Vejledende Matematik A
Vejledende Matematik A
Vejledende Matematik A
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2<br />
Prøvens varighed er 5 timer.<br />
Alle hjælpemidler er tilladt.<br />
<strong>Vejledende</strong> <strong>Matematik</strong> A<br />
Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere<br />
end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Af opgaverne 11A,<br />
11B, 11C, og 11D skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres,<br />
bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver.<br />
Opgavesættet består af opgaverne 1-9 med i alt 18 spørgsmål samt valgfrie opgaver 10A-10D<br />
med i alt 2 spørgsmål og 11A-11D med i alt 4 spørgsmål. De 24 spørgsmål indgår med lige<br />
vægt i bedømmelsen.<br />
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.<br />
I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.<br />
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer<br />
og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler,<br />
herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.
Opgave 1<br />
I trekant ABC er følgende størrelser kendte:<br />
∠ B = 80 ° , BC = 7 og AB = 8<br />
a) Bestem AC og vinkel A.<br />
Vinkelhalveringslinjen for vinkel B skærer siden AC i punktet D.<br />
b) Bestem BD .<br />
Opgave 2<br />
! !<br />
To vektorer a og ber<br />
bestemt ved<br />
! ⎛2 ⎞ ! ⎛ t ⎞<br />
a= ⎜ og b=<br />
1⎟ ⎜3−4t⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
hvor t er et tal.<br />
! !<br />
a) Bestem den værdi af t, for hvilken a og b er ortogonale.<br />
Side 1 af 8 sider<br />
3
4<br />
Side 2 af 8 sider<br />
Opgave 3<br />
Hvis en lystfisker vil beregne vægten af en fanget fisk, kan han bruge, at der er en sammenhæng<br />
mellem fiskens vægt, dens længde fra snude til midten af halefinnen og dens omkreds,<br />
målt lige foran rygfinnen. For laks gælder sammenhængen<br />
V = 2,1⋅10⋅o⋅ l<br />
−5<br />
2<br />
hvor V er vægten i kg, o er omkredsen i cm, og l er længden i cm.<br />
a) Bestem vægten af en laks med omkredsen 47,2 cm og længden 80 cm.<br />
For laks gælder tilnærmelsesvis, at omkredsen o er en funktion af længden l bestemt ved<br />
o= 0,59 ⋅ l<br />
b) Udtryk V som funktion af l, og bestem længden af en laks, der vejer 10 kg.<br />
Kilde: http://www.piscatorialpursuits.com/resourcecenter/weightcalculator.htm<br />
Opgave 4<br />
En romaskine kan indstilles, så man efter en periode på 5 minutter kan få oplyst den effekt,<br />
som roeren har ydet samt den tilbagelagte strækning. Tabellen viser resultatet af en sådan måling,<br />
hvor 8 personer har deltaget.<br />
Effekt målt i watt 42 62 80 103 114 143 166 185<br />
Tilbagelagt strækning målt i m 766 859 940 1020 1074 1131 1191 1223<br />
a<br />
Sammenhængen kan beskrives ved en funktion af formen f ( x) = b⋅ x , hvor x betegner effekten,<br />
målt i watt, og hvor f ( x ) betegner den tilsvarende tilbagelagte strækning, målt i m.<br />
a) Bestem ved at benytte tabellens data konstanterne a og b.<br />
b) Benyt den fundne forskrift til at bestemme den effekt, der skal til for at opnå en<br />
tilbagelagt strækning på 900 m.<br />
c) Med hvor mange procent øges den tilbagelagte strækning, hvis effekten øges<br />
med 20%?
Opgave 5<br />
En funktion f er givet ved<br />
1 3 2<br />
f ( x)<br />
= x − 3x<br />
+ 5x<br />
+ 1 , x ∈ R<br />
3<br />
a) Bestem monotoniforhold for f.<br />
b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 0,<br />
f ( 0))<br />
.<br />
c) Bestem de værdier af a for hvilke ligningen f ( x)<br />
= a har netop 2 løsninger.<br />
Opgave 6<br />
x<br />
r<br />
2<br />
h=x+2<br />
Figur 1 Figur 2<br />
x<br />
r<br />
2<br />
Side 3 af 8 sider<br />
En kegle med grundfladeradius r og højde h er indskrevet i en kugle med radius 2, som vist på<br />
figur 1. Afstanden mellem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade betegnes x, hvor<br />
0 < x < 2 .<br />
Figur 2 viser et plant snit gennem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade.<br />
a) Bestem for x = 1 grundfladeradius r, og bestem keglens rumfang.<br />
Det oplyses, at keglens rumfang V(x) som funktion af x er bestemt ved<br />
V x = ⋅ + x− x − x , 0 < x < 2<br />
π<br />
2 3<br />
( ) 3 (8 4 2 )<br />
b) Bestem den værdi af x, for hvilken keglens rumfang er størst muligt.<br />
Rumfanget V af en kegle<br />
med højde h og grundfladeradius<br />
r er givet ved formlen<br />
V = ⋅h⋅ r<br />
π<br />
3<br />
2<br />
5
6<br />
Side 4 af 8 sider<br />
Opgave 7<br />
En funktion f er givet ved<br />
f (x) =<br />
Opgave 8<br />
x x<br />
Når en varm genstand stilles til afkøling i koldere omgivelser, er genstandens temperatur Tt ()<br />
en aftagende funktion af tiden t.<br />
Omgivelsernes temperatur betegnes T 0 .<br />
Det oplyses, at væksthastigheden T′ () t for genstandens temperatur er proportional med forskellen<br />
mellem omgivelsernes temperatur og genstandens temperatur.<br />
Proportionalitetskonstanten betegnes k.<br />
a) Opstil en differentialligning, som Tt () må opfylde.<br />
Opgave 9<br />
En funktion f er en løsning til differentialligningen<br />
dy<br />
= y⋅(0,0312 − 0,000158 y)<br />
dx<br />
og f (0) = 3,929.<br />
a) Bestem en forskrift for f .<br />
I en model beskriver funktionen f befolkningsudviklingen i USA for perioden efter 1790,<br />
idet f ( x ) angiver befolkningstallet i millioner i USA, og x angiver antallet af år efter 1790.<br />
b) Bestem modellens værdi for befolkningstallet i USA i år 2000, og bestem, hvor mange<br />
procent dette tal er mindre end det faktiske befolkningstal i USA år 2000 på 281,4 millioner.<br />
Kilde: US Census Bureau.<br />
2<br />
⋅ 9 − , x ∈ [ 0;3]<br />
En punktmængde M afgrænses af grafen for f og x-aksen.<br />
a) Bestem arealet af M.<br />
b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der<br />
fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.<br />
y<br />
0<br />
M<br />
3<br />
f<br />
x
Opgave 10A: Vektorregning i rummet.<br />
I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i punktet C(3, – 4, 2) og radius 3.<br />
Side 5 af 8 sider<br />
Suliassanit ukunannga: 10A,10B, 10C aamma 10D taamaallaat ataaseq<br />
naliligassatut tunniunneqassaaq.<br />
Suliat ataatsimik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissummut<br />
siullermut akissutit nalilerneqassapput.<br />
Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til<br />
bedømmelse.<br />
Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af<br />
den første opgave.<br />
a) Gør rede for, at punktet P(5, – 2, 3) ligger på kuglen, og bestem en ligning for kuglens<br />
tangentplan i P.<br />
I punktet Q har kuglen en tangentplan, der er parallel med kuglens tangentplan i P.<br />
b) Bestem koordinatsættet til Q.<br />
Opgave 10B: Vektorfunktioner i planen.<br />
I planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen<br />
3<br />
x t t<br />
=− − + 1<br />
, t ∈ R<br />
= + −2<br />
2<br />
y t t<br />
a) Tegn en skitse af parameterkurven, og bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens<br />
skæringspunkter med x-aksen.<br />
b) Bestem en parameterfremstilling for parameterkurvens tangent i punktet svarende til<br />
t = 0.<br />
7
8<br />
Side 6 af 8 sider<br />
Opgave 10C: Kvadratisk optimering.<br />
På et byggemarked sælges der brædder i to forskellige kvaliteter A og B.<br />
Det antal meter af kvalitet A, der sælges pr. uge, betegnes x, hvor 0 ≤ x ≤ 300.<br />
Det antal meter af kvalitet B, der sælges pr. uge, betegnes y, hvor 0 ≤ y ≤ 300.<br />
Det oplyses, at den ugentlige omsætning kan beskrives ved funktionen<br />
2 2<br />
f ( xy , ) =− 0,08x+ 40x− 0,02y+ 10y<br />
a) Tegn niveaukurven N ( 3050)<br />
svarende til f ( x,<br />
y)<br />
= 3050 .<br />
b) Bestem, hvor meget træ der skal sælges af kvalitet A, og hvor meget træ der skal sælges<br />
af kvalitet B pr. uge, for at byggemarkedet får den størst mulige ugentlige omsætning.<br />
Opgave 10D: Sandsynlighedsregning og statistik.<br />
Før et valg i 2009 foretager en avis en undersøgelse af, hvor stor en andel af stemmerne et bestemt<br />
politisk parti vil få ved valget.<br />
En repræsentativ stikprøve på 1750 vælgere viser, at det politiske parti vil få en andel på<br />
12,4% af stemmerne.<br />
a) Bestem et 95% konfidensinterval for den andel af stemmerne, som det politiske parti vil<br />
få ved valget.<br />
Ved et valg i 2005 fik det politiske parti 11,2% af stemmerne<br />
b) Vurdér, om andelen af stemmer på det politiske parti har ændret sig fra 2005 til 2009.
Side 7 af 8 sider<br />
Suliassanit ukunannga: 11A, 11B, 11C aamma 11D taamaallaat marluk<br />
naliligassatut tunniunneqassapput.<br />
Suliat marlunnik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissutinut<br />
siullernut marlunnut akissutit nalilerneqassapput.<br />
Af opgaverne 11A, 11B, 11C og11D skal kun to opgaver afleveres til<br />
bedømmelse.<br />
Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de<br />
første to opgaver.<br />
Opgave 11A: Rentes- og annuitetsregning.<br />
Jane lånte 30000 kr. i banken den 1/1 2007. Tilbagebetalingen af lånet startede den 1/2 2007,<br />
idet Jane skulle betale en månedlig ydelse i alt 10 gange. Bankens rente var 0,5% pr. måned.<br />
a) Bestem den månedlige ydelse.<br />
b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at den 4. ydelse var betalt.<br />
Opgave 11B: Beskrivende statistik.<br />
En persons Body Mass Index (BMI) er et mål for sammenhængen mellem personens vægt og<br />
højde. For 200 udvalgte personer fordelte BMI sig således:<br />
BMI ]14;18] ]18;22] ]22;26] ]26;30] ]30;34]<br />
Antal personer 28 42 66 40 24<br />
a) Bestem middelværdien.<br />
Tegn sumkurven, og bestem medianen.<br />
Personer med et BMI mellem 25,0 og 30,0 betegnes som overvægtige.<br />
b) Bestem hvor mange procent af de udvalgte 200 personer, der betegnes som overvægtige.<br />
9
10<br />
Side 8 af 8 sider<br />
Opgave 11C: Lineær programmering.<br />
En virksomhed producerer to typer stearinlys: type A og type B. Produktionen pr. dag er underlagt<br />
følgende betingelser:<br />
0, 2x+ 0,1y≤80 x+ y≤500<br />
x ≥ 0<br />
y ≥ 0<br />
hvor x angiver antal lys af type A, og y angiver antal lys af type B.<br />
a) Tegn polygonområdet ud fra de givne betingelser.<br />
Fortjenesten på ét lys af type A er 12 kr., og fortjenesten på ét lys af type B er 9 kr.<br />
b) Bestem det antal lys af type A og det antal lys af type B, der skal produceres pr. dag, så<br />
den samlede fortjeneste er størst mulig.<br />
Opgave 11D: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler.<br />
I et koordinatsystem er en parabel og en linje givet ved ligningerne<br />
1<br />
y = x + x+<br />
og y = x+<br />
5<br />
1 2<br />
2 2 3<br />
2<br />
Parablen og linjen skærer hinanden i to punkter, som benævnes A og B, hvor A er punktet med<br />
den mindste førstekoordinat.<br />
a) Bestem koordinatsættet til hvert af punkterne A og B.<br />
Parablens toppunkt benævnes T.<br />
b) Bestem arealet af trekant ABT.