Vejledende Matematik A

2
Prøvens varighed er 5 timer.
Alle hjælpemidler er tilladt.
Vejledende Matematik A
Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere
end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Af opgaverne 11A,
11B, 11C, og 11D skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres,
bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver.
Opgavesættet består af opgaverne 1-9 med i alt 18 spørgsmål samt valgfrie opgaver 10A-10D
med i alt 2 spørgsmål og 11A-11D med i alt 4 spørgsmål. De 24 spørgsmål indgår med lige
vægt i bedømmelsen.
Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift.
I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår.
Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer
og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler,
herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

Opgave 1
I trekant ABC er følgende størrelser kendte:
∠ B = 80 ° , BC = 7 og AB = 8
a) Bestem AC og vinkel A.
Vinkelhalveringslinjen for vinkel B skærer siden AC i punktet D.
b) Bestem BD .
Opgave 2
! !
To vektorer a og ber
bestemt ved
! ⎛2 ⎞ ! ⎛ t ⎞
a= ⎜ og b=
1⎟ ⎜3−4t⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
hvor t er et tal.
! !
a) Bestem den værdi af t, for hvilken a og b er ortogonale.
Side 1 af 8 sider
3

4
Side 2 af 8 sider
Opgave 3
Hvis en lystfisker vil beregne vægten af en fanget fisk, kan han bruge, at der er en sammenhæng
mellem fiskens vægt, dens længde fra snude til midten af halefinnen og dens omkreds,
målt lige foran rygfinnen. For laks gælder sammenhængen
V = 2,1⋅10⋅o⋅ l
−5
2
hvor V er vægten i kg, o er omkredsen i cm, og l er længden i cm.
a) Bestem vægten af en laks med omkredsen 47,2 cm og længden 80 cm.
For laks gælder tilnærmelsesvis, at omkredsen o er en funktion af længden l bestemt ved
o= 0,59 ⋅ l
b) Udtryk V som funktion af l, og bestem længden af en laks, der vejer 10 kg.
Kilde: http://www.piscatorialpursuits.com/resourcecenter/weightcalculator.htm
Opgave 4
En romaskine kan indstilles, så man efter en periode på 5 minutter kan få oplyst den effekt,
som roeren har ydet samt den tilbagelagte strækning. Tabellen viser resultatet af en sådan måling,
hvor 8 personer har deltaget.
Effekt målt i watt 42 62 80 103 114 143 166 185
Tilbagelagt strækning målt i m 766 859 940 1020 1074 1131 1191 1223
a
Sammenhængen kan beskrives ved en funktion af formen f ( x) = b⋅ x , hvor x betegner effekten,
målt i watt, og hvor f ( x ) betegner den tilsvarende tilbagelagte strækning, målt i m.
a) Bestem ved at benytte tabellens data konstanterne a og b.
b) Benyt den fundne forskrift til at bestemme den effekt, der skal til for at opnå en
tilbagelagt strækning på 900 m.
c) Med hvor mange procent øges den tilbagelagte strækning, hvis effekten øges
med 20%?

Opgave 5
En funktion f er givet ved
1 3 2
f ( x)
= x − 3x
+ 5x
+ 1 , x ∈ R
3
a) Bestem monotoniforhold for f.
b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 0,
f ( 0))
.
c) Bestem de værdier af a for hvilke ligningen f ( x)
= a har netop 2 løsninger.
Opgave 6
x
r
2
h=x+2
Figur 1 Figur 2
x
r
2
Side 3 af 8 sider
En kegle med grundfladeradius r og højde h er indskrevet i en kugle med radius 2, som vist på
figur 1. Afstanden mellem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade betegnes x, hvor
0 < x < 2 .
Figur 2 viser et plant snit gennem kuglens centrum og centrum i keglens grundflade.
a) Bestem for x = 1 grundfladeradius r, og bestem keglens rumfang.
Det oplyses, at keglens rumfang V(x) som funktion af x er bestemt ved
V x = ⋅ + x− x − x , 0 < x < 2
π
2 3
( ) 3 (8 4 2 )
b) Bestem den værdi af x, for hvilken keglens rumfang er størst muligt.
Rumfanget V af en kegle
med højde h og grundfladeradius
r er givet ved formlen
V = ⋅h⋅ r
π
3
2
5

6
Side 4 af 8 sider
Opgave 7
En funktion f er givet ved
f (x) =
Opgave 8
x x
Når en varm genstand stilles til afkøling i koldere omgivelser, er genstandens temperatur Tt ()
en aftagende funktion af tiden t.
Omgivelsernes temperatur betegnes T 0 .
Det oplyses, at væksthastigheden T′ () t for genstandens temperatur er proportional med forskellen
mellem omgivelsernes temperatur og genstandens temperatur.
Proportionalitetskonstanten betegnes k.
a) Opstil en differentialligning, som Tt () må opfylde.
Opgave 9
En funktion f er en løsning til differentialligningen
dy
= y⋅(0,0312 − 0,000158 y)
dx
og f (0) = 3,929.
a) Bestem en forskrift for f .
I en model beskriver funktionen f befolkningsudviklingen i USA for perioden efter 1790,
idet f ( x ) angiver befolkningstallet i millioner i USA, og x angiver antallet af år efter 1790.
b) Bestem modellens værdi for befolkningstallet i USA i år 2000, og bestem, hvor mange
procent dette tal er mindre end det faktiske befolkningstal i USA år 2000 på 281,4 millioner.
Kilde: US Census Bureau.
2
⋅ 9 − , x ∈ [ 0;3]
En punktmængde M afgrænses af grafen for f og x-aksen.
a) Bestem arealet af M.
b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der
fremkommer, når M drejes 360º om x-aksen.
y
0
M
3
f
x

Opgave 10A: Vektorregning i rummet.
I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i punktet C(3, – 4, 2) og radius 3.
Side 5 af 8 sider
Suliassanit ukunannga: 10A,10B, 10C aamma 10D taamaallaat ataaseq
naliligassatut tunniunneqassaaq.
Suliat ataatsimik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissummut
siullermut akissutit nalilerneqassapput.
Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til
bedømmelse.
Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af
den første opgave.
a) Gør rede for, at punktet P(5, – 2, 3) ligger på kuglen, og bestem en ligning for kuglens
tangentplan i P.
I punktet Q har kuglen en tangentplan, der er parallel med kuglens tangentplan i P.
b) Bestem koordinatsættet til Q.
Opgave 10B: Vektorfunktioner i planen.
I planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen
3
x t t
=− − + 1
, t ∈ R
= + −2
2
y t t
a) Tegn en skitse af parameterkurven, og bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens
skæringspunkter med x-aksen.
b) Bestem en parameterfremstilling for parameterkurvens tangent i punktet svarende til
t = 0.
7

8
Side 6 af 8 sider
Opgave 10C: Kvadratisk optimering.
På et byggemarked sælges der brædder i to forskellige kvaliteter A og B.
Det antal meter af kvalitet A, der sælges pr. uge, betegnes x, hvor 0 ≤ x ≤ 300.
Det antal meter af kvalitet B, der sælges pr. uge, betegnes y, hvor 0 ≤ y ≤ 300.
Det oplyses, at den ugentlige omsætning kan beskrives ved funktionen
2 2
f ( xy , ) =− 0,08x+ 40x− 0,02y+ 10y
a) Tegn niveaukurven N ( 3050)
svarende til f ( x,
y)
= 3050 .
b) Bestem, hvor meget træ der skal sælges af kvalitet A, og hvor meget træ der skal sælges
af kvalitet B pr. uge, for at byggemarkedet får den størst mulige ugentlige omsætning.
Opgave 10D: Sandsynlighedsregning og statistik.
Før et valg i 2009 foretager en avis en undersøgelse af, hvor stor en andel af stemmerne et bestemt
politisk parti vil få ved valget.
En repræsentativ stikprøve på 1750 vælgere viser, at det politiske parti vil få en andel på
12,4% af stemmerne.
a) Bestem et 95% konfidensinterval for den andel af stemmerne, som det politiske parti vil
få ved valget.
Ved et valg i 2005 fik det politiske parti 11,2% af stemmerne
b) Vurdér, om andelen af stemmer på det politiske parti har ændret sig fra 2005 til 2009.

Side 7 af 8 sider
Suliassanit ukunannga: 11A, 11B, 11C aamma 11D taamaallaat marluk
naliligassatut tunniunneqassapput.
Suliat marlunnik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissutinut
siullernut marlunnut akissutit nalilerneqassapput.
Af opgaverne 11A, 11B, 11C og11D skal kun to opgaver afleveres til
bedømmelse.
Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de
første to opgaver.
Opgave 11A: Rentes- og annuitetsregning.
Jane lånte 30000 kr. i banken den 1/1 2007. Tilbagebetalingen af lånet startede den 1/2 2007,
idet Jane skulle betale en månedlig ydelse i alt 10 gange. Bankens rente var 0,5% pr. måned.
a) Bestem den månedlige ydelse.
b) Bestem restgælden umiddelbart efter, at den 4. ydelse var betalt.
Opgave 11B: Beskrivende statistik.
En persons Body Mass Index (BMI) er et mål for sammenhængen mellem personens vægt og
højde. For 200 udvalgte personer fordelte BMI sig således:
BMI ]14;18] ]18;22] ]22;26] ]26;30] ]30;34]
Antal personer 28 42 66 40 24
a) Bestem middelværdien.
Tegn sumkurven, og bestem medianen.
Personer med et BMI mellem 25,0 og 30,0 betegnes som overvægtige.
b) Bestem hvor mange procent af de udvalgte 200 personer, der betegnes som overvægtige.
9

10
Side 8 af 8 sider
Opgave 11C: Lineær programmering.
En virksomhed producerer to typer stearinlys: type A og type B. Produktionen pr. dag er underlagt
følgende betingelser:
0, 2x+ 0,1y≤80 x+ y≤500
x ≥ 0
y ≥ 0
hvor x angiver antal lys af type A, og y angiver antal lys af type B.
a) Tegn polygonområdet ud fra de givne betingelser.
Fortjenesten på ét lys af type A er 12 kr., og fortjenesten på ét lys af type B er 9 kr.
b) Bestem det antal lys af type A og det antal lys af type B, der skal produceres pr. dag, så
den samlede fortjeneste er størst mulig.
Opgave 11D: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler.
I et koordinatsystem er en parabel og en linje givet ved ligningerne
1
y = x + x+
og y = x+
5
1 2
2 2 3
2
Parablen og linjen skærer hinanden i to punkter, som benævnes A og B, hvor A er punktet med
den mindste førstekoordinat.
a) Bestem koordinatsættet til hvert af punkterne A og B.
Parablens toppunkt benævnes T.
b) Bestem arealet af trekant ABT.