2HF091_MAC Side 1 Opgave 1 Givet to ensvinklede trekanter som ...

Opgave 1
2HF091_MAC
Givet to ensvinklede trekanter som vist på figuren. De anførte mål er oplyst.
Da trekanterne er ensvinklede, har de proportionale sider; forstørrelsesfaktoren k
findes som forholdet mellem c 1 og c (da de ligger over for lige store vinkler.)
k = 11,7/6,5
Længden af b 1 = |A 1 C 1 | fås ved at forstørre den tilsvarende side b med forstørrelses-
faktoren k:
b 1 = 6,0*(11,7/6,5) = 10,80 = 10,8
b 1 = 10,8
Side 1

Opgave 2
2HF091_MAC
I opgaven oplyses antallet af anmeldte voldsforbrydelser for årene 1998 og
2006 samt at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær model.
Beregning af parametre
År 1998 2006
x (er antal år efter 1998) 0 8
y (er antal anmeldte voldsforbrydelser) 13422 19577
Da modellen er lineær, beregnes a med:
a= y 2 − y 1
x 2 − x 1
Tallene fra tabellen indsættes:
a=
a afrundes til et multiplum af 10 for at moa
= 770
dellen ikke skal fremstå med en overdreven
nøjagtighed.
Da b = f(0), fås direkte: b = 13422 = 13400
19577−13422
=769,38=770
8−0
b = 13400 b er tilsvarende afrundet til et multiplum
af 100.
Parametrenes betydning
Modellens værdi for b betyder, at der i 1998 ifølge modellen anmeldtes 13400
voldsforbrydelser.
Modellens værdi for a betyder, at der ifølge modellen hvert år anmeldtes ca. 770 flere
voldsforbrydelser.
Modellens prognose
Idet funktionsforskriften i modellen er: f(x) = 770*x + 13400, løses ligningen:
770x+ 13400 = 25000
770x = 25000 -13400
x = (25000-13400)/770
x = 15,05
x beregnes med de ikke afrundede tal
Dvs. ifølge modellen går der godt 15 år før antallet når op på 25000 og derfor:
Der går 16 år før antallet af anmeldte voldsforbrydelser når over 25000 pr. år
Side 2

Opgave 3
2HF091_MAC
Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion.
For to værdier (y 1 = 10 og y 2 = 5) findes ved aflæsning på grafen de to tilsvarende
x-værdier: x 1 = 1,5 og x 2 = 4,4.
Halveringskonstanten beregnes som:
T = x - x 0,5 2 1
hvori de aflæste tal indsættes:
T 0,5 = 4,4 – 1,5 = 2,9
T 0,5 = 2,9
Side 3

Opgave 4
2HF091_MAC
Ishavskatedralens facade er vist med modeltegningen:
Da højden BH i trekant ABC er modstående katete til vinkel A i den retvinklede
trekant ABH, kan vi benytte formlen:
mk = hyp * sin(v) til at beregne længden;
de oplyste tal indsættes:
|BH| = 38*sin (67°) =
Katedralens højde er 35,0 m
34,98 = 35,0
Da vinkelsummen i enhver trekant er 180°, fås:
∠ B = 180 − 2 ⋅ 67 = 46
o o o
Med arealsætningen T= ½*ac*sin(B) (gældende i enhver trekant) fås:
T = 0,5*38*38*sin(46°) =
Facaden har arealet 519,4 kvadratmeter
519,36 = 519,4
Side 4

Opgave 5
2HF091_MAC
I perioden 1988-99 stiger medlemstallet af DCU med god tilnærmelse med 12,4 %
om året; begyndelsesmedlemstallet var 5389.
Da stigningen i procent er konstant vælges en eksponentiel model. Vækstfaktoren
a = 1+12,4%; begyndelsesværdien b = 5389.
Modellen er:
f(x) = 5389*1,124 x
x = antal år efter 1988
f(x) = antal medlemmer af DCU x år efter 1988
År 1999 2006 Tabellen er udfyldt ved at
x
f(x)
11 18 anvende f(x)
19496 44188
Modellens værdi i 1999 er baseret på kendte tal – og derfor stemmer virkelighed og
model overens.
Derimod passer modellens tal fra 2006: ca 44.000 slet ikke med virkelighedens ca.
19.000. Det er nemt at se, at basisperioden fra 88 til 99 (med kraftig vækst) har
fået en ny udvikling i den efterfølgende periode (med et svagt fald.)
Side 5

Opgave 6
Baseret på tabellen:
Kvindelige diabetikere 2005
2HF091_MAC
Alder 0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 – 100
Antal 1381 8996 25799 46587 18499
tegnes histogrammet (med GeoGebra og kommandoen:
BarChart[0, 100, {1381, 8996, 25799, 46587, 18499}] )
På sumkurven aflæses funktionsværdien for x = 46;
F(46) = 18 %
Det vil sige at 18 % af de kvindelige diabetikere er højst 46 år; derfor er 100 % - 18 %
eller 82 % over 46 år.
82 % af de kvindelige diabetikere er over 46 år
Side 6

Opgave 7
Opgave 8
2HF091_MAC
Følgende formel opgives for sammenhæng mellem mål for heste:
vægt= gjordmål2 ⋅kropslængde
11880
hvor vægt måles i kg og øvrige mål i cm.
Vægten af en hest med gjordmål 180 cm og længdemål 160 cm findes ved indsætning:
vægt= 1802 ⋅160
11880
vægt = 436,36 = 436
Dvs hesten vejer 436 kg
Tilsvarende findes gjordmålet ved indsætning og løsning af ligningen:
350= gjordmål 2 ⋅150
11880
⇔ 350⋅11880
150
gjordmål = 166,49 (idet den negative løsning fravælges)
Dvs. hesten i det andet eksempel har gjordmålet 166 cm
Sammenhængen mellem diamantens diameter målt i mm (=x) og diamantens vægt
målt i karat (y) er:
y = 0,0033*x 3,06 .
For en diamant med diameter 27,6 mm fås:
Diamantens vægt = 0,0033*27,6
Diamantens vægt = 84,7 karat
3,06 =
Side 7
84,66 = 84,7
Da sammenhængen er en potensfunktion fås procenten ved formlen:
y-tilvækst-i-procent = ((1+x-tilvækst-i-procent) a -1)*100 %
y-tilvækst-i-procent = ((1+20) 3,06 -1)*100 % =
Dvs. den store diamant vejer 75 % mere end den lille.
=gjordmål 2 ⇔ gjordmål =± 350⋅11880
150
74,70%