teoretiske bevis for divergensen af den harmoniske række, blev
rækken studeret numerisk ved brug af Maple. Pointen var at
illustrere, hvor langsom divergensen er. En gruppe studerende
foreslog ved forelæsningens afslutning at lave et plot af den
funktion, der fremkommer ved at summe de første 10^x led i
rækken. De bemærkede, at grafen tilnærmelsesvis blev en ret linie.
Med lidt hjælp indså de så, at det kunne forklares ved
integralkriteriet, som vi netop havde benyttet til bevis af
divergensen. Der blev ikke i dette tilfælde lagt et ark ud på nettet,
arket består i al simpelhed af følgende få linier, som nemt kan
redigeres under forelæsningen.
> Sum(1/n, n=1..55000);
55000
1
∑ n n = 1
> ``=evalf(%);
= 11.49231322
Teknisk bemærkning. Hvis man i stedet for kommandoen evalf benytter
kommandoen value får man svaret
Ψ ( 55001 ) + γ
18

og altså ikke den numeriske værdi af summen. Faktisk er det her bedst at give
kommandoen evalf(value(%)) . Grunden er den, at det tager meget lang tid
numerisk at udregne summen, hvis man vil summe virkelig mange led. Den
sammensatte kommando går meget hurtigere, formodentlig fordi Maple har
indbygget værdier af funktionen Ψ. Der er indføjet ``= af æstetiske grunde for at
få et lighedstegn i anden linie.
Den interaktive brug af Maple er dog nok i almindelighed mere
brugbar i eksempeltimer, hvor tidspresset er mindre end ved
forelæsninger og hvor dialogen med studerende er større.
I Matematik1GB blev der efter hver forelæsning
afholdt en eksempeltime (bl.a. med mulighed for at stille
individuelle spørgsmål), og her blev Maple også brugt intensivt.
JPS vurderer generelt, at de studerendes samlede udbytte af disse
timer var begrænset. Problemet, der er generelt for
Matematik1GB, er, at det er umuligt samtidigt at tilfredsstille de
meget forskellige behov, den meget inhomogene studentergruppe
på kurset har. Fra et rent Maple synspunkt bød eksempeltimerne
dog på særdeles interessante muligheder, som de følgende
eksempler forhåbentlig viser.
Ved eksempeltimen kom spørgsmålet op, om der
findes en funktion, hvor alle de retningsafledte eksisterer i et
punkt, men hvor funktionen ikke er differentiabel i punktet.
Funktionen
( xy , )
→
19
x 3 y
+
blev så analyseret og grafen tegnet i Maple. Figuren nedenfor, der
skal illustrere, at funktionen faktisk er diskontinuert i (0,0) er
fremkommet ved at lave et plot over et område, hvor y ligger
mellem −10 x 3 og 10 x 3
.
x 6
y 2

Plottet er fremkommet ved kommandoen
> plot3d(f(x,y), x=-1..1, y=-10*x^3..10*x^3,
axes=framed, style=patchcontour);
Maplearket med den komplette gennemgang af dette eksempel
blev lagt på nettet og er vedhæftet, som Ark B.
Et andet eksempel var da de studerende ved en
spørgetime op mod eksamen ønskede en gennemgang af en
konkret opgave, nemlig Opgave 5.7 i de supplerende noter.
Opgaven drejer sig om at finde en god approksimation ved brug af
Taylorpolynomier for et vanskelligt integral. Opgaven blev regnet
på tavlen, men ved brug af Maple kunne man nu sammenligne den
estimerede fejl (fra Taylors formel) med den ``virkelige fejl’’ eller
fejlen mellem det approksimerende integral og den værdi Maple
giver for integralet. Det er nu nemt at ændre graden af Taylor
polynomiet og se, hvordan de to fejl forholder sig til hinanden.
Specielt ved man jo, at den estimerede fejl skal være større end
den ``virkelige fejl’’ (vel og mærke under antagelse af, at Maples
numeriske udregning af integralet er tilstrækkelig nøjagtig) ,
hvilket giver mulighed for, at understrege, hvad der virkelig er
indholdet i Taylors formel og restledsvurderingen. [Dette aspekt
20

lev diskuteret i meget større detalje på klassetimerne for Mapleklasserne.]
Efter spørgetimen blev arket med den fuldstændige
gennemgang lagt på nettet. En e-mail blev sendt til alle studerende,
så alle de, der ikke havde været til spørgetimen, også kunne få
glæde af arket. Det kan ses som Ark C.
Teknisk bemærkning. Maple-ark kan gemmes enten med eller uden
output. Hvis de er gemt uden output, fylder de meget lidt, hvilket er
hensigtsmæssigt, hvis man vil sende dem per e-mail eller gøre dem tilgængelige
på nettet. De skal dog så eksekveres, når de åbnes. Ark der skal bruges ved
forelæsningerne bør gemmes med output inkluderet, så er de klar til brug. Det
tager nemlig ofte for lang tid at eksekvere dem ved forelæsningerne.
C. Maple-brug i klassetimerne.
Det var tanken, at de studerende på de specielle Maple-klasser (cf.
afsnit 2D) aktivt skulle bruge Maple til løsning af opgaver eller på
anden måde til aktiv bearbejdning af det faglige stof. Det er altså
kun i forhold til de studerende på disse to klasser, at de
regnemæssige aspekter blev direkte brugt i undervisningen. Det
skal understreges, at der ikke blev stillet specielle faglige opgaver
til Maple-klasserne, men at det tværtimod var en pointe fra starten,
at de skulle arbejde med de samme opgaver, med anvendelse af
Maple hvor det var relevant.
Der blev ikke givet nogen direkte instruktion i
brugen af programmet. Mange af de studerende havde allerede
kendskab til det, f.eks. fra det tidligere kursus Dat A. Som
alternativ til en egentlig instruktion, blev der udarbejdet en række
eksemplificerende Maple-ark. Der var ca. et ark for hvert emne der
blev gennemgået. Arkene var ofte udarbejdet med direkte
reference til lærebogsmaterialet. Selvom arkene blev udarbejdet
med henblik på brug på Maple-klasserne, blev de dog via kursets
hjemmeside stillet til rådighed for alle studerende, både som
Maple-ark og i HTML format.
Ved klasseøvelserne på de specielle Maplehold blev
der, ligesom ved forelæsningerne, benyttet en bærbar computer
21

tilsluttet en videoprojektør. De enkelte studerende havde altså ikke
individuelle computere. Det hænger sammen med, at
klasseøvelserne på Matematik 1GB er beregnet på, at de
studerende har kigget på opgaverne hjemmefra. Øvelserne
benyttes til en fælles gennemgang og diskussion af opgaverne.
Normalt foregår denne gennemgang på tavlen, men i de specielle
Mapleklasser, var det tanken at der skulle kunne skiftes mellem
gennemgang på tavlen og gennemgang på computeren.
Rent praktisk foregik gennemgangen på computeren
enten ved, at de studerende medbragte disketter med de regninger,
de havde foretaget hjemmefra, eller ved at de studerende
improviserede ved computeren. Det er i almindelighed et problem
at aktivere de studerende og få frivillige til tavlen, og det er ofte
helt umuligt at få de studerende til at improvisere ved tavlen. Det
viste sig ret hurtigt, at det ofte var lettere at få de studerende til at
gå til computeren. Dette viste sig undervejs at være tilfældet.
Faktisk blev det endda i en af klasserne almindeligt, at de
studerende improviserede ved computeren – typisk i forhold til en
opgave, de ikke havde forberedt, f.eks. fordi den opstod ’på stedet’
i tilknytning til en hjemmeopgave. Det var som om det, at den
studerende havde computeren at støtte sig til, gjorde
fremlæggelsessituationen mindre ’skræmmende’. Tavlen er jo ’helt
tom’, og man er måske også mere ’blottet’ i forhold til klassen der.
Når den studerende regner eller præsenterer en opgave via
computeren, er de medstuderendes opmærksomhed rettet mod
skærmbilledet, som befinder sig et andet sted. Desuden kan
computeren (i modsætning til tavlen) selv ’deltage’ i arbejdet, og
der er større fleksibilitet i forhold til redigering (fx kopiering af
kommandoer fra tidligere) og eksperimenter. Kort sagt synes det
som om Maple både ved sin forandring af konteksten og som en
slags aktør (cf. afsnit 1C) medvirker til at fjerne nogle barrierer,
der ellers afholder de studerende fra at være aktive i
klasseundervisningen.
22

Et problem ved Maple-brug i klassetimerne er dog, at
en gennemgang af et færdiglavet Maple-ark kan gå meget hurtigt
og derfor ikke er særlig informativ for medstuderende (specielt de,
der ikke måtte være forberedte). Klasselæreren har ansvaret for, at
de vigtigste pointer bliver gennemgået omhyggeligt, så også de
’svagere’ studerende får noget ud af undervisningen. Erfaringen
fra implementeringsdeles af udviklingsarbejdet er, at dette ofte kan
sikres ved at læreren aktivt inddrager nye synsvinkler på
opgaverne, der fx kræver ændringer i gennemregningerne og
derved tvinger den studerende ved computeren til faktisk at vise
arbejdsprocessen og ikke blot resultatet.
En stor fordel ved Maple-gennemgang (i forhold til
tavlegennemgang) er, at man efterfølgende kan gemme
gennemgangen i et Mapleark. Denne mulighed blev faktisk overset
i begyndelsen af kurset og først ca. halvvejs blev der efter hver
(eller hver anden) øvelsesgang sendt et sammenfattende ark til alle
studerende. Arkene blev sendt via e-mail, og her er det igen vigtigt
at arkene gemmes uden output, så man ikke sender alt for store
filer. Disse sammenfattende ark kan siges bl.a. at have samme
funktion som noter taget fra tavlen. Arkene fremkom simpelthen
ved, at klasselæreren efter hver studenterpræsentation gemte det
præsenterede i et Maple-ark. Arkene blev kun i enkelte tilfælde
redigeret efter øvelserne mhp. at gøre dem mere selvforklarende.
Ved klassetimerne var der ikke kun gennemgang af
opgaver. De studerende skulle også fremlægge dele af det
teoretiske stof fra lærebøgerne. Til den del af klassetimerne blev
Maple ikke benyttet. Tanken med fremlæggelsen er både at øge de
studerendes forståelse af det teoretiske stof og at øve deres evne til
at formidle matematik. Til det sidste aspekt kunne man måske godt
forestille sig, at fremlæggelse ved brug af Maple kunne inddrages i
fremtiden.
23

D. Maple-brug i forbindelse med skriftlige opgaver
og skriftlig eksamen.
De studerende på Maple-klasserne fik mulighed for at tage den
skriftlige eksamen med mulighed for brug af Maple, men det var
frivilligt. Den skriftlige eksamen var ens for alle studerende på
Mat1GB, der var altså ikke nogen speciel eksamen for Mapleklasserne.
Det skal understreges, at alle studerende på Mat1GB har
lov til at medbringe en bærbar computer med Maple eller et andet
CAS til den skriftlige eksamen. Det, der adskilte studerende på
Maple-klasserne fra de øvrige studerende, var at de måtte bruge et
Maple ark som argumentation i opgavebesvarelsen, og at de fik
stillet PC udstyret med Maple til rådighed ved eksamen. Der var i
alt 25 studerende, der valgte at tage den skriftlige eksamen ved
brug af Maple.
Der var en del tekniske spørgsmål, der skulle
overvejes i forbindelse med skriftlige opgaver og eksamen. F.eks.
er der spørgsmålet om det er hensigtsmæssigt at aflevere hele
besvarelsen som et Maple-ark, eller om man skal aflevere en
papirversion med reference til et ark. Der er spørgsmålet om
hvordan arket afleveres. Skal det blot være på en diskette, eller
skal der også følge en udskrift med. Hvis det kun er en diskette, er
der spørgsmålet om, hvor sikkert det er for den studerende, at det
afleverede Mapleark ikke ændres efter afleveringen, og at
disketten ikke bliver defekt. Endelig er der spørgsmålet om
risikoen for snyd, når de studerende under eksamen er tilknyttet et
netværk.
Flere af disse spørgsmål er principielle
problemstillinger, der går langt ud over nærværende projekt, hvor
de valgte løsninger ofte også var betinget af tekniske restriktioner.
F.eks. har Københavns Universitet ikke et eksamenslokale til brug
ved en computereksamen. Eksamen foregik i to computerlokaler
på Institut for Matematiske Fag. Hver studerende fik ved
ankomsten en adgangskode og en diskette udleveret. Instituttets
systemadministrator kunne under hele eksamen følge de
24

studerendes brug af computeren og træde til, hvis der opstod
problemer. De studerende havde lov til at medbringe egne
disketter, men kun den udleverede diskette måtte afleveres. Ved
afleveringen skulle de studerende aflevere de sædvanlige
eksamensbesvarelsesark, hvorpå der skulle anføres, om en diskette
også var afleveret. Disketten skulle påføres eksamensnummer.
En enkelt studerende havde tekniske problemer under eksamen. De
blev hurtigt løst af systemadministratoren og den studerende fik
lidt ekstra tid.
Ved retning af eksamen blev der indført rettelser i
kopier af de afleverede Maple ark. F.eks. blev rettelser indført af
JPS mærket som JPS:…. De rettede ark blev sendt per e-mail til
censor.
De studerende på Maple-klasserne havde mulighed
for at aflevere de ugentlige obligatoriske opgaver ved brug af
Maple på stort set samme vilkår, som senere blev brugt til
eksamen. Nogle studerende valgte at sende Maple besvarelser af
de obligatoriske opgaver som e-mail, mens andre afleverede
disketter. Der blev som ved eksamen indført rettelser i arkene, der
enten blev returneret per e-mail eller gemt på de afleverede
disketter. Læreren gemte kopier af de rettede ark.
Nogle studerende var så fortrolige med Maple, at de
kunne skrive hele besvarelsen af projektet eller eksamen i Maple.
Andre vedlagde Maple-ark som bilag til en papiraflevering. Det
kan være lidt tungt, at skrive tekst i Maple, hvis man skal indføre
matematiske formler i teksten. Man kan indføre matematik i
teksten, ved at skrive Maple kode og derefter med musen ændre til
standard math, eller man kan kopiere fra et mapleoutput. I
Maplearket Løsningsforslag til Obligatorisk Opgave 1 (Ark A)
findes en komplet opgavebesvarelse til en obligatorisk opgave,
med tilhørende opgaveformulering. Det er beskrevet i besvarelsen,
hvilke dele man bør skrive på en vedlagt papirbesvarelse, hvis man
ikke ønsker at lave hele besvarelsen i Maple.
25

Et problem ved at lave en komplet besvarelse i
Maple er, at man ikke altid får helt identiske svar når man
eksekverer et Mapleark. I det omtalte løsningsark er der et
eksempel på en matrix med et to dimensionalt egenrum. Maple
giver ikke altid samme basis for egenrummet. Det er der
selvfølgelig ikke noget ukorrekt i, men det betyder, at en mulig
efterfølgende tekst kan referere til et bestemt resultat af arkets
eksekvering, og være inkonsistent med andre.
E. Maple-brug ved projektet.
Projektet i Mat1GB svarer til ca. 2-3 ugers obligatoriske opgaver.
Det kan laves af fra 2-4 studerende. Der var to
problemformuleringer: en for de studerende, der valgte at benytte
Maple, og en for de øvrige. Kun de studerende på Maple fik
muligheden for at benytte Maple.
Projektet drejede sig om differentialligningsystemer
og indeholdt som anvendelse Volterra-Lotkas jæger-bytte model. I
den sidste (og mest omfattende) del af projektet skulle de
studerende argumentere for at faseportrættet bestod af lukkede
kurver. I Maple-versionen blev de studerende bedt om at løse
ligningssystemet numerisk og lave et plot af faseportrættet
sammen med et plot af faseportrættet for det lineariserede problem
(her er banerne elliptiske). Desuden skulle de studerende lave en
animation af løsningernes tidsafhængighed oven i faseportrættet.
De studerende fik ikke på forhånd instruktion i
numeriske løsningsmetoder, men de havde mulighed for at spørge
klasselæreren til råds. Man kan derfor sige, at vi i forbindelse med
projektet havde valgt at eksperimentere med den oplagte mulighed
at stille særlige krav til de, der ønskede at bruge Maple, både mht.
til deres aktuelle formåen, og mht. deres evne til at sætte sig ind i
nye aspekter af programmet, som den givne problemstilling gjorde
aktuelle.
26

F. Om udviklingen af Maple-arkene.
I det følgende giver vi en gennemgang af de Maple-ark, der blev
brugt på Matematik1GB. Visse ark er udarbejdet alene med
henblik på klassetimerne, andre kun med henblik på
forelæsningerne, og andre igen indeholder både visuelle elementer
brugt ved forelæsningerne og regnetekniske metoder af interesse
for regneøvelserne.
Arbejdet med de visuelle elementer, såsom
animationer, var ganske tidskrævende, fordi det var naturligt at
gøre kraftig brug af alle de muligheder, som programmet giver for
at gøre outputtet så tilfredsstillende som muligt uden (hensyntagen
til kompleksiteten af inputtet).
Maple-arkene blev ikke gennemgået ved
regneøvelserne. Tanken var, at de studerende selv skulle bruge
arkene til at sætte sig ind i brug af Maple til løsning af helt
konkrete opgaver. Arkene indeholder ofte Maple-gennemregninger
af eksempler fra tekstbogen eller noterne. Hvis de studerende
havde konkrete spørgsmål om arkene, blev disse selvfølgelig taget
op ved klassetimerne. Ved eksempeltimerne blev arkene
sommetider gennemgået, hvis der var interesse for det blandt de
fremmødte studerende. Man bør i fremtiden overveje om der bør
være en systematisk gennemgang af de eksemplificerende ark.
De fleste opgaver på Mat1GB har eksakte og simple
løsninger, og Maple vil normalt kunne finde disse løsninger. Der
er selvfølgelig situationer, hvor der enten ikke er eksakte
løsninger, eller hvor Maple ikke (eller kun med ekstraordinært
besvær) kan finde dem. Maple vil da ikke give noget resultat. Man
kan i disse situationer diskutere, hvorvidt det blot er Maple, der
ikke kan finde eksakte løsninger, men det har vi ikke gjort noget
ud af i projektet. Hvis Maple ikke umiddelbart kommer med en
eksakt løsning, har vi i stedet søgt en numerisk løsning.
Visse ark indeholder ekstra opgaver. På et tidligt
tidspunkt i udviklingsarbejdet var det tanken, at Maple-arkene
skulle indeholde opgaver. Den ide blev dog opgivet til fordel for
27

simpelthen kun at lade de studerende regne opgaver fra
lærebøgerne, idet der som allerede nævnt ikke blev stillet specielle
opgaver til Maple-klasserne. Man kan overveje om, der i fremtiden
bør indføres opgaver af speciel Maple-interesse i arkene.
Strukturen af maplearkene: De fleste ark indeholder en kort
indledning, mens de egentlige beregninger eller illustrationer for
overskuelighedens skyld er delt op i sektioner, der kan åbnes og
lukkes med dertil indrettede knapper. Specielt indviklede afsnit,
f.eks. med opsætning til animationsgrafik er lagt i specielle
sektioner markeret med betegnelsen ’kan springes over’.
Arkene afsluttes altid med en liste over de anvendte kommandoer.
Kommandoerne i listen er klikbare og henviser til Maples
hjælpeside for den pågældende kommando. Denne funktionalitet
kan ikke bruges når arkene læses som websider, altså når arkene er
gemt i HTML format.
Ark 1. Egenværdier: Arket blev ikke benyttet ved forelæsninger.
I arket beskrives, ved eksempler hentet fra lærebogen, hvordan
man finder egenvektorer og egenværdier. Udover at der i Maple
findes to forskellige lineær algebra pakker linalg og
LinearAlgebra, er der ingen tekniske problemer forbundet med
bestemmelse af egenværdier og egenvektorer . I arket benyttes
pakken LinearAlgebra, men flere af de studerende foretrak den
anden pakke. Man kan være bekymret for, om de studerende får en
god forståelse af egenvektorer og egenværdier, når man i Maple
blot får et svar. I det eksemplificerende ark lægges der op til, at
man også finder egenværdierne og egenvektorerne ved 'håndkraft'
– dog stadig ved at bruge Maple til mellemregningerne.
I arket er en matrix angivet ved kommandoen
> A:=Matrix([[1,2,-1],[1,0,1],[4,-4,5]]);
hvor de indre parenteser angiver matricens rækker. Flere
studerende fandt det simplere at benytte kommandoen
> A:=;
28

hvor de indre parenteser angiver matricens søjler.
Ark 2. Egenværdigrafik: Arket var kun beregnet til
forelæsningerne. Arket indeholder animationer af lineære
afbildninger og egenvektorer. Specielt er der et eksempel på en
simpel epidemimodel beskrevet ved matrixdynamik, og
evolutionen er visualiseret ved en animation. Flere af
animationerne er meget hurtige. Ved forelæsningen blev de vist
med et billede ad gangen.
Ark 3. Diagonalisering: Arket blev ikke benyttet ved
forelæsninger. Arket beskriver, hvordan man med kommandoen
IsSimilar fra pakken LinearAlgebra i Maple bestemmer, om en
matrix er diagonaliserbar, og hvordan man eksplicit skriver den på
diagonalform. Det sidste gøres ved at tilføje output='C' til
kommandoen IsSimilar. Outputtet fra IsSimilar er normalt enten
true eller false, men hvis man tilføjer output='C' bliver outputtet i
stedet koordinattransformationsmatricen. Uden Maple er
diagonaliseringsopgaver arbejds- og tidskrævende. Maple fjerner
helt det tidskrævende aspekt og gør det muligt for de studerende at
eksperimentere på en måde, der ellers ville være helt utænkelig.
Ark 4. Funktionsundersøgelse og l'Hôpitals regel: Arket blev
ikke benyttet ved forelæsninger. Arket beskriver ved et eksempel,
hvordan man i Maple gennemfører en standard
funktionsundersøgelse, noget de studerende bør kende til fra
gymnasiet. Et af problemerne er, at man – når man skal finde
nulpunkter for funktionen eller dens afledte – ofte ikke kan finde
eksakte udtryk, eller at disse – hvis de findes – er meget
indviklede. Med kommandoen allvalues kan man få Maple til at
give de eksakte rødder til polynomier af grad mindre end eller lig
med 4. Udtrykkene er dog ofte ikke af praktisk interesse . Man kan
med kommandoen evalf få de numeriske værdier. Hvis funktionen
er rational vil Maple angive mulige komplekse løsninger. De
29

studerende skal lære at se bort fra disse. I arket lægges der op til, at
de studerende selv eksperimenterer med akseenheder, for at få et
informativt billede af grafen. Et problem, der dog ikke bliver
diskuteret i dette ark (men i stedet i arket om max og min af
kontinuerte funktioner) er, at man ikke altid får alle nulpunkter for
en funktion, når man bruger kommandoen
> evalf(solve(f1(x)=0));
Ark 5. Integrationsteori: Arket var kun beregnet til
forelæsningerne og til individuelle eksperimenter. Arket illustrerer
definitionen af Riemann-integralet, og indeholder forskellige
animationer af Riemann-summernes konvergens til integralet.
Arket viser midtpunktsummer, og altså ikke de sædvanlige over-
og undersummer. Grunden er, at Maple har en indbygget
kommando for midtpunktsummer (og for venstre- og
højresummer). I teorigennemgangen blev der, som man normalt
gør, benyttet over- og undersummer. Man kan faktisk nemt lave
grafik med over- og undersummer ved at benytte venstre- og
højresummer i forskellige monotoniintervaller. Et sådant ark blev
også benyttet ved forelæsningen, men da konstruktionen er lidt
kunstig, blev dette ark ikke lagt på nettet. Det er vedlagt som ark
D.
For at give de studerende en fornemmelse af, at
situationen ikke altid er som man skulle forvente, og for at lægge
op til selvstændige eksperimenter, indeholder arket om
integrationsteori nogle ret specielle trigonometriske eksempler.
Der er eksempler hvor de første 6 iterationer af
midtpunktssummen giver det eksakte integral, men hvor den 7.
iteration er langt herfra.
Ark 6. Udregning af integraler: Dette ark er beregnet som optakt
til regneøvelserne, og er meget simpelt. Det beskriver, hvordan
man udregner integraler i Maple, altså hvordan man kan benytte
Maple som en integral-tabel. Der er også en diskussion af et
30

integral, der ikke kan udtrykkes ved kendte funktioner, og derfor
må udregnes numerisk. Ved den pågældende klassetime var der en
studerende der spurgte, om Maple kunne erstatte en formelsamling
som f.eks. Schaum. Vi lod det komme an på en prøve. I de fleste
tilfælde indeholdt Maple den samme information som
formelsamlingen, og informationen var lettere tilgængelig i Maple.
Hvis man betragter integraler der afhænger af en parameter, kan
det dog være svært at få det ønskede svar fra Maple. Man vil ofte
med kommandoen assume skulle sikre sig, at parameteren har
visse egenskaber, så integralet f.eks. er konvergent. Som
udgangspunkt opfatter Maple parametre som komplekse.
Kommandoen assume er dog ikke særlig fleksibel. Her er et
eksempel på hvor svært, det kan være at få det ønskede svar:
>
Int(x^a,x=1..infinity)=int(x^a,x=1..infinity
);
∞
⌠
⌡
⎮
1
x d =
a x lim
x → ∞
( ) + a 1
x − 1
a + 1
Hvilket selvfølgelig er korrekt, men lad os nu angive, at a assume(a assume(a

⎮ 1
∞
⌠
⎮ x
⌡
( ) − a~ 1
dx
= − 1
a~
Ark 7. Funktioner af flere variable: Arket indeholder illustrative
elementer brugt ved forelæsningerne, men også metoder af
regneteknisk interesse. Specielt beskrives det, hvordan man tegner
grafer, tangentplaner, niveaukurver og gradientfelter, og hvordan
man beregner ligningen for tangentplaner. Det er hensigten med
arket at give de studerende en god geometrisk forståelse af grafer
og niveaukurver, og at lære dem at regne med tangentplaner.
Mht. grafer af funktioner af to variable kan man
vælge mellem kommandoerne smartplot3d eller plot3d.
Kommandoen smartplot3d har den fordel, at man kan manipulere
grafikken med musen. Man kan ændre akseintervaller og andre
parametre. Det er velegnet, når de studerende skal eksperimentere
med grafer. Der lægges i arket op til, at de studerende
eksperimenterer. Der er et eksempel på, hvor misvisende en graf
kan være, hvis akserne er dårligt valgt. Hvis man på den anden
side har fundet de grafiske parametre, der giver en optimal grafisk
præsentation, og ønsker at bevare dem, kan man gøre det ved at
give parametrene i kommandoen plot3d. Det kan være af
betydning for grafer der benyttes ved forelæsninger, eller hvis de
skal være del af en animation.
Med kommandoerne contourplot og fieldplot kan
man tegne niveaukurver og gradientfelter. Hvis man er interesseret
i en specifik niveaukurve, kan man benytte kommandoerne
smartplot eller implicitplot, hvor den sidste igen tillader, at man
giver parametre på forhånd. Ved brug af kommandoen transform
kan man indlejre en to-dimensional graf i et tre-dimensionalt
koordinatsystem. Det muliggør at tegne grafer og niveaukurver i
samme system.
Beregninger af tangentplanen foretages lettest ved
brug af kommandoen mtaylor. De studerende på Mat1GB lærer
først om Taylorpolynomier efter at kommandoen mtaylor er blevet
32

introduceret til beregning af tangentliner og tangentplaner. Dette
giver dog ingen problemer. Der ligger måske endda en
pointe i at introducere en kommando, der i sin brug klart rækker ud
over det de studerende har lært på det given tidspunkt. På denne
måde får man knyttet en meget håndgribelig forbindelse til
materiale, der bliver behandlet senere i kursusforløbet. Der er i
arket en animation af, hvordan tangentplanen ændrer sig med
punktet på grafen. Der er også en animation af forskellige
niveaukurver sammen med gradientfeltet.
Det blev klart ved klassetimerne, at arket måske også
burde have indeholdt mere om udregning af partielt afledte og
anvendelser med kædereglen. F.eks. blev forskellen mellem
kommandoerne D (en differentialoperator) og diff (den partielt
afledte mht. en variabel) diskuteret i klassetimen (de er yderligere
diskuteret i arket om differentialligninger). Følgende Maple
udregning skabte en del forvirring blandt de studerende
> Diff(f(f(x,y),f(y,x)),x)=diff(f(f(x,y),f(y,x)),x);
∂
f ( f ( xy , ) , f ( yx , ) ) =
∂x
D () f ( f ( xy , ) , f ( yx , ) )
⎛ ∂ ⎞
+
1 ⎜ f ( xy , ) ⎟ ( )
⎝∂x
⎠
() D f f ( xy , ) , f ( , )
2 yx
⎛ ∂ ⎞
⎜ f ( , ) ⎟
⎝∂x
⎠
yx
Maple benytter her D notationen, når navnet på den variable ikke
fremgår. Et spørgsmål fra en studerende drejede sig netop om,
hvorfor Maple mikser de to notationer. Bemærk i øvrigt, at de to
partielt afledte mht. x faktisk er forskellige partielle afledte af
funktionen f.
Ark 8. Differentiabilitet (Brugt ved forelæsningen over emnet):
Arket visualiserer definitionen af partielt afledte og relationen til
begrebet differentiabilitet. Et eksempel fra arket er nedenstående
figur, der viser en funktion af to variable, der ikke er differentiabel
i (0,0), men her har begge partielt afledte lig med 0.
33

Ark 9. Max og min af kontinuerte funktioner af flere variable:
Dette ark er udarbejdet specielt med henblik på regneøvelserne.
Maple har en indbygget kommando extrema, der tillader en at
beregne max og min, både med og uden bibetingelser. Selvfølgelig
kan man også direkte løse ligningerne hvor gradienten er lig med
nul, eller i tilfældet med bibetingelse ved at introducere en
Lagrange-multiplikator. Alle tilfældene illustreres i arket. Uanset
hvilken metode der bruges, er det undertiden uklart hvordan man
skal fortolke det output Maple giver. Det kræver faktisk en ganske
god forståelse af matematikken at kunne bruge Maple optimalt til
ekstremumsundersøgelse. Flere eksempler på ting, der kan gå galt,
er givet i arket. F. eks. kan Maple give komplekse løsninger eller
overse visse kritiske punkter. For trigonometriske funktioner skal
man sætte _EnvAllSolutions:=true
for at få alle løsninger modulo 2π. Hvis man holder sig til
standardopgaver fra tekstbøger, altså opgaver der er beregnet på at
kunne løses med papir og blyant, vil man normalt ikke have
problemer.
34

Ark 10. Anden afledet test for lokalt ekstremum (Fra
forelæsningen over emnet): Arket illustrerer grafer af 2. grads
polynomier i to variable med henholdsvis max, min og
saddelpunkter.
Ark 11. Kurver og flader: Arket indeholder illustrative
elementer brugt ved forelæsningerne, men også elementer af
regneteknisk interesse. Der er figurer med forskellige kurver i to
og tre dimensioner. I to dimensioner fremkommer de ved brug af
kommandoen Plot, og i tre dimensioner ved brug af kommandoen
spacecurve. Ved hjælp af animationer kan man illustrere
forskellige parametriseringer af samme kurve. Dette er gjort ved
at lade et markeret punkt gennemløbe kurven på forskellige
måder. Den tilhørende hastighedsvektor er tegnet som et
liniestykke udfra det bevægende punkt. Specielt er det illustreret,
hvordan gennemløbsfarten må gå mod nul når man nærmer sig et
singulært punkt. Der er også eksempler på parametriserede flader
f.eks. kuglefladen og et Möbiusbånd.
Regneteknisk er det beskrevet, hvordan man
beregner tangentlinier for kurver og tangentplaner for flader.
Ark 12. Differentialligninger: Dette ark er udarbejdet specielt med
henblik på regneøvelserne. Ved brug af kommandoen dsolve løser
man sædvanlige differentialligninger. Kommandoen odeadvisor kan
bruges til at angive typen af differentialligningen. Det er netop
vigtigt for at træne de studerendes evne til at genkende
differentialligninger, der falder indenfor de typer der kan løses
eksakt. Hvis man benytter odeadvisor uden ekstra angivelser vil
Maple normalt blot angive en type, som ligningen falder ind under.
Det vil ikke nødvendigvis være den de studerende er vant til. Men
odeadvisor kan også benyttes til at teste, hvorvidt en given ligning
falder under en given type. Altså kan de studerende teste deres
formodning. Arket beskriver desuden, hvordan man med dsolve
løser en ligning, som ikke har en eksakt løsning, og hvordan man
35

ved brug af odeplot kan tegne løsningen. En differentialligning kan
i øvrigt angives både ved brug af operatoren diff og operatoren D,
begge dele er illustreret i arket.
Ark 13. Taylorpolynomier: Dette ark er hovedsagligt tiltænkt
som en gennemgang af de regnemæssige aspekter for
Taylorpolynomier. Der er dog indlagt en animation, der illustrerer
hvorledes højere ordens Taylorpolynomier tilnærmer den givne
funktion bedre og bedre. Denne illustration blev brugt ved
forelæsningen. Taylorpolynomier kan beregnes ved brug af
kommandoen mtaylor, man skal være opmærksom på, at
angivelse af graden er lidt utraditionel. For at få Taylorpolynomiet
af grad m skal man give kommandoen mtaylor(f(x), x=a, m+1).
Teknisk bemærkning. Animationen i dette ark kunne passende have bestået af
en sekvens af 5 billeder, der vises et ad gangen. I stedet er animationen lavet
med 50 billeder, men således at det samme billede vises 10 gange.
Ark 14. Potensrækker: Dette ark er udarbejdet specielt med
henblik på regneøvelser. I arket benyttes Maple-kommandoerne
Sum and value til at bestemme summen af uendelige rækker.
Alternativt kan man blot benytte kommandoen sum, som giver
summen uden at skrive det symbolske udtryk for rækken. Maple
indeholder en potensrække-pakke, powseries. Denne pakke er dog
ikke af speciel interesse for Mat1GB. Pakken arbejder med
formelle potensrækker, men man kan ikke bede om det generelle
led i en potensrække. Man kan kun få et endeligt antal led.
Ark 15. Plan og rumintegraler: Arket er beregnet til brug ved
regneøvelserne. Det beskriver, hvordan man opskriver og beregner
itererede integraler. Maple har ingen funktion til beregning af
plan- eller rumintegraler. De skal omskrives til itererede integraler.
Men man kan sagtens have variable grænser på integralerne. I
arket benyttes Maple også til et check af Greens formel i et
konkret eksempel.
36

Ark 16. Et eksempel på udregning af dobbeltintegral: Dette ark
blev benyttet ved forelæsningen i stedet for en tavlegennemgang,
altså lidt som man ville have brugt en transparent. I eksemplet
udregnes integralet
⌠ ⌠ d
⌡
⎮ d
⌡
⎮ x y x
D
over området D, som er vist på figuren nedenfor.
I polære koordinater er det nemt at udregne integralet. I kartesiske
koordinator er det mere vanskeligt, idet man er nødt til at opdele
integralet i flere dele. I arket er integralet udregnet både i polære
og Kartesiske koordinater. Det er også vist, hvordan man i
kartesiske koordinater kan undgå at inddele i flere integraler, hvis
man benytter en 'tuborg' funktion. I Maple gøres det ved brug af
kommandoen piecewise.
Ark 17. Sfæriske koordinater: Et ganske kort ark, der viser
brugen af sfæriske koordinater. Ved at rotere grafikken kan man
give en større 3-dimensionel forståelse af koordinaterne. Arket
tillader at man varierer koordinaterne.
37

Ark 18. Vektorfelter og arbejdsintegraler: Arket illustrerer
vektorfelter, samt kurver langs hvilke vektorfelternes
arbejdsintegraler beregnes.
Ark 19. Illustration af orienteringen i Stokes’ sætning: Stokes’
sætning er ikke pensum, men blev kort gennemgået ved en af de
sidste forelæsninger. Dette korte ark giver en illustration af den
noget indviklede højrehåndsregel for bestemmelse af orienteringen
af randkurven. Igen er det vigtigt at grafen kan roteres under selve
forelæsningen for at give en større 3-dimensionel forståelse.
38

4.
Udvalgte
observatiotioner fra
undervisningsforløbet
A. Indledning
Formålet med dette afsnit er, i kort og overskuelig form, at gøre
noget af det omfattende observationsmateriale tilgængeligt for
læseren, samtidig med at det gøres til genstand for kritisk
refleksion. Formålet er først og fremmest at pege på elementer i
forløbet, som kan inspirere den udøvende underviser i egen
refleksion og praksis. Det er derimod ikke hensigten at præsentere
det samlede materiale eller en mere metodologisk diskussion.
B. Den første spørgeskemaundersøgelse
Ved starten af semesteret udfyldte de studerende på de to Mapleklasser
et spørgeskema, som skulle belyse deres tidligere
erfaringer med Maple-brug og deres forventninger til brug af
Maple på Mat. 1GB (skemaet findes i Appendix A, bagest i
rapporten). Da denne undersøgelse kun omfattede Maple-holdene,
var fokus naturligvis i første række på klasseundervisningen, og i
mindre grad på de fælles forelæsninger.
De fleste (18 ud af 25) havde forud for dette kursus
arbejdet med Maple i et sådant omfang, at de angav at have ’noget’
eller ’godt’ kendskab til programmet. Det vil i praksis sige, at de
havde taget studieenheden ’Datalogi A’ i efteråret, som bl.a. giver
en indføring i Maple. Kurset tages af næsten alle studerende på
Mat. 1, med undtagelse af datalogi-studerende. Flere studerende
angav senere i interviews (se E. nedenfor) og andre samtaler, at de
betragtede denne indføring som en værdifuld hjælp i forhold til
Maple-brugen i forbindelse med de faglige emner på Mat. 1GB.
Et andet spørgsmål af stor interesse for
undervisningen var at få afklaret baggrunden for at de enkelte
39

studerende befandt sig på et Maple-hold, herunder deres egne
forestillinger om hvad det kunne indebære. Her var der den forskel
på de to hold, at øvelseslæreren på det ene (som vi vil kalde hold
A) også havde undervist i efteråret, og mange studerende havde
valgt holdet for at fortsætte med ham som lærer. Men på begge
hold var der en række andre faktorer, som havde spillet ind, og
blandt de foreslåede afkrydsningsmuligheder var specielt flg. to
populære: ’Jeg tror, at Maple vil være relevant for mit videre
studium’ (13 ud af 24), og: ’Jeg regner med, at Maple vil være en
hjælp til eksamen’ (10 ud af 24).
Afslutningsvist blev de studerende bedt om kort (og
i egne ord) at beskrive deres forventninger til Maple-brug i
klasseundervisningen. Et gennemgående træk er, at de studerende
håber at blive bedre til at bruge Maple (evt. lære at bruge Maple),
og en del (9 ud af 24) refererer direkte til en forventet nytte heraf i
forbindelse med opgaveregning. For mange er motivationen bl.a.
at Maple vil hjælpe med tidskrævende beregninger el. lign., så man
kan tale om en slags investering med afkast i forhold til den
studerendes arbejdsbelastning indenfor kursets rammer. På hold A
er der desuden et par stykker, der benytter lejligheden til at
udtrykke en vis reservation, fx er der en der skriver: [Jeg]
forventer at tingene også vil blive gennemgået ved tavlen.
De studerendes forventninger til Maple-klasserne
kan alt i alt beskrives som både blandede og delvist uklare. Enkelte
studerende, som tilmeldte sig sent, eller som havde gode erfaringer
med en bestemt klasselærer, tilmeldte sig en Maple-klasse af andre
grunde end interesse for dennes egenart. Såfremt Maple-klasser
som her blot er et tilbud, må der tilstræbes et højt
informationsniveau om tilbudets karakter. En del var således
usikre på eksamensforhold o. lign. spørgsmål: bliver eksamen
lettere? Får vi et specielt (måske vanskeligere) obligatorisk
projekt? Er der noget teori, vi ikke når at gennemgå i
klassetimerne? Etc. etc.
40

C. Brug af Maple ved forelæsningerne
I løbet af semesteret observerede CW i alt fire
dobbeltforelæsninger, to i begyndelsen af semesteret, og to noget
senere, udvalgt især mhp. at ramme forelæsninger, hvor Maple i
mere udstrakt grad blev anvendt som illustrationsredskab. Efter
hver observation diskuterede JPS og CW (via email og/eller ved et
møde) vores indtryk af, hvordan Maple fungerede i den konkrete,
faglig-pædagogiske sammenhæng. Da der typisk var tale om
kortere sekvenser (2-10 minutter ad gangen, typisk 1 pr.
forelæsning) kom vi selvfølgelig også ind på mere almene aspekter
af stoffet og Maple’s muligheder i den forbindelse.
Rent praktisk blev Maple inddraget ved, at JPS
foretog input på en bærbar PC, hvis skærmbillede blev projiceret
på et lærred af en laserkanon. Der var den tekniske komplikation,
at lærredet (med elektrisk hejseværk) skulle trækkes ned foran en
del af auditoriets tavler, hvilket for både op- og nedrulning tog ca.
30 sekunder. JPS angav selv dette som en gene, idet han dog ikke
afbrød forelæsningens ’mundtlige’ del under op- og nedrulning.
Det er vel normalt, at man som underviser har en tendens til at
opleve sådanne processer som mere belastende og tidsrøvende end
som studerende eller observatør. Men da halvdelen af
’tavlebilledet’ desuden blev dækket af lærredet (hvorved ostensiv
etablering af relationer med Maple-billedet blev umuliggjort) er
det klart at de materielle omstændigheder alt i alt havde en
begrænsende effekt på omfanget og ikke mindst hyppigheden af
Maple-sekvenser i den enkelte forelæsning.
Et andet praktisk aspekt, som også fremgår af afsnit
3, er at Maple-indslagene ved forelæsningerne altid var meget nøje
forberedt, både i sig selv (som Maple ark) og hvad angår deres
placering og funktion i forelæsningen som helhed. Der blev
således ikke gjort forsøg i større udstrækning med ’spontan’
Maple-brug i denne sammenhæng.
I begyndelsen af semesteret – og specielt ved den
første forelæsning, hvor Maple blev anvendt – var der naturligvis
41

et vist behov for tilvænning til et nyt medium i sammenhængen,
både for underviser og studerende. ’Nyhedseffekten’ var ikke
ubetydelig ved første forelæsning, hvor en del studerende var
noget overraskede. Emnet var lineære afbildninger og
egenværditeori, og JPS demonstrerer under anvendelse af Mapleanimationer
(cf. ark nr. 2, appendix D) hvordan nogle lineære
afbildninger på 3 virker på forskellige vektorer, og hvordan
gentagne iterationer af en sådan afbildning anvendt på en vektor
’retter sig ind efter egenvektoren hørende til den største
egenværdi’. Der afsluttes med anvendelse af dette princip på en
lineær model for en simpel epidemi. Der er små udbrud af
overraskelse, da rumvektorerne begynder at ’bevæge’ sig, lidt som
når man kan opleve det under et fyrværkeri i Tivoli. JPS var ’ny’
forelæser for denne gruppe af studerende, som havde haft en anden
lærer i efteråret. En (mandlig) studerende, som CW talte uformelt
med i pausen, udtrykte sin vurdering af meningen med Mapleindslaget
således: Han [JPS] skal vel lige pisse territoriet af.
Andre studerende lod også til at mene, at på den ene side havde
indslaget været en imponerende illustration af det omtalte
fænomen, men på den anden side var det især
underholdningsværdien, de hæftede sig ved – og lærerens vilje til
at gøre brug af den. Det sidste kunne selvfølgelig gøres på mange
andre måder, og bliver som regel positivt modtaget.
En måneds tid senere var billedet noget anderledes.
De studerende havde set Maple i funktion ved forelæsningerne
flere gange, og der var således ingen ’nyhedsinteresse’ i det. Der
var heller ingen underholdningseffekt i eller undren omkring
redskabet i sig selv. Emnet var nu funktioner af flere variable,
mere præcist tangentrum. Som et første eksempel behandledes
funktionen
2 2
g ( x,
y)
= x + y
og den til punktet (1,1,2) hørende tangentplan. Herefter blev
grafen med den tilhørende tangentplan og to tangentvektorer vist
som Maple-plot. JPS bemærker, at det på billedet kan se ud som
42

om, at tangentvektorerne ’stikker ud’ af tangentplanen (som de
rettelig burde udspænde), og forklaringen ’de har en vis tykkelse’
giver lidt mumlen rundt omkring 2 . JPS forklarer brugen af
kommandoen mtaylor til at finde ligningen for tangentplanen.
Derefter betragtes eksemplet:
⎧ 2xy
⎪ for ( x,
y)
≠ ( 0,
0)
= 2 2
f ( x,
y)
⎨ x + y
⎪
⎩ 0 for ( x,
y)
= ( 0,
0)
hvor grafen tegnes vha. Maple, hvoraf det tydeligt fremgår at
planen z = 0 ikke er tangentiel. JPS forklarer med udgangspunkt i
linierne x = ± y, og med vekslen mellem tavle og det drejelige
Maple-billede, at den pågældende funktion ikke er kontinuert i
(0,0). Under samtalen i pausen er der en fyr, som mener at ’Maple
er et udmærket redskab for forelæsere’, men ikke er relevant for
studerende. En anden oplyser, at han jævnligt bruger de færdige
Maple-ark fra kursets hjemmeside, især til at opnå visualiseringer,
men at han mener det er ’unødvendigt’ at bruge Maple til
udregninger. En pige supplerer, at hun ikke ville stole på ’et eller
andet Maple havde fundet ud af’. Det skal siges, at de tre
studerende ikke gik på Maple-hold, og at deres kontakt med Maple
i undervisningssammenhæng således alene fandt sted ved
forelæsningerne.
Under forelæsningerne blev Maple brugt som
redskab til såvel illustrationer (grafik) som beregninger (symbolsk
såvel som numerisk), og her er erfaringen nok den, at det ikke så
meget er enkeltområder, der viser sig at være specielt egnede til en
sådan brug – faktisk blev Maple inddraget i næsten alle delemner 3 ,
2 Det viste sig faktisk, at der var en tastefejl i arket. Den blev rettet under
pausen, og efterflg. forklaret. Eksemplet illustrerer, at de studerende (også helt
uden Maple-indsigt) kan forholde sig til en faglig pointe som formidles vha.
Maple (der altså ikke, som medium, blokerer for deres kritiske sans).
3 Man kan måske sige, at emnet potensrækker var mindst oplagt til Maple-brug,
fordi Maple ikke kan operere formelt med sådanne, herunder finde ’hele’
Taylorrækker eller (direkte) beregne konvergensradier.
43

herunder de videregående dele af lineær algebra – men at det
snarere er i feltet ’konkret-abstrakt’, at forskellene skal findes. En
væsentlig del af et matematikkursus på dette niveau er naturligvis
’teoribygning’, specielt bevisførelse, og her er Maple typisk
irrelevant. I hvert fald føler de studerende ret stærkt, at beviser skal
gennemgås på tavlen, måske fordi det er sådan, de selv skal gøre
det ved den mundtlige eksamen. Men så snart begreber og
sammenhænge skal illustreres ved konkrete eksempler – og de skal
de naturligvis – så er Maple ofte et glimrende redskab, selv hvor
de studerende har begrænset eller intet kendskab til programmet.
Det kræver ganske vist en vis tilvænning både for studerende og
forelæsere at betragte Maple som et naturligt alternativ til tavle,
overheads og andre mere velkendte medier. Ikke mindst
forelæserens fortrolighed med mediet muliggør også – som det
faktisk blev tilfældet mod slutningen af semesteret – en højere
grad af ’frihed’ i forhold til mediet. Man kunne endda forestille
sig, at fraværet af tekniske komplikationer (herunder også fx
faglige, såsom den trivielle risiko for regnefejl) kunne give rum for
et vist mål af studenterinput, selvom det ofte er vanskeligt i sig
selv, når der er flere hundrede studenter i et auditorium.
Maple blev også anvendt ved de særlige
’eksempeltimer’, som afholdtes for alle interesserede i en ’tredie
time’ umiddelbart efter forelæsningerne. Her var erfaringen, at
Maple i højere grad blev en ’fjerde aktør’ end under selve
forelæsningerne, hvor tidspres og det store antal studerende i
højere grad begrænsede programmets funktion til blot at være et
medium (for illustration og beregning). Eksempeltimernes indhold
var nemlig i høj grad styret af de tilstedeværende studerendes
interesser og behov, og derved blev inddragelsen af Maple mere
spontan – og dermed måske mere interaktiv, i den forstand som er
skitseret i afsnit 1C. Man kan sige, at eksempeltimerne derved
kom til at fungere som en slags blanding af forelæsninger og
klassetimer (cf. næste afsnit), med den væsentlige forskel at de
44

studerende under sidstnævnte også havde mulighed for direkte at
foretage input til Maple.
D. Brug af Maple i klassetimerne
Forløbet af udvidelsen af den didaktiske trekant til en firkant (cf.
afsnit 1C) afhænger naturligvis i høj grad af eksisterende
forestillinger om stoffet og om CAS hos såvel studentergruppe
som lærer. Inden vi beskriver mere konkrete episoder vil det
således være relevant at give en kort beskrivelse af, hvorledes
disse tog sig ud for en udenforstående observatør.
De to Maple-klasser var både i udgangspunktet og i
praksis ret forskellige. Man kan generelt sige, at de studerende i
klasse A med enkelte undtagelser kun deltog passivt i
undervisningen, om end (i flg. den erfarne klasselærer) klassen nok
kunne betragtes som gennemsnitlig for kurset på dette punkt. De
studerende var stort set altid uforberedte – med undtagelse af 2-3,
der forberedte sig næsten hver gang. I klasse B var det ’sædvanlige
billede’ nærmest omvendt, idet de uforberedte udgjorde
undtagelsen. Desuden var der flere relativt ’stærke’ studerende i
klasse B, som viste sig i stand til at ræsonnere selvstændigt og
spontant, mens de ’forberedte’ i klasse A typisk indskrænkede sig
til at ’aflevere’ hvad de havde lavet hjemmefra. Mens de
studerende i klasse A som nævnt typisk havde valgt klassen fordi
de ville fortsætte med læreren fra efteråret, havde de studerende i
klasse B typisk bevidst valgt at gå i en Maple-klasse (cf. afsnit B).
Disse forskelle afspejlede sig naturligvis også i de studerendes
arbejde med Maple og lærernes muligheder i den forbindelse.
De to klasselærere var også forskellige mht. deres
umiddelbare forestillinger om mulige fordele og ulemper ved
Maple-brug. Man kan sige, at klasse A’s lærer i højere grad var
tilbøjelig til at nære tillid til pragmatiske argumenter for Maplebrug,
specielt at en vis fortrolighed med computeralgebra i sig selv
er relevant. Klasse A’s lærer var, og forblev, mere skeptisk mht.
didaktiske argumenter baseret på forestillingen om, at inddragelsen
45

af Maple kan styrke de studerendes læring af matematiske
begreber, metoder og sammenhænge. Der er næppe tvivl om, at
disse positioner også havde sammenhæng med lærerens kendskab
til klasse A’s studerende, der som nævnt i høj grad foretrak (og,
med deres passivitet, til en vis grad nødvendiggjorde) at der i
undervisningen blev lagt stor vægt på de grundlæggende og mere
rutineprægede sider af det faglige stof og de faglige metoder.
Klasse A’s lærer er i øvrigt på linie med mange studerende i sin
bekymring for, at Maple-brug kan svække eller ligefrem skjule
nødvendigheden af at udvikle praktiske færdigheder, fx i
beregningssammenhæng (cf. afsnit F og G); som nævnt i afsnit 1C
angår denne bekymring en didaktisk problemstilling, der rækker
ud over spørgsmålet om rutineprægede færdigheder. Det er
sandsynligt, at mange nuværende klasselærere på Mat. 1 vil nære
en tilsvarende bekymring, og at den kan få en del til at betragte
evt. Maple-brug som et ’ekstra’ emne i kurset (snarere end som et
integreret og støttende værktøj). Da der i forvejen er en oplevelse
af stort tidspres hos såvel lærere som studerende, må en sådan
bekymring tages alvorligt, hvis man ønsker at gøre Maple-brug
almindelig i alle klasser.
Det faktum, at klasse B’s lærer (JPS) selv var aktivt
involveret i projektet, herunder udviklingen af Maple-ark til
forelæsninger og øvelser, er selvfølgelig også en naturlig
forklaring på, at hans udgangsposition kunne forekomme mere
åben. Men som i ethvert udviklingsprojekt vil graden af personligt
engagement i selve projektet naturligvis også kunne kritiseres som
’atypisk’ i det omfang, der postuleres overførselsværdi af
resultaterne til ’normal’ undervisning.
Observationerne af klassetimerne foregik jævnligt
over semesteret, 3 gange i klasse A og 4 gange i klasse B.
Semesterets første timer handlede om matricer og specielt teorien
om egenværdier og egenvektorer, som for konkrete matricer kan
beregnes vha. Maple’s indbyggede funktioner (’linear algebra’pakkerne,
cf. afsn. 3F). I begge klasser var der en PC med
46

lyskanon til rådighed, og i begge klasser var det i begyndelsen kun
læreren, der tog initiativ til at gøre brug af Maple. Afvigelsen fra
Maple-brugen ved forelæsningerne bestod således hovedsageligt i,
at der blev gjort mere ud af at Maple-tekniske forhold, fx af
konkrete rutiners virkemåde og alternativer. En konkret forskel
mellem de to læreres egen inddragelse af Maple i
opgavegennemgang – som i øvrigt bestod gennem hele semesteret
– var at læreren i klasse A som regel gennemgik hjemmeforberedte
Maple-ark (medbragt på diskette), og kun efter forudgående
tavlegennemgang af tilsvarende opgaver, mens klasse B’s lærer
typisk gennemgik nogle opgaver og opgavetyper vha. Maple, som
regel ved input ’på stedet’, og med efterflg. distribution (via email)
af de ark, som således var blevet til i klassen. Løsning af opgaver
under brug af Maple blev af klasse A’s lærer fra starten
præsenteret som noget sekundært: Man kan også lave dem på
Maple, men det er også rart at se det i virkeligheden, var en
karakteristisk bemærkning et par uger ind i semesteret. Samme uge
talte klasse B’s lærer om at teste sin forståelse ved at ’lege’ uden
at regne. Desuden var klasse B’s lærer – givetvis bl.a. pga. klasse
B’s større faglige og arbejdsmæssige overskud – fra starten mere
tilbøjelig til at introducere avancerede (og ikke rent
beregningsmæssige) rutiner, såsom rutinen IsSimilar, der afgør om
to forelagte matricer er similære. Enkelte gange blev brugen af
sådanne rutiner endda en anledning for læreren til at introducere
faglige begreber som lå udover pensum, fx LU-dekomponering i
den nævnte kontekst.
En konkret hjemmeopgave, der allerede i starten af
semesteret gav anledning til mere principielle overvejelser hos
underviserne, var flg. (tidligere eksamensopgave): man er givet en
3×3-matrix A, og opgaven består af tre spørgsmål: a) find det
karakteristiske polynomium for A, b) find egenvektorerne for A, c)
udtryk en given 3-dimensional vektor x som linearkombination af
egenvektorerne, og bestem en generel formel for A n x (hvor n∈).
Opgaven var markeret som Maple-egnet, og de to første
47

spørgsmål, samt første halvdel af c), er da også meget hurtigt
klaret for en Maple-kyndig. Anden halvdel af spørgsmål c) er en
klassisk opgave når A som her har tre lineært uafhængige
egenvektorer [lærer-forslag til løsning vha. Maple findes i Ark A].
Men mange af de studerende overraskede ved simpelt hen at
producere udtrykket direkte (symbolsk) eller induktivt (beregning
af nogle eksempler, induktionsbevis 4 for den resulterende
hypotese). Motivationen for at benytte sig af basen af egenvektorer
er jo, at det er besværligt og risikabelt (mht. regnefejl) at foretage
mange matrix-multiplikationer ved ligefrem udregning i hånden,
men en helt triviel operation under anvendelse af et
computeralgebrasystem. Gør man brug af det, bliver sidste del af
spørgsmål c) uafhængig af resten af opgaven, og man kan sige at
en væsentlig teoretisk pointe går tabt. Eftersom princippet for
evaluering (eksamen, cf. afsnit H og 2D) var, at en opgave (hvor
andet ikke var anført) kunne besvares under henvisning til Mapleoutput,
var det på den anden side ikke muligt at benægte at den
omtalte metode var både effektiv og gav et korrekt resultat. Man
kan her reagere på i hvert fald to måder: ændre udformningen eller
formuleringen af opgaven mhp. at nødvendiggøre en bestemt
metode; eller konstatere, at den tekniske udvikling undertiden gør
visse metodiske begrundelser for matematiske teorier forældede
(jf. logaritmernes historiske betydning for beregningsmetoder).
Under alle omstændigheder har vi her et eksempel på, at
udvidelsen fra trekant til firkant kan ændre afgørende på
aktørernes forhold til det faglige stof. Man kan også sige, at
episoden er et klasseeksempel på Usiskins problem (cf. afsnit 1B).
Mens der på begge hold efterhånden var flere
studerende, der medbragte opgaveløsninger på diskette – bl.a.
Maple-ark til besvarelse af skriftlige hjemmeopgaver – blev det i
4 Nogle af de studerende – som havde haft Datalogi A (cf. afsnit B) i efteråret –
forklarede efterfølgende, at princippet om først at udvikle en hypotese ved at
’prøve sig frem’ vha. Maple, og derefter bevise hypotesen vha. induktion, var
blevet trænet på mange (matematisk simplere) eksempler i det nævnte kursus.
48

klasse B desuden rutine at de studerende selv præsenterede
opgaveløsninger i timerne, undertiden ekstemporalt 5 . De
studerende benytter ofte Maple’s indbyggede manual, både til at få
information om en mindre velkendt rutines virkemåde, og til at få
hjælp til at fortolke et ’mystisk’ output (fx output, som involverer
specielle funktioner). Det skete flere gange – særlig mod
slutningen af semesteret – at løsningen udviklede sig til et lille
dialogisk projekt, hvor de studerende afprøvede forskellige
hypoteser, ofte tilskyndet og vejledt af læreren. I klasse A var der,
trods lærerens anstrengelser for at få de studerende ’til tasterne’,
ikke en tilsvarende udvikling. Brugen af Maple kom ikke til at
overskride, hvad de studerende da også (cf. afsnit B, F og G)
betragtede som det væsentligste: at fungere som en ’genvej’ til at
klare visse ellers tidskrævende opgaver med beregning og
illustration af konkrete matematiske objekter. Ved en klassetime i
slutningen af semesteret havde der i klasse A etableret sig en
rutine, hvor læreren efter tavlegennemgang af opgaverne (i dette
tilfælde om multiple integraler) gav en hurtig gennemgang af sine
hjemmeforberedte Maple-besvarelser, der – som det hedder – ’ikke
overraskende giver det samme som før’.
Som et eksempel på hvordan improvisation fandt
sted i klasse B, vil vi fremhæve flg. episode fra en klassetime i
slutningen af semesteret, som fandt sted i samme uge som arbejdet
med det obligatoriske projekt (og hvor der derfor var relativt
mange, der ikke havde nået at regne opgaver hjemmefra). Emnet
var her lineære differentialligninger med konstante koefficienter,
og der skal findes løsninger til en vis inhomogen anden ordens
ligning, med og uden randbetingelser. En pige melder sig, og har
medbragt en Maple-løsning på diskette. Desværre kan PC’en ikke
læse fra disketten, så hun indvilger i at improvisere. Løsningen på
selve opgaven findes hurtigt. En anden pige på bageste række er
irriteret, for hun har regnet opgaven med sædvanlig brug af
5 En enkelt studerende havde den særlige grund til altid at vælge Maplegennemgang,
at han havde brækket benet og derfor ikke kunne stå ved tavlen.
49

løsningsmetoder, og mener ikke det forelagte viser noget som
helst. Hun har ellers den samme løsning. JPS bruger anledningen
til at spørge hende, hvorfor løsningen mon ser sådan ud, og hun
giver rødderne i det karakteristiske polynomium og fortæller om
strabadserne med at ’gætte’ en inhomogen løsning. JPS beder
pigen ved PC’en finde det karakteristiske polynomium (indbygget
rutine, CharPol) og dets rødder vha. Maple; vi genfinder dem i den
homogene del af løsningen.Derefter diskuteres formen og
ræsonnementet bag den inhomogene del af løsningen. Næste
opgave, som er essentielt analog, har ingen regnet, men den klares
nu på Maple ved at genbruge kommandoerne fra før, og gentage
diskussionen af den regulære løsningsmetode. Den flg. opgave er
ikke blandt de stillede, men der er tid til overs. Det drejer sig om
differentialligningen
2
d u
+ u = sin νt,
dt
2
hvor ν er en ’fri’ parameter (ikke angivet nærmere). En mandlig
studerende har forsøgt sig med at regne den på Maple. Han
kommer op og giver det tilsvarende Maple-input, som giver flg.
output:
sin( ν t )
u( t ) = _C1 cos( t) + _C2 sin( t ) −
− 1 + ν 2
og den studerende har derhjemme undret sig over, at dette er
meningsløst hvis ν=1. JPS foreslår at erstatte ν med 1 i
differentialligningen og se hvad det giver. To sekunder senere har
vi:
1
sin ( t )
2
1
− cos ( t ) t + _C1 cos ( t ) + _C2 sin ( t )
2
hvor vi selvfølgelig genkender den homogene del af løsningen,
men vanskeligt den inhomogene. I et forsøg på at finde en
sammenhæng foreslår JPS at undersøge, om den forgående løsning
mod konvergerer for ν→1. Det viser sig vha en enkelt kommando,
50

at den faktisk konvergerer mod løsningen for tilfældet ν=1. Dette
benyttes (af JPS) til en kort diskussion af ’kontinuitet af løsningen’
mht. til en parameter. Og så er det pausetid. Man kunne
selvfølgelig have valgt flere fortsættelser af denne diskussion og
relationer til andre emner i kurset end kontinuitet, såsom
l’Hospital’s regel eller funktioner af flere variable. Den afgørende
pointe er imidlertid den større matematiske aktionsradius, som
agenten (her, nærmest regneslaven) Maple i gunstige tilfælde kan
give. Diskussionen af ovst. opgave tog højst 5 minutter, som i
øvrigt kun var til rådighed fordi de forgående opgaver var
gennemgået uden beregningsdetaljer. Der er med andre ord tale om
et tilfælde hvor Dreyfus’ potentiale (afsnit 1B) ses realiseret, i det
mindste for de studerende som behersker de relevante begreber og
teknikker, som i realiteten er af lavere orden end den faglige
diskussion, som her udspænder sig. Men det er værd at bemærke,
at det ikke sker ’af sig selv’, men i høj grad fordi læreren ser og
griber muligheden for at videreudvikle den studerendes spørgsmål.
Denne og tilsvarende situationer giver os grund til at
fremhæve, at eksperimenterende aktiviteter under brug af Maple
ofte vil skulle indebære en høj grad af lærerstyring i den
udstrækning man ønsker, at de faglige pointer skal overskride hvad
de studerende umiddelbart er fortrolige med. Det er på den anden
side afgørende, at der tages udgangspunkt i studenternes spørgsmål
og interessefelter, og at dialogen med dem i det mindste bevares
hele vejen (så de ikke blot bliver tilskuere til lærerens
eksperimenter). Det er klart, at det at improvisere i en sådan
vekselvirkning med de studerende kræver et betragteligt
matematik-fagligt og Maple-teknisk overskud – og især det første.
E. Det obligatoriske projekt
Det obligatoriske projekt drejede sig om systemer af
differentialligninger, dels lineære (med udgangspunkt i et afsnit fra
lærebogen, der ikke var pensum), dels det ikke lineære
ligningssystem
51

⎧ x'(
t)
= ( a − by(
t))
x(
t)
⎨
⎩y'
( t)
= ( −c
+ dx(
t))
y(
t)
som (for positive værdier af konstanterne a, b, c og d) er den
berømte Lotka-Volterra model for en simpel jæger-bytte økologi.
Den fulde formulering af projektet er vedlagt som Appendix C, og
som tidligere nævnt kunne de studerende vælge at besvare alle
spørgsmål vha. Maple (enkelte teoretiske spørgsmål lagde dog
ikke op til Maple-brug, om end man naturligvis godt kunne skrive
tekste til besvarelse heraf ind i et Maple-ark, hvad nogle da også
gjorde). Sidste del af projektet drejede sig om faseportrættet for
Lotka-Volterrasystemet, dvs. kurver med parametriseringen (x(t),
y(t)), hvor x(t), y(t) er løsning til systemet med passende
begyndelsesbetingelser. Man kan nemlig vise, at disse er lukkede
kurver (som ikke skærer hinanden), svarende til at x og y bliver
periodiske funktioner med samme periode. Projektet gav i denne
del af opgaven valgmulighed mellem to måder at arbejde med
denne problemstilling på: ’uden Maple’ og ’med Maple’. Version
’uden Maple’ indebar en teoretisk drøftelse af en vis funktion af to
variable, hvis niveaukurver omfatter faseportrættet, og version
’med Maple’ tog udgangspunkt i at skabe en rutine, der plotter
faseportrættet for givne værdier af konstanterne (herunder som
animation med t som variabel).
Projektet blev udarbejdet i grupper på 1-3 studerende.
Af projekterne fra grupper med deltagelse af studerende fra hold A
og B, var 4 helt eller delvist baserede på Maple-brug.
Det ene projekt (udført af to studerende fra hold B,
som også optræder i afsnit F) blev afleveret som et Maple-ark,
hvor teoretiske dele var skrevet som tekst-sekvenser i Maple. De
studerende havde her brugt Maple overalt hvor det var muligt, og
bortset fra en lille misforståelse omkring egenvektorerne for en
bestemt 2×2-matrix er der tale om en udmærket besvarelse der
specielt giver et glimrende grafisk udtryk for fasekurverne og
deres dynamik (animationen viser også tidsudviklingen langs et
bestemt trajektorium).
52

De tre andre projekter – hver udarbejdet af grupper af
tre studerende – har kun brugt Maple til det sidste spørgsmål, hvor
de altså har valgt ’med Maple’-versionen. Besvarelserne er i det
væsentlige korrekte, idet den ene af grupperne dog har en inputfejl,
der skjuler en af opgavens pointer (nemlig af trajektorierne for
Lotka-Volterra-systemet og dets linearisering ’ligner’ hinanden).
Man må alt i alt betegne det som lidt skuffende, at kun
en gruppe havde valgt at bruge Maple til de dele af projektet, hvor
det faktisk var let, fx til at bestemme egenværdier og lign. simple
beregninger; måske er en forklaring, at der kun i det sidste
spørgsmål – hvor valget var mellem to versioner – var en eksplicit
angivelse af, at Maple-brug var et spørgsmål at tage stilling til. At
der trods alt var tre grupper, som valgte ’med Maple’-versionen,
og dermed arbejdet med de mere avancerede anvendelser af
Maple, bestyrker denne formodning. En af de studerende fra hold
A’s Maple-gruppe forklarede, at de havde fundet Mapleanvendelsen
i den sidste del vanskelig og tidskrævende, og i øvrigt
var usikre på resultaternes korrekthed (som der som nævnt ikke
var noget i vejen med). De havde på forhånd delt opgaverne sådan
indbyrdes, at de mindre Maple-interesserede tog sig af første del af
projektet.
Vi bemærkede en vis sammenhæng mellem den
enkelte studerendes daglige brug af Maple (fx i aflevering af
skriftlige opgaver) og brug af Maple i projektet: de studerende, der
valgte det sidste, var også blandt de mest ivrige brugere af Maple i
det daglige. Men der var også studerende, som undertiden
afleverede opgaver i Maple, som ikke valgte at bruge programmet
til de lettere dele af projektet (som tilsvarede afleveringsopgaverne
i sværhed og indhold). Forskellen er, så vidt vi kan se,
hovedsageligt fraværet af eksplicit indikation af ’Maple-relevans’ i
projektet. Hertil kommer formentlig en forestilling hos mange
studerende om, at det i en eller anden forstand virker mere
overbevisende at ’regne i hånden’.
53

F. Interviewundersøgelserne
Hvor observationer af de studerendes mundtlige og skriftlige
arbejder kunne give et vist indtryk af, hvorledes de brugte og
forholdt sig til Maple i forbindelse med det faglige stof, var de to
interviewrunder en værdifuld lejlighed til at komme nærmere ind
på den enkelte studerendes egen oplevelse af dette forhold. Netop
fordi den enkelte studerende ikke blot er et gennemsnit af en
gruppe kan denne mere kvalitative tilgang pege på mere specielle
problemstillinger, som måske ikke er typiske, og som netop derfor
ikke træder frem i det samlede billede.
Der blev udvalgt to studerende fra hvert af de to hold –
en kvindelig og en mandlig fra hvert hold, som vi vil referere til
som Am, Ak, Bm og Bk. Klasselærerne blev bedt om hver at pege
på en mere og en mindre Maple-erfaren studerende. Disse fire
studerende viste sig nu i løbet af semesteret at høre til i hvad man
populært kunne kalde den ’stærkere ende’ af klasserne. De fire
studerende indvilgede alle i at deltage i undersøgelsen, der
omfattede to samtaler à 30 minutter for hver – en i uge 13 (ca. midt
i semesteret) og én i uge 20 (sidst i semesteret). Samtalerne med
CW fulgte en interviewguide, som det fremgår af sammendragene
i det flg. Vi har valgt at præsentere disse for hver af de fire
studerende enkeltvis.
Ak læser datalogi og matematik, med hovedfag i
datalogi. Hun har således ikke haft Dat. A i efteråret, hvilket hun
føler var et problem i forhold til at komme i gang med Maple, hvor
de andre havde bedre forudsætninger. Hun har altid været meget
optaget af computere, som hun fik sit første eksemplar af til
konfirmationen ’hvor de andre ønskede sig cykler’. Matematik har
hun også altid været glad for, specielt i 3. G. Oplevelsen af en vis
ensomhed i forhold til disse interesser har ikke helt fortaget sig på
universitetet, hvor hun synes de medstuderende er for dovne. Selv
bruger hun 6-8 timer om ugen på Mat. 1 foruden deltagelse i
undervisningen (som udgør 8-9 timer, afhængigt af om hun når at
deltage i eksempeltimen efter forelæsningen). I begyndelsen af
54

semesteret brugte hun meget tid på Maple (op til 4 timer om ugen),
men fra midt i semesteret nøjes hun med ’en time eller to’ til at
regne de Maple-egnede opgaver en gang til på Maple. Ak savnede
gennem hele semesteret at have en egentlig matematikbog med
Maple, og synes ikke de emneorienterede ark er tilstrækkeligt. I
øvrigt finder hun at Mat. 1 er ’spændende, men for nemt’ – der var
flere udfordringer i 3. G, og på universitetet er det især algoritmer
og grafteori på kurset Mat. X, som har fanget hendes interesse.
Sidst i semesteret peger hun desuden på, at JPS har været
’ekstremt god’ til at forklare, særlig under eksempeltimerne – han
er ’god til at give en de rigtige billeder inde i hovedet’ – og hun er
ked af, hun ikke gik i hans klasse, fordi hun mener hendes egen
lærer havde ’for begrænset kendskab’ til Maple. Desuden var det
til sidst kun hende, der havde diskette med løsningsforslag med, og
der var heller ingen diskussion af Maple-brug i klassetimerne. Det
er hendes indtryk, at mange af de medstuderende (også i klasse A)
finder Maple ’irriterende’, og mange synes det er ’snyd’ at bruge
Maple. Derfor mener hun, at det bør være et tilbud, som dog
præsenteres for alle i forelæsningerne. For nogle studerende kunne
muligheden for at bruge Maple ved eksamen nok være en
’gulerod’, og hun har da også selv tænkt sig at bruge programmet
til fx integraler, egenværdier og ’andre ting jeg ved Maple er god
til’.
Am læser på matematik-økonomi-linien, og vil hermed
kombinere sin interesse for matematik med sine ambitioner om en
karriere i ’det private’. Hans forudsætninger i computerbrug
stammer næsten udelukkende fra efterårets Dat. A, idet han i
gymnasiet kun stødte på grafiske lommeregnere og ’et par timer
om regneark i 2. G’. Grundlæggende finder han, at Maple er et
effektivt hjælpemiddel til rutinemæssige opgaver, fx Gauss-Jordan
elimination. I øvrigt valgte han Maple-klassen på anbefaling af
klasselæreren, som han også havde i efteråret. Am arbejder med
Mat. 1 ca. 8 timer om ugen (udenfor undervisningen), og Maple
tager han op ’når tiden tillader det’. I øvrigt synes han, det er et
55

problem at kommandoerne og den indbyggede manual er på
engelsk, og efterspørger en vejledning på dansk – evt. blot en liste
over de vigtigste kommandoer og deres virkemåde. Han regner
med, Maple vil være særdeles nyttig videre frem, specielt på 2. år.
Ved det første interview er han lidt usikker på, om Maple vil være
en hjælp for ham eller en ekstra belastning, men ved det andet
interview mener han bestemt det første. Am synes ikke Maplegennemgang
af opgaver kan erstatte den sædvanlige
tavlegennemgang, og er godt tilfreds med, at Maple altid kommer
efter denne, som et supplement. Han regner med at kunne bruge de
færdige Maple-ark ved eksamen, og netop denne fordel ved
eksamen er ’jo en væsentlig motivation’. Stillet overfor konkrete
faglige opgaver virker han dog meget usikker på, hvilke typer af
spørgsmål Maple kunne bruges til; fx mener han nok at Maple kan
finde konvergensradier direkte, mens en opgave (af typen
”l’Hospitals regel”) i flg. ham ville kræve, at man differentierede
tæller og nævner vha. Maple (han tænker slet ikke på direkte
beregning af grænseværdien, som han ikke mener er mulig i
sådanne tilfælde). Han mener fortsat, at Maple vil blive nyttigt i
det videre studium, specielt til ’store beregninger’.
Bk læser lige som Ak datalogi og matematik, og har
haft samme fornemmelse af, at det gav hende særlige
vanskeligheder i starten, at hun i modsætning til de andre ikke
havde haft Dat. A. I modsætning til de tre andre er hun ikke
kommet direkte på universitetet fra gymnasiet, idet hun har
arbejdet en årrække som laboratorietekniker efter at have taget en
bachelor-grad i ’medical technology’ i udlandet. Under dette
arbejde kom hun til at interessere sig for emnet røngtendiffraktion,
og hun har i den forbindelse arbejdet med computerprogrammer til
bestemmelse af mineraler. Når hun har bestemt sig til at starte på
en ny uddannelse er det med henblik på at udvikle denne interesse
til en forskningskarriere eller til videregående arbejde med
’medicinsk tegning’. Maple og matematik forekommer hende
relevante i denne forbindelse, og specielt er matematik jo ’en
56

forudsætning for datalogi’. Maple-arkene har været hende en hjælp
i arbejdet, og hun arbejder meget: ca. 15 timer om ugen (udover
undervisning) med Mat. 1, hvor hun foruden de obligatoriske
lærebøger også læser Calculus with Maple af Edwards og Penney.
Hun mener dog ikke, at der bruges nok tid på Maple i Mat. 1GB,
og havde gerne set at det var en del af Mat. 1 fra starten. Ved den
første samtale mener hun i princippet, man kan klare ’alt’ indenfor
matematik med Maple, og at det også vil være til nytte i datalogistudiet.
Ved den anden samtale er hun stadig begejstret, men kan
også se at ’der er emner, hvor det er mindre nyttigt’. Hun mener
fortsat at Maple burde være obligatorisk for alle studerende – det
er ’synd’ for dem, der ikke går i en Maple-klasse – måske med
undtagelse af dem der ikke skal læse matematik. Hvad angår
arbejdsbelastning mener hun nok, at Maple giver hende meget
ekstra arbejde, og at det er en investering, som kun delvis ’kommer
igen’ på Mat. 1. Men i lyset af de nævnte interesser ser hun ikke
det som et problem. Under projektet havde hun stor glæde af sit
samarbejde med Bm, som hun synes er ’utrolig dygtig’, og hun er
også selv blevet mere rutineret. Ved eksamen vil hun medbringe
sine egne Maple-ark og anvende Maple målrettet på tilsvarende
opgaver.
Bm er en udpræget ambitiøs studerende, der strutter af
selvtillid, og gennem hele semesteret viste stor arbejdssomhed med
både faglige opgaver og med at sætte sig ind i Maple-brug. Bm
bruger ca. 10 timer på Mat. 1 om ugen foruden deltagelse i
undervisningen. Han læser på Matematik-Økonomi-linien, og
sigter på en karriere i det private erhvervsliv (evt. forskning, men
det kan han ’ikke overskue lige nu’). Allerede i gymnasiet havde
han datalogi som tilvalgsfag, hvor han bl.a. lavede et program til
RSA-kryptering. Han har desuden haft Dat. A i efteråret, hvilket
han føler gav en god introduktion til Maple, og han mener, en
sådan introduktion er helt nødvendig (kunne evt. indgå i Mat. 1,
med mindre alle studerende har Dat. A). Han har altid oplevet
matematik som et spændende og udfordrende fag, og mener at alle
57

emnerne på Mat. 1 er relevante for hans hovedinteresse,
økonomifaget. Hvad angår Maple finder han programmet velegnet
til alle former for beregninger og grafisk illustrationer, og han
synes det er en fordel at ’undgå trælse udregninger’, som han i
øvrigt er overbevist om han sagtens kunne klare i hånden. Ved
siden af de foreskrevne lærebøger og noter læser han også i
Israel’s Calculus the Maple way, men ville egentlig hellere have at
der blev lavet ’supplerende noter’ til kurset, fx i form af små
oversigter over kommandoer der er relevante i forbindelse med de
enkelte faglige emner. Han er i øvrigt meget tilfreds med
undervisningen, herunder Maple-arkene, og mailer hyppigt sine
løsningsforslag til JPS, som altid svarer tilbage med ’råd og vink’.
Ved slutningen af semesteret er hans vurderinger tilsvarende
positive, og specielt mener han ikke at Maple-brug har øget
arbejdsbelastningen for ham, bortset fra at det tog en del tid at
skrive projektet i Maple (han og Bk var forfatterne til det ’rene’
Maple-projekt, som omtales i afsnit E). Han synes det er en dårlig
ide at bruge klassetid på at gennemgå færdige opgaveløsninger på
diskette (’TV-køkken-matematik’, kalder han det), og foretrækker
den dynamiske facon hvor der tastes direkte ind. Ved eksamen vil
han bruge Maple ’så meget som muligt’, og han kunne godt tænke
sig at der var et ’specielt Maple-eksamenssæt’. I øvrigt mener han,
Maple bør være et frivilligt tilbud på Mat. 1, som i dette semester.
Det er svært at sige noget sammenfattende om de fire
dobbeltinterviews, der naturligvis rummer mange flere
synspunkter og informationer end ovst. korte referater. Der er dog
ingen af de studerende, som ved afslutningen af semesteret føler at
Maple har givet dem en urimelig ekstra belastning, om end de to
studerende fra hold B af egen interesse for Maple nok har brugt
ekstra tid på kurset. Der synes desuden at være et gennemgående
ønske om i hvert fald kortfattede oversigter over relevante sider af
Maple-brug i kurset, og de fire studerende er enige om, at en vis
introduktion til Maple – som på Dat. A – er ønskelig forud for
anvendelse i forbindelse med det faglige stof. En relativt banal
58

pointe er selvfølgelig, at de studerende faktisk er meget
forskellige, både i personlig baggrund og i deres forventninger til
studiet og fremtiden. Såfremt man i hovedsagen baserer sin
analyse på didaktiske argumenter for og imod Maple-brug, kunne
dette nok pege på ’frivillighedsprincippet’ i den forbindelse;
valgfrihed er jo i det hele taget et stadig mere udbredt princip i
uddannelsessystemet. Pragmatiske argumenter kunne derimod gå i
retning af, at har man valgt at læse matematik må man også lære
de relevante redskaber. Kun én af de studerende – den mest erfarne
og ’modne’ – deler denne opfattelse, og de fire var jo endda blandt
årgangens mest Maple-interesserede studerende. Et problem i
forbindelse med valgfrihed er jo i øvrigt altid, at det kan være
vanskeligt at give det fornødne grundlag for at træffe et valg, og
man kan ikke ud fra evalueringen fra gruppen af studerende, som
frivilligt har valgt en Maple-klasse, sige ret meget om hvad de
øvrige studerendes reaktioner på en tilsvarende undervisning ville
have været.
G. De sidste spørgeskemaundersøgelser
De studerende evaluerede forløbet af Maple-delen af Mat. 1GB
gennem to spørgeskemaer: ét for alle studerende, der i det
væsentlige drejede sig om forelæsninger og eksemplariske Mapleark,
og ét for de to Maple-hold, der mere drejede sig om
klasseundervisningen.
Det generelle spørgeskema (se appendix A) blev
besvaret af 97 studerende, altså lidt under halvdelen af de
studerende. (Skemaet blev af praktiske grunde uddelt og indsamlet
ved en af de sidste forelæsninger, og det indebærer selvfølgelig en
vis risiko for skævhed; omvendt vil det jo være svært for de
studerende, der ikke kommer til forelæsningerne, at evaluere
Maple-brugen ved disse). Af de 97 respondenter svarede 90
’meget godt’ eller ’godt’ på spørgsmålet: Hvad synes du om
brugen af Maple ved forelæsningerne. Dette generelle billede var i
øvrigt konsistent med den meget positive bedømmelse, som
59

forelæsningerne – og især ’AV-brug’ – fik ved studienævnets
officielle studenterevaluering af kurset.
De 7, der svarer ’mindre godt’ (ingen svarer ’dårligt’)
på det nævnte spørgsmål, fordeler sig jævnt på forskellige
studieretninger. De er enige om, at Maple kun kan bruges til
’grafiske illustrationer’ ved en forelæsning, og én kommenterer:
Grafillustration virker godt, men…alt andet end graferne er
nærmest kodesprog. Man forstår simpelt hen ikke hvad der
foregår. De 7 er heller ikke meget for at bruge Maple selv; pånær
én har de ’slet ikke’ brugt Maple til opgaveløsning eller kigget på
Maple-arkene på kursets hjemmeside. Den sidste har ’sommetider’
gjort begge dele, og skiller sig også ud fra de øvrige 7 ved at give
en positiv generel evaluering af Maple-brug i kurset.
De 90 øvrige peger alle på ’grafiske illustrationer’ som
et formål, Maple egner sig til i forelæsningssammenhæng. Der er
24, som desuden peger på ’symbol-regning’ eller ’numerisk
beregning’, og enkelte nævner selv flere ting (’eksempler’ og
’dynamisk beregning’). Det er muligt, de studerende ikke har
været helt klar over, hvad de skulle lægge i de sidste to kategorier,
og derfor ikke har sat kryds ved dem. Af de samme 90 har 11 brugt
Maple-arkene på nettet ’meget’ (heraf er de 7 fra hold B), mens 19
har brugt dem ’sommetider’. En nogenlunde tilsvarende fordeling
(og med enkelte afvigelser de samme studerende) har ’ofte’ eller
’sommetider’ brugt Maple til opgaveregning (heraf er 8 fra hold
B, og 4 fra hold A). Generelt er de 90 studerendes evaluering af
Maple-brugen i kurset positiv: 73 giver den skudsmålet ’meget
godt’ eller ’godt’. Til sidst på skemaet kunne de studerende
komme med egne forslag og kommentarer. Kun et fåtal benytter
denne mulighed. De mere kritiske kommentarer drejer sig næsten
alle om, at det var svært at sætte sig ind i Maple, herunder forstå
brugen ved forelæsningerne, og flere klager over, at de følte det
var et handicap ikke at have haft kurset Dat. A (cf. afsnit 2C).
Flere ytrer også ønske om mere introducerende skriftligt materiale.
60

Den generelle spørgeskemaundersøgelse giver samlet et
billede af en studentergruppe, som har været godt tilfreds med
brugen af Maple i forelæsningerne, specielt til grafiske
illustrationer, men hvor kun et lille mindretal selv har gjort brug af
programmet (og i dette mindretal finder vi, naturligt nok, flest
studerende fra Maple-holdene). Brugen af Maple alene i
forelæsningerne giver således ikke anledning til et større omfang
af selvstændigt Maple-arbejde blandt de studerende.
Vender vi os nu mod de to Maple-hold, er billedet
naturligt nok meget anderledes. Ved slutningen af semesteret
betegner alle studerende, pånær én på hver hold, deres Maplekendskab
som ’godt’ eller ligefrem ’rutineret’. De er da også enige
om, at undervisningen har givet dem øvelse i at bruge Maple. På
hold B har næsten alle besvaret skemaet i klassen, mens kun ca.
halvdelen af de studerende på hold A har svaret (her blev skemaet
udsendt via email af klasselæreren). Det svarer til 9 besvarelser fra
hvert hold.
Det er naturligvis af største interesse at få at vide
hvilket udbytte disse studerende så faktisk mente at have fået af
deres deltagelse i en Maple-klasse, udover et større kendskab til
programmet. Samtlige studerende i begge klasse er enige om, at
Maple var en hjælp til at regne opgaver, og 7 ud af 9 i klasse B
mener desuden at Maple giver ’frihed til at eksperimentere’. Det
sidste peger kun 4 ud af 9 i klasse A på. Halvdelen af de
studerende (3 i klasse A, 6 i klasse B) angiver at Maple-brugen har
givet dem en ’bedre forståelse af stoffet’. Alle studerende (pånær
én) regner i øvrigt med at ville bruge Maple til den skriftlige
eksamen (cf. H).
Kun få studerende (1 i klasse A, 2 i klasse B) finder at
inddragelsen af Maple har påført dem en ekstra arbejdsbyrde;
næsten halvdelen (5 i klasse A, 3 i klasse B) mener endda at det
lettede deres arbejde. Det skal her erindres, at forberedelsesgraden
på hold A gennemgående var meget lav, men der er dog næppe
grund til at tro, at årsagen hertil kan søges i det sidste resultat. I
61

øvrigt er samtlige studerende (undtagen 1 i klasse A) enige om at
bedømme brugen af Maple i klassetimerne som ’god’ eller ’meget
god’. Respondenterne har således ikke fortrudt deres valg af en
Maple-klasse.
Det virker således oplagt, at inddragelse af Maple i
klassetimerne er langt mere effektfuld, hvis det drejer sig om at
tilskynde de studerende til selv at bruge programmet i deres
arbejde med de faget. Men måden, hvorpå denne inddragelse sker,
og de studerendes egne forudsætninger og studievaner, synes også
at spille en stor rolle for, om denne brug i det væsentlige
begrænser sig til opgaveregning, eller om der også bliver tale om
mere undersøgende og selvstændige aktiviteter. De forskelle
mellem klasserne, som allerede er beskrevet i de forgående afsnit,
forekommer bekræftet af spørgeskemaerne på dette punkt.
H. Eksamen
Ved skriftlig eksamen havde 25 studerende tilmeldt sig til eksamen
med Maple (dvs. med adgang til en PC udstyret med Maple, men
uden nogen pligt til at bruge denne). Som tidligere nævnt var det
kun studerende fra hold A og B der havde denne mulighed, som de
altså næsten alle gjorde brug af. Af de 25 afleverede 23 en
besvarelse. Eksamensopgaverne er vedlagt (appendix C).
JPS udtrykker umiddelbart efter at have rettet 9 af
besvarelserne stor tilfredshed med resultatet, idet de 9 alle brugt
Maple meget indgående og med stor succes. Besvarelserne er
anonymiserede, men han mener alligevel at genkende en
studerende – som vi kalder x - der gennem semesteret havde
arbejdet meget intenst med Maple, og denne studerende har klaret
sig dårligst af de 9 (men har dog 70% af de mulige points). JPS
gætter på, at det der er sket er at x har brugt så meget krudt på at
få Maple delen til at fremstå elegant, at x har glemt at koncentrere
sig om hvad der faktisk blev spurgt om. I givet fald er der altså
tale om en mulig fælde, som særlig Maple-interesserede
studerende må advares imod; for ’elegante’ Maple-ark er jo ikke
62

noget, der giver særlig bonus ved en eksamen, der (som her) har
uændrede og rent faglige succes-kriterier. Men alt i alt er JPS’
indtryk af Maple’s funktion ved skriftlig eksamen altså positivt.
Klasselæreren på hold A har også gjort sig nogle
tanker om dette spørgsmål, og de er mere forbeholdne: Ved
mundtlig eksamen slog det censor (NN) og mig at der var en
tendens til at studerende på hold A som have scoret en
middelkarakter skriftligt kun lige kunne bestå mundtligt. Der har
nok været for mange nemme points at hente for Maple-folket, idet
"kunsten" til skriftlig eksamen blot var at ændre lidt i de allerede
kendte arbejdsark, uden nødvendigvis at forstå de involverede
begreber: Hvad er en egenværdi/vektor? Hvad er en symmetrisk
matrix?
Hvad er en løsning til en differentialligning?Hvad kan vi gøre ved
det!? Kort sagt peges der her på en mulig negativ version af
Dreyfus’ potentiale (cf. afsn. 1B), som også ofte kaldes ’black-box
problematikken’: hvis de studerende fx ikke ved meget mere om
egenværdier, end at man for en given matrix kan finde disse vha.
en bestemt Maple-kommando, så har de oplagt ikke en forståelse
af emnet, som vil gøre nogen videre behandling af emnet mulig,
herunder naturligvis fuld realisering af Dreyfus’ potentiale. Det er
en reel didaktisk bekymring i forhold til ’svagere’ studerende, at
de let vil kunne fristes til at nøjes med at tilegne sig en sådan
’black-box’-brug, med mindre kursus og eksamen eksplicit
tilrettelægges mhp. at tydeliggøre nødvendigheden af mere. Det er
da også korrekt, at Maple essentielt kan løse mindst 6 ud af 11
spørgsmål i eksamenssættet alene ved brug af rutiner, som blev
omtalt i kursets arbejdsark, og at man ved at gøre brug heraf dels
kan spare en væsentlig mængde tid, som ellers ville gå til
beregninger, dels i en del tilfælde ikke vil blive ’afsløret’, hvis
man ikke kan gøre rede for definitioner af de relevante begreber.
Eksamenssættet var – som det jo også var hensigten – af samme
art som tidligere år, specielt indeholdt det ingen vink eller pålæg
om Maple-brug. Fra et didaktisk synspunkt kunne man således
63

argumentere for, at det ikke er rimeligt at opretholde en uændret
eksamenspraksis, men at der fx må være opgaver, hvor Maplebrug
eksplicit ikke tillades, eller opgaver, hvor Dreyfus’ potentiale
i højere grad kan udfoldes.
Vi bemærker, at set ud fra et pragmatisk synspunkt er
der på en måde ikke noget problem, hvis den skriftlige eksamen
(som vanligt) har til hensigt at konstatere i hvilket omfang de
studerende – under brug af de redskaber, de måtte beherske – kan
løse visse konkrete faglige problemstillinger. Den mundtlige
eksamen drejer sig så om mere teoretiske sider af faget, og så
finder man et ’gennemsnit’, hvor en del af resultatet kan være
opnået med mere effektive midler end tidligere.
Der tegner sig således den problematiske hypotese, at
mens projektets intention i det væsentlige var didaktisk – jf.
specielt afsnit 2B – så hæftede en del af studerende sig mere ved
det pragmatiske formål, hvor Maple-tilegnelse bliver et middel til
at bestå eksamen. Det er velkendt, at evaluering er et meget
væsentligt orienteringspunkt for mange studerendes virksomhed,
og det derfor også er et potentielt kraftigt instrument til bevidst at
regulere denne. Potentialet kan imidlertid kun realiseres gennem
en høj grad af eksplicitet omkring didaktiske intentioner og
evaluering af disse. Hvis den nævnte hypotese er korrekt, er der
altså brug for dels at styrke ekspliciteten af de didaktiske
intentioner i forbindelse med Maple-brug, dels – og det er
selvfølgelig det mest problematiske – at indrette evalueringen
derefter, specielt med henblik på i højere grad at realisere Dreyfus’
potentiale ved eksamen.
64

5.
Afsluttende bemærkninger,
spørgsmål og anbefalinger.
Overordnet var det for alle parter et spændende projekt at arbejde
med, selvom det på forhånd var begrænset af ret snævre ydre
rammer (herunder krav om uændret pensum og eksamen, samt
ikke-ideelle materielle betingelser for undervisning og eksamen).
At projektet bød på forskellige tekniske og pædagogiske
vanskeligheder – som ikke alle blev overvundet – er da også
mindre interessant og overraskende, end at der faktisk var en
række momenter i implementeringen, som kom positivt bag på os
– og hvor man som underviser oplevede glæden ved at ens egen
faglige entusiasme kunne deles med de studerende på en ny måde:
• Ved forelæsningerne gav Maple mulighed for dynamiske
illustrationer af stoffet, der dels var en forfriskende
variation af de velkendte fremstillingsformer, dels reelt gav
mulighed for at præsentere sider af stoffet, som ellers
træder mere i baggrunden. Dette gælder ikke mindst
muligheden for at præsentere geometriske aspekter af
stoffet (lineær algebar såvel som analyse).
• Ved eksempeltimerne blev Maple desuden brugt som
egentlig ’aktør’, dvs. i heldige situationer kunne lærer og
studerende opleve at man i fællesskab forholdt sig til en (af
studerende udpeget) problemstilling med Maple som
’hjælper’.
• I klassetimerne gav Maple – i det mindste i nogle timer –
en væsentlig bedre interaktivitet, antagelig ofte fordi de
studerende oplevede muligheden for at præsentere opgaver
via computeren som mindre ’skræmmende’ end
eksponeringen mellem klasse, lærer og en tom tavle.
Desuden oplevede vi i en række situationer Dreyfus’
potentiale realiseret ved at tunge (men i princippet trivielle)
65

mellemregninger blev klaret af Maple, så tid og
opmærksomhed kunne rettes mod mere principielle og/eller
avancerede sider af en opgave 6 .
• I projektet var der mulighed for at stille opgaven
anderledes, og i en form der i højere grad gav global
forståelse af opgavens betydning, herunder dens
modelleringsaspekt, på trods af at emnet delvis lå udenfor
det på forhånd kendte stofområdes rækkevidde. Vi mener,
at hvor det bliver tilfældet, bliver der tale om et egentligt
projekt, idet arbejdet – i højere grad end ellers –
overskrider de muligheder, som ligger i et sædvanligt
opgavesæt.
I forhold til funktioner, som Maple i projektets problemstilling
(afsnit 2B) var tænkt at kunne have, må vi nok især pege på
’illustrerende redskab ved forelæsninger’ og ’redskab til løsning af
opgaver’ som funktioner, der i ret stort omfang blev realiseret i
projektet.
Vi har også peget på en lang række problemer undervejs,
som kræver yderligere overvejelser:
• For de studerende, der alene ser Maple i brug ved
forelæsningerne, bliver programmet kun i få tilfælde til et
redskab, som de selv anvender. Der er da to mindre heldige
muligheder: Maple kommer alene til at optræde som et
hjælpemiddel for forelæseren, eller de studerende oplever
en frustration over de mange tekniske kommandoer, som
de ikke kan gennemskue. Den første mulighed kan
naturligvis være acceptabel, hvor man alene ønsker at
bruge Maple som et middel til at forbedre en broadcast
præsentation af stoffet.
6 En forudsætning herfor er ikke mindst stort fagligt og Maple-teknisk overskud
hos læreren, samt evne til at udnytte disse i reel interaktion med de studerende –
cf. afsnit 4G.
66

• Anvendelse af Maple ved klassetimerne kan også foregå
uden nævneværdig aktivering af de studerende. Mindre
ihærdige (eller mindre talentfulde) studerende kan fristes til
alene at bruge færdiglavede ark som skabeloner til brug for
arbejdsøkonomiserende, men i værste fald indsigtsløs,
besvarelse af standardopgaver. I dette tilfælde står vi med
en udgave af Usiskins problem, hvor lærerens didaktiske
intention overtrumfes af den studerendes pragmatiske
intention: at bestå eksamen med et minimum af indsats og
dermed ofte indsigt. Problemet forstærkes med stor
sandsynlighed, hvis lærernes (og universitetets) intentioner
med inddragelsen af Maple ikke fremtræder med
tilstrækkelig klarhed, og hvis der for de studerende ikke er
en klar sammenhæng mellem disse intentioner og de krav,
som stilles i evalueringssammenhænge (opgaveaflevering,
projekt og eksamen).
• En del studerende oplever Maple som vanskeligt at sætte
sig ind i, og har behov for en mere systematisk introduktion
til programmet og dets muligheder i forhold til stoffet. Der
er altså tale om dels et ’tærskelproblem’, dels et behov for
’overblik’ over de mange muligheder, programmet giver
(og ikke mindst en prioriteret fokusering på de mest
relevante).
• Hvis Maple reelt skal være et tilbud for alle studerende, må
der skabes bedre materielle faciliteter, så det fx bliver
muligt at stille PC til rådighed for studiegrupper,
projektgrupper og eksaminander. Det sidste er formentlig
det mest problematiske.
Vi skal afsluttende diskutere mulighederne for at anvende Maple i
fremtiden på denne og tilsvarende studieenheder. Der rejser sig flg.
hovedproblemstillinger:
• Er der specielt et problem i forholdet mellem ’svage’
studerende og brugen af Maple, eller kan Maple omvendt
67

uges til at skabe nye læringsmuligheder også for ’svage’
studerende?
• I hvilket omfang kan traditionelle ’regnefærdigheder’
erstattes med færdigheder i relevant og reflekteret CASbrug?
Er det snarere et spørgsmål om på en rationel måde
at kunne veksle mellem forskellige metoder (med og uden
CAS)?
• Skal man (som i dette projekt) arbejde med uændrede
faglige mål, indhold og evalueringsformer, og lade Maple
være et frivilligt tilbud til interesserede studerende? Kan
man gøre det på måder som eliminerer den ovenfor nævnte
risiko for destruktiv konflikt mellem institutionens og de
studerendes intentioner?
• Er hovedproblemet i at realisere
computeralgebrasystemernes didaktiske potentialer måske
mere på lærersiden, i form af manglende erfaringer og
tilvante (u-udfordrede) forestillinger om, hvordan man
’bør’ lære stoffet? Hvis ja, hvordan overvindes disse?
• Er computeralgebrasystemer i dag et så væsentligt
hjælpemiddel i forbindelse med stoffet i ’calculus-cyklen’,
at man af pragmatiske grunde simpelthen skal gøre
introduktionen heraf til en integreret (og obligatorisk) del
af tilsvarende studieenheder?
• Hvis svaret på det forgående spørgsmål er ja, er det så
sådan, at computeralgebra-systemernes didaktiske
potentialer åbner mulighed for, at integrationen kan ske
uden (væsentlige) reduktioner af de faglige mål og det
faglige indhold?
Disse spørgsmål har i det mindste det til fælles, at de ikke kan
besvares for Mat. 1GB isoleret set, fordi de i virkeligheden angår
hele bacheloruddannelsen – specielt de mere avancerede
matematik-kurser, men også de naturfaglige enheder, for hvilke
Mat. 1 fungerer som ’redskabskursus’. Ikke mindst er det værd at
68

lægge mærke til spørgsmålenes fagligt-normative karakter; de
lader sig ikke besvare ’objektivt’, men må løses gennem en
fordomsfri og grundig diskussion blandt fagfolk. Som resultat
heraf må der tages velovervejede og sammenhængende
beslutninger om, hvorvidt og hvornår computeralgebra-systemer
skal indgå i uddannelserne, og der skabes maksimal klarhed både i
forhold til lærere og studerende om intentionerne med denne
anvendelse. Der er jo i forvejen alvorlige og ret velkendte
brudflader mellem læreres og studerendes opfattelse af ’gode
studienormer’ 7 , men disse vil som nævnt let kunne forstærkes af
CAS-brug, med mindre der tages særlig hånd om problemet. Der
er næppe tvivl om, at spørgsmålene ovenfor vil komme til at indgå
i de samlede overvejelser vedrørende fremtidens matematikholdige
bacheloruddannelser.
7 Se fx L. Lindenskov (1998): Studienormer i splid med sig selv med spild af
ressourcer. Upubl. rapport over et observationsforløb på Mat. 1 ved KU.
69

Appendix A: Spørgeskemaer.
Matematik 1 v. Københavns Universitet, F2001, Maple-klasserne
SPØRGESKEMA VEDR. ERFARINGER OG
FORVENTNINGER TIL MAPLE-BRUG
Formålet med dette spørgeskema er bl.a. fra starten af semesteret at give underviserne et billede af dine
forudsætninger og forventninger til Maple-brug. Foruden at medvirke til en bedre tilrettelæggelse af
undervisningen vil det indgå i et udviklingsprojekt vedr. Maple-brug på 1.-årsundervisning i matematik. På
forhånd tak for ulejligheden med skemaet!
Klasse-nr.:_____ Studieretning:________________
Hvilke typer af software til regning og matematik (fx. regneark, Derive, Mathcad,
Maple, Mathematica.) har du tidligere prøvet at arbejde med?
Hvordan vil du beskrive dit nuværende kendskab til arbejde med Maple
(sæt 1 kryds):
___Rutineret bruger ___Godt kendskab ___Noget kendskab
___Intet eller næsten intet kendskab
Hvorfor er du tilmeldt en Maple-klasse? (sæt gerne flere krydser)
___Vil lære at bruge Maple ___Tror Maple er relevant for mit videre studium
___Nysgerrighed ___Ikke plads på andre hold
___Regner med at Maple vil være en hjælp til eksamen ___Uheld
___Andre grunde (Beskriv her: ____________________________________)
Regner du med at bruge Maple til (sæt kryds ved det relevante):
___Hjemmeopgaver ___Projekt ___Skriftlig eksamen
Beskriv kort dine forventninger til Maple-brug ved klasseundervisningen i foråret:
Spørgeskema til Maple-holdene, feb. 2001
70

Matematik 1 v. Københavns Universitet, F2001, alle studerende
SPØRGESKEMA VEDR. MAPLE-BRUG PÅ MAT. 1GB
Formålet med dette spørgeskema er at evaluere inddragelsen af Maple i Mat. 1GB i dette
semester. Foruden at medvirke til den fremtidige tilrettelæggelse af undervisningen på kurset, vil
det indgå i et udviklingsprojekt vedr. Maple-brug på 1.-årsundervisning i matematik.
På forhånd tak for ulejligheden med skemaet!
Klasse-nr.:_____ Studieretning:________________
Havde du erfaringer med Maple før semester-start? ___ JA ___NEJ
Hvad synes du om brugen af Maple ved forelæsningerne (sæt 1 kryds i én kasse)
___MEGET GODT ____GODT ____MINDRE GODT
____DÅRLIGT
Hvilke af flg. formål mener du Maple egner sig til ved forelæsninger (gerne flere
krydser):
___Grafiske illustrationer ___Symbol-regning ___Numerisk beregning
___ Andet (beskriv):________________________________________________
Har du brugt de Maple-ark, som ligger på Mat.1GB’s hjemmeside? (sæt 1 kryds)
___Ja, meget ___Ja, sommetider ___Nej, slet ikke
Har du brugt Maple til opgaveløsning? (sæt 1 kryds i én kasse)
___Ja, meget ___Ja, sommetider ___Nej, slet ikke
Tror du, at du kommer til at bruge Maple fremover? (sæt 1 kryds)
___Ja, meget ___Ja, sommetider ___Nej, slet ikke
Hvordan vil du generelt evaluere brugen af Maple på Matematik 1GB? (sæt 1 kryds)
___MEGET GODT ____GODT ____MINDRE GODT
____DÅRLIGT
Evt. forslag eller kommentarer ang. Maple-brug på dette kursus:
Spørgeskema til alle studerende, maj 2001
71

Matematik 1 v. Københavns Universitet, F2001, Maple-klasserne
SPØRGESKEMA VEDR. ERFARINGER MED
MAPLE-BRUG I MATEMATIK 1GB
Formålet med dette spørgeskema er at evaluere brugen af Maple i Mat. 1GB på Maple-holdene.
Foruden at medvirke til den fremtidige tilrettelæggelse af undervisningen på kurset, vil det indgå i
et udviklingsprojekt.
På forhånd tak for ulejligheden med skemaet!
Klasse-nr.:_____ Studieretning:________________
Hvordan vil du beskrive dit nuværende kendskab til arbejde med Maple (sæt 1
kryds):
___Rutineret bruger ___Godt kendskab ___Noget kendskab
___Intet eller næsten intet kendskab
Hvilkle af flg. udbytter føler du, at undervisningen i dette semester har givet dig:
___Øvelse i at bruge Maple ___Hjælp til at regne opgaver
___Hjælp til at lave projekt ___Bedre forståelse af stoffet
___Frihed til at eksperimentere ___Forberedelse til eksamen
___Andet (Beskriv her: ___________________________________________)
Regner du med at bruge Maple til skriftlig eksamen?
___JA ___NEJ ___MÅSKE
Hvordan synes du, at inddragelsen af Maple har påvirket din arbejdsbyrde i
forbindelse med Mat. 1GB? (sæt 1 kryds)
___det gav ekstra arbejde ___arbejdsbyrden var uændret ___det lettede
arbejdet
Hvordan vil du evaluere brugen af Maple i klassetimerne: (sæt 1 kryds i én kasse)
___MEGET GODT ____GODT ____MINDRE GODT
____DÅRLIGT
Kommentarer eller forslag til forbedringer?
Spørgeskema til Maple-holdene, maj 2001
72

Appendix B: Projektformuleringen
73

Differentialligningssystemer
Projekt p˚a Mat1gB For˚ar 2001
Projektet skal laves i grupper p˚a 2-4 studerende fra samme klasse. Holdsammensætningen
skal meddeles klasselæreren senest den 20/4. Projektet skal
afleveres senest 27/4.
Hvis studerende som ikke g˚ar p˚a Mapleklasser ønsker at aflevere Mapleversionen
af opgave 3(c) i anden del, skal det aftales og godkendes med klasselæreren
p˚a forh˚and.
Projektet drejer sig om differentialligningssystemer. Første del vil dreje sig
om den generelle teori for lineære differentialligningssystemer, den anden del vil
beskæftige sig med et konkret ikke-lineært eksempel fra biologien, Volterra-Lotkas
Jæger-Bytte model. Volterras motivation for modellen var et studie (fra 1920erne)
af fiskebestanden i Adriaterhavet.
Projektet vil benytte flere af de emner, der bliver gennemg˚aet p˚a Mat1GB:
differentiabilitet, differentialligninger, egenvektorer, egenværdier, implicit givne
funktioner, Jacobi-matricen, kurver, niveaukurver, Kædereglen.
Første del: Den lineære teori
• Læs Afsnit 8.5 i Messer med undtagelse af Theorem 8.28, Definition 8.31,
Theorems 8.32–8.34. Specielt vigtig er løsningsmetoden beskrevet p˚a siderne
336-337.
• Løs opgave 8.5.3 om omskrivning af 2. og højere ordens differentialligninger
til 1. ordens differentialligningssystemer og besvar følgende ekstraspørgsm˚al,
der drejer sig om en sammenligning med behandlingen af differentialligninger
i Mat1GB noternes Kapitel 4:
(a) Vis at det karakteristiske polynomium for en 2. ordens lineær homogen
differentialligning, givet i Sætning 4.4.1 i noterne, svarer til det
karakteristiske polynomium for matricen, n˚ar ligningen skrives som et
system.
(b) Udled løsningerne givet i Sætning 4.4.1, tilfælde 1 (λ1 = λ2) ved at
benytte metoden p˚a siderne 336-337 i Messer.
1

(c) Hvad sker der i tilfælde 2 i Sætning 4.4.1, hvis man forsøger at løse
det som et differentialligningssystem?
• Løs opgave 8.5.16 i Messer.
Anden del: Volterra-Lotkas Jæger-Bytte model
Vi betragter Volterra-Lotkas Jæger-Bytte model givet ved det ikke-lineære differentialligningssystem
x ′ (t) = (a − by(t))x(t)
y ′ (t) = (−c + dx(t))y(t)
2
, (1)
hvor a, b, c, d > 0 er konstanter.
Fortolkning: x(t) er antal byttedyr til tiden t og y(t) er antal jægere til tiden
t. Vækstraten for byttedyrene er a − by(t). Den er alts˚a en funktion af antallet af
jægere. Den er mindre, jo flere jægere der er. Omvendt er vækstraten −c + dx(t)
for jægerne større, jo flere byttedyr der er. Vi vil kun være interesseret i løsninger
med x(t) > 0 og y(t) > 0.
Hvis vi definerer funktionen F : R 2 → R 2 ved
F (x, y) = ((a − by)x, (−c + dx)y),
kan vi skrive ligningssystemet (1), som (x ′ (t), y ′ (t)) = F (x(t), y(t)).
Opgave 1: (Ligevægtspunkt) Vis at der findes et entydigt ligevægtspunkt
(x0, y0) med x0 > 0 og y0 > 0, alts˚a et punkt s˚a de konstante funktioner x(t) = x0
og y(t) = y0 er en løsning.
Opgave 2: (Linearisering) Hvis man i (1) erstatter funktionen F med den
lineære tilnærmelse (Se Indledning til Matematisk Analyse I Afsnit 9.6)
x − x0
(x, y) ↦→ F (x0, y0) + DF (x0, y0)
,
y − y0
taler man om det lineariserede problem.
(a) Find det lineariserede problem for (1) og vis, at det er et lineært system for
funktionerne ϕ1(t) = x(t) − x0 og ϕ2(t) = y(t) − y0.
(b) Løs systemet i (a) (sammenlign Opgave 8.5.16 i Messer). Løsningerne skal
skrives som reelle funktioner.
Opgave 3: (Faseportrættet) Ved faseportrættet for et differentialligningssystem
forst˚ar man kurverne i R 2 parametriseret ved løsningerne (x(t), y(t)). Vi
skal i denne opgave sandsynliggøre, at faseportrætterne for b˚ade (1) og det lineariserede
system er lukkede kurver. For det lineariserede system er det nemt.
Hvad betyder det for det biologiske system, at løsningerne parametriserer lukkede
kurver?

(a) Beskriv faseportrættet for det lineære system.
(b) Betragt funktionen g : R 2 + → R givet ved
g(x, y) = a ln y − by + c ln x − dx.
Vis ved brug af Kædereglen, at hvis x(t) og y(t) er løsninger til (1), da
vil g(x(t), y(t)) være konstant i tiden. Kurverne i faseportrættet ligger med
andre ord p˚a niveaukurverne for g.
(c)uden maple Vi skal nu se, at niveaukurverne for g er lukkede kurver. Lad (x0, y0) være
ligevægtspunktet for (1) og lad LK(g) = {(x, y) | g(x, y) = K} være en
ikke-tom niveaukurve for g.
(i) Vis at de fire mængder
LK(g) ∩ {(x, y) | x ≥ x0, y ≥ y0} og LK(g) ∩ {(x, y) | x ≤ x0, y ≥ y0}
LK(g) ∩ {(x, y) | x ≤ x0, y ≤ y0} og LK(g) ∩ {(x, y) | x ≥ x0, y ≤ y0},
alle er ikke-tomme og b˚ade er grafer for strengt monotone funktioner
af x og for strengt monotone funktioner af y.
(ii) Benyt dette til at lave en kvalitativ skitse af en niveaumængde for g
(man skal ikke eksplicit beregne nogen punkter).
(iii) Angiv p˚a din tegning i hvilken retning punktet (x(t), y(t)) bevæger
sig, alts˚a hvordan kurven er orienteret ved parametriseringen givet
ved (x(t), y(t)).
Fortolk resultatet biologiskt.
Vink til (i): Man kunne her tro, at man kan bruge Sætning 2.1.2 om implicit givne
funktioner i noterne. Men s˚adan, som sætningen er formuleret, vil den ikke umiddelbart
give, at niveaukurven er en graf p˚a s˚a stor en mængde som f.eks. {(x, y) | x ≥ x0, y ≥ y0}.
Det er lettere at n˚a til konklusionen i opgaven ved direkte, at undersøge funktionerne
h(x) = c ln x − dx og k(y) = a ln y − by.
Bemærk at niveaukurven LK(g) best˚ar af løsningerne til h(x) + k(y) = K. Vis at k
er strengt monoton p˚a intervallerne ]0, y0] og [y0, ∞[ og at den, restringeret til hvert
af disse intervaller, vil have en strengt monoton invers i begge tilfælde defineret p˚a
] − ∞, k(y0)]. Udfra dette og det tilsvarende resultat for h, ser man, at niveaukurven
er tom, hvis K > h(x0) + k(y0). Hvis K = h(x0) + k(y0) best˚ar niveaukurven netop
af ligevægtspunktet (x0, y0). Ved at analysere tilfældet K < h(x0) + k(y0) bør man nu
kunne n˚a til konklusionen i opgaven
(c)med maple Skriv et maple ark, der for givne værdier af a, b, c og d vil gøre følgende:
(i) Løse (1) numerisk og plotte faseportrættet af løsningerne og niveaukurver
for g i samme plot.
3

(ii) Plotte faseportrættet for (1) og for det lineariserede system i samme
plot.
(iii) Lave en animation af en løsning (x(t), y(t)) til (1) i et faseportræt,
hvor man samtidig viser den niveaukurve for g løsningen bevæger sig
p˚a.
Vælg nogle værdier og vis de tilsvarende grafer. Fortolk resultatet biologiskt.
Vink til (i): Man skal bruge dsolve med type=numeric
Vink til (iii): Benyt f.eks. samme metode, som i den første grafikopsætning i maplearket
om kurver og flader. Her skal man bruge dsolve med type=numeric og output=listprocedure.
Se hjælpen til dsolve.numeric
4

Appendix C:
Skriftlig eksamen i kurset
74

Københanvs Universitet
Eksamen ved Det Naturvidenskabelige Fakultet Sommer 2000 1
Eksamen Mat 1GB F2000 (4 timer)
Opgaver til besvarelse i 4 timer.
Alle hjælpemidler er tilladte.
Opgavesættet best˚ar af 6 opgaver til ialt 100 point og er p˚a 2 sider.
Besvarelserne skal være begrundede og mellemregninger skal fremg˚a.
Opgave 1(a) 1(b) 2(a) 2(b) 3 4(a) 4(b)
Point 5 5 5 8 13 7 15
Opgave 5(a) 5(b) 6(a) 6(b) 6(c)
Point 6 6 15 5 10
Opgave 1. Bestem grænseværdierne
sin x + x
(a) lim
x→0 e2x sin x + x
(b) lim
x→0 e2x − 1
Opgave 2. I hvert af følgende spørgsm˚al skal man tegne domænet D og
udregne dobbeltintegralet
(a) (xy + e y ) dA, hvor D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}
D
(b)
D
y 2 x dA, hvor D = {(x, y) | 0 ≤ x, 0 ≤ y, x 2 + y 2 ≤ 1}
Opgave 3. Find funktionen y som opfylder differentialligningsproblemet
y ′′ (t) + y ′ (t) − 2y(t) = 2, y(0) = 0, y ′ (0) = 1

Københanvs Universitet
Eksamen ved Det Naturvidenskabelige Fakultet Sommer 2000 2
Opgave 4.
(a) Vis at mængden
K = {(x, y) | x 2 − 9 ≤ y ≤ 9 − x 2 }
er en delmængde af [−3, 3] × [−9, 9] og argumenter for at K er en kompakt
mængde. Tegn mængden.
(b) Find maximum og minimum for funktionen f(x, y) = 1
3 xy + x2 p˚a
mængden K.
Opgave 5. Bestem om følgende rækker er konvergente eller divergente
(a)
(b)
∞ 1 + e−k k=1
∞
k=1
k
2 k
√ k!
Opgave 6. Betragt matricen
⎛
A = ⎝
0 −3 1
−4 −4 2
−6 −9 5
(a) Vis at −3 er en egenværdi for A og find alle egenværdier og egenvektorer.
(b) Argumenter for at A er diagonaliserbar.
(c) Vis at matricen
⎛
B = ⎝
−2 −4 6
−7 0 8
1 −4 3
har samme karakteristiske polynomium som A, men ikke er diagonaliserbar.
⎞
⎠ .
⎞
⎠