Regulering af Quad-rotor helikopter - VBN - Aalborg Universitet

el:
Energieffektiv hi-fi-forstærker
a:
Analog og digital teknik
jektperiode:
Kontrol af Draganfly X-Pro
- Modellering og regulering af en quadrotor helikopter
Elektronik og Elektroteknik
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet
Institut for elektroniske systemer
Gr. 505, 5. Semester, Efterår 2007
Fredrik Bajers Vej 7 A1
Det Ingeniør-, Natur- 9220 Aalborg og Sundhedsvidenskabelige Ø
Fakultet
Danmark
Institut for Elektroniske Systemer, Aalborg Universitet
http://ies.aau.dk
Synopsis:
Dette projekt omhandler design,
dimensionering og konstruktion af
en energieffektiv hi-fi-forstærker med
et G-trin. I private hjem findes et
betydeligt antal hi-fi-forstærkere,
som ofte har en stor maksimal ud

tiv hi-fi-forstærker
tal teknik
er:
sen
un Jørgensen
th
ard Tychsen
Olesen
1
005
Titel:
Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet
Institut for elektroniske systemer
Fredrik Bajers Vej 7 A1
9220 Aalborg Ø
Danmark
http://ies.aau.dk
Synopsis:
Kontrol af Draganfly X-Pro
Dette projekt omhandler design,
- Modellering og regulering af en quadro-
dimensionering og konstruktion af
torenhelikopter energieffektiv hi-fi-forstærker med
et G-trin. I private hjem findes et
Tema: betydeligt antal hi-fi-forstærkere,
som ofte har en stor maksimal ud-
Tilbagekoblede gangseffekt i forhold realtidssystemer til det normale
brugsniveau. Dette giver anledning
til en ringe virkningsgrad. Derfor er
Projektperiode:
der konstrueret en hi-fi-forstærker,
E5, som Efterår er optimeret 2007 efter forbedret
virkningsgrad i en driftssituation.
Projektgruppe: Med udgangspunkt i standarderne
IEC 268 og IEC 581 er relevante
505 krav opstillet til en mono-forstærker,
der kan levere en udgangseffekt p˚a
Deltagere: 10 W. Forstærkeren er konstrueret,
s˚aledes denne kan h˚andtere signaler
Alex fra Aa. en mikrofon Birklykke samt fra en CD- eller
Jesper AUX-enhed. BøndingEn
digital volumenkontrol
med 16 trin tillader indstilling
Brian af lydniveauet M. Christensen og giver brugeren
Andreas en visuel Corneliussen indikation af dette. For
at give brugeren en indikation af
Erik udgangstrinnets B. Poulsen virkningsgrad er der
konstrueret en effektivitetsindikator,
som udlæser et udtryk for effektiviteten
p˚a et display. Udgangstrinnet
Vejleder: er opbygget ved at stakke ud-
Martin gangstransistorerne, Kragelund s˚aledes en høj
forsyningsspænding kun indkobles,
n˚ar dette er nødvendigt.
Oplagstal: 7
Den konstruerede hi-fi-forstærker
overholder overordnet set de opstil-
Sidetal: lede 164krav.
Det er dog kun muligt
at afsætte 9,1 W i en 8 Ω-højttaler
Appendikser: og ikke 11 10 W som krævet. I forstærkeren
indg˚ar et G-trin, som er
Bilags antal
velfungerende,
og -art:
og
1 CD-ROM
giver mulighed for
at opn˚a en højere virkningsgrad end
en traditionel klasse AB forstærker.
Afsluttet den: 20/12 2007
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Institut for Elektroniske Systemer
Fredrik Bajers Vej 7, A
Telefon: 96 35 86 00
Fax: 98 15 36 62
http://ies.aau.dk
Synopsis:
Denne rapport omhandler modellering og regule-
ring af en Draganfly X-Pro quadrotor helikopter.
Helikopterens originale elektronik er afmonteret og
ny udvikles og implementeres.
For at opnå kendskab til helikopterens fysiske
egenskaber opstilles modeller for helikopterens bo-
dy, motor, gear og rotor. Modellerne lineariseres og
bruges som grundlaget for den regulering af heli-
kopteren.
Regulering udføres som tre, i hinanden indlej-
rede, løkker. Den inderste er en motorregulator, som
kontrollerer motorens omdregningshastighed. Den
hertil implementerede regulator er en PI-regulator.
Omkring denne designes PI og PD regulatorer som
styrer helikopterens vinkel. Til dimensioneringen af
disse regulatorer benytter root-locus.
Modeller og regulatorer verificeres enkeltvis
gennem simulering og endeligt i accepttesten.
Resultatet af projekt er, at vinklen ikke kan
holdes med den krævede afvigelse på ±1 ◦ , dog er
stabilitet opnået. Det vurderes også, at helikoptero-
pstillingen er tilpas modstandsdygtig overfor ude-
frakommende forstyrrelser.
Rapportens indhold må kun offentliggøres (med kildeangivelse) efter aftale med forfatterne.

Title:
Control of Draganfly X-pro
- Modelling and regulating a quadrotor
helicopter
Subject:
Realtime systems with feedback
Projectperiod:
E5, Fall 2007
Projectgroup:
505
Participants:
Alex Aa. Birklykke
Jesper Bønding
Brian M. Christensen
Andreas Corneliussen
Erik B. Poulsen
Supervisor:
MartinKragelund
Circulation: 7
Pages: 164
Appendices: 11
Additional material: 1 CD-ROM
Finished: 20/12 2007
The Faculty of Engineering, Science and Medicine
The department of Electronic Systems
Fredrik Bajers Vej 7, A
Telephone: 96 35 86 00
Fax: 98 15 36 62
http://ies.aau.dk
Synopsis:
This report documents the modeling and regulation
of a Dragonfly X-Pro quadrotor helicopter. The ori-
ginal electronics are removed, and new electronics
are developed and implemented.
To gain knowledge of the helicopters physical
characteristics models are developed for the heli-
copters body, motor, gearing and rotor. The models
are linearized and used as the foundation for regu-
lating the helicopter.
The regulation is conducted using three em-
bedded loops. The inner loop controls the angular
velocity of the motor. A PI-regulator is implemen-
ted to conduct this process. Around this a PI- and
PD-regulator is developed to control the angle of
the helicopter. Root-locus optimizing is used for di-
mensioning these regulators.
The models and regulators are individually ve-
rified through simulations and finally in the accep-
tance test.
This project results in the incapability of
maintaining the angle with a reference of ±1 o , but
stability is acquired. The helicopter setup is belie-
ved to have gained the necessary resistance to out-
side disturbances.
The content of this report may not be published without permission from the authors.

Forord
Denne rapport dokumenterer projektarbejdet udført af gruppe 505 på 5. semester, på Institut for
Elektroniske Systemer på Aalborg Universitet i efteråret 2007. Projektet er underlagt temaet „Tilba-
gekoblede realtidssystemer“. Titlen på projektet er „Kontrol af Draganfly X-Pro“ og det har under-
titlen „Modellering og regulering af en quadrotor helikopter“.
Rapporten er henvendt til vejleder, censor og andre interesserede i projektet fx. senere projektgrup-
per, der skal arbejde med den benyttede helikopteren. Det antages, at læseren har et kendskab til
elektronik, der svarer til en 5. semester EE-studerendes.
Læsevejledning:
Rapporten er opbygget af seks dele for at skabe bedre overblik. Den første del er den indledende
systembeskrivelse efterfulgt af modellering af det nuværende system. Derefter designes udvidelsen
af systemet i systemdesign og implementeres i fjerde del. Den femte, reflekterende del indeholder
evaluering af det udførte arbejde. Delene har fået tildelt romertal i indholdsfortegnelsen. Hver del
indeholder flere kapitler, der er nummereret fortløbende gennem rapporten.
Den sidste del er et appendiks, der indeholder kapitler om design og konstruktion af hardware, må-
lerapporter og processorkode.
I rapporten ses henvisninger til eksterne kilder i firkantklammer med angivelse af en reference og
sidetal. Eksempel: [Franklin et al., 2006, s. 123]. Referencen kan slåes op i litteraturlisten på side 95.
Datablade og MatLAB filer forefindes på bilags-CD’en, og henvisninger dertil sker med angivelse
af stien til den specifikke fil.
I

Projektet er udarbejdet af:
Alex Aa. Birklykke
Jesper Bønding
Brian M. Christensen
Andreas Corneliussen
Erik B. Poulsen
II

Indholdsfortegnelse
1 Indledning 1
I Systembeskrivelse 4
2 Use-case analyse af systemet 5
2.1 Usecase - Tænd/Sluk systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Usecase - overvåg systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Usecase - Skift Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Afgrænsning 10
4 Funktionelle Krav 11
II Modellering 12
5 Modelopdeling 13
6 Body-model 15
6.1 Kræfter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.2 Momenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.3 Linearisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 Rotormodel 21
7.1 Opdrift på rotorblade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 Infinitesmal udsnit af rotorblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.3 Kræfter og momenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.4 Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Motormodel 34
III
8.1 Elektrisk Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Mekanisk Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3 Samlet Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.4 Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III Systemdesign 46
9 Overordnet design 47
9.1 Vinkelsensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9.2 Rotationssensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.3 Driver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.4 Mikrocontroller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10 Blokbeskrivelse 51
10.1 Motorregulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10.2 Rotationsssensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.3 Vinkelregulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10.4 Vinkelsensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
10.5 Udlæsning af data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV Blokdesign 56
11 Motorregulering 57
11.1 Fastsættelse af krav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.2 Design af motorregulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12 Rotationssensor 64
12.1 Behandling af sensorsignal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
13 Vinkelregulator 67
13.1 Reguleringsprincip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.2 Regulatordesign . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
13.3 Delverifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
13.4 Ændring af systemtype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
14 Vinkelsensor 74
V Implementering 76
15 Motorregulering 77
16 Rotationssensor 81
17 Vinkelregulator 85
17.1 PD-regulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV

VI Evaluering 88
18 Accepttest 89
19 Konklusion 93
Litteraturliste 95
VII Appendiks A1
A Motordriver A2
B Root locus A5
C Accepttest specifikation A8
D Målerapport til accepttest A12
E Målerapport til verifikation af rotormodel A18
F Bestemmelse af body-parametre A21
G Målerapport til verifikation af bodymodel A29
H Målerapport for verifikation af samlet motor, gear og rotor-model A31
I Målerapport for måling af armaturmodestand A34
J AvrX A38
K Kode til processor A43
V

KAPITEL 1
Indledning
Det er faldet i gruppens interesse at lave et autonomt kontrolsystem. Autonome systemer imple-
menteres i flere forskellige produkttyper. Et område, hvor autonome systemer især benyttess er i de
såkaldte Unmanned Aerial Vehicles (UAV). Disse er fly og helikoptere, som bevæger sig autonomt.
En ukonventionel platform for en sådan kan være en såkaldt quadrotor helikopter.
En quadrotor helikopter er en helikopter, der løftes af fire vertikale rotorer, placeret i et kvadrat.
Den adskiller sig fra almindelige helikoptere i måden hvorpå den ændrer retning. En almindelig
helikopter ændrer retning, ved at styre vinklen på rotorbladene. En quadrotor helikopter benytter sig
derimod af rotorblade med en fast vinkel og ændrer retning ved kun at styre vinkelhastigheden på
disse. Ændringen i vinkelhastigheden resulterer i en ændring i løftet og momentet for hver rotor. En
illustration af den tilrådighedsstilne quadrotor helikopter ses på følgende figur:
Figur 1.1: Illustration af Draganfly X-Pro quadrotor helikopter.
1

KAPITEL 1 - Indledning
Quadrotor helikoptere er opbygget således at rotorerne parvist roterer samme vej hvilket illustreres
på Figur 1.2 Hvert rotorpar skaber et moment, der får helikopteren til at rotere om sin vertikale
centerakse. Denne bevægelse kaldes yaw. Idet de to rotorpar roterer modsat hinanden, vil de skabte
momenter modvirke hinanden. Hvis alle rotorer roterer lige hurtigt, bliver det samlede moment nul,
hvilket betyder at vinkelaccelerationen omkring centeraksen ligeledes bliver nul. Yaw kan således
styres, ved at regulere vinkelhastigheden på de parvist modsat roterende rotorer.
Venstre Højre
y
Figur 1.2:
Frem
Bagud
Hvert rotorpar kontrollerer rotationen om henholdsvis den ene og den anden horisontale akse (x og
y-akse indlagt på Figur 1.2). Rotation omkring x og y-aksen kaldes henholdsvis pitch og roll. Pitch
og roll introduceres ved at hæve løftet på den ene rotor i et rotorpar og sænke det, på den anden rotor
i samme rotorpar. Hvis rotorparrets samlede moment ikke ændres under denne ændring i løft, vil yaw
ideelt set ikke opstå. Quadrotor helikopteren kan således styres i alle retninger. Lineære bevægelser
opnås, ved at opretholde en konstant pitch/roll-vinkel.
Udfordringen i projektet ligger således i, at kontrollere vinkelhastigheden på de fire rotorer, således
at helikopteren kan manøvreres.
2
x

DEL I
Systembeskrivelse
Use cases gennemgåes for at få overblik over den fulde funktionalitet
i systemet. For at gøre projektet realiserbart afgrænses der fra nogle
funktionaliteter. Der opstilles krav for den resterende funktionalitet, som
ønskes designet og implementeret.

KAPITEL 2
Use-case analyse af systemet
I det følgende vil det ønskede system blive beskrevet ved hjælp af Use-case metoden. Denne metode
benyttes, da den giver et godt overblik over de funktioner, der skal implementeres i det samlede
system. Systemet er illustreret på Figur 2.1, hvor det kan ses, at der er to typer input til systemet,
brugerinput og forstyrrelser.
Figur 2.1: Use-case model af det ønskede system
I det følgende vil formål, normalscenarie og værdi for aktøren for hver af use-casene på Figur 2.1
blive beskrevet. Derefter vil analysen blive benyttet til at identificere funktionelle krav til systemet,
og der vil ske en afgrænsning.
5

KAPITEL 2 - Use-case analyse af systemet
2.1 Usecase - Tænd/Sluk systemet
2.1.1 Formål
Formålet med denne use-case er at beskrive systemets funktion ved opstart eller nedlukning. Dvs.
når en bruger tænder systemet efter det har været slukket så længe, at det er faldet tilbage til dets
hviletilstand, eller en bruger slukker for systemet, mens det er i funktion.
2.1.2 Initialisering
Denne use-case initialiseres ved at brugeren tænder eller slukker for strømmen til systemet, enten på
en kontakt på systemet eller på en ekstern spændingskilde.
2.1.3 Normalt Flow
Normalscenariet skal foregå således, hvis systemet skal tændes:
• Brugeren tænder for spændingskilden til både system og helikopter.
• Systemet bestemmer ved hjælp af sensorer, hvor meget helikopteren hælder og til hvilken
retning.
• Systemet starter motorer og regulerer sig, således at det opnår fuldstændig vertikal stilling
(dvs. pitch og roll er lig nul).
• Desuden sikrer systemet, at helikopteren opnår en tilpas vertikal position. Denne position skal
systemet søge at opretholde ved brug af alle bevægelserne beskrevet i Afsnit 1.
Og således hvis systemet skal slukkes:
• Brugeren slukker for spændingskilden til både system og helikopter.
• Systemet slukker for motorene og opnår derved hviletilstand.
2.1.4 Undtagelser
Hvis brugeren ikke har tilsluttet passende spænding, skal systemet reagere således:
6
• Hvis muligt skal systemets processor starte og begynde at reagere på sensorernes input, ellers
skal systemet blot forblive i hvile.
• Hvis systemets processor kan reagere på spændingen, skal den forsøge at regulere spændingen
til motorerne, således at helikopteren kan opnå vertikal tilstand.

KAPITEL 2 - Use-case analyse af systemet
• Er dette ikke muligt, skal systemet fortsætte med at forsøge, indtil spændingen bliver høj nok
(hvis brugeren ændrer på forsyningen), eller spændingen fjernes fra systemet igen, således at
det kan falde tilbage til hvile.
Allerede på dette tidspunkt kan der ske det, at helikopteren bliver udsat for forstyrrelser udefra. Dette
vil gøre det sværere for systemet at opnå en stabil tilstand i vertikal stilling. Dog skal systemet i dette
tilfælde ikke opføre sig anderledes.
2.1.5 Værdi for aktøren
Når brugeren har tændt for systemet, og normalscenariet løbes rigtigt igennem, vil brugeren få et
funktionsdygtigt system, hvor han kan benytte sig af en af de andre use-cases.
2.2 Usecase - overvåg systemet
2.2.1 Formål
Brugeren kan benytte denne use-case til at undersøge systemets motorer og påvirkninger. Han vil
ved brug af denne use-case få præsenteret data fra motorer, sensorer og lignende.
2.2.2 Initialisering
Denne use-case vil blive initialiseret ved at brugeren forbinder en computer til systemet og starter
programmet dertil.
2.2.3 Normalt Flow
Normalscenariet for denne use case vil være:
• Brugeren forbinder sin computer til systemet, og starter et program til formålet
• Systemet henter data fra sensorer og fra motorstyringer
• Systemet sender disse data til computeren
• Programet præsenterer de modtagne data for brugeren
2.2.4 Undtagelser
Hvis ikke computeren kan få forbindelse til systemet, skal den blot informere brugeren om dette og
fortsat forsøge.
7

KAPITEL 2 - Use-case analyse af systemet
2.2.5 Værdi for aktøren
Ved brug af denne use-case vil brugeren kunne få et indblik i hvilke påvirkninger systemet arbejder
under, og hvordan det reagerer på disse.
2.3 Usecase - Skift Position
2.3.1 Formål
Formålet med denne use-case er at sikre at systemet kan flytte helikopteren i alle fire retninger,
højre, venstre, frem og tilbage. Desuden skal denne use-case også beskrive hvordan brugeren kan få
systemet til at dreje rundt om sig selv.
2.3.2 Initialisering
Denne use-case bliver initialiseret ved at brugeren indtaster en ønsket position og drejning af heli-
kopteren, relativt til den nuværende position, i systemet.
2.3.3 Normalt Flow
Det normale flow for denne use-case forløber således:
• Brugeren indtaster ønsket position.
• Systemet bestemmer, hvilken konsekvens den nye position har for helikopteren
• Systemet sørger for at indstille pitch og roll på helikopteren således at den roligt flyver mod
den nye position.
• Løbende skal systemet holde øje med helikopterens position og tilpasse pitch og roll derefter.
• Når helikopteren har opnået den rigtige position skal systemet undersøge om brugeren også
har ønsket at dreje helikopteren i forhold til hvilken vej den nu vender. Er dette tilfældet skal
systemet sikre at dette sker stille og roligt.
2.3.4 Undtagelser
Systemet skal sikre at den nye position bliver indtaget så tilpas roligt at systemet forbliver i ligevægt
og stabillitet hele tiden. Dette medfører selvfølgeligt at der er en vis grænse for helikopterens pitch
og roll, da den vil miste opdrift ved at gøre dette.
Desuden kan der ske det at helikopteren bliver påvirket udefra, alt imens systemet forsøger at skif-
te dens position. Hvis dette sker skal systemet sikre at helikoppteren forbliver stabil, og først når
stabillitet er opnået skal systemet fortsætte med at bevæge helikopteren mod den nye position.
8

2.3.5 Værdi for aktøren
KAPITEL 2 - Use-case analyse af systemet
Denne use-case har værdi for brugeren ved at han får mulighed for at flytte helikopteren fra et sted
til et andet.
2.3.6 Usecase - Uønsket Påvirkning
Formål
Formålet med denne use-case er at beskrive hvordan systemet skal forholde sig til udefrakommende
inputs, som f.eks. vind eller andet der kan få systemet ud af stabillitet, pitch og roll.
Initialisering
Denne funktion initieres ved at helikopteren påvirkes med udefrakommende forstyrrelser.
Normalt Flow
Det normale scenarie for denne use-case skal være som følger:
• Systemet modtager en forstyrrelse af en eller anden art
• Systemet reagerer på disse inputs ved at styre kontra og derved opnå stabilitet i den, af bruge-
ren, ønskede position
Undtagelser
Hvis den udefrakommende forstyrrelse er for stærk kan systemet komme ud af stabillitet og derved
kan det risikeres, at helikopteren ikke kan holde sig luftbåren. Denne effekt skal for så vidt muligt
kontrastyres, således at skaden på helikopteren bliver mindst muligt.
Værdi for aktøren
Denne use-case har værdi for aktøren ved at systemet bliver stabilt, og kan modstå forstyrrelser af
forskellig art.
9

KAPITEL 3
Afgrænsning
Det vælges det at placere helikopteren i en opstilling hvor helikopteren kun kan bevæge sig omkring
én akse, for at simplificerer både modellering og regulering af helikopteren. Da det vurderes at
regulering af det fulde system vil være for krævende for et 5. semester projekt.
Helikopteren placeres derfor på et kardanled der er sat fast på en trefod. På denne måde blokeres he-
likopteren fra bevægelser omkring den vertikale akse. I denne opsætning kan roll-bevægelser skabes
ved at skabe en forskel i hastighed på højre og venstre motor og ligeledes skabes pitch-bevægelser
med forskellen mellem forreste og bagerste motors hastighed.
Desuden betragtes roll og pitch som værende to bevægelser, der er uafhængige og kan beskrives ved
tilsvarende udtryk. Derfor vil der her i rapporten kun blive udarbejdet et system, der kan regulere
bevægelser omkring én akse, da reguleringen af bevægelse i den anden akse betragtes som triviel.
Desuden betragtes seriel kommunikation med en computer også som værende trivielt, hvorfor det er
valgt at begrænse denne kommunikation til en simpel udlæsning på en seriel-terminal på en tilsluttet
computer.
Afgrænsningerne gør at ikke al funktionalitet beskrevet i Afsnit 2 skal implementeres i systemet.
Der vil derfor i Kapitel 4 blive opstillet en række krav, der illustrerer det system, der reelt vil blive
opbygget.
10

KAPITEL 4
Funktionelle Krav
I Afsnit 2 og Kapitel 3 er systemet, der ønskes designet og konstrueret, blevet beskrevet. I dette
afsnit vil der blive opstillet nogle krav til systemet, som ønskes overholdt. Disse krav har til formål
at beskrive den ønskede funktionalitet og performance af systemet og er derfor skrevet på en sådan
måde, at de kan testes med test-metoderne beskrevet i Kapitel C.
Først og fremmest har systemet som formål at sikre at helikopteren kan holdes i en given roll-vinkel.
Med stabillitet menes i dette henseende at systemet, under kraftige udefrakommende påvirkninger,
skal kunne holde systemet i den indstillede vinkel. Dette formål giver andledning til følgende krav:
Krav. 1 Systemet skal kunne holde helikopteren i en given vinkel (roll) (±1 ◦ )
Krav. 2 Systemet skal kunne holde helikopteren stabil i den givne vinkel (roll). Dvs. at helikopteren
skal kunne finde tilbage i den givne vinkel selvom højre eller venstre rotor trækkes så kraftigt
ned mod jorden som opstillingen tillader det.
Desuden er det, selvom helikopteren er spændt fast og derfor ikke kan flyve selv, ønskeligt, at sy-
stemet kan få helikopteren til at holde en hastighed på motorerne, der sikrer opdrift, der svarer til
tyngdekraften virkende på helikopteren. Dette vil kunne sikre at helikopteren ville holde sig flyven-
de, hvis ikke den var spændt fast. Dette giver andledning til følgende krav:
Krav. 3 Systemet skal kunne skabe opdrift ved hjælp af højre og venstre motor svarende til halvdelen
af tyngdekraften virkende på helikopteren (±1%).
Krav. 4 Selvom seriel kommunikation anses som triviel, skal reguleringsvariablene og sensorinputs
udskrives til seriel kommunikation med en PC. Denne kommunikation skal foregå så simpelt
som muligt, således at der ikke skal ventes på at, PC’en sender acknowledges af pakkerne.
11

DEL II
Modellering
Gennem opstillelse af modeller ønskes det at finde udtryk for sammen-
hænge i systemet. Der opstilles undermodeller for motor og gear, ro-
tor og kroppen. Modellerne lineariseres og verificeres på baggrund af
målerapporter i appendiks.

KAPITEL 5
Modelopdeling
Det er valgt at opdele systemet i tre dele, bestående af motor med gear, rotor og helikopterens krop.
Modellerne, der beskriver disse dele, benævnes hhv. motor- og gearmodel, rotormodel og bodymo-
del. Navnet på den sidst nævnte er affødt af betegnelsen “rigid body”, der beskriver et solidt legeme,
som antages at være ubøjeligt. Motoren reguleres med spændingen VA, hvilket ses på Figur 5.1.
Gearet kobler motoren til rotoren, og vil derfor have indflydelse på koblingen mellem disse. Rotor-
bladene roterer med vinkelfrekvensen ω, og ændring i vinkelfrekvensen vil overføres ved ˙ω. Rotoren
belaster gearet med momentet τz.
Bodymodellen beskriver kroppens egenskaber og opførsel. Helikopterkroppen påvirkes af de rote-
rende og eventuelt accelererende rotorblade, idet de skaber en kraftvektor f og en momentvektor τ,
der påvirker kroppen. Modsat afhænger output fra rotormodellen af motornes rotationshastighed og
acceleration, samt hastigheden hvormed helikopteren bevæger sig igennem luften, hvilket er givet
ved vektoren vrotor.
a
Figur 5.1: Blokdiagram for undermodeller med angivelse af værdioverførs-
ler.
Jf. afgrænsningen i Afsnit 3 er helikopteren spændt fast på en trefod, helikopterens lineære hastighed
vheli og rotation i xy-planet vil være nul. Det er således kun rotorens τ-vektor som, ud over kraften
fz fra rotorerne, påvirker helikopteren. I forbindelse med motormodellen vil τz beskrive lastmomen-
tet på motoren. På body-modellen vil dette til gengæld have en mere kompleks indvirkning, som det
13

KAPITEL 5 - Modelopdeling
derfor vælges at se bort fra.
Herudover vælges det at modellerne for helikopteren kun skal være præcise omkring hover. Dette
betyder at rotorhastigheden antages at være tæt på konstant. Der kan således også ses bort fra vin-
kelaccelerationen ˙ω under udledningen af rotormodellen. I Afsnit 3 blev der ydermere afgrænset til
kun at styre helikopterens vinkel med gulvet i vinklen θx. Disse forudsætninger giver anledning til
et forsimplet diagram over modellerne, som ses på følgende figur:
a
Figur 5.2: Simplificeret blokdiagram for undermodeller med angivelse af
værdioverførsler.
Figur 5.2 er således udgangspunktet for opstillingen af de forskellige modeller. Disse vil blive gen-
nemgået i de næste tre kapitler, startende med body-modellen.
14

KAPITEL 6
Body-model
Formålet med bodymodellen er at opstille en model, der beskriver helikopterens position og løft, som
funktion af rotorernes kraftpåvirkninger. For at kunne beskrive helikopterens position, indlægges et
koordinatsystem som vist på Figur 6.1 og Figur 6.2. Da kardanleddet fastlåser helikopterens lineære
bevægelser og rotation om z-aksen, har opstillingen kun to frihedsgrader. De to frihedsgrader er:
orienteringen i xz-planen og zy-planen. Disse beskrives henholdsvis ved θx og θy, der defineres som
vinklerne platformen hælder med i forhold til koordinatsystemets akser, regnet positivt mod uret.
y
Frem
Venstre Højre
Bagud
Figur 6.1: Platformen set fra oven, viser hvorledes koordinatsystemets x- og
y-akse er indlagt (z-aksen peger ud af papiret).
x
15

KAPITEL 6 - Body-model
Venstre
MC
z
Højre
θ x omdrejningspunkt
Figur 6.2: Platformen set fra siden. Viser hvorledes koordinatsystemets x-
og z-akse er indlagt (y-aksen går ind i papiret). Vinklerne θx og θy defineres
som vinklerne platformen hælder med i forhold til koordinatsystemets akser
regnet positivt mod uret.
Det antages, at de to vinkler påvirkes uafhængigt af hinanden, og da platformen er symmetrisk
opbygget, opstilles kun en model for θx som funktion af de to rotor kræfter Fh og Fv, der er kraften
for henholdsivs højre og venstre rotor. Herefter kan de udledte ligninger overføres til at beskrive θy
som funktion af Ff og Fb. For at fastslå om helikopteren ville flyve, hvis den ikke var låst fast af
kardanleddet, skal modellen desuden også beskrive den lineære kraft Fz, der er kraften, helikopteren
påvirker kardanleddet med i z-retningen.
For at kunne opstille en model, beskrives i det følgende først de kræfter, der virker på platformen,
hvorefter det gennemgåes hvilke momenter kræfterne giver anledning til. Herefter opstilles syste-
mets momentligevægtsligninger, disse lineariseres og Laplace-transformeres for slutteligt at finde
bodymodellens overføringsfunktion.
6.1 Kræfter
De eksterne kræfter, der virker på platformen, er illustreret på Figur 6.3 og beskrives i det følgende:
Tyngdekraften har stor indflydelse på helikopterens bevægelser. Den har angrebspunkt i massecen-
trum(MC) og virker altid mod jordens centrum.
Normal kraften modvirker tyngdekraften og har angrebspunkt i omdrejningspunktet (akslen i kar-
danleddet).
Rotor løft De to rotorer skaber henholdsvis kræfterne Fh og Fv, når de roterer. Disse kræfter bruges
til at styre helikopterens hældning.
Luftmodstanden vil modvirke helikopterens bevægelser, men da den er meget kompleks samtidig
16
med at helikopteren bevægelser er begrænset af opstillingen, vil luftmodstanden ikke blive
medtaget i modellen.
x

F v
m arm
6.2 Momenter
F N
MC
F g
θ x
mc arm
Figur 6.3: Eksterne kræfter der påvirker platformen.
KAPITEL 6 - Body-model
De eksterne momenter der virker på platformen, inklusiv inertimomentet, er vist på Figur 6.4 og
beskrives i det følgende:
τ g(θ
x)
τf
z
τ motor
Figur 6.4: Eksterne momenter der påvirker platformen.
Tyngdekraften Da platformen ikke har omdrejningspunkt i sit massecentrum, men omdrejnings-
punktet er forskudt afstanden mcarm på z-aksen, vil tyngdekraften give anledning til et mo-
ment τg(θx) når θ = 0.
Rotor løft De to kræfter Fv og Fh påvirker platformen i en afstand på marm fra omdrejningspunktet
og giver derved anledning til et samlet moment τmotor x givet ved:
τmotor x(t) = τh(t) − τv(t) = Fh(t) · marm − Fv(t) · marm
Friktion Det antages, at der i kardanleddet er en viskos friktion benævnt τf (t) = Bk · ωx(t). Denne
vil virke dæmpende på helikopterens bevægelser.
x
F h
x
(6.1)
17

KAPITEL 6 - Body-model
Da alle momenter nu er identificeret kan momentligevægten opstilles, idet, det antages at systemets
inertimoment set ifht. x-aksen er givet ved Jx.
Hvor:
τmotor x(t) + τg(θx) − τf = Jx · ˙ωx (6.2)
τmotor x(t) = Fh · marm − Fv · marm
τg(θx) = Fg · sin(θx) · mcarm
τf = Bk · ωx
τJ = Jx · ˙ωx
˙θx = ωx
De ovenstående ligninger sammensættes til det samlede udtryk der beskriver helikopterens vinkel-
hældning som funktion af krafterne Fh og Fv:
[Fh(t) − Fv(t)] · marm = −Fg · mcarm · sin(θx) + Jx · ˙ωx + Bk · ω (6.3)
Af Formel 6.3 ses det at mcarm ideelt set er nul, da τg så går ud i Formel 6.2. Det konkluderes herfor,
at mcarm bør minimeres og evt. være mulig at indstille på opstillingen. Figur 6.5 viser ligningerne
på model form i Simulink.
1
Fh
2
Fv
m
masse
-C-
motor_arm
tyngde_acc
-K-
sin
sin
6.3 Linearisering
-Ktau_g
cm_arm
1/J
inerti
acc_x
friktion_x
B
3
vinkel_acc_x
1
s
2
vinkelhastighed_x
vinkelhastighed_x
Figur 6.5: Den opstillede rotationsmodel i simulink.
For at kunne bruge modellen til designovervejelser lineariseres bodymodellen. Dette gøres ved at
antage: sin(θx) ≈ θx. Det vurderes at denne antagelse er rimelig god for |θx| ≤ 0.5[rad] svarende
til ca. ±28 grader, da afvigelsen mellem sin(θx) og θx her maksimalt er på 4, 2%. Herefter Laplace-
transformeres Formel 6.3 med denne approximation indsat, hvilket giver følgende:
18
[Fh(s) − Fv(s)] · marm = −Fg · mcarm · θx(s) + Jx · s 2 · θx(s) + Bk · s · θx(s) (6.4)
1
s
vinkel
1
vinkel_x
Goto
[A]

Overføringsfunktionen for helikopterens rotationsbevægelser findes herefter til:
θx(s)
Fh(s) − Fv(s) =
marm
−Fg · mcarm + Jx · s2 + Bk · s
KAPITEL 6 - Body-model
For at kunne vurdere helikopterens stabilitet, opstilles udtryk for overføringsfunktionens poler (se
Formel 6.6). Alle konstanter i udtrykket er positive og reelle og det antages at B 2 k < [4 · Jb · (−Fg ·
mcarm)] vil systemet have to reelle poler, hvoraf den ene vil være positiv og den anden negativ,
hvilket antyder, at systemet er ustabilt. Dette kan også ses ved at betragte systemet som et omvendt
pendul, der naturligvis vil begynde at falde, hvis massemidtpunktet forskydes i forhold til rotations-
aksen.
s1, s2 = −Bk ± B2 k − 4 · Jb · (−Fg · mcarm)
2 · Jb
s1, s2 = −Bk
B2 k − 4 · Jb · (−Fg · mcarm)
±
2 · Jb
2 · Jb
Af Formel 6.7 ses det, at polerne vil ligge symmetrisk om et punkt U = −Bk/(2·Jb). Ved at indføre
et tilstrækkeligt stort gain vil polerne blive skubbet sammen på den reelle akse og mødes i punktet
U. Hvis gainet hæves endnu mere vil de splittes og blive skubbet i hver sin retning på den imaginære
akse [Franklin et al., 2006, s.234].
6.3.1 Lineære kræfter
U
Im
Figur 6.6: Viser hvordan polerne vandrer, når gainet i sløjfen varieres.
Da rotorernes kræfter altid virker vinkelret på platformen vil de lineære kræfter Fz(t) og Fx(t) va-
riere som funktion af rotorkraften og vinklen θx(t). Ifølge kravspecifikationen må Fz(t) kun svinge
med ±1% hvorfor der opstilles en model, der beskriver Fz(t). Modellen kan herefter benyttes til at
justere motorkræfterne, således at Fz(t) kan holdes konstant. Fz(t) findes ved trigonometri til: (se
Figur 6.3).
Re
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Fz(t) = (Fh(t) + Fv(t)) · cos(θx(t)) (6.8)
19

KAPITEL 6 - Body-model
6.4 Verifikation
De fysiske parametre for bodymodellen er fundet i Appendiks F. I det følgende verificeres den opstil-
lede model med disse værdier, verifikationen består i at sammenligne vinkelmålinger for et simuleret
og målt fald. Det udførte forsøg er beskrevet i Appendiks G. På Figur 6.7 ses graferne for det simu-
lerede og målte fald. Ud fra graferne ses det, at helikopteren accelererer en smule hurtigere i praksis
end det simulerede.
Vinkel [rad]
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
Maalt
Simulering
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Tid [s]
0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figur 6.7: Verifikation af bodymodellen, målt og simuleret fald af helikopte-
ren.
Afvigelsen kan skyldes afvigelse i flere parametre, såsom friktionskonstanten, afstanden til mas-
semidtpunktet og størrelsen af inertimomentet. Det vuderes, at afvigelsen ikke vil have betydning,
da helikopteren, under normal drift, ikke bevæger sig ud i det område af grafen, hvor afvigelser-
ne forekommer. Herfor undersøges afvigelserne ikke nærmere og modellen betragtes som værende
gældende.
20

KAPITEL 7
Rotormodel
Rotorens opgave er at levere en opadrettet kraft for at modvirke tyngdekraften på helikopteren. Med
henblik på at kunne regulere den er det nødvendigt at kende størrelsen og retningen af kraften ved en
given omdrejningshastighed. Momentet omkring rotorens aksel skal kendes for at kende belastningen
på motor og gear, og det resulterende moment fra rotoren har indflydelse på hele helikopteren. For
at få indblik i disse sammenhænge analyseres rotorens fysik, og der opstilles en model for den.
7.1 Opdrift på rotorblade
På Figur 7.1 ses et forsimplet rotorblad, der bevæger sig gennem luften. Bladet er vinklet i forhold
til bevægelsesretningen, så luften afbøjes nedad. Bladet må derfor påvirke luften med en kraft, og
ifølge Newtons tredje lov vil luften påvirke bladet med en ligeså stor, men modsat rettet, kraft. Denne
kraftvektor vil altså være rettet opad og give vingen et løft.
Løft
Figur 7.1: Skitse af luftstrømmen omkring et rotorblad, der opnår løft ved
vinkling af bladet ifht. bevægelsesretningen.
21

KAPITEL 7 - Rotormodel
På Figur 7.2 ses strømmen af luft omkring et rotorblad, der bevæger sig gennem luften. Rotorbladet
er udformet, således at luften har længere at bevæge sig over bladet end under og hastigheden må
derfor være større over bladet.
Løft
Lavt tryk
Normalt tryk
Figur 7.2: Skitse af luftstrømmen omkring et rotorblad, der udnytter Bernoul-
lis princip.
Ifølge Bernoullis ligning vil en gas med højere hastighed have et lavere tryk, så der bliver et lokalt
undertryk over bladet [Serway and John W. Jewett, 2004, p. 434-435]. Det resulterer i et ekstra løft
udover det, der opnåes ved vinkling af bladet.
Løft
F
Slæb
Figur 7.3: Bernouillus princip og vinklingen af bladet bidrager begge til løftet,
og gnidningsmodstanden med luften giver et slæb.
Da der ydermere er gnidning mellem bladet og luften, vil bladet udsættes for en kraft rettet modsat
hastighedsvektoren (slæb). På Figur 7.3 ses alle kræfter bladet udsættes for når det bevæger gennem
luften. Det samlede løft er sammensat af løftet opnået gennem vinkling af rotorbladet og udformin-
gen af bladet.
Det ønskes at finde en sammenhæng mellem det samlede løft for rotoren og hastigheden af luften
gennem rotordisken. Denne sammenhæng findes i [Andersen et al., 2006, s. 30-31] og er gentaget i
følgende formel:
22
T = 2 · ρ · A · v 2 i
(7.1)

Hvor:
T er rotorens løft [N]
kg
ρ er luftens massefylde
m3
2 A er rotorskivens areal
m
vi er luftens fart gennem rotorskiven m
s
KAPITEL 7 - Rotormodel
Idet luftens massefylde og arealet af rotorskiven er tilnærmelsesvis konstant, viser Formel 7.1, at
rotorkraften afhænger af luftens hastighed gennem rotorskiven.
7.2 Infinitesmal udsnit af rotorblad
Det ønskes at finde en sammenhæng mellem en rotors løft og slæb som funktion af omdrejnings-
hastigheden. De netop beskrevne egenskaber ved rotorer og deres blade benyttes til denne udledning.
Da bladenes udforming ændrer sig fra navet til spidsen vælges det at opdele bladene i meget små
stykker, og beskrive egenskaberne for et enkelt af disse, hvorefter der kan integreres over bladenes
længde.
Figur 7.4 viser en rotor med to simple blade. Rotoren ligger i xy-planen og z-aksen udvikler sig
positivt, vinkelret nedad, fra rotoren. Rotorens vinkelfrekvens Ω regnes positiv, når bladene roterer
mod uret på figuren. Variablen φ er bladets vinkel ifht. den negative del af x-aksen.
Længder er påtegnet for et af bladene for at illustrere udsnittet dr af infinitesimal længde. Variablen c
er bredden af rotorbladet i afstanden r fra navet. e er afstanden fra navet til begyndelsen af rotorbladet,
R er afstanden til spidsen af bladet og c er bredden af rotorbladen i afstanden r fra navet.
23

KAPITEL 7 - Rotormodel
Figur 7.4: Angivelse af variabler, der beskriver længder, vinkler og vinkelfre-
kvens i rotorskiven.
Figur 7.5 viser tværsnittet af et blad. Bladudsnittets hastighed i xy-planen er vektoren Vt, som tan-
gerer cirklen dannet af det roterende bladudsnit. Lufthastigheden, parallelt med z-aksen, beskrives
ved vektoren Vz. Den resulterende hastighedsvektor for bladudsnittet er Vb.
r
r
V z
V t
V b
dL
dS
Figur 7.5: Infinitesimal udsnit af rotorblad. [Andersen et al., 2006, s. 32]
Vinklen α er udsnittets angrebsvinkel på luften. Vinklen α udgøres af den konstante vinkel θr, der
er afhængig af bladets udforming, og vinklen Φr, der afhænger af forholdet mellem Vz og Vt. Den
samlede kraftvektor på bladudsnittet opdeles i de to kraftvektorer dL og dS, der beskriver løftet og
slæbet på en lille del af bladet bladet. dS er rettet modsat hastigheden Vb, og dL er vinkelret på Vb
og bladet.
Den tangentiale hastighed Vt er bestemt af vinkelfrekvensen og udsnittets afstand fra navet, hvilket
følgende formel beskriver:
24

Vt
KAPITEL 7 - Rotormodel
= Ω · r (7.2)
Hastigheden i z-aksen er sammensat af luftens hastigheden vi gennem rotoren og rotorens positions-
ændring Vpos,z i z-aksen:
Angrebsvinklen er givet ved:
Vz
= vi + Vpos,z
α = θr + tan −1
α = θr + Φr
Vz
De ovenstående formler og figurer beskriver kræfter og vinkler på bladudsnittet, når helikopteren
flyver dvs. når den løbende ændrer attitude. Hvis det antages at helikopteren altid er i en nær-hover
tilstand kan ligningerne forsimples. Denne antagelse medfører at hastigheden af rotoren i z-aksens
retning er nul, hvilet simplificerer Formel 7.3 til følgende:
Vz
≈ vi
Derudover vil der i nær-hover gælde at
Vt >> Vz
så:
og
dvs. at:
Fremover vil |Vz|
Vz
blive benævnt
|Vt| Vt .
Φr = tan −1
Vb ≈ Vt
Vt
Vz
≈
Vt
Vz
α ≈ θr +
Vt
Vz
Vt
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
(7.9)
25

KAPITEL 7 - Rotormodel
7.2.1 Løftet dL på dr
Løftet på et infinitesimalt udsnit af et rotorblad er ifølge [Bramwell, 1976] givet ved:
hvor ρ er luftens massefylde.
dL = 1 2
· ρ · Vb · c · CL · dr (7.10)
2
[Bramwell, 1976, s. 90]
Faktoren CL afhænger af rotorbladets udforming repræsenteret ved faktoren a og angrebsvinklen α:
hvilket indsættes i Formel 7.10.
CL = a · α (7.11)
Faktoren a kan ikke umiddelbart beregnes, men den kan bestemmes eksperimentelt. En tidligere
projektgruppe har gjort dette, og resultatet heraf kan findes i [Andersen et al., 2006, s. 30-31] til
a = 2, 2815.
Udtrykkene i Formel 7.7 og Formel 7.9 indsættes i Formel 7.10:
7.2.2 Slæbet dS på dr
dL = 1 2
· ρ · Vt · c · a · (θr +
2 Vz
) · dr (7.12)
Slæbet på et infinitesimalt stykke af rotorbladet kan generelt udtrykkes på samme måde som løftet:
Vt
dS = 1 2
· ρ · Vb · c · CS · dr (7.13)
2
Konstanten CL er erstattet af konstanten for slæb CS, der dog ikke kan udtrykkes så simpelt som CL.
Den må derfor bestemmes eksperimentelt, hvilket er gjort i [Andersen et al., 2006, s. 152], hvor den
blev estimeret til −0, 1426.
7.3 Kræfter og momenter
Løft og slæb fra et infinitesimalt udsnit af et rotorblad er nu beskrevet, og det ønskes at anvende
dette til at skabe udtryk for de samlede kræfter og momenter på rotoren i xyz-koordinatsystemet.
Der defineres tre kræfter for rotoren, der peger i henholdsvis x, y og z-aksens retning. Der defineres
ydermere tre momenter, der virker på rotoren omkring hver akse i koordinatsystemet - regnet positivt
med uret, når der ses i aksens retning, hvilket er defineret på følgende figur:
26

estimate, as it depends on the aerodynamic design of the blade.
7.3 FORCES AND TORQUES
Each rotor generates forces acting outside the origin of its frame, producing torques act-
ing on this rotor frame. These forces
KAPITEL 7 - Rotormodel
rFx, rFy, rFz and torques rτx, rτy, rτz are described
in this section and illustrated in Figure 7.6.
3·π
2
____
[r a d ]
Ω
0 [r a d ]
φ
z
τz
τx
π [r a d ]
FIGURE 7.6: Illustration Figur of 7.6: torques Angivelse around the af momenter. x-,y-and z-axes.
x
τy
y
π
[r a d ]
2
This section has the main purpose of providing the Equations of forces and torques.
Kræfterne The following dL oglist dS projiceres describesned thepå procedure: hver koordinatakse som sfæriske koordinater for at bestemme
deres bidrag til kræfterne dfx, dfy og dfz. Stykket dr, hvorpå dL og dS virker, har rotationsvinklen
φ ifht. • den Calculate negative forces del afacting x-aksen. onFigur a rotor 7.7blade i [Andersen element. et al., 2006, s. 30-31] illustrerer, hvorledes
dL og dS projiceres ned på koordinatakserne, og det opsummeres her:
36 Aalborg University 2006
dfx = (dL · sin(Φr) − dS · cos(Φr)) · sin(φ) (7.14)
dfy = (−dL · sin(Φr) + dS · cos(Φr)) · cos(φ) (7.15)
dfz = −dL · cos(Φr) − dS · sin(Φr) (7.16)
Det medtages at dL og dS er ortogonale, og at der ingen kraftkomposanter er fra dL eller dS i
x-aksens retning, når bladet er parallelt med x-aksen. Ligeledes for y-aksen. Kraftkomposanten i
z-aksens retning er konstant under hele rotationen.
Momenterne på rotoren er direkte afhængige af de netop udtrykte kræfter. Størrelsen af et moment
er givet ved τ = f · a, hvor a er afstanden, hvori kraften f påvirker. fx kan ikke skabe et moment
om y-aksen og ligeledes for fy om x-aksen. Kraften fz vil skabe momenter omkring x- og y-aksen.
Idet der projiceres ind på koordinakserne vha. trigonometriske funktioner som det ses på Figur 7.8 i
[Andersen et al., 2006, s. 39] er det muligt at bestemme momentet omkring hver akse:
dτx = −r · dfz · sin(φ)
= −r · (−dL · cos(Φr) − dS · sin(Φr)) · sin(φ) (7.17)
dτy = r · dfz · cos(φ)
= r · (−dL · cos(Φr) − dS · sin(Φr)) · cos(φ) (7.18)
dτz = r · dfx dfx
= −r ·
sin(φ) sin(φ)
= r · (dL · sin(Φr) − dS · cos(Φr)) (7.19)
____
27

KAPITEL 7 - Rotormodel
Omskrivningen i Formel 7.19 er baseret på Formel 7.14.
De ovenstående ligninger for kræfter og momenter på rotoren ønskes simplificeret. Idet vinklen Φr
er lille, og antagelsen i Formel 7.8 udnyttes, kan følgende simplificeringer foretages uden væsentlige
fejl:
sin(Φr) = sin
cos(Φr) = cos
Vz
Vt
Vz
Vt
≈ Vz
Vt
(7.20)
≈ 1 (7.21)
Formel 7.20 og Formel 7.21 indsættes i Formel 7.14-7.16. Idet dS

τx = b
2π
= b
2π
= b
2π
= b · ρ · a
2π R
0 e
2π R
0 e
2π R
0
4π
b · ρ · a
τy = −
4π
τz = b
2π
= b
2π
= b · ρ
4π
e
2π R
0
2π R
0 e
2π R
KAPITEL 7 - Rotormodel
dτx dφ (7.34)
r · dL · sin(φ) dφ (7.35)
r · 1 2
· ρ · Vt · c · a · (θr +
2 Vz
) · sin(φ) drdφ (7.36)
0 e
2π R
0 e
2π R
0
e
e
Vt
r · V 2
t · c · (θr + Vz
) · sin(φ) drdφ (7.37)
Vt
r · V 2
t · c · (θr + Vz
) · cos(φ) drdφ (7.38)
Vt
r · (dL · Vz
− dS) dφ (7.39)
r · 1
2
Vt
· ρ · V 2
t · c · ( Vz
Vt
r · V 2
t · c · ( Vz
Vt
· a · (θr + Vz
) − CS) drdφ (7.40)
Vt
· a · (θr + Vz
) − CS) drdφ (7.41)
Hvor:
b er antal blade på rotoren. [-]
ρ er massefylden af luften [kg/m 3 ]
e er afstand fra nav til bladet bliver buet. [m]
R1 er afstand fra e til bladet går fra at blive bredere til at blive smallere [m]
R er afstand fra nav til spids [m]
Vt er den tangentiale hastighed for dr. Givet ved ω · r [m/s]
Vz er hastigheden af rotoren i z-retningen. [m/s]
θr er konstant vinkling af bladene [rad]
φ er vinkling fra den negative x-akse til dr. [rad]
a er konstant for løftet, der afhænger af bladenes opbygning [-]
CS er konstant for slæbet, der afhænger af bladenes opbygning [-]
Vt
(7.42)
Rotorbladene har en kompliceret udforming, men deres dimensioner kan simplificeres som det ses
på Figur 7.7.
e
s1
R1
1 1
R
Figur 7.7: Rotorblad fra X-Pro, der er geometrisk simplificeret
[Andersen et al., 2006, s. 145] .
s2
29

KAPITEL 7 - Rotormodel
Det første stykke fra navet til e er smalt og den tangentiale hastighed er lav, så bredden c kan med
fordel antages at være nul. Fra e til R1 stiger bredden og c kan beskrives ved følgende forskrift:
c = c1 + s1 · (−e + r) og fra R1 til R falder bredden med forskriften c = c2 + s2 · (R1 − r). Da c kan
udtrykkes som funktion af r ved disse simple ligninger, er det en fordel at opdele det indre integrale
i to med grænser fra hhv. e til R1 og fra R1 til R.
fx =
+
fx =
+
b · ρ
4π
R
R1
b · ρ
4π
R
R1
R1
2π
0
R1
e
V 2
t · (c1 + s1 · (−e + r)) · ( Vz
Vt
V 2
t · (c2 + s2 · (R1 − r)) · ( Vz
Vt
2π
0
R1
e
· a · (θr + Vz
) − CS)dr (7.43)
Vt
· a · (θr + Vz
) − CS)dr sin(φ) dφ
Vt
V 2
t · (c1 + s1 · (−e + r)) · (− Vz
V 2
t · (c2 + s2 · (R1 − r)) · (− Vz
2π
Vt
Vt
· a · (θr + Vz
) + CS)dr (7.44)
Vt
· a · (θr + Vz
) + CS)dr cos(φ) dφ
b · ρ · a
fz = −
4π 0
R1
V
e
2
t · (c1 + s1 · (−e + r)) · (θr + Vz
)dr (7.45)
Vt
R
+ V 2
t · (c2 + s2 · (R1 − r)) · (θr + Vz
)dr dφ
Ligeledes for momenterne:
τx =
+
R1
2π
Vt
b · ρ · a
4π 0
R1
r · V
e
2
t · (c1 + s1 · (−e + r)) · (θr + Vz
)dr (7.46)
Vt
R
r · V 2
t · (c2 + s2 · (R1 − r)) · (θr + Vz
)dr · sin(φ) dφ
R1
2π
b · ρ · a
τy = −
4π 0
R1
r · V
e
2
t · (c1 + s1 · (−e + r)) · (θr + Vz
)dr (7.47)
Vt
R
+ r · V 2
t · (c2 + s2 · (R1 − r)) · (θr + Vz
)dr · cos(φ) dφ
τz =
+
b · ρ
4π
R
R1
2π
0
R1
e
Vt
Vt
Vt
r · V 2
t · (c1 + s1 · (−e + r)) · ( Vz
r · V 2
t · (c2 + s2 · (R1 − r)) · ( Vz
Vt
Vt
Vt
· a · (θr + Vz
) − CS)dr (7.48)
Vt
· a · (θr + Vz
) − CS)dr dφ
MatLAB-filen /matlab/RotorModel/forces.m installeret benyttes til at udregne dobbeltin-
tegralerne. Konstanterne i de ovenstående udtryk erstattes af målte værdier fra Tabel C.1 i
[Andersen et al., 2006, s. 149], der opsummeres her:
30

er 2 [-]
ρ er 1.293 [km/m 3 ]
e er 0,034 [m]
R1 er 0,082 [m]
R er 0,26 [m]
θr er 0,44 [rad]
a er 2,2815 [-]
CS er -0.1426 [-]
De behandlede udtryk bliver som følger:
KAPITEL 7 - Rotormodel
fx = 0 (7.49)
fy = 0 (7.50)
fz = −0, 193 · 10 −3 · ω 2 − 8, 946 · 10 −3 · ω (7.51)
τx = 0 (7.52)
τy = 0 (7.53)
τz = 5, 109 · 10 −6 · ω 2 − 0, 655 · 10 −3 · ω + 0, 030 (7.54)
Da rotorerne skal holde helikopteren i hover vælges det, for at minimere beregningskompleksite-
ten at linearisere udtrykket for kraften fz. Lineariseringen udføres omkring et lineariseringspunkt,
hvor rotorkraften netop svarer til tyngdekraften på én fjerdedel af helikopterens masse. Den samlede
masse af X-Pro’en er ca. 2,3 kg jf. [Andersen et al., 2006] og den tilhørende rotorkraft er ca. 5,84
N. Det kræver en vinkelfrekvens på ca. 147 rad
s . På Figur 7.8 er kraften fz plottet som funktion af
vinkelfrekvensen ω, og lineariseringspunktet er markeret som en cirkel.
31

KAPITEL 7 - Rotormodel
Kraft fra rotor [N]
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Vinkelfrekvens [rad/s]
Figur 7.8: Rotorkraft som funktion af vinkelfrekvensen. Cirklen angiver line-
ariseringspunktet.
Forskriften for den lineære kurve er:
fz,lin = fz(147) + f ′ z(147) · (ω − 147) (7.55)
fz,lin = −0.0704 · ω + 4.48 (7.56)
Formel 7.56 beskriver en tidsmæssig sammenhæng mellem rotorkraften og vinkelfrekvensen. Hvis
det konstante led fjernes, er udtrykket lineært og tids-invariant, og kan Laplace-transformeres for at
finde sammenhængen i s-domænet:
7.4 Verifikation
Fz(s) = L {−0.0704 · ω(t)} = −0.0704 · Ω(s) (7.57)
I målerapporten, der forefindes i Appendiks E, er der blevet optaget sammenhørende målinger af
rotorkraften fz og vinkelfrekvensen. Plottet af disse målinger sammen med kurverne beskrevet ved
fz og fz,lin ses på Figur 7.9, der er kopieret fra Afsnit E.5.
32

Kraft fra rotor [N]
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Vinkelfrekvens [rad/s]
KAPITEL 7 - Rotormodel
Figur 7.9: Plot af opadrettet kraft fra rotor som funktion af vinkelfrekvensen.
Det ses af figuren at andengradsligningen stemmer godt overens med de plottede punkter, og da
hældningen af linjen, der beskriver den lineariserede sammenhæng, altid har samme fortegn som
hældningen af andengradsligningen vil lineariseringen kunne benyttes uden fortegnsfejl. Det vil sige,
at hvis en controller, der regulerer efter førstegradsligningen, ønsker at øge rotorkraften, vil den øge
vinkelfrekvensen, hvilket efter den mere præcise andengradsligning netop vil give en øget rotorkraft;
omend med en fejl i form af en positiv skalar.
33

KAPITEL 8
Motormodel
Følgende kapitel beskriver en samlet model af motor og gearopsætningen på helikoptoren. Helikop-
teren er, som tidligere beskrevet, udstyret med fire rotorer. Disse er hver forbundet med en DC-motor,
vha. et gear. Motorerne er børstemotorer med permanente magneter. Via et tandhjul på drivaksen er
motorerne, som det fremgår i Figur 8.1, forbundet til rotorerne med en tandrem. Gearet har et ud-
vekslingsforhold ηg på 10 fra motor til rotor.
ROTOR
MOTOR
GEAR
Figur 8.1: Illustration af koblingen mellem motor, gear og rotor.
Motorbeskrivelsen deles op i to, en del hvor den elektriske model af motoren beskrives og en del hvor
den mekaniske model af både motor og gear opstilles. Til sidst samles modellerne og verificeres
34

KAPITEL 8 - Motormodel
sammen med rotorerne i verificeringskapitlet. Motorparametrene er blevet bestemt af en tidligere
gruppe [Bjørn et al., 2007, s.42] og det antages at disse er af sådan en kvalitet, at de kan bruges i
modellen. Der vil således ikke blive målt på motorerne ud over ved verificeringen.
8.1 Elektrisk Model
Den elektriske del af motoren består hovedsageligt af spolerne i armaturet og spændingskilden, der
driver motoren. Det antages, at spolerne er ens og at de kan beskrives ved kredsløbsækvivalentet
givet i Figur 8.2. Herudover forekommer der også mindre spændingsfald i kommunikatoren. Disse
er dog så små, at det vælges at se bort herfra [Ritchie, 2007]
v (t)
a
+ -
Ra
i a(t)
Figur 8.2: Kredsløbsækvivalent til den elektriske del af motoren. Størrelsen
va(t) er armaturspændingen. Enhederne Ra og La er hhv. armaturets o-
hm’ske modstand og induktans og e(t) er den inducerede elektromotoriske
kraft.
Benyttes Kirshhoff’s spændingslov på kredsløbet, kan armaturspændingen va(t) udtrykkes som føl-
gende:
L a
dia
va(t) = Raia(t) + La + e(t) (8.1)
dt
Selvinduktionen for en spole er, ifølge Faraday’s lov, givet ved:
ε = −N dΦB
dt
+
-
e(t)
(8.2)
[Serway and John W. Jewett, 2004, s.1005]
Hvor ΦB er fluxen gennem spolen, og N er antallet af vindinger. Det noteres, at minusset angiver, at
selvinduktionspændingen er modsat armaturspændingen. Dette skyldes Lenz’ lov, som siger, at der i
en spole, som føres igennem et magnetisk felt, vil induceres en strøm i den retning, der danner et felt
som modvirker det første felt [Serway and John W. Jewett, 2004, s.977]. Idet armaturet drejer rundt
i motoren, vil der, pga. det permanente magnetfelt, således induceres en strøm modsat armaturstrøm-
men. Da der er taget højde herfor i Formel 8.1 droppes notationen. Splittes differentialledet op vha.
35

KAPITEL 8 - Motormodel
kædereglen, hvor motoraksens vinkel θm benyttes som mellem-variablen, kan udtrykket omskrives
til:
e(t) = N dΦB dθm
dθm dt
dΦB
= N ωm(t) (8.3)
dθm
Selvinduktionen kan dermed udtrykkes ved vinkelhastigheden. Undersøges fluxen ΦB, afhænger
den udelukkende af spolens geometri og B-feltet herigennem. Da motorerne er med permanente
magneter og det at antages spolerne i armaturet er ens, kan N dΦB antages at være konstant. Denne
dθm
sammenhæng udtrykkes normalt ved konstanten Ke - også kendt som selvinduktionskonstanten. e(t)
kan således udtrykkes som:
e(t) = Keωm(t) (8.4)
Hvor Ke er givet i
Vs
rad og ωm(t) er motorens vinkelhastighed i [rad/s]. Omskrives og Laplacetransformeres
Formel 8.1, med udtrykket for selvinduktionen indsat, kan armaturstrømmen Ia(s)
findes:
va(t) =
dia
Raia(t) + La
dt + Keωm(t) (8.5)
Va(s) = RaIa(s) + LasIa(s) + Keωm(s) ⇒
Ia(s) = Va(s) − Keωm(s)
Ra + Las
(8.6)
Udfra Formel 8.6 opstilles en Simulink model for den elektriske del af motoren.
1
V_a
Subtract
1
L_a.s+R_a
Transfer Fcn
K_e
Gain
1
I_a
2
omega
Figur 8.3: Simulink-model af den elektriske motormodel
Som det fremgår af Formel 8.6 har systemet kun en enkelt pol og er derfor et 1. ordens system.
Før den samlede model kan bestemmes, mangler den mekaniske del af systemet. Denne vil blive
gennemgået i det efterfølgende afsnit
8.2 Mekanisk Model
Den mekaniske model består, som det fremgår af Figur 8.1, af motorens armatur og gearkoblingen.
For at simplificere modellen antages det at tandremmen ikke er elastisk. Herudover vil der blive set
36

ort fra sticktionen i gear og motor, hvilket vil blive nærmere forklaret i Afsnit 8.2.1.
KAPITEL 8 - Motormodel
I forbindelse med gearkoblingen noteres det at en omdrejning på motoren kun vil give en tiendedel
omdrejning på rotoren, samt at momentet bliver bliver ganget op med 10. Formel 8.7 og Formel 8.8
udtrykker sammenhængen i forhold til gearudvekslingsforholdet ηg:
Hvor:
ωm er motorens vinkelhastighed [rad/s]
ωg er gearets vinkelhastighed [rad/s]
ηg er gearudvekslingsforholdet [-]
Momentoverførsel mellem gear og motor:
Hvor:
ωg = ωm
ηg
τg = ηg τm
τm er lastmomentet virkende på motoren [Nm]
τg er lastmomentet virkende på gearet [Nm]
ηg er gearudvekslingsforholdet [-]
8.2.1 Motor Model
Som det fremgår af Figur 8.4 vil motoren belastes af rotoren, her benævnt τl,m. Motorens fysiske
udformning bidrager også med belastning i form af intern friktion τf,m og armaturets inerti Jm.
f,m . m Jmm Armatur
J m
Rem
f,g m . g Gear r .
m
J g g
J g
m l,m .
m
Figur 8.4: Free-body-diagram af motoren og gearet.
Rotor
(8.7)
(8.8)
37

KAPITEL 8 - Motormodel
Den interne friktion deles normalt op i tre forskellige friktionsmomenter: Viskos friktion τv, som er
proportional med ω og er ækvivalent til den friktion, der forekommer i væsker. Coulomb friktionen
τc, som skyldes træghed i lejerne i motoren. Og den sidste form for friktion kaldes sticktion friktion.
Sticktion beskriver, det at det kræver et større moment at starte rotationen af motoren end at køre den
ved hastigheder tæt på nul [Pedersen, 2007]. Eftersom rotoreren ikke skal starte og stoppe gentagen-
de gange under flyvning, vælges det at se bort fra sticktion og kun fokusere på viskos og coulomb
friktion. Det samlede friktionsmoment kan således udtrykkes som:
⎧
⎪⎨ bωm + sign(ω)τc hvis ω = 0
τf,m = τm − τl,m
⎪⎩ sign (τm − τl,m) τc
hvis ω = 0 og | τm − τl,m |≤ τc
hvis ω = 0 og | τm − τl,m |> τc
(8.9)
[Andersen and Pedersen, 2007]
For at simplificere modellen yderligere antages det, at den kun skal gælde under flyvning eller hvor
ω > 0. Friktionsmomentet er således givet ved det første udtryk i Formel 8.9.
Det samlede moment virkende på motorakslen skal, i følge Newtons 2. lov, være nul
[Serway and John W. Jewett, 2004, s.365]. Motormomentet kan således udtrykkes som følgende:
τm − τl,m − τf,m = Jm ˙ωm
(8.10)
Drivmomentet er givet ved τm = Kmia og kobler således den elektriske del med den mekaniske.
Km er motorkonstanten givet i [Nm/A] og kan antages at være lig med Ke. Såfremt det igen antages,
at der ingen tab er i den magnetiske kobling i motoren, kan Formel 8.10 overskrives til:
Jm ˙ωm(t) = Kmia(t) − τl − τf
Laplace-transformeres og omskrives Formel 8.11, kan vinkelhastigheden udtrykkes som følgende:
(8.11)
Jmωm(s)s = KmIa(s) − τl − τf,m (8.12)
ωm(s) = (KmIa(s) − τl − τf,m) 1
Jms
(8.13)
Figur 8.5 viser Simulink-modellen for den mekaniske motormodel. Det ses, at hvis 1
Jms
i to med hhv. 1
Jm
deles op
og 1
s , integreres der for at finde vinkelhastigheden. Vinkelaccelerationen ˙ωm må
dermed kunne findes mellem de to blokke. Accelerationen er vigtig eftersom den er nødvendig for
at finde impulsmomentet skabt af gearets inerti. Dette vil blive uddybet i næste afsnit omkring gear-
modellen.
38

1
I_a
8.2.2 Gear Model
K_m
Gain
3
tau_l
tau_m
2
tau_f
Subtract
1
J_m.s
Transfer Fcn
KAPITEL 8 - Motormodel
1
omega
Figur 8.5: Simulink-model over den mekaniske motormodel
Gearet kobler, som nævnt, motoren til rotoren. Set fra motoren kan hele gear- og rotorsystemet
betragtes som en samlet belastning τl,m. Gearmodellen findes ved først at finde belastningsmoment i
forhold til rotoraksen og derefter koble momentet til motoren vha. koblingsformlerne givet i Formel
8.7 og 8.8 på side 37.
Newtons 2. lov for rotoraksen er givet ved:
Jg ˙ωg = τf,g + τr − τl,g
(8.14)
Hvor τf,g er givet ved bgωg + τc, hvor bg er den viskose friktionskonstant for gearet. Omskrives
udtrykket, vha. Formel 8.7 og 8.8, så det afhænger af motorens vinkelhastighed frem for gearets,
findes belastningen på motoren:
τl,g = (Jg ˙ωm + bgωm) 1
τl,m = τl,g
ηg
+ τc + τr
ηg
Det samlede lastmoment fra gearet kan således udtrykkes ved Simulink-modellen vist i Figur 8.6.
1
tau_l,m
2
omega_dot
1
omega
1/eta
Gain5
1/eta
Gain3
1/eta
Gain1
tau_l,g
J_g
Gain4
b_g
Gain2
Add
Figur 8.6: Gear modellen i Simulink
4
tau_c,g
3
tau_rotor
(8.15)
(8.16)
39

KAPITEL 8 - Motormodel
8.3 Samlet Model
Kobles den elektriske og mekaniske motormodel sammen med gearmodellen fås et udtryk for det
samlede system, hvilket er vist i Figur 8.7.
3
Va(s)
Subtract1
1
L_a.s+R_a
Transfer Fcn1
K_m
Gain
tau_m
tau_f,m
K_e
Gain7
Subtract
tau_l,m
1
J_m
Transfer Fcn
b_m
Gain6
tau_cm
Coulomb friktion
omega_dot(s)
1
s
Integrator
omega_m(s)
Figur 8.7: Samlet motor/gear-model
1/eta
Gain5
1/eta
Gain3
1/eta
Gain1
J_g
Gain4
b_g
Gain2
Add
2
tau_c,g
1
tau_rotor
Ved at betragte Figur 8.7 ses det, at løkken med gearets viskose friktion bg, kan samles i en paral-
lelkobling med friktionen i motoren bm. Idet der tages højde for gearudvekslingen, kan den samlede
viskose friktion for systemet btot udtrykkes som (bm + bg
η 2 ). Reduceringen er illustreret på Figur 8.8.
Det ses nu at gearets inertimoment Jg indgår i en lukket sløjfe med inertimomentet for motoren Jm.
Vha. formlen for lukket-sløjfe overføringsfunktionen kan inertimomentløkken reduceres til
Da nævneren er et udtryk for det samlede inertimoment benævnes den Jtot.
40
1
Jm+ Jg
η2 .

2
Va(s)
Subtract1
1
L_a.s+R_a
Transfer Fcn1
K_m
Gain
tau_m
tau_f,m
K_e
Gain7
tau_l,m
Subtract
1/eta
Gain5
Transfer Fcn
1
1
J_m+J_g/eta^2
b_m+b_g/eta^2
Transfer Fcn2
tau_cm+tau_cg/eta
Coulomb friktion
1
s
Integrator
KAPITEL 8 - Motormodel
omega_m(s)
tau_rotor
Figur 8.8: Den samlede model hvor sløjferne med viskos friktion og inerti-
moment er blevet lukket
1
1/eta
Gain1
1
omega_g(s)
Figur 8.8 viser motor og gearmodellen hvor de to sløjfter er blevet lukket. Som det fremgår danner
btot og Jtot selv en sløjfe. Lukkes denne, kan modellen yderligere reduceres, hvilket er gjort i Figur
8.9.
2
Va(s)
Subtract1
K_m
L_a.s+R_a
Transfer Fcn1
tau_m
K_e
Gain7
tau_l,m
Subtract
1/eta
Gain5
1
J_tot.s+b_tot
Transfer Fcn
tau_c_tot
Coulomb friktion
Figur 8.9: Samlet motor/gear-model
omega_m(s)
1/eta
Gain1
1
tau_rotor
1
omega_g(s)
Ses der bort fra belastningen τl,m, kan zero-state overføringsfunktionen for gearmodellen findes. I
og med zero-state antages, går Coulomb friktionen τc ud. Da motormodellens ste ady-state afhænger
af den samlede friktion i motoren, og dermed også τc, vil zero-state antagelsen medføre en fejl i
DC-gainet. Med andre ord vil modellen give en anden steady-state hastighed end den i virkeligheden
er. Det er dermed kun systemets dynamik, der kan vurderes ud fra overføringsfunktionen, hvilket vil
blive eftervist i Afsnit 8.3.1.
Eftersom rotationssensorne sidder på gearet udregnes udtrykket i forhold til ωg, hvilket giver:
41

KAPITEL 8 - Motormodel
M(s) = ωg(s)
Va(s) =
Km
ηg(LaJtots 2 + (btotLa + RaJtot)s + (KmKe + Rabtot))
(8.17)
Motormodellen kan således udtrykkes ved en 2. ordens overføringsfunktion. Eftersom reguleringen
vil øge systemets ordens yderligere, er det ønskeligt at reducere motormodellens orden. Dette skyldes
at design approksimationerne tager udgangspunkt i et 2. ordens system [Franklin et al., 2006, s.116].
Det vælges derfor at undersøge om overføringsfunktionen kan simplificeres.
8.3.1 Simplificering af modellen
Systemets orden kan reduceres, hvis det ikke har en nævneværdig indflydelse at fjerne 2. ordens
leddet i Formel 8.17. Leddet kan enten fjernes ved at se bort fra induktansen La eller inertien Jtot i
systemet. Disse parametre indgår henholdsvis i den elektriske og mekaniske del af motoren. For at
vurdere deres indflydelse er det således nødvendigt at se på hvilken der har størst indflydelse på det
samlede system.
Udfra Figur 8.9 kan tidskonstanterne for hhv. den elektriske og mekaniske del findes:
τe = La
≈ 1, 3 ms (8.18)
Ra
τmek = Jtot
btot
≈ 1, 3 s (8.19)
Da den mekaniske tidskonstant er størst vil systemets dynamik blive domineret heraf. Fjernes in-
duktansen La vil det således, teoretisk set, kun have en indflydelse i de første milisekunder af mo-
torreponset. Overføringsfunktionen for motorgearmodel kan derfor reduceres til følgende 1.ordens
udtryk:
Hvor:
og
M(s) =
τm er tidskonstanten for motor-gearsystemet
A er DC-forstærkningen
A =
Km
ηg(btotRa + KeKm)
A
τms + 1
og τm =
RaJtot
btotRa + KeKm
(8.20)
For at verificere at induktansen kan fjernes uden at påvirke systemet betydeligt, er stepresponset
for både den reducerede og originale funktion vist i Figur 8.10. Desuden er stepresponset for den
simulerede model også illustreret, for at vise at zero-state antagelsen og dermed τc ikke har nogen
indflydelse på systemets dynamik.
42

1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
KAPITEL 8 - Motormodel
Original
Simplificeret
Simulink
Figur 8.10: Enhedsstepresponset for hhv. den simplificeret og originale
overføringsfunktion for motoren.
Det ses at der er en mindre afvigelse i omkring t = 0, hvilket var forventet. Hvad figuren ikke viser,
er at steady-state værdien for de fundne overføringsfunktioner, givet i Formel 8.17 og 8.20, er cirka
tre gange højere end den for simulerede model (beregninger kan findes i bilag under /matlab/
MotorModel/ MotorGearStepRespons.m). Dette viser at zero-state antagelsen påvirker DC-
gainet for de fundne overføringsfunktioner. På trods heraf vælges der at arbejde videre med den
simplificerede overføringsfunktion.
8.4 Verifikation
Motor-gearmodellen virker som udgangspunkt kun på et teoretisk grundlag. Endvidere bygger mo-
dellen på en række antagelser, hvilket, som vist, har haft en indflydelse på modellen. Herudover er
motorparametrene brugt, fundet af en tidligere projektgruppe. Der er således forbundet en række mu-
lige fejlkilder med modellen, hvorfor det er nødvendigt at verificere den, inden regulatoren designes.
Verificeringen er foretaget ved at påtrykke motoren et spændingsstep, som beskrevet i Appendik H.
Motoren er koblet til gearet og rotoren. Rotoren medtages fordi motormodellen ikke tager højde for
rotorerens inerti. Da inertiet vil belaste motoren med et impulsmoment under acceleration, vil dette
have betydning for systemets samlede dynamik. Det forventes derfor at dynamikken for den opstille-
de model, vil afvige fra den, som de målte data udtrykker. Dette skyldes at motorparametrene fra den
tidligere projektgruppe kun gælder motor og gearsystemet. Parametrene vil derfor blive modificeret
så modellens dynamik kommer til at stemme overens med dynamikken for det målte system.
I stedet for at måle rotorhastigheden i forhold til armaturspændingen, som den opstillede model
ligger op til, vælges det at måle armaturstrømmen ifht. spændingen. Grunden hertil, skyldes besvær-
ligheder med at måle rotorhastigheden, hvilket er beskrevet yderligere i Appendiks H. Da systemet
er lineær vil strømmen desuden beskrive systemets dynamik, så vel som rotorhastigheden.
43

KAPITEL 8 - Motormodel
Current [A]
16
14
12
10
8
6
4
2
Measured
Simulated
0
0 0.2 0.4 0.6
Time [s]
0.8 1
Figur 8.11: Strømkurver for det simulerede og målte system. Den stiblede
linje angiver resultatet for det simulerede system med parametrene taget fra
den tidligere projektgruppe. Den solide kurve angiver det målte respons.
Figur 8.11 viser strømkurver, fundet fra den simulerede model og strømmålinger på motoren. Som
det fremgår stemmer strømmens udvikling mellem de to målinger overens. Omkring t = 0 stiger
strømmen brat, hvilket skyldes at hele spændingsfaldet ligger over armaturemodstanden som, i følge
den tidligere gruppes målinger, er 209 mΩ. Der sker således næsten en kortslutning af strømforsy-
ningen i t = 0. Ændringen i strømmen vil teoretisk set skabe et spændingsfald over armaturspolen,
hvilke vil hæve stigtiden. Dette ses kun svagt i toppen af strømpeaket for modellen og slet ikke for
data for det målte system. Antagelsen om spolens manglende indflydelse er dermed velbegrundet.
Mht. strømpeakens størrelse, stemmer disse dårligt overens, hvilket højst sandsyndligt skyldes, at ar-
maturmodstanden brugt i modellen ikke er korrekt. For at verificere denne påstand, er der foretaget
en måling af armaturmodstaden, hvilket kan findes i Appendiks I. Her findes modstanden i stedet til
410 mΩ. Resultatet heraf kan ses i Figur 8.12, som viser modellen med de koorigerede motordata og
målingerne.
Efter peaket falder strømmen til et steady-state niveau. Dette skyldes at motoren begynder at ro-
tere, hvilket inducerer emf. emf’en mindsker spændingfaldet over armaturmodstanden, hvilket får
strømmen til at falde. Strømmens indsving afhænger således direkte af hvor hurtigt motoren rote-
rer. Indsvinget på Figur 8.11 skyldes dermed accelerationen i motorerens rotationshastighed. Dette
bestemmes igen af impulsmomentet, skabt af inertien i systemet. Som det fremgår af Figur 8.11, så
svinger modellen hurtigere ind end i virkeligheden. Dette er forventet, eftersom modellen ikke tager
højde for inertien i rotorerne. Det er fundet, at inertien med rotor cirka er 3,5 gange større end den
benyttede i simuleringen. Benyttes denne værdi i stedet fås indsvinget vist på Figur 8.12.
Steady-state værdien på Figur 8.11 afviger endvidere fra den målte. I steady-state er det kun Coulomb
og viskos friktion, samt rotoren, der yder friktion. Stor friktion betyder at motoren trækker en stor
strøm. Dette betyder at friktionen i modellen er for stor. Hvilket antyder at de målte friktionspara-
44

Current [A]
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0.2 0.4 0.6
Time [s]
0.8 1
KAPITEL 8 - Motormodel
Measured
Simulated
Figur 8.12: Strømkurver for det simulerede og målte system, hvor motorpa-
rametrene er blevet korigeret i simuleringen.
metre ikke er korrekte. Divideres disse med en faktor 10 vil modellen passe med målingerne, hvilket
er illustreret i Figur 8.12. De samlede parametre for systemet, der vil blive arbejdet videre med, er
således givet i Tabel 8.1.
Model parametre
Originale Korigerede
Parameter Beskrivelse Værdier Værdier Enhed
La Armaturinduktans 0,2811 mH
Ra Armaturmodstand 209 410 mΩ
Km Motorkonstanten 4, 6 · 10 −3 N m/A
Ke Selvinduktionskonstanten 4, 6 · 10 −3 V s/rad
Jtot Samlede inerti 2, 7 · 10 −6 9, 45 · 10 −6 kg m 2
btot Samlede viskos friktion 2, 12 · 10 −6 2, 12 · 10 −7 N m/rad s
τc Coulomb friktion 7, 6 · 10 −3 7, 6 · 10 −4 N m/rad s
Tabel 8.1: Modelparanetre brugt til at beskrive motor, gear og rotorsyste-
met. De originale værdier er fra en tidligere projektgruppe som har foretaget
målinger på motoren og gearet [Bjørn et al., 2007, s.45]
Det kan konkluderes at modellen passer godt overens med det forventet respons, men at parametrene,
fundet af den tidligere projektgruppe, ikke kan bruges til at beskrive motorernes respons. Afvigel-
sen i inertiet kan forklares med rotoren. Men med hensyn til målingen af armaturmodstanden, må
det kunne antages at målingen er nogenlunde præcis. Den store afvigelse, kan således antyde at
motorerne er blevet udskiftet, hvis der ikke er tale om målefejl.
45

DEL III
Systemdesign
Der skal udtænkes en overordnet opbygning af systemet, så den ønskede
funktionalitet kan opnås. Designet skal tilgodese de beskrevne modeller
og de opstillede krav. Der skal vælges en platform til systemet baseret
på en mikrokontroller, og de nødvendige interfaces til det fysiske system
skal vælges.

KAPITEL 9
Overordnet design
For at kunne holde helikopteren stabil i en given vinkel, skal der udvikles en platform, som sikrer at
den nødvendige regulering kan foretages. Udformningen af platformen skal således tage udgangs-
punkt i de opstillede modeller. Figur 9.1 viser koblingen mellem modellerne og platformen.
V a z (f -f )
h v
Figur 9.1: Illustration af koblingen mellem helikoptermodellerne og mikro-
controllerplatformen. Interfaces, der overlapper mikrocontrolleren, indehol-
der både software og hardware.
47

KAPITEL 9 - Overordnet design
Som det fremgår af figuren vil en ændring i Va på motoren medføre en kraft fra rotorerne, som igen
vil påvirke vinklen θ på helikopterkroppen. For nøjagtigt at kunne styre kroppens vinkel skal der
først og fremmest implementeres en sensor, der kan registrere denne. Herudfra foretages der en vin-
kelregulering i mikrocontrolleren, som bestemmer hvorvidt motorerne skal rotorere langsommere
eller hurtigere. Dette sker ved at angive en hastighedsreference til motoren. For at sikre at motoren
rotorer ved den givne hastighed, skal der implementeres en motorregulering. Dette gør en rotations-
sensor til en nødvendig del af platformen.
Eftersom motoren skal drives med en større strøm end mikrocontrolleren kan levere, skal der desuden
designes en driver hertil. Tilsammen udgør dette et overordnet design for platformen, som systemet
skal virke på.
Designovervejelserne i forbindelse med de forskellige interfaces vil blive blive gennemgået i de
følgende afsnit og i næste kapitel vil der blive lavet en detaljeret beskrivelse af blokkene i Figur 9.1.
9.1 Vinkelsensor
Da det ønskes at regulere helikopterens vinkel ved hjælp af en regulator i software, er det nødvendigt
at implementere en type sensor der kan måle vinklen, og udlæse denne, som et elektronisk signal, til
processoren. Der er en hel række af sensorer der kan benyttes til dette, hvoraf følgende har været i
betragtning til projektet:
Accelerometer Denne type sensor fungerer ved at kunne måle platformens acceleration. Dvs. at
sensoren hele tiden vil måle tyngdeaccelerationen. Dog har tidligere projekter om helikop-
teren vist at rystelserne fra helikopterens motorer udsætter et accelerometer for så kraftige
accelerationer, at det er meget svært at filtrere et brugbart signal ud fra støjen.
Laser-afstandssensor Denne type sensor benytter sig af en laser-pointer og geometri for at måle
afstanden til et givent objekt (i dette tilfælde gulvet). Laser-afstandsmålere udmærker sig ved
at være meget præcise, dog uden at kunne måle særligt lange afstande.
Ultralyds-afstandsmåler Denne type sensorerer benytter sig af ultralyd og refleksioner af disse
til at lave en måling af afstanden til et objekt. Sensorerne udmærker sig ved at kunne måle
forholdsvis store afstande. dog kræves det, at der kan udbredes ultralydssignaler vinkelret mod
gulvet. Da ultralydstranducere er meget retningsbestemte kræver dette en speciel konstruktion
på helikopteren for at kunne sikre dette selv om helikopteren hælder til en side.
Potentiometer i opstillingen Denne sensor benytter sig af afgrænsningen, der er lavet i Afsnit 3,
hvor det er valgt at placere helikopteren på et kardanled og derved begrænse dens bevægelser.
I dette kardanled kan implementeres en lineær variabel modstand, hvorved der kan udlæses en
analog spænding tilsvarende vinklen på helikopteren.
Af ovenstående sensorer vælges det at benytte et potentiometer i kardanleddet. Dette gøres fordi det
er den eneste sensor der kan benyttes på den aktuelle opstilling. De andre sensorer kræver enten at
opstillingen bliver ændret, eller også kræver de for omfattende signalbehandling.
48

9.2 Rotationssensor
KAPITEL 9 - Overordnet design
Rotationssensoren skal måle rotationshastigheden og sende den til mikrocontrolleren, så den kan
benyttes til regulering af motorernes hastighed. På opstillingen er monteret en rotationssensor på
hver rotor i form af en hall sensor og to magneter i rotorens tandhjul. Det vælges at benytte denne
rotationssensor, da den er monteret på opstillingen og har været benyttet med succes af en tidligere
projektgruppe. Rotationssensoren har den fordel at den giver et godt signal/støj forhold, da den kun
er følsom overfor direkte vinkelrette magnetfelter. Endvidere har denne sensor TTL udgangssignaler,
som kan tilsluttes direkte til mikrocontrolleren uden nogen form for signalbehandling.
9.3 Driver
Med henblik på at kunne styre motorerne fra mikroprocessoren, er det nødvendigt at implementere
et driverkredsløb. Dette er nødvendigt, fordi processoren ikke kan levere de meget store strømme,
sådanne motorer trækker. Desuden er det nødvendigt, fordi processorens output er PWM-signaler
mellem 0 og 5 V, og motoren skal drives ved omkring 15 V.
Da det er valgt ikke at beskrive hardware implementationen i rapporten, er udviklingen af dette
kredsløb placeret i Appendiks A.
9.4 Mikrocontroller
Da det, som illustreret på Figur 9.1, er valgt at implementere reguleringen af helikopteren i en mikro-
processor, er det nødvendigt at foretage at valg af hvilken processor, der skal benyttes. Processoren
skal være i stand til at kommunikere med alt ovennævnt udstyr, og skal desuden være i stand til at
kommunikere med en PC. Dvs. at processoren skal have følgende kommunikationsinterfaces:
• PWM-signalgeneratorer til kontrol af motorer.
• A/D-convertere til måling af spændingen fra potentiometeret i kardanleddet.
• Mulighed for benyttelse af eksterne interrupts til rotationssensorerne.
• Minimum en UART til seriel kommunikation med en PC.
På helikopteren var der, da projektet blev udbudt, påmonteret en mikrocontroller med alle ovenstå-
ende interfaces. Denne mikrocontroller var af typen Robostix, og er bygget på en AVR ATMega128,
der indeholder 8 A/D-convertere, 6 PWM-signalgeneratorer, 2 Uarts og 4 hardwaretimere. Således
indeholder denne processor alle de nødvendige interfaces, og det vurderes at clockfrekvensen på
16 MHz er tilstrækkeligt, da det er en RISC processor, hvor størstedelen af instruktionerne tager 1
clockcycle.
Af Figur 9.1 ses det, at der skal laves flere regulatorer i softwaren på mikrocontrolleren. Desuden er
det også valgt at mikrocontrolleren skal kunne udskrive reguleringsvariable og sensoroutputs til en
49

KAPITEL 9 - Overordnet design
PC. Det vil kræve, at en funktion på processoren køres ved siden af regulatorerne. Derfor er det valgt
at implementere en kerne på processoren, for derved at få mulighed for at lave multiprocessering.
Til AVR proccessorfamilien er skrevet en kerne kaldet AVRX. Denne kerne er skrevet i assembler
og er interfacet til C ved hjælp af en header-fil. Denne kerne gør det muligt at køre flere proces-
ser samtidig, og kan skifte mellem disse ved at tage højde for prioriteter og benytte round robin.
Derfor vælges det at benytte denne kerne, da den implementerer alle de nødvendige funktioner som
semaforer og timer-køer.
Funktionerne i AVRX og hvordan de benyttes er beskrevet i Appendiks J.
50

KAPITEL 10
Blokbeskrivelse
For at give et overblik over de forskellige software-blokke i platformen og deres funktion vil disse
blive gennemgået hver for sig i de følgende afsnit. Herudover vil de interfaces, blokkene benytter sig
af, samt hvilke variable der er knyttet hertil, blive beskrevet. Hver blok implementeres i hver deres
tråd på processoren og den samlede kode for systemet kan findes i Appendiks K.
10.1 Motorregulator
10.1.1 Funktionalitet
Motorregulatoren har, som beskrevet, til formål at sikre at motorerne roterer ved den rigtige hastig-
hed, givet af vinkelregulatoren. Dog skal motorregulatoren også sikre, at motorerne spinder lige så
hurtigt op, som de spinder ned ved belastning fra rotorerne. Dette er nødvendigt for at overholde Krav
3 i Kapitel 4, der bestemmer at det samlede løft skal være konstant, hvorfor eventuelle ændringer af
motorernes hastigheder skal være af samme størrelse, men modsat rettet.
10.1.2 Interfaces
Motorerne skal kontrolleres fra processoren ved hjælp af PWM-signaler. Disse signaler kan gene-
reres ved hjælp af nogle signalgeneratorer, der er implementeret som hardware i processoren. Disse
signalgeneratorer er imidlertid ikke i stand til at levere strøm nok til at styre motoren direkte, hvorfor
der skal konstrueres et driverkredsløb (se designdokument i Appendiks A).
Desuden skal motorregulatorerne styres fra vinkelregulatoren, hvorfor de skal læse referenceværdier
51

KAPITEL 10 - Blokbeskrivelse
fra denne. Ydermere skal motorregulatorerne læse output fra hastighedssensorerne for at kunne sam-
menligne den aktuelle hastighed med referencen. Undersystemet skal derfor benytte sig af følgende
variable:
motor_ref_h Reference til højre motor.
motor_ref_v Reference til venstre motor.
motor_sensor_h Variabel til input fra højre hastighedssensor.
motor_sensor_v Variabel til input fra venstre hastighedssensor.
PWM_h Registret til styring af PWM signalgeneratoren tilknyttet højre motor.
PWM_v Registret til styring af PWM signalgeneratoren tilknyttet venstre motor.
10.2 Rotationsssensor
10.2.1 Funktionalitet
Dette undersystem har til formål at udregne, hvor hurtigt motorerne kører, således motorreguleringen
altid kan tilgå data fra rotationssensorerne. Da rotationssensorerne fungerer ved at afgive to pulser
per omgang tandhjulet drejer rundt, er det nødvendigt at måle tiden mellem pulserne, for herefter at
udregne rotationshastigheden. For at sikre at tiden måles præcist, vælges det at forbinde sensorout-
puttet til mikroprocessorens interrruptben. Tidsmålingen kan dermed ikke forstyrres af andre tråde
på processoren.
10.2.2 Interfaces
Dette undermodul skal placere den beregnede hastiged i variablerne:
motor_sensor_h Variabel til input fra højre hastighedssensor.
motor_sensor_v Variabel til input fra venstre hastighedssensor.
10.3 Vinkelregulator
10.3.1 Funktionalitet
Vinkelregulatoren skal sikre at helikopteren kan indtage en forudbestemt vinkel (±1 ◦ ) og forblive
stabil i denne. Samtidig skal systemet, i henhold til Krav 3 i Kapitel 4, sikre at helikopterens rotorer
skaber et konstant (±1%) vertikalt løft, der svarer til tyngdekraften på halvdelen af helikopterens
masse.
52

KAPITEL 10 - Blokbeskrivelse
I udledningen af body-modellen i Afsnit 6, er det fundet, at helikopteren i den nuværende opstilling
er ustabil. Udfordringen er således først og fremmest at gøre systemet stabilt. Når dette er opnået,
kan der fokuseres på at sikre en bestemt vinkel.
10.3.2 Interfaces
Vinkelregulatoren har behov for både at læse information fra vinkelsensoren, samtidig med at den
kan regulere referenceværdierne til motorregulatorerne. Dette skal den gøre ved hjælp af følgende
variable:
motor_ref_h Reference til højre motorregulator.
motor_ref_v Reference til venstre motorregulator.
vinkelsensor_x til monitorering af vinkel θx.
10.4 Vinkelsensor
10.4.1 Funktionalitet
Vinkelsensor-softwaren skal omsætte målinger fra den A/D-converter, der er tilsluttet potentiometret
i kardanleddet. Disse vinkler skal benyttes i vinkelregulatoren, der hele tiden skal have en opdateret
værdi.
10.4.2 Interfaces
Vinkelsensoren skal placere den beregnede vinkel i variablen vinkelsensor_x, således at den
kan læses af henholdsvis vinkelregulatoren og dataoverførselsrutinen. Vinkelsensor-softwaren skal
bygges op som en funktion, der kan kaldes fra vinkelregulator-softwaren.
10.5 Udlæsning af data
10.5.1 Funktionalitet
Dette undersystem har til formål at udlæse reguleringsvariable og sensorinputs gennem seriel kom-
munikation til en computer. Det skal gøres ved hjælp af de UARTS der er indbygget i processoren.
Data skal sendes som ASCII-tegn således at de kan læses ved hjælp af simple terminalprogrammer
på computeren.
Dataene skal sendes hvert sekund, således at brugeren opnår en følelse af at få data i real-tid, samtidig
med at systemet ikke bliver overbelastet ved dette.
53

KAPITEL 10 - Blokbeskrivelse
10.5.2 Interfaces
Dette system skal kunnne læse og overføre følgende variable:
vinkelsensor_x til monitorering af vinkel θx.
vinkel_ref_x til flightcontrollerreferencen til vinklen θx.
motor_sensor_h til monitorering af højre motors hastighed.
motor_sensor_v til monitorering af venstre motors hastighed.
motor_ref_h til monitorering af referenceværdien til højre motor.
motor_ref_v til monitorering af referenceværdien til venstre motor.
PVM_h til monitorering af output til motor 3 (højre motor).
PVM_v til monitorering af output til motor 4 (venstre motor).
AD_x til monitorering af input fra sensoren der måler vinklen θx.
AD_y til monitorering af input fra sensoren der måler vinklen θy.
54

DEL IV
Blokdesign
Det overordnede design af systemet er færdiggjort, og næste skridt er
at designe hver blok individuelt. Funktionalitetskravene kan afledes til
tekniske krav til hver blok, og der skal designes et system, som kan op-
fylde disse. Der skal foretages valg angående opbygning af blokke, og
de enkelte blokke skal analyseres, så de er forberedt til implementering.

KAPITEL 11
Motorregulering
For at sikre en konstant opdrift fra rotorerne er det vigtigt at disse roterer ved en konstant og regu-
lerbar hastighed. Der skal således designes en regulator, som muliggører dette. Reguleringen virker
ved at sammenligne den ønskede vinkelhastighed R(s) med motorens faktiske hastighed. En forskel
mellem ønsket og faktisk hastighed vil give sig til udtryk som en fejl E(s). Controlleren D(s) bru-
ger fejlen til at regulere motoren M(s), så den ønskede hastighed opnåes. følgende figur illustrerer
reguleringsprincippet.
1
R(s)
E(s) Va(s)
D(s)
Regulator
M(s)
Motor
Figur 11.1: Blokdiagram for motorreguleringen
1
Omega_g(s)
For at kunne designe reguleringen er det nødvendigt at opstille krav til det samlede systems dynamik,
stabilitet og steady-state fejl. Dynamikken bestemmer blandt andet, hvor hurtigt motorsystemet skal
kunne reagere på ændringer i referencen eller hvor lang indsvingstiden (settling time, ts) skal være.
Disse krav vil blive defineret i det følgende afsnit, hvorefter reguleringen vil blive designet.
57

KAPITEL 11 - Motorregulering
11.1 Fastsættelse af krav
Dynamik
Kraften er proportional med rotorhastigheden, så en forøgelse i hastigheden på én motor medfører
en tilsvarende nedgang i hastighed på den modsatte motor. I designet af reguleringen skal det derfor
sikres, at stigtiden er den samme som faldtiden for motor, gear og rotorsystemet. For at sætte krav til
dynamikken på systemet vælges det, at sætte krav til stigtiden tr.
Ses der på faldtiden for motoren, afhænger den udelukkende af friktionen og inertien i systemet.
Da bl.a. Coulomb friktionen og belastningen fra rotoreren er ulineære, kan disse ikke udtrykkes vha.
en overføringsfunktion. Som følge heraf, er der opstillet en motormodel i Simulink, der kan findes på
bilags-CD’en under /matlab/MotorGearRotorRiseTime/MotorGearRotorModel.mdl.
Figur 11.2 viser stig- og faldtiden for systemet fundet vha. af modellen.
Amplitude
1
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0
RiseTime=
324ms
FallTime=
98ms
0 0.2 0.4 0.6
Time [s]
0.8 1 1.2
Figur 11.2: Simulink simulering af stig og faldtiden for motor-gearsystemet
med rotor. Modellen og beregningerne kan findes i bilag under
/matlab/MotorGearRotorRiseTime/
Som det fremgår, så er stigtiden cirka 3,5 gange større end faldtiden for systemet. Dette betyder,
at når referencen mellem motorerne ændres, vil motoren, der skal falde i hastighed, indfinde sig
3,5 gange hurtigere end den modsatte motor. For at minimere forskellen, kan det enten vælges at
øge faldtiden eller gøre stigtiden mindre. Da det ikke ønskes at begrænse hastigheden på motorerne,
vælges det at forkorte stigtiden med en regulator.
For at sikre et konstant samlet løft, skal det således gælde at tr = 98 ms. I Kapitel 7 blev det
fundet, at rotorerne skal rotere med 147 rad/s, for at holde helikopteren i hover. Antages det, at
rotorhastigheden ikke falder under 130 rad/s under reguleringen i hover, kan den mindste periodetid
Ts,min, hvormed målingerne foretages, udregnes til:
58

Ts,min =
2π
2ωr,min
=
KAPITEL 11 - Motorregulering
π
= 24, 2 ms (11.1)
130 rad/s
For at kunne regulere motoren skal der, som tommelfingerregel, foretages seks hastighedsmålinger
i løbet af stigtiden [Franklin et al., 2006, s.192]. Da der kun samples hvert 24. milisekund, skal
stigtiden dermed som minimum være seks gange større. Dette giver en stigtid på:
tr = 6 · Ts,min = 6 · 24, 2 ms ≥ 145, 2 ms (11.2)
Stigtiden på 98 ms kan således ikke overholdes, hvis controlleren skal nå at regulere på stigende
flanker. For at sikre en præcis regulering, vælges det derfor at ændre kravet til en stigtid på minimum
145,2 ms.
Stabilitet
Som stabilitetskritium for reguleringen vælges det at se på oversvinget Mp i tidsdomænet. Oversvin-
get beskriver, hvor meget det regulerede system må svinge over referenceværdien, idet denne ændres
til en ny værdi. Ideelt set ønskes der intet oversving, men det vælges at tillade et oversving på højst
1%.
System type
For at kunne kontrollere attituden af helikopteren præcist er det vigtigt, at rotorernes hastighed passer
med referencen. Forstyrrelser udefra skal dermed undertrykkes, således steady-state fejlen ess = 0.
Desuden vil referencen ændre sig i step. Systemet er dermed et type 1 [Franklin et al., 2006, s.178
tab.4.1], hvilket medfører, at der skal implementeres en PI-regulator.
Figur 11.3 sammenfatter kravene til regulatoren.
59

KAPITEL 11 - Motorregulering
Amplitude
1.2
1
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
Oversving M p < 1 %
Stigtid t r > 145,4 ms
Steady−state error e ss = 0
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Time [s]
0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figur 11.3: Skitse af de samlede krav.
11.2 Design af motorregulering
Med udgangspunkt i de fundne krav skal der designes en PI-regulering til motorerne. Den samlede
kontrolløkke er illustreret i Figur 11.4. PI er en forkortelse for Proportionel plus Integrator, hvorfor
der er to blokke i reguleringen på Figur 11.4.
1
R(s)
E(s)
PI−regulator D(s)
ki
D(s)_P
ki
Ti.s
D(s)_I
Va(s)
A
tau_m.s+1
M(s)
Figur 11.4: Blokdiagram for motorreguleringen
Som det ses af Figur 11.4, kan overføringsfunktionen for regulatoren udtrykkes som:
D(s) = ki 1 + 1
Tis
Hvor:
ki er integratorforstærkningen
Ti er reset tiden
1
omega_g(s)
(11.3)
For at kunne finde parametrene til regulatoren er det nødvendigt at tage udgangspunkt i lukket-sløjfe
60

forstærkningen for kontrolløkken i Figur 11.4, hvilke er givet ved følgende udtryk:
ωg(s)
R(s) =
Tiτ
kiA s2 +
Tis + 1
1
kiA + 1 Tis + 1
KAPITEL 11 - Motorregulering
(11.4)
Som det fremgår er den lukkede kontrolløkke et 2. ordens system med et nulpunkt, hvor bl.a. PI-
parametrene indgår som koefficienter i nævnerpolynomiet. Ifølge Franklin, kan systemet beskrives
på følgende standardiserede form:
Hvor:
ζ er dæmpningskoefficienten
ωn er egenfrekvensen
H(s) =
α er den normaliserede nulpunktslokation
(s/αζωn) + 1
(s/ωn) 2 + 2ζ(s/ωn) + 1
(11.5)
[Franklin et al., 2006, s.122 lign.3.59]
For at få udtrykt kravene i forhold til koefficienterne i reguleringen, skal nævnerkoefficienterne i
kontrolløkken, givet i Formel 11.4, være lig med dem for den standardiserede overføringsfunktion.
For at dette er tilfældet, må integrationsforstærkningen ki og reset tiden Ti være givet ved følgende
udtryk:
ki = 2ζωnτm − 1
A
Ti = kiA
ω 2 nτm
(11.6)
(11.7)
For at bestemme reguleringsparametrene mangles det at finde dæmpingskoefficienten ζ og egenfre-
kvensen ωn. Ifølge Franklin kan egenfrekvensen udtrykkes ved følgende formel:
ωn ∼ 1, 8
=
tr
(11.8)
[Franklin et al., 2006, s.116 lign.3.49]
Udtrykket er kun præcist for 2. ordens systemer uden nulpunkter. Brugt i systemer med nulpunkter
er Formel 11.8 kun en grov approksimation [Franklin et al., 2006, s.116]. På trods heraf vælges det
at bruge formlen som udgangspunkt for designet. Det holdes derfor in mente, at det endelige design
muligvis afviger fra de fastsatte krav. Effekten heraf vil blive klarlagt under verificeringen, der findes
sidst i afsnittet. Med en stigtid på 145, 2 ms bliver egenfrekvensen således:
61

KAPITEL 11 - Motorregulering
ωn =
1, 8
= 12, 4 rad/s (11.9)
145, 2 ms
Vha. Formel 11.10 kan dæmpningskoefficienten findes ud fra oversvinget, hvilket er udregnet i For-
mel 11.11. Ligesom med egenfrekvensen er udtrykket for dæmpingskoefficienten kun en approksi-
mation for 2. ordens systemer uden nulpunkter. Ligger nulpunktet tæt på polerne i overføringsfunk-
tionen for kontrolløkken (α < 3), vil oversvinget øges drastisk [Franklin et al., 2006, s.122].
-ln (Mp)
ζ =
π2 − ln (Mp) 2
hvor 0 < Mp < 1 (11.10)
[Franklin et al., 2006, s.117 lign.3.51]
ζ =
-ln (0, 01)
π2 − ln (0, 01) 2
= 0, 83 (11.11)
Da det umiddelbart er svært at vurdere nulpunktets indflydelse, vælges det i stedet at modvirke
nulpunktets indflydelse ved, på forhånd, at øge dæmpningskoefficienten til 0,93.
Vha. Formel 11.6 og Formel 11.7 kan parametrene til regulatoren findes. Udregningerne kan findes
på bilags-CD’en under /matlab/MotorModel/regulator.m. Overføringsfunktionen bliver
således:
1
D(s) = 0, 1596 1 +
0, 1234s
= 0, 01969s + 0, 1596
0, 1234s
Den samlede overføringsfunktion for kontrolløkken kan dermed findes til:
ωg(s)
R(s)
= 18, 9614s(s + 8, 105)(s + 5, 487)
s(s + 5, 487)(s 2 + 24, 45s + 153, 7))
(11.12)
(11.13)
(11.14)
Det ses, at to af polerne er blevet plomberet. Disse har derfor ingen indflydelse på systemets respons,
hvorfor der kan ses bort herfra. Overføringsfunktionen kan således reduceres til:
ωg(s)
R(s)
= 18, 9614(s + 8, 105)
(s 2 + 24, 45s + 153, 7))
(11.15)
Vha. MATLAB funktionen stepinfo kan stigtiden for kontrolløkken bestemmes til 72 ms, hvilket
er 51% mindre end kravet på 145,2 ms. Ligeledes kan oversvinget findes til 6,5%, hvilket afviger
en del fra designkravet på 1%. Det første design overholder dermed ikke de stillede krav. For at få
62

KAPITEL 11 - Motorregulering
designet til at passe, lægges de 51% til stigtidskravet således tr = 219 ms, og designprocessen gen-
tages. Dette giver en stigtid på 159 ms, hvilket er 9% over kravet. Da det er tættere på og over kravet
anses stigtiden som passende. Oversvinget findes til 2,23%, hvilket er blevet bedre, men som stadig
afviger fra kravet. Da 2,23% stadig kan anses som et lille oversving, vælges det ikke at ændre yderli-
gere på designet af motorreguleringen. Med ændringen i stigtiden, fås følgende overføringsfunktion
for regulatoren:
D(s) =
1
0, 0818 1 +
0, 1442s
D(s) =
0, 0118s + 0, 08181
0, 1442s
(11.16)
(11.17)
Ovenstående udtryk er nu blevet udledt, og det er bestemt at det kan regulere motorerne efter de
ønskede krav.
63

KAPITEL 12
Rotationssensor
Da propellernes rotationshastighed skal reguleres i forhold til en ønsket omdregningshastighed, er det
nødvendigt at tilbagekoble denne hastighed til regulatoren. Til dette kan flere typer sensorer bruges.
På platformen, der er til rådighed, er der implementeret Hall-sensorer. Disse er lokaliseret under
rotorernes tandhjul, og to permanent magneter er indlejret i hvert tandhjul. Denne type sensor er
meget resistant overfor udefrakommende påvirkninger. Disse påvirkninger kunne f.eks. være direkte
eller indstrålet lys, støv og lign, som ville påvirke en IR-sensor. Desuden bliver Hall-sensoren ikke
påvirket af magnetfelter, som ikke er vinkelrette på sensoren.
Hall-sensoren er af typen TLE4905L. Databladet findes på bilags-CD’en i stien
/CD/Datablade/TLE4905L.pdf Denne sensor er ifølge producenten typisk brugt som bl.a.
rotationssensor, hvilket gør den ideel til dette formål. Desuden fungerer denne som en digital kom-
ponent, og behøver derved ikke konvertering til digitale niveauer. Kombineres dette med dens lave
følsomhed overfor forstyrrelser giver dette et højt signal til støj forhold. Herudover er denne type
sensor meget lille og let, hvilket er ønskeligt for at minimere helikopterens samlede vægt. Sidst
nævnes det, at denne sensor har et lavt effektforbrug på maksimalt 8 mA.
12.1 Behandling af sensorsignal
Hall-sensoren TLE4905L giver et konstant output på 0 V, når en magnet er placeret indenfor dennes
rækkevidde. Når magneten er uden for sensorens rækkevidde, giver den et konstant signal på 5 V.
Dette giver grundlag for mindst tre databehandlingsmetoder for at udlede rotorens hastighed.
64

12.1.1 Antal pulser per sample
KAPITEL 12 - Rotationssensor
Pulserne fra Hall-sensoren bliver talt over en fast tid. Hvis hver puls repræsenterer én omgang, så
kan udtrykket for rotationshastigheden opstilles som:
ωr = npulser · π
Ts
(12.1)
Denne metode er nyttig, hvis antallet af pulser er relativt højt i samplingsperioden Ts. Metoden har
en fast samplingsfrekvens på 1 . Endvidere vil denne metode give nul, hvis ingen pulser forekommer
Ts
i en samplingsperiode. Desuden kan resultatet svinge, hvis samplingsperioden ikke er et multiplum
af perioden fra puls til puls. Dette ses på følgende figur:
5 V
Hall s ens or
0 V
30 r / s
Hastighed
0 r / s
T s = 0.1 s
Figur 12.1: Eksempel på udledning af rotorhastighed ved antal pulser inden
for periodetiden Ts.
12.1.2 Periode fra puls til puls
Periodetiden fra forreste flanke på en puls til forreste flanke på den næste måles. Denne måling vil
give tiden for en fuld rotation af rotorbladet. Herfor kan et udtryk for rotationshastigheden opstilles
som:
ωr = π
∆T
T id [s]
(12.2)
Som det ses på Figur 12.2 bliver hastighedsmålingen opdateret oftere og svinger ikke ved konstant
hastighed. Denne metode har dog ikke en fast samplingsfrekvens og hvis rotoren stopper, kan dette
ikke detekteres, med mindre en øvre grænse for ∆T fastsættes. Derfor bliver detektionen af et stop
forsinket med den øvre grænse for ∆T i forhold til den egentlige tid for stoppet.
65

KAPITEL 12 - Rotationssensor
ˆΩr [ rounds/ s] ≈
1 [ round]
∆ T [ s]
(G.2)
As can be seen on Figur e G.3 , the velocity measur ement is updated more frequently,
and does not oscillate. In contrast, this method does not have a xed update fre-
quency, and if the rotor stops, this can not be detected unless an upper limit for ∆ T
is dened. If this upper limit would be reached, the detection of a stop could be
wastely delayed compar ed to the actual time of the stop.
5 V
Hall s ens or
0 V
30 r / s
Hastighed
0 r / s
∆T
F I G U R E G .3: An exampleofderiving therotorvelocityby measuringthetime
Figur 12.2: ∆ Eksempel T frompulseto på udledning pulse. af rotorhastighed ved at måle tiden ∆T
fra puls til puls.
Another problem with this method, is the reliability of the result at changing ve-
Af locities. de to ovenstående The extent implementationsmåder of this problem vælges depends det at onbenytte how puls rapidly til puls the metoden, velocity hvorchanges tiden
mellem compar toed pulsers to the flanker update målesfrequency, og benyttes til see beregning Figur eaf G.5 hastigheden on the next på rotoren, page. da den giver det
bedste resultat for hastigheder over nul af de to muligheder.
Pulse length: Since the Hall effect sensor gives a low signal as long as the magnet is
in range, it is also an option to measur e the length of the pulse. The method is
illustrated in Figur e G.4 on the following page and is similar to measuring the time
from pulse to pulse, except that only one pulse is necessary. Investigating the Hall
sensor signal showed, that the signal is 0 V about 1/ 20 th of the time. The estimated
rotor velocity will then be:
Ωr [ rounds/ s] ≈ 1/ 20 [ round]
∆ t [ s]
T id [s]
(G.3)
Compar ed to measuring from pulse to pulse, the pulse length gives a more accurate
result, because acceleration will have less impact on the result, see Figur e G.5 on the
next page. But the pulse length method has the same problem regarding a stop of
the rotor, since it takes a very long pulse to determine a velocity near zero.
Another disadvantage of this method is its implementation. It will requir e a rel-
atively high sample rate of the signal to precisely detect the pulse length, which
would be as short as 1.57 ms at a velocity of 200 rad/ s.
Gr oup 831 173
66

KAPITEL 13
Vinkelregulator
Som beskrevet i Afsnit 6.3 omlring body modellen er helikopterplatformen et ustabilt system, hvilket
bevirker, at der ikke vil kunne opretholdes en konstant vinkel ved blot at sikre, at de to rotorer kører
lige hurtigt. Da forstyrelser som vind, og ændring i omgivelser ville kunne ændre helikopterens
hældning, hvorefter den ikke vil have mulighed for at rette op igen. Derfor skal der designes et
system til at gøre helikopteren stabil, hvilket gøres ved hjælp af tilbagekobling.
13.1 Reguleringsprincip
I det følgende afsnit beskrives det, hvordan de tre opstillede modeller sammenkobles til én samlet
model for helikopterens vinkel. Ydermere beskrives, hvordan en regulator kobles til den samle-
de model. Motormodellen M(s) beskiver vinkelhastigheden, iforhold til et givent spændingsinput.
Denne vinkelhastighed bruges direkte som input til rotormodellen R(s) ved at gange de to over-
føringsfunktioner sammen. Rotormodellen beskriver løftet som funktion af vinkelhastigheden, men
den opstillede bodymodel B(s) beskriver vinklen θx som funktion af differensen mellem kræfterne
fra to rotorer. Derfor kan de to overføringsfunktioner ikke blot ganges sammen, og istedet opstilles
et blokdiagram, der beskriver deres sammenkobling, hvilket ses på følgende figur:
67

KAPITEL 13 - Vinkelregulator
V
a,h
M (s)
h
Va,v
M (s)
v
R (s)
h
R (s)
v
+ −
B(s) θ out
Figur 13.1: Blokdiagram over sammenkobling af modellerne, hvor B(s) er
bodymodel, M(s) motormodel og R(s) rotormodel.
Det ses af Figur 13.1, at der skal designes en regulator, som giver to outputs i form af spændingsre-
ferencerne Va,v og Va,h. Det vælges, at implementere regulatoren som vist på Figur 13.2, hvor ωref
angiver middelhastigheden for de to rotorer. Denne implementering vælges, da systemet jævnfør
krav 3 i funktionelle krav 2 skal holde det samlede løft Fz(t) konstant. På baggrund af den i Afsnit
6.3.1 opstillede model for Fz(s) og rotormodellen kan hastighedsreferencen ωref bestemmes for det
ønskede løft.
θ ref
+ −
θ e
D(s)
+ +
−
+
M (s)
h
ωref
M (s)
v
R (s)
h
R (s)
v
Figur 13.2: Blokdiagram over vinkelreguleringen.
+
− B(s) θx
Ud fra blokdiagrammet på Figur 13.2 opskrives åbensløjfe overføringsfunktionen for systemet:
θx(S)
θe(s) = [(D(s) + ωref ) · Mh(s) · Rh(s) − (ωref − D(s) ) · Mv(s) · Rv(s)] · B(s) (13.1)
Hvis det antages, at de to motorers og rotorers sammenkoblinger har den samme respons dvs.
Mh(s) = Mv(s) = M(s) og Rh(s) = Rv(s) = R(s) går ωref ud i Formel 13.1, og denne
kan reduceres til:
θx(s)
= 2 · D(s) · M(s) · R(s) · B(s) (13.2)
θe(s)
Regulatoren skal designes på baggrund af Formel 13.2, så helikopteren får den ønskede respons.
68

13.2 Regulatordesign
KAPITEL 13 - Vinkelregulator
Ved at indsætte modellernes overføringsfunktioner i Formel 13.2, fås følgende åbensløjfe overfø-
ringsfunktion skrevet op på pol-nulpunktsform:
θx(s)
θe(s)
3, 6919 · (s + 6, 939)
= D(s)
(s − 3, 676)(s + 3, 92)(s2 = D(s) · G(s) (13.3)
+ 12, 23s + 67, 59)
Det ses af Formel 13.3, at åbensløjfe overføringsfunktionen indeholder en pol i s = 3, 676, der giver
ustablitet. Lukketsløjfe stabiliteten undersøges i det følgende vha. root locus (se Appendiks B), hvor
det antages, at D(s) = Kp. Figur 13.3 viser pol-nulpunktsplaceringen i s-planet. For at undersøge
om p1 bevæger sig ind i venstre halvplan, når Kp øges, beskrives det hvordan root locus kommer til
at se ud jævnfør reglerne beskrevet i Appendiks B.
Im
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
p 3
p 4
n 1
p 2
Pol nulpunkts placering
−4
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4
Figur 13.3: Pol nulpunktplacering af åbensløjfe overføringsfunktionen i s-
planet
Regel 1 Én af de fire poler vil ende i nulpunktet n1 og de andre vil gå mod uendelig.
Regel 2 Polen p1 vil bevæge sig til venstre, og p2 vil bevæge sig mod højre, begge langs den relle-
akse. De vil de mødes i et punkt s12(bestemmes senere) og splittes. Polerne p3 eller p4 vil
ende i nulpunktet og den anden vil gå mod −∞ .
Regel 3 Fra punktet s = α1 vil der være 3 asymptoter med vinklerne φ1 , φ2 og φ3.
α1 =
φl = 180◦ + 360 ◦ (1 − l)
n − m
φ1 = 180◦
3 = 60◦ φ2 = 180◦ + 360◦ = 180
3
◦
φ3 = j 180◦ + 720◦ = −60
3
◦
pi − zi
n − m
p 1
l = 1, .., n − m (13.4)
(13.5)
(13.6)
3.676 − 3, 92 − 12, 23 − (−6.393)
= = −2, 027 (13.7)
3
69

KAPITEL 13 - Vinkelregulator
Da et root locus plot altid vil være symmetrisk om den relle-akse, kan det konkluderes at φ1
og φ3 må tilhøre p1 og p2. Polerne vil altså splittes i punktet s12, og derfra gå mod uendelig
med en vinkel på henholdsvis 60 ◦ og −60 ◦ målt fra punktet α1
Regel 6 Ved at løse Formel B.9 findes de steder i s-planen, hvor der optræder to eller flere poler (er
løst i MATLAB).
b(s) · da
db
0.7187
− a(s) · = 0 s =
ds ds
−7.361
(13.8)
De to komplekse poler mødes i punktet s34 = −7.361. Derfra splittes de, og den ene pol ender
i nulpunktet n1, og den anden går mod −∞. Polerne p1 og p2 mødes i punktet s12 = 0.7187
og splittes, hvorefter de vil gå mod asymptoterne beskrevet under regel 3. Polen p1 bevæger
sig således ikke ind i venstre halvplan. Figur 13.4 viser root locus-plottet.
Im
10
5
0
−5
s 34
Root locus
Root Locus
−10
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4
Re
Figur 13.4: Root locus plot for systemet med proportional regulator. Det ses
at systemet ikke kan stabiliseres med denne regulator typpe.
Ud fra det ovenstående kan det konkluderes, at det ikke er muligt at stabilisere systemet med en
proportional regulator. Det ses ved at alle poler på intet tidspunkt vil befinde sig i venstre halv-plan.
Det vælges herfor at indlægge et nulpunkt n2 i venstre halv-plan til højre for p2, herved vil p2 jf. regel
2 i stedet bevæge sig mod n1, og p1 vil uhindret kunne bevæge sig ind i venstre halv-plan til den
møder det indlagte nulpunkt n2. De øvrige ændringer af root locus-plottet beskrives i det følgende:
Regel 1 Ved indlæggelse af et ekstra nulpunkt fjernes én af asymptoterne.
Regel 2 Da p1 og p2 vil ende i nulpunkterne må p3 og p4 gå mod ±∞j og gå mod asymptoterne
beskrevet under regel 3.
Regel 3 Asymptoternes vinkel ændres til ±90 ◦ og asymptoternes udgangspunktet α2 forskydes:
70
α2 =
pi − zi
n − m
−6, 081 − n2
=
2
Formel 13.9 beskriver sammenhængen mellem placeringen af nulpunktet og punktet α2.
s 12
(13.9)

KAPITEL 13 - Vinkelregulator
Da det imaginære pol-par er det eneste, der kan give uønskede svingninger i stepresponset, skal deres
imaginære del minimeres. Da de jævnfør regel 3 vil gå mod ±∞j for store værdier af Kp kan dette
blive et problem, hvorved placeringen af nulpunktet bliver meget vigtig for systemets respons. Ved
at placere n2 tæt på p2 trækkes den ustabile pol hurtigere over i venstre halv-plan, så der kan vælges
mindre værdier af Kp for at gøre systemet stabilt. Det vælges således at placere n2 i s = −3, 8.
Im
15
10
5
0
−5
−10
n2
α 2
Root locus
−15
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4
Figur 13.5: Root locus plot for systemet, hvor nulpunktet n2 er tilføjet. Linien
α2 angiver asymptoten for p3 og p4.
I følge Afsnit 11.1 har motorerne en rise-time tr,motor på 145, 2 ms. Det vælges, at vinkelregulerin-
gen skal have en rise-time tr,vinkel, der er 10 gange større. Den præcise placering af polen svarende
til tr,vinkel = 1, 46 er fundet vha. MATLAB til s = −1.6. For at opnå denne placering af polen
skal værdien af Kp for denne pol placering bestemmes. Dette gøres vha. MATLAB’s indbyggede
funktion rlocus til Kp = 48, 7. Herved får regulatoren følgende overføringsfunktion:
D(s) = Kp · 1 + 1
s = 48, 7 · (1 + 0, 26 · s) = 12, 7 · s + 48.7 (13.10)
n2
Stepresponsen for systemet med den designede regulator er vist på Figur 13.6. Det ses af figuren, at
systemet har en steady-state fejl, hvilket skyldes at systemet er et type 0 system.
Vinkel [rad]
5
4
3
2
1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Tid [s]
3 3.5 4 4.5 5
(sec)
Steprespons
Figur 13.6: Stepresponset for systemet med regulator, hvilket giver en rise-
time op ca. 1,5 s.
71

KAPITEL 13 - Vinkelregulator
13.3 Delverifikation
Den designede regulator blev afprøvet i laboraitoriet, hvor det viste sig, at regulatoren var i stand til
at stabilisere opstillingen. Men da der var støjproblemer på vinkelsensoren, havde helikopteren svært
ved at opretholde sin position i længere tid af gangen. Det blev derfor valgt, at mindske stigtiden, så
helikopteren hurtigere fandt på plads igen. Dette blev gjort ved, at hæve Kp. Det viste sig i praksis
at en værdi på Kp = 56 var et godt kompromis mellem overshoot og rise-time, herfor vælges det at
arbejde videre med denne værdi.
Jævnfør krav 1 i funktionelle krav 1 skal systemet kunne stå i en fastsat vinkel ±1 ◦ , hvilket ikke
er muligt med den designede regulator pga. steady-state fejlen. En mulig løsning på dette problem
er at gange input referencen med det reciprokke af DC-forstærkningen, men da DC-forstærkningen
afhænger af fysiske parametre for systemet vælges, en anden løsning.
13.4 Ændring af systemtype
Da den designede regulator har vist sig at kunne stabilisere systemet, beholdes denne, men for at
fjerne steady-state fejlen vælges det at ændre systemtypen fra 0 til 1. Dette gøres ved at tilføje endnu
en regulator, blokdiagrammet for reguleringen kommer herved til at se ud som vist på Figur 13.7.
θ
ref
+ −
θe1 θe2 D (s) +
−
2M(s) R(s) B(s)
θx 2
D 1(s)
Figur 13.7: Tilbagekoblings blokdiagram med ekstra regulator
For et system med enheds-tilbagekobling vil systemtypen være givet ved antallet af poler i nul i
åbensløjfe overføringsfunktionen [Franklin et al., 2006, s. 178]. Der skal således indlægges en pol
i nul i D2(s) for at opnå den ønskede systemtype. Det viser sig, at stepresponsen giver et stort
overshoot, hvis D2(s) = 1
s , herfor benyttes root locus igen til at undersøge polvandringen, da det
store overshoot må betyde, at et pol-par har bevæget sig ud af den imaginære akse. Root locus plottet
for D2(s) = Kp2 1
s hvor Kp2 varieres fra nul til uendelig er vist på følgende Figur 13.8:
Det ses af Figur 13.5, at den indlagte pol p5 og p1 mødes ved ca. s = −1, 3 og splittes derfra.
Der skal vælges en værdi for Kp2 der giver et acceptabelt overshoot. Da systemet har tendens til at
svinge sættes det maksimale overshoot til 1%. Dette krav kan omregnes til en dæmpningsfaktor ud
fra Formel 13.11 [Franklin et al., 2006, s. 117], hvor der antages et andensordens system:
72
Mp = e −πζ/√ 1−ζ 2
⇒ ζ =
−ln(Mp)
ln(Mp) 2 −ln(0.01)
= = 0, 82 (13.11)
+ π2 ln(0.01) 2 + π2

Im
6
4
2
0
-2
-4
-6
n 1
KAPITEL 13 - Vinkelregulator
Root locus
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
Re
Figur 13.8: Root locus plot med indlagt pol i nul. θp angiver minimums vink-
len for den ønskede dæmpningsfaktor.
Kravet til 1% overshoot kan ud fra dæmpningsfaktoren omregnes til vinkelen θp i s-planen polerne
som minimum skal overholde:
θp = sin −1 (ζ) = sin −1 (0, 82) = 55, 7 ◦
p 2
p 3
p 4
n 2
p 1
p
p 5
(13.12)
Af Figur 13.8 ses det, at p5 og p1 i starten næsten har en konstant real-del. Hvis det antages at
Re(p5) = Re(p1) = 1, 3 kan Im(p5) og Im(p1) udregnes ud fra kravet til vinklen:
Re(p1)
Im(p1) > tan(55, 7◦ ) ⇔ Im(p1) < Re(p1)
tan(55, 7 ◦ )
⇒ Im(p1) < 1, 05 (13.13)
Vha. MATLAB findes de værdier af Kp2, som opfylder kravet ovenfor til 0 < Kp2 < 0, 3. For at
opnå den hurtigste lukketsløjfe respons vælges Kp2 = 0, 3. Overføringsfunktionen for regulatoren
bliver dermed D2(s) = 0,3
s . Stepresponset for systemet er vist på Figur 13.9.
Vinkel [rad]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Step Respons
Steprespons
0
0 1 2 3
Tid [s] (sec)
4 5 6
Figur 13.9: Steprespons for det endelige system
Der er blevet udarbejdet en vinkelregulator til helikopter-opstillingen, der opfylder det opstillede
krav om at helikopteren skal kunne holde en given vinkel ±1 ◦ .
73

KAPITEL 14
Vinkelsensor
Som beskrevet i Afsnit 9.1 er det valgt at implementere et liniært potentiometer i kardanleddet for på
den vis at få en analog spænding svarende til vinklen på helikopteren. Denne analoge spænding skal
måles af mikrocontrolleren ved hjælp af en af dennes A/D-convertere, og skal dernæst omregnes til
en vinkel i radianer til benyttelse i vinkelregulatoren.
Potentiometeret er opkoblet, således at det fordeler 5 V over hele måleområdet, hvorfor der kan
beregnes en omregningskonstant mellem spænding og vinkel ved følgende formel:
Hvor
k = V+45 − V−45
90◦ · π
180◦ (14.1)
V+45 er spændingen fra potentiometret, når helikopteren er placeret i en vinkel på +45 ◦ [V]
V−45 er spændingen fra potentiometret, når helikopteren er placeret i en vinkel på −45 ◦ [V]
Det er desuden også nødvendigt at måle spændingen fra potentiometeret når helikopteren er placeret
fuldstændig vandret, da dette skal benyttes til følgende formel for konvertering fra spændingsoutput-
tet fra sensoren til en vinkel i radianer:
vrad = Vx − V0
k
vrad er vinklen ved en given spænding Vx [rad]
(14.2)
Tilbage er derfor kun at implementere ovenstående formel i processorens kode. Dette vil ikke blive
yderligere beskrevet. Dog skal det nævnes, at der er implementeret en midling over 50 målinger fra
A/D-converteren, da det erfares, at der er støj på signalet fra sensoren.
74

DEL V
Implementering
De enkelte blokke skal implementeres på baggrund af blokdesignet. Da
det er valgt at implementere det meste af funktionaliteten på microcon-
trolleren, skal de fundne overføringsfunktioner for regulatorerne diskre-
tiseres.

KAPITEL 15
Motorregulering
En motorregulering er designet og er givet ved den kontinuerte overføringsfunktion i Formel 15.1.
D(s) =
0, 009735s + 0, 05895
0, 165s
(15.1)
Eftersom reguleringen ønskes implementeret i en mikroprocessor er det nødvendigt at tranformere
denne til et udtryk der kan beregnes i diskret tid. For at gøre dette, kan det enten vælges at invers
Laplace-transformere, for herefter at diskretisere funktionen. Da det er en PI-regulering kan inte-
grationen i tidsdomænet implementeres vha. en numerisk integration. Alternativt er der modtaget
undervisning på semestret i bilineær transformation af s-domæne funktioner, hvorfor det vælges at
benytte denne metode.
En bilineær transformation er en algebraisk transformation mellem s og z, hvor hele den imaginære
akse i s-planet bliver afbilledet på en omdrejning på enhedscirklen i z-planet [Oppenheim et al., 1989,
s.450]. Transformationen foretages ved at erstatte s i overføringsfunktionen med udtrykket givet i
Formel 15.2.
s = 2
Td
−1 1 − z
1 + z −1
(15.2)
[Oppenheim et al., 1989, s.450 lign.7.20]
Eftersom alle frekvenser (−∞ ≤ Ω ≤ ∞) er afbilledet mellem π ≤ ω ≤ π er transformationen
ulineær [Oppenheim et al., 1989, s.450]. Dette giver sig til udtryk i en kompression af frekvenserne
tæt på π. Størrelsen π kan vises at svare til den halve samplingsfrekvens [Andersen, 2007]. For at
undgå forvrængning af regulatorresponset er det derfor nødvendigt at vælge en samplingsfrekvens
77

KAPITEL 15 - Motorregulering
højere end Nyquist-frekvensen. Båndbredden for motoren kan vha. MATLAB findes til 5,5 Hz (se
bilags-CD’en under /matlab/MotorModel/regulering.m for beregninger). For at undgå
forvrængning fra transformationen skal samplingsfrekvensen dermed være over 11 Hz.
En anden ting der gør sig gældende er, at der, som tommelfingerregel, skal reguleres 6 gange inden
for den fastsatte stigtid [Franklin et al., 2006, s.192]. Da systemet er designet til en stigtid på mini-
mum 145,2 ms, kan dette vha. tommelfingerreglen omregnes til frekvensen hvormed reguleringen
skal foretages.
fs,reg = 1
Ts
= 6
tr
=
6
= 41, 3 Hz (15.3)
0, 1452 ms
For at sikre en præcis regulering skal der således foretages nye beregninger med 41,3 Hz. Øges fre-
kvensen vil det pga. rotationssensornes opbygning ikke være sikkert at der vil være nye hastigheds-
målinger tilgængelige. Mindskes frekvensen vil reguleringen ikke kunne nå at reagere tilstrækkelig
hurtigt. Reguleringsfrekvensn på 41,3 Hz er således den gyldne middelvej.
Frekvensen kan omregnes til en samplingstid Td på ca. 24 ms. Indsættes samplingstiden i Formel
15.2 kan den bilineære transformation af overføringsfunktionen for regulatoren udføres. Resultatet
er udregnet i /matlab/MotorModel/regulator.m og kan ses i Formel 15.4
Va(z)
E(z)
= 0, 0947 − 0, 07989z−1
1 − z −1
Ved invers z-transformation kan følgende differensligning findes:
(15.4)
va[n] = 0, 0947e[n] − 0, 07989e[n − 1] + va[n − 1] (15.5)
Den tidsdiskrete regulator fungerer således ved at tage en vægtet differens mellem den nuværende
og forrige fejl og lægge det forrige output til. I Figur 15.1 er stepreponset for hhv. det tidsdiskrete
og kontinuerte reguleret system plottet. Som det fremgår, følger den diskretiserede regulator fint den
kontinuerte.
Som det fremgår af Figur 15.1 afviger det diskrete steprepons en smule fra den kontinuerten. Men
eftersom afvigelsen ikke er større vælges ikke at ændre yderligere på systemet.
78

Amplitude
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Step Response
KAPITEL 15 - Motorregulering
Continous
Discrete
0
0 0.5 1 1.5
Time (sec)
Figur 15.1: Kontinuert og tidsdiskret steprespons for det reguleret system
simuleringet i MATLAB.
Som det ses af differensligningen på Formel 15.5, er integrationen implementeret ved at den forrige
output-værdi er medtaget i beregningen. Da der er en fysisk grænse for hvor store værdier af va[n],
der kan lægges over motoren, er der behov for at implementere en såkaldt anti-windup mekanisme.
Denne sikrer imod at va[n] og va[n − 1] antager værdier, der ikke kan udtrykkes i spændingen over
motoren. Bliver dette ikke gjort, vil va[n] kunne blive integreret meget stor, hvorved det vil tage
lang tid at få va[n] integreret tilbage til værdier hvor motorerne ikke længere kører med maksimal
hastighed.
Anti windup mekanismen er udarbejdet ved hjælp af en simpel if-sætning. Denne if-sætning sætter
blot va[n] til 10 V og fuld duty-cykle på spændingen over motoren, hvis va[n] har værdien 10 V eller
derover.
Princippet bag windup fænomenet og mekanismen der er implementeret til at sikre imod det er
illustreret på Figur 15.2.
79

KAPITEL 15 - Motorregulering
max
min
v A [n] ud
min
max
v A [n] ind
Figur 15.2: Illustration af princippet bag windup og mekanismen der sik-
rer imod det. Den stiplede linie repræsenterer va[n] som den ville løbe hvis
den ikke blev begrænset. Den faste linie illustrerer begrænsningen i output-
værdier.
Pga. en fejl i en tidligere version af regulator.m afviger den implementerede differensligning,
fra den i rapporten beskrevet. Den implementerede differensligning er udregnet med en samplingstid
på 36 ms i stedet for 24 ms. Reguleringsrutinen er ligeledes implementeret med denne samplingstid.
Reguleringen af motoren sker således langsommere end designet ligger op til. Dette vil således være
en fejlkilde i den samlede regulering af helikopteren.
80

KAPITEL 16
Rotationssensor
Da hastighedssensorerne indeholder en smith trigger og derfor udsender digitale spændingsniveauer,
der kan påtrykkes og detekteres på processoren uden yderligere behandling, vælges det at tilslutte
sensorerne til nogle af processorens interrupt-ben. Derved kan processoren indstilles til at modtage
interrupts ved en af flankerne på sensorens output. Desuden vælges det at dedikere en af timerne i
processoren til dette formål, således at tiden mellem to interrupts kan beregnes.
Da der kun er én timer til rådighed, skal softwaren udvikles, således at denne ikke bliver afbrudt af
nulstillingen, da det ellers ikke er muligt at lave et stykke uafhængigt kode til hver sensor. Derfor
sættes timeren op således at denne laver et overflow-interrupt med et givent interval. I den tilhørende
interrupt-rutine vil en tæller for hver af sensorerne blive talt op. Derudover sættes en max-værdi for
tællerne, således at hvis tællerne når denne, skal de ikke tælles yderligere op, og i stedet skal ha-
stigheden sættes til nul. Operationerne i dette overflow-interrupt er illustreret på Figur 16.1. Løkken
der er illustreret på Figur 16.1 skal dog ikke implementeres, i stedet skal hver af de fire instruktioner
skrives hver for sig, således at der undgåes overhead og uoverskuelighed fra løkken.
Således er det muligt, når en magnet kommer inden for sensorens rækkevidde og processoren der-
for modtager et interrupt, at gemme en værdi indeholdende antal overflows der har været i timeren
siden sidste interrupt, og desuden gemme værdien i timeren. Ved hjælp af disse to værdier, og den
gemte timer fra sidste gennemløb, er det muligt at beregne tiden det har taget for rotoreren at dre-
je en halv omgang. Til sidst sættes en semafor, for at signalere at der er nyt input til rådighed til
beregningsrutinen. Operationerne der skal udføres i sensor-interruptet er illustreret på nedenstående
figur:
Beregningen af hastigheden bliver placeret i en tråd til formålet, således at det ikke begrænser andre
tråde, med højere prioritet, i at køre. I denne tråd udføres beregningerne illustreret på Figur 16.3.
81

KAPITEL 16 - Rotationssensor
82
n+1
Nej
ISR_Start
n=1
tæller_n =
grænse?
Nej
tæller_n+1
n=4?
Ja
ISR_Stop
Ja
hastighed_n=0
Figur 16.1: Flowchart over softwaren til benyttelse af en timer til fire hastig-
hedsmålinger.
ISR_Start
Gem timer
Gem tid
Set semafor
ISR_Stop
Figur 16.2: Flowchart, som illustrerer operationerne, der skal udføres når en
sensor interrupter processoren.

KAPITEL 16 - Rotationssensor
Da beregningerne først skal ske når der er nyt input fra et sensor-interrupt er der implementeret en
semafor, således at denne tråd først må køre når semaforen bliver sat i interrupt-rutinen.
Vent på semafor
tæller =
grænse
timere = timer+256-gammel_timer
tid = tæller * overflow_tid
tid += timere* tick_time
hastighed = pi / tid
gammel_timer = timer
Figur 16.3: Flowchart over operationerne, der udføres i tråden til beregning
af hastighed ud fra sensor-input.
På Figur 16.4 er illustreret de tider der skal tages med i beregningen. Længst til venstre illustreres
tiden det tager fra sidste interrupt til første overflow. Da den forrige tæller er gemt og timeren er en
8-bit værdi kan antal timerticks her beregnes ved formlen:
Nej
Ja
timerticks = 256 − gammel_timer (16.1)
Oven i dette kan lægges den, nyligt gemte, timerværdi da denne indeholder antal timerticks illustreret
længst til højre på følgende figur:
Figur 16.4: Tider der skal medregnes ved beregning af rotationshastighe-
den, og variablerne disse er gemt i
Timeren er sat op til at have en divider på 1024. Dette vil sige at timeren bliver talt op for hver 1024.
clockpuls på processoren. Herved kan det beregnes hvor længe det tager for hver timertick, således:
83

KAPITEL 16 - Rotationssensor
tick_time =
1
16 MHz
1024
= 64 µs (16.2)
Hvert overflow i timeren giver 256 timerticks, hvorfor hvert overflow tager 256 gange tiden det tager
at tælle timeren en op. Dog er der talt et overflow for meget da både første og sidste overflow i
intervallet illustreret i midten på Figur 16.4 bliver talt med.
Derfor kan tiden det har taget rotoren at dreje en halv omgang beregnes således:
tid = (timer + 256 − gammel_timer) · ticktime + (tæller − 1) ∗ 256 ∗ ticktime (16.3)
Og herudfra kan rotationshastigheden på roteren bestemmes ved formlen
v =
2 · π π
=
2 · tid tid
(16.4)
For at sikre imod store fejlmålinger fra højfrekvent støj skal der implementeres et stykke kode der
sikrer at kun hastigheder der er under en fastsat grænse bliver accepteret og skrevet i variablen til
formålet. Dette gøres ved følgende kode:
1 double h a s t i g h e d = M_PI / t i d ; / / (2∗ p i ) / ( 2 ∗ t i d )
2 i f ( h a s t i g h e d < MAX_HASTIGHED) {
3 m o t o r _ s e n s o r _ f = h a s t i g h e d ;
4 }
Desuden sker det nogle gange at processoren danner flere interrupts på en puls fra sensoren, det-
te giver, hvis beregningsrutinen får lov at køre, nogle meget høje værdier for hastigheden. Dette
kan få motorcontrolleren til at regulere hastigheden på motoren forkert, hvorfor det giver en ustabil
hastighed.
For at sikre imod dette fænomen sættes processoren til at blokere interrupts fra den givne sensor i et
stykke tid efter at den har fået det første. Derved vil processoren kun køre interruptrutinen en gang
for hver puls fra sensoren, og ignorere alle sving der måtte være i pulsen der ellers ville få den til at
interrupte igen.
Måden hvorpå processoren sættes til ikke at blokere for interrupts efter et stykke tid, er at placere
et vente-kald til sidst i beregningsrutinen, således at denne venter nogle millisekunder hvorefter den
sætter processoren til igen at modtage interrupts.
84

KAPITEL 17
Vinkelregulator
I det følgende kapitel vil der blive udledt diskrete ækvivalenter af overføringsfunktionerne til de
to regulatorer der blev udledt i Kapitel 13. Dette er nødvendigt med henblik på at kunne regulere
helikopterens vinkel ved hjælp af mikroprocessoren.
Først vil blive udledt en diskret PD regulator tilsvarende den udledt i Afsnit 13.2. Herefter vil
der blive udledt en overføringsfunktion til regulatoren der skal ændre på referenceværdien til PD-
regulatoren, og herved øge systemtypen.
17.1 PD-regulator
I Afsnit 13.2 er givet en regulatorfunktion i kontinuert tid. Denne regulator kan dog ikke umiddelbart
implementeres i projektet, da det er valgt at benytte en mikroprocessor til at udføre beregningerne.
Derfor skal overføringsfunktionen diskretiseres og der skal findes en differensligning der kan imple-
menteres i processorens kode.
Ved bestemmelse af beregningsfrekvens på vinkelregulatoren benyttes tommelfingerreglen beskrevet
i [Franklin et al., 2006, s. 192]. Denne siger, at hvis reguleringsrutinen gennemløbes seks gange på en
stigende flanke, er dette som hovedregel tilstrækkeligt. Da Stigtiden på vinkelregulatoren er 0.653 s
skal reguleringsrutinen derfor køres omkring en gang hver 100 millisekund. Dog vælges det, fordi
systemet tillader det, at regulere med 15 Hz, dvs. hvert 67. millisekund.
Udgangspunktet for udledningen af en tidsdiskret overføringsfunktion er overføringsfunktionen for
regulatoren. Denne er her gengivet for overskuelighed:
Dct(s) = 14.56 · s + 56 (17.1)
85

KAPITEL 17 - Vinkelregulator
Da dette er en overføringsfunktion kun med nulpunkter giver den billiniære metode, som er benyt-
tet til motorcontrolleren, et resultat der er ustabilt. Derfor vælges det i stedet at benytte metoden
“Matched Pole-zero”. Denne metode benytter sig af sammenhængen imellem polers placering i s-
domænet for en given funktion og placeringen af polerne i z-domænet. Denne sammenhæng kan,
ifølge [Franklin et al., 1990] beskrives ved følgende formel:
Hvor
Ts er tiden imellem to kald af regulatoren [s]
z = e s·Ts (17.2)
[Franklin et al., 1990, s. 147]
Ved denne metode antages det, at nulpunkternes placering kan bestemmes ved Formel 17.2.
Diskretiseringen af Formel 17.1 sker ved at nulpunktet overføres til z-domænet:
Hvor
zct = − 56
14, 56
zct er nulpunktets placering i s-domænet [-]
zdt er nulpunktets placering i z-domænet [-]
Ddt er den diskrete overføringsfunktion [-]
Kdt er en konstant der bestemmes efterfølgende [-]
(17.3)
zdt = e zct·Ts 56 −
= e 14,56 ·0.067 = 0, 773 (17.4)
Ddt = Kdt(z − 0.773) (17.5)
Dernæst skal den diskrete overføringsfunktion tilpasses, således at den har samme forstærkning som
den kontinuerte. Dette gøres ved at betragte slutværdisætningen for hver af overføringsfunktionerne,
og bestemme Kdt således at disse bliver ens.
Dcs(s)
= Dds
s=0 z=1
(17.6)
53 = Kdt(1 − 0, 773) ⇒ (17.7)
Kdt =
56
= 246, 70
1 − 0, 773
(17.8)
Da der er flere nulpunkter end poler vælges det at placere en pol i z = 0 således at der kan opnåes et
kausalt system. Således kan den diskrete overføringsfunktion endeligt bestemmes som:
Ddt = 246, 70(z − 0, 773) =
246, 7z − 190.7
z
Denne overføringsfunktion kan omdannes til en differensligning ved invers z-transformation:
86
(17.9)

U(z)
E(z)
17.1.1 PI-regulator
= 246, 7 · z − 190.7 = 246.7 − 190.7 · z−1
1
KAPITEL 17 - Vinkelregulator
⇒ (17.10)
z −1 U(z) = (246, 7 − 190 · z −1 )E(z) (17.11)
⇓ Invers Z-transformation
u[n] = 246, 7 · e[n] − 190.7e[n − 1] (17.12)
Regulatoren til ændring af systemtypen skal også implementeres i form af en differensligning, da
denne regulator indeholder flere poler end nulpunkter benyttes den bilineær transformation til diskre-
tesering. Den tidskontinuerte overførings funktion blev i afsnit 13.4 fundet til:
D2(s) =
0, 3
s
(17.13)
Da det blev valgt at sample den første vinkelregulator med Td = 0, 067s vælges den samme sam-
plingsfrekvens, så de to regulatorer kan beregnes på samme tid. Herefter indsættes den bilineær
transformation i overføringsfunktionen, og den diskrete regulator findes til:
D2(z) =
D2(z) =
D2(z) =
0, 3
2 1−z−1
T d · 1+z−1 0,3
1
2 Td
+ 0,3
1
2 Td
z−1 1 − z −1
0, 01 + 0.01z−1
1 − z −1
Ved invers z-transformation findes differensligningen for regulatoren til:
(17.14)
(17.15)
(17.16)
y[n] = 0, 01x[n] + 0, 01x[n − 1] + y[n − 1] (17.17)
87

DEL VI
Evaluering
Et system, der overholder de funktionelle krav, har været igennem en
designprocess, og er derefter blevet implementeret på microcontroller.
Det endelige system udsættes for en accepttest for at undersøge om det
lever op til de funktionelle krav. På baggrund af accepttesten konklud-
eres der på den gennemførte proces.

KAPITEL 18
Accepttest
Formålet med dette afsnit er at undersøge og dokumentere, hvorvidt systemet overholder kravene i
Kapitel 4. Dette er gjort i henhold til testspecifikationerne i Appendiks C og målingerne er beskrevet
i Appendiks D.
I det følgende vil resultaterne af testene blive gennemgået. Resultaterne analyseres og det konklude-
res, hvorvidt kravene er opfyldt tilfredsstillende.
18.1 Stabillitet i vinkel
Systemets stabilitet i en given referencevinkel er testet ved at referencen er indskrevet i programmet,
hvorefter systemet startes, og data logges fra potentiometret i kardanleddet.
Selvom dette er gjort i henhold til testspecifikationerne i Appendiks C, er dette ikke helt uproble-
matisk. Grundet faren ved opstillingen er det nødvendigt for operatøren at opholde sig bag plastiks-
kærme mens systemet kører. Derfor skal måleudstyret tilsluttes potentiometret ved hjælp af lange
ledninger hvorpå der kan induceres støj. Dette støj influerer ikke kun på målingerne, men vil også
påvirke systemet, hvorfor det sansynligvis yder en anelse dårligere, end hvis ikke måleinstrumenter-
ne var tilsluttet.
Resultaterne af forsøget er illustreret på Figur 18.1 og opsamlet i Tabel 18.1.
Det ses på Figur 18.1, der illustrerer én måling, at systemet tager noget tid om at svinge ind til
den ønskede værdi. Det ses også, at systemet begynder at svinge når det har holdt helikopteren
i referencevinklen i et stykke tid. Dette menes at skyldes støj, men det har ikke været muligt at
finde kilden. Det ses desuden også på Figur 18.1, at signalerne er overlejret med støj, således at de
beregnede vinkler afviger en anelse fra de reelle. Ydermere er der, ved accepttesten, implementeret
89

KAPITEL 18 - Accepttest
en motorregulator der ikke kaldes tilstrækkeligt ofte (som beskrevet i Kapitel 15). Dette indfører
også en fejl der ummiddelbart også kan være skyld i at systemet ikke reagerer som det skal.
Vinkel [°]
−5
−10
−15
−20
−25
−30
Systemopstart med vinkelreference = −10°
−35
5 10 15
Tid [s]
20 25
(a) reference = −10 ◦
Figur 18.1: Resultat af vinkelmåling, hvor systemets reference er sat til
−10 ◦ .
Vinkelreference Max-afvigelse Gennemsnitlig afvigelse Interval [s]
-10 1, 2606 ◦ 0, 6610 ◦ 8,5 - 18,5
-8 1, 6747 ◦ 0, 6276 ◦ 9,6 - 19,6
-6 1, 9345 ◦ 0, 9030 ◦ 11 - 21
-4 0, 8945 ◦ 0, 3548 ◦ 11 - 21
-2 3, 3866 ◦ 1, 0767 ◦ 12.8 - 22.8
0 0, 5869 ◦ 0, 2104 ◦ 12.8 - 22.8
2 0, 5032 ◦ 0, 1585 ◦ 12.8 - 22.8
4 1, 2810 ◦ 0, 8677 ◦ 17.3 - 27.3
6 2, 3194 ◦ 0, 8156 ◦ 13.7 - 23.7
8 4, 3953 ◦ 1, 1738 ◦ 15 - 25
10 4, 6287 ◦ 0, 9849 ◦ 16 - 26
Tabel 18.1: Resultat af vinkelmålinger ved forskellige referencevinkler.
I Tabel 18.1 ses resultater af beregninger af gennemsnits- og maks-værdier for afvigelsen i forhold
til vinkelreferencen. Beregningerne er lavet på datasæt fra det anførte interval, der strækker sig fra
systemet har stabilliseret sig og 10 sekunder frem.
Det ses, at der er maks-værdier der overskrider 1 ◦ , hvorfor det ikke kan konkluderes, at systenet
overholder Krav 1 i Kapitel 4.
Det kan desuden ses af tabellen, at det tager længere tid for systemet at stabillisere sig ved de sidste
målinger end de første. Dette kan skyldes, at potentiometret i kardanleddet flytter sig en anelse under
hver måling, hvorfor fejlen i vinkelmålinger vil blive større og støre igennem målingerne.
90

KAPITEL 18 - Accepttest
18.2 Modstandsdygtighed imod udefrakommende forstyrrelser
Krav 2 i Kapitel 4 er testet ved at systemet startes op og stabilliserer sig, hvorefter det påvirkes meget
kraftigt ved at operatøren trækker den ene rotor kraftigt ned. Hvis systemet kan stabillisere sig efter
denne påvirkning, og en tilsvarende til den anden side, er kravet overholdt.
På Figur 18.2 er illustreret responset fra systemet ved forstyrrelse i henholdsvis højre og venstre side.
Det ses på denne figur, at systemet kan stabillisere sig i vinklen igen ved begge påvirkninger, hvorfor
kravet er overholdt. Dog kunne det på målingerne til testen af stabillitet i vinklen ses, at systemet
efter noget tid bliver påvirket udefra, hvorefter det begynder at svinge lidt. Det er formentlig samme
fejl som der ses på Figur 18.1.
Vinkel [°]
20
10
0
−10
−20
−30
Forstyrrelse af helikopteren ved reference = 0
−40
10 15 20 25 30
Tid [s]
35 40 45 50 55
Figur 18.2: Systemets respons på udefrakommede forstyrrelser i form af
meget kraftigt ryk i den ene rotorarm.
91

KAPITEL 18 - Accepttest
18.3 Opretholdelse af konstant løft
Kravet omkring konstant løft er testet ved at helikopteren placeres i en ny opsætning, der gør det
muligt at måle vægten af denne, mens den flyver. Hvis helikopteren kan løfte halvdelen af sin egen
vægt, mens den flyver, er kravet overholdt.
Resultatet af målingen er at helikopteren i sig selv vejer 2.53 kg, og den vejer i opstillingen 10,712
kg. Når helikopteren flyver kan vægten 9,490 kg aflæses på vægten. Med disse data kan helikopterens
løft beregnes således:
Hvor
mløft = malt − malt-flyvende = 10, 712 kg − 9, 490 kg = 1, 222 kg (18.1)
mløft er massen der løftes af helikopteren [kg]
malt er massen på helikopteren og opsætningen tilsammen [kg]
malt-flyvende er vægten der er aflæst på vægten mens helikopteren flyver. [kg]
Dette er meget tæt på halvdelen af helikopterens vægt; 1,265 kg. Dog er er det ikke inden for kravet
om ±1%. Det har vist sig, i løbet af designprocessen, at dette krav er meget svært at overholde da
det ikke har været muligt at få motorerne til at accellerere lige så hurtigt som rotorerne får dem til at
deaccellerere.
92

KAPITEL 19
Konklusion
Et projekt er blevet udarbejdet på baggrund af ønske om at få en quadrotor helikopter til at hover.
Reguleringen af helikopteren foregår ved at kontrollere hastigheden og derved løftet frembragt af de
fire rotorer individuelt.
Da kompleksiteten af en fuldstændig regulering af helikopteren blev vurderet for høj til et projekt på
5. semester, blev reguleringen afgrænset til én akse. Denne afgrænsning blev implementeret ved at
fastspænde helikopteren på et kardanled monteret på en trefod. Ved at fastlåse den ene akse i kardan-
leddet blev helikopteren begrænses til én frihedsgrad. Projektet har således omhandlet regulering og
stabilisering af helikopteren i denne akse, ved at kontrollere hastighederne på rotorerne.
Som udgangsspunkt for reguleringen er den samlede helikopter blevet modelleret. Der er således
opstillet og verificeret modeller for motor med gear, rotor og helikopterens krop. Verifikationerne
viste, at systemets dynamik kunne beskrives ud fra modellerne, men at body-modellen var ustabil.
På baggrund heraf er der blevet designet en motorregulator, som sikrer en konstant og korrekt ro-
torhastighed, samt en vinkelregulator til at kontrollere helikopterens vinkel. Motorreguleringen er
implementeret vha. af en PI-regulator og designet med udgangspunkt i den standardiserede 2. or-
dens overføringsfunktion. For at kunne stabilisere helikopteren er root locus-metoden blevet brugt.
Ved hjælp heraf blev det fundet, at der kunne opnås et stabilt system ved implementering af en
PD-regulator. Der var dog en konstant fejl i vinklen, hvorfor det var nødvendigt at implementere en
PI-regulator for at undgå steady-state fejl.
Det samlede system blev implementeret på en Robostix med en 16 MHz ATMega128 processor. For
at sikre en robust regulering er reguleringen af helikopteren blevet programmeret til at køre på en
preemptiv AvrX kerne med prioriterede tråde.
Accepttesten viste en generel stigning i vinkelafvigelsen ved større vinkelreferencer. Dette er for-
93

KAPITEL 19 - Konklusion
ventet, eftersom modellerne antager, at helikopteren flyver med en vinkelreference på ca. 0 grader.
Helikopteren udviser nogle udforklarlige udsving. Ligesom den 8 ud af 11 gange afviger fra kravet
til vinklen.
Testen viste ydermere, at det lykkedes at overholde kravet på en maksimal vinkelafvigelse på ±1
grad ved 3 ud af 11 målte vinkelreferencer. Det lykkedes at stabilisere helikoptersystemet, samt at
det kan finde tilbage i den rette vinkel ved forstyrrelser udefra.
94

Litteraturliste
[Andersen et al., 2006] Andersen, M. B., Binderup, O., Gislason, S., Haukrogh, J., Kjærgaard, M.,
and Sørensen, M. (2006). Draganflyer X-Pro - Modelling and Control. Technical report, Aalborg
Universitet.
[Andersen, 2007] Andersen, O. (2007). Lecture: Digital filters with infinite impulse response (IIR).
Internet. http://kom.aau.dk/~oa/Teaching/2007/SB/lecture7.php.
[Andersen and Pedersen, 2007] Andersen, P. and Pedersen, T. S. (2007). Modeldannelse. Techni-
cal report, Afdeling for Proceskontrol, Instutut for Elektroniske Systemer, Aalbrorg Universitet,
Frederiks Bajers Vej 7, DK-9220 Aalborg Ø, Danmark.
[Barello, 2007] Barello, L. (Vist: 2007). Avrx. Internet. http://www.barello.net/avrx/.
[Bjørn et al., 2007] Bjørn, J., Kjærgaard, M., and Sørensen, M. (2007). Autonomous hover flight for
a quad rotor helicoptor - linear quadratic controller - piecewise affine hybrid systems controller.
Technical report, Aalborg Universitet.
[Bramwell, 1976] Bramwell, A. R. S. (1976). Helicopter Dynamics. Edward Arnold Ltd.
[Close et al., 2002] Close, C. M., Frederick, D. K., and Newell, J. C. (2002). Modeling of Analyses
of Dynamic Systems. John Wiley and Sons, inc, 3 edition. ISBN 0-471-39422-4.
[Franklin et al., 2006] Franklin, G. F., Powell, J. D., and Emami-Naeini, A. (2006). Feedback Con-
trol of Dynamic Systems. Pearson Prentice Hall, 5 edition. ISBN 0-13-149930-0.
[Franklin et al., 1990] Franklin, G. F., Powell, J. D., and Workman, M. L. (1990). Digital Control of
Dynamic Systems. Addison-Wesley Publishing Company, second edition. ISBN: 0-201-11938-2.
[Oppenheim et al., 1989] Oppenheim, A. V., Shafer, R. W., and Buck, J. R. (1989). Discrete-time
Signal Processing. Prentice Hall, 2 edition.
95

[Pedersen, 2007] Pedersen, T. S. (2007). Regulation specifications. Internet. http://www.
control.auc.dk/%7Etom/TilbkobED5/regspec1e.pdf.
[Ritchie, 2007] Ritchie, E. (2007). Case study: Electronic table using linak actuators. In-
ternet. http://www.iet.aau.dk/%7Eaer/E5-2ModellingOfDynamicSystems/
E5-2ModellingOfDynamicSystems2007Index.htm.
[Serway and John W. Jewett, 2004] Serway, R. A. and John W. Jewett, J. (2004). Physics for Scien-
96
tists and Engineers. Thomson, Brooks/Cole, 6.ed edition. ISBN 0-534-40949-0.

DEL VII
Appendiks

APPENDIKS A
Motordriver
Fra processoren sendes PWM-signaler til styring af motorhastigheden. Dette signal skifter mellem
0 og 5 V, ved en fast frekvens og dutycyklen bestemmer herefter hastigheden på motoren. Da de
monterede motorer er normerede til 12V skal udgangssignalet fra mikrocontrolleren forstærkes op,
og der skal tages højde for den store strøm der trækkes fra motorerne.
A.1 Opbygning af motordriver
Det vælges at bruge et driverkredsløb, virkende som switch. Et sådant kredsløb opbygges omkring
MOSFET transistorer Disse transistorer skal kunne håndtere spændingen på 12 V, samt peakstrøm-
me på optil 50 A (
15 V
300 mΩ
) ved opstart. Desuden er det ønskeligt, at denne har en meget lav ON-
modstand, så mest muligt af effekten afsættes i DC motoren. Herved fungerer dette kredsløb analogt
med en switch, hvor signalet fra mikrocontrolleren åbner og lukker for strømmen gennem transisto-
ren, og herved strømmen gennem motoren.
A.1.1 MOSFET transistor
Det vælges at benytte en MosFET transistor af typen SUB85N02-06. Denne transistor er en power
transistor, og er normeret til en maksimal spænding på 20 V og maksimal strøm på 85 A. Denne
transistor kan derfor håndtere de strømme og spændinger, den vil blive udsat for i systemet. Desuden
har denne transistor også en meget lav ON-modstand (rds) på kun 0,006 Ω ved en forspænding på
4,5 V. Den lave modstand gør, at størst mulig del af den brugte effekt bliver afsat i motoren. Da mod-
standen i DC-motoren er på 300 mΩ, hvilket er 50 gange større end ON-modstanden i transistoren,
negligeres denne i det videre arbejde.
A2

Elektromotoren, som denne MOSFET transistor skal forsyne, placeres mellem positiv forsyning og
transistorens drain terminal. Transistorens source terminal forbindes direkte til stel. Dette bevirker,
at når transistoren åbnes, åbnes en direkte vej, gennem motoren og transistoren, til stel, hvilket åbner
for strømmen gennem elektromotoren. Dette bevirker at spændingen over motoren skifter mellem
forsyningsspændingen og 0 V.
Da transistoren skal virke som switch, skal dennes tidskarakteristika undersøges for at vurdere hvor
høj PWM frekvens der kan benyttes fra systemet. Transistoren har fire tidsegenskaber, som skal un-
dersøges: Turn-on delay time(t d(on)(MOS)), Rise time(t r(MOS)), Turn-Off delay time(t d(off)(MOS))
og Fall time(t f(MOS)). Disse værdier giver anledning til en minimum periodetid, skitseret på følgen-
de figur:
Figur A.1: Tidskarakteristika for MOSFET transistoren SUB85N02-06
Den maksimale frekvens hvorved denne MOSFET transistor kan skifte, er derfor givet ved:
fmax(MOS) <
1
td(on)(MOS) + tr(MOS) + td(off)(MOS) + tf(MOS) fmax(MOS) <
1
40ns + 180ns + 120ns + 150ns
fmax(MOS) < 2, 04MHz
Dette betyder at transistoren benyttes til frekvenser op til 2,04 MHz.
(A.1)
(A.2)
For at begrænse strømmen ind i gaten på transistoren, samt fjerne ringing, indsættes en modstand
i gaten på MOSFET transistoren. Denne modstand bestemmes således at den ikke har indflydel-
se på tidskarakteristika for MOSFET transistoren. Modstanden dimensioneres ud fra stigetiden for
transistoren, hvor forholdet mellem denne og tidskonstanten τ for kondensatoren i gaten.
τmos
= 1 (A.3)
Ci(Rgate + Rout(driver)) 180ns
= 1
6600pF (Rgate + 3, 6Ω)
Rgate = 23, 7Ω
Da denne modstand er dimensioneret efter MOSFET transistorens tidskarakteristika, har RC-leddet,
dannet af transistorens indgangskapacitans og modstand Rgate, ingen indvirkning på frekvenskarak-
teristika for det samlede motordriver trin. Dog begrænses gatestrømmen, hvilket er ønskeligt, for
ikke at overbelaste driveren.
A3

A.1.2 MOSFET driver
Selv om der, i teorien, kun skal en lille tærskelspænding vgs til at åbne en MOSFET transistor, kan
en stor indgangskapacitet trække forholdsvist kraftige ladestrømme. Derfor indsættes en MOSFET
driver, som kan levere en større strøm, end mikrocontrolleren kan levere.
Det vælges at implementere en MOSFET driver af typen ICL7667. Denne MOSFET driver er en
dual power MOSFET driver og udmærker sig ved at have en maksimal output strøm på 300 mA.
Herudover har denne komponent lave rise og fall tider, samt et lavt propagation delay på typisk
30 ns. Disse delays, giver dog anledning til en ændring i den maksimale frekvens, der kan tilføres
motordriver kredsløbet. Denne frekvens bliver:
fmax <
1
1
f + td(on)(driver) + tr(driver) + td(off)(driver) + tf(driver) max(MOS)
fmax <
1
40ns + 180ns + 120ns + 150ns + 60ns + 40ns + 40ns + 40ns
fmax < 1, 49MHz
(A.4)
Dette betyder, at indsættelsen af denne MOSFET driver, har indflydelse på den maksimale frekvens,
hvortil kredsløbet kan benyttes. Dog kan kredsløbet stadig benyttes til frekvenser på over 1 MHz,
hvilket er mere end tilstrækkeligt.
Da MOSFETdriveren inverterer dennes indgangssignal, implementeres en inverter, hvorpå der im-
plementeres pulldown-modstande i indgangen. Herved sikres det at spændingen over motorerne er 0
V når processoren er slukket eller ikke forbundet. Denne inverter er en HEX inverter med buffer af
typen 4049. Dennes implementation sikrer et TTL input signal til MOSFET driveren.
På nedenstående figur vises det samlede diagram for driver trinnet.
A4
4049
ICL7667
R gate
Motor
G
M
D
S
SUB85
Figur A.2: Samlet kredsløbsdiagram for motordriverkredsløb

Det følgende appendiks er skrevet på baggrund af [Franklin et al., 2006, Kapitel 5].
APPENDIKS B
Root locus
Root locus er en metode til at se, hvordan ændringer i en systemparameter vil have indflydelse på
pol-placeringen i lukketsløjfe overføringsfunktionen for systemet.
B.1 Root locus
Lukketsløjfe overføringsfunktionen for standard opsætningen, vist på Figur B.1, er givet ved:
Y (s)
R(s) =
D(s)G(s)
1 + H(s)D(s)G(s)
(B.1)
Polerne i lukketsløjfe overføringsfunktionen vil således være rødderne i den karakteristiske ligning:
1 + H(s)D(s)G(s) = 0 (B.2)
R D(s) G(s) Y
+ −
H(s)
Figur B.1: Standard tilbagekoblings blokdiagram.
For at simplificere notationen vælges det at definere en overføringsfunktion L(s) = b(s)
a(s) , så den
karakteristiske ligning kan skrives 1 + K · L(s) = 0, hvor K er parametren, hvis indflydelse ønskes
A5

undersøgt. Den vil typisk beskrive gainet i sløjfen. Root locus-plottet vil indeholde alle de værdier
for s, der opfylder den karakteristiske ligning for K gående fra nul til uendelig. Et root locus-plot
kan derved være en hjælp til at vælge værdien for parametren K, da dette viser, hvordan polerne vil
bevæge sig.
Det vælges at angive graden af polynomiet a(s) n og graden af b(s) m. Hvis n ≥ m og koefficienten
til begge polynomiers højeste led er 1 kan polynomierne faktoriseres, så overføringsfunktionen L(s)
kan skrives som følgende:
L(s) = b(s)
a(s) =
m i=1
n
j=1
(s − zi)
(s − pj)
(B.3)
Hvor zi er nulpunkterne, og pj er polerne i L(s). Overføringsfunktionen L(s) kan også repræsenteres
ved poler og nulpunkters længde og vinkel:
L(s) =
m i=1
n
|s − zi|
j=1 |s − pj| ej(P m
i=1 ψz i −P n
j=1 φp j ) (B.4)
Hvor ψzi og φpj er henholdsvis nulpunkternes og polernes vinkler. Den karakteristiske ligning kan
omskrives til B.5. Heraf ses det, at root locus-plottet er alle de punkter i s-planet, hvor fasen af L(s)
er 180 ◦ .
L(s) = − 1
K
(B.5)
Den karakteristiske ligning kan således løses ved blot at finde de værdier af s, hvor fasen af L(s) er
180 ◦ . I Formel B.4 er det de to summationer i eksponential funktionen, der bestemmer fasen. Dette
er således tilstrækkeligt til at opstille følgende udtryk:
m
ψzi −
i=1
n
φpj = ±180 ◦ (2k + 1) k = 0, 1, 2, ... (B.6)
j=1
B.2 Retningslinier for root locus-plots
B.2.1 Regel 1
Der vil være n forgreninger startende i polerne for L(s) og m af forgreningerne vil ende i et
nulpunkt af L(s) L(s).
Den karakteristiske ligning omskrives til a(s) + K · b(s) = 0. Hvis K = 0 ses det, at den karak-
teristiske ligning reduceres til a(s) = 0. Herved vil root locus-plottet starte i rødderne af a(s) dvs.
polerne af L(s). Når K går mod uendelig skal b(s) = 0 for at opfylde ligningen, og da der er m
nulpunkter i b(s), vil m forgreninger ende her.
A6

B.2.2 Regel 2
Til venstre for et ulige antal poler og nulpunkter vil root locus-plottet altid befinde sig på den
reelle-akse.
Hvis man stiller sig et sted på den reelle-akse vil vinklerne fra et komplekst konjugeret pol-par
ophæve hinanden. Det samme vil ske for komplekst konjugerede nulpunkter. Den eneste måde fasen
kan blive 180 ◦ , når man befinder sig på den reelle-akse, er herved, hvis der er et ulige antal poler og
nulpunkter til højre for, idet placeringen af poler og nulpunkter altid vil være symmetrisk omkring
den reelle-akse.
B.2.3 Regel 3
For store værdier af K og s vil root locus plottet gå mod n − m asymptoter med hældningen
φl φl φl givet ved:
φl = 180◦ + 360 ◦ (1 − l)
n − m
Asymptoterne vil have udgangspunkt i punktet α:
pi −
α =
zi
n − m
B.2.4 Regel 6
l = 1, 2, .., n − m (B.7)
De steder på root locus plottet hvor der optræder flere poler kan findes ved Formel B.9
(B.8)
b(s) · da
db
− a(s) · = 0 (B.9)
ds ds
A7

APPENDIKS C
Accepttest specifikation
I det følgende afsnit beskrives en række tests, der skal udføres på systemet for at dokumentere, at
kravene i Kapitel 4 er overholdt. Disse tests skal udføres som “black box”-tests, således at de ikke
kræver forudgående kendskab til systemets indhold. Dette gør, at systemets opbygning ikke kan
få indflydelse på nøjagtigheden af resultaterne af testen. Dog vælges det at acceptere benyttelse af
output fra sensorer, der er placeret i opstillingen, da det kan ændre på systemet at implementere nye.
Følgende krav skal derfor testes:
1. System skal kunne holde helikopteren i en given vinkel (Krav 1 i Kapitel 4).
2. Systemet skal kunne opretholde et løft svarende til halvdelen af tyngdekraftens indvirkning på
helikopteren (Krav 3 i Kapitel 4).
3. Systemet skal kunne modstå udefrakommende forstyrrelser iform af kraftige nedad i henholds-
vis højre og venstre motor (Krav 2 i Kapitel 4).
4. Systemet skal gøre det muligt at overvåge reguleringsvariable og sensorinputs ved hjælp af en
computer forbundet til systemet med en RS232 forbindelse.
C.1 Test af stabillitet i given vinkel
Som beskrevet, ved Krav 1 i Kapitel 4, skal systemet kunne holde helikopteren i en given vinkel med
gulvet. Dette har denne test til formål at dokumentere.
A8

C.1.1 Fremgangsmåde
At implementere endnu et potentiometer på opstillingen vil påvirke systemet så kraftigt at det er valgt
ikke at gøre dette. I stedet vælges det, at måle output fra potentiometret, i opstillingen, ved hjælp af
et oscilloskop. Der skal ved hjælp af oscilloskopet logges output fra sensoren i 50 sekunder eller 10
sekunder fra systemet har stabilliseret sig, fra hver måling således at efterfølgende databehandling
er mulig. Umiddelbart burde systemet testes for stabillitet i alle vinkler, men da opstillingen sætter
begrænsninger for helikopterens bevægelser, vælges det at teste stabillitet i vinkelintervallet −10 ◦
til 10 ◦ .
Fremgangsmåden for testen skal være som følger:
1. Helikopteren placeres i præcis 0 grader ved hjælp af vaterpas og spændingen ud fra potentio-
metret måles ved hjælp af et multimeter og oscilloskop.
2. Dernæst placeret helikopteren i −45 ◦ og spændingen måles på multimeter og oscilloskop.
3. Helikopteren placeres således at den hælder over imod negative vinkler når systemet ikke
regulerer den.
4. Systemets vinkelreference sættes til −10 ◦ og systemet startes op samtidig med at der logges
data fra potentiometret i kardanleddet i 50 sekunder. Herefter slukkes systemet igen.
5. Systemets reference inkrementeres med 2 ◦ og testen gentages
6. Sådan gentages testen igen til referencen når 10 ◦ .
C.1.2 Databehandling
Ovenstående fremgangsmåde resulterer i 11 datasæt fra målinger over 50 sekunder og målinger af
spændingen fra potentiometret i to kendte vinkler.
Datasættene fra målingerne kan omregnes til vinkler ved hjælp af Formel C.1, og ved hjælp af Formel
C.2 bestemmes vinkelafvigelserne i datasættet.
Hvor
θ(v(t)) = (v(t)) − V0) ·
45 ◦
V0 − V−45
θafvigelse(v(t)) = θref − (V (t)) − V0) ·
45 ◦
V0 − V−45
θ(v(t)) er vinklen ved en given spænding V(t) fra potentiometret [ ◦ ]
θref er referencevinklen [ ◦ ]
θafvigelse(v(t)) er vinkelafvigelsen i forhold til θref ved spændingen v(t) [ ◦ ]
V(t) er spændingen til tiden t [V]
V0 er spændingen målt i vinklen 0 ◦ [V]
V−45 er spændingen målt i vinklen −45 ◦ [V]
(C.1)
(C.2)
A9

Hver af de 11 datasæt fra målingerne skal dernæst behandles således at fejlen i forhold til referencen
kan bestemmes. Hvis ingen målinger indeholder fejl på mere end 1 ◦ , efter at systemet har stabilliseret
sig, overholder systemet kravet til stabilitet i de målte vinkler.
C.2 Modstandsdygtighed i forhold til udefrakommende forstyr-
relser
Systemet skal, ifølge krav 2 i Afsnit 4, holde helikopteren stabil i referencevinklen. Det betragtes
som værende en meget kraftig forstyrrelse at trække den ene motor så kraftigt ned som opstillingen
tillader. Derfor vælges det at betragte dette krav som overholdt, hvis systemet kan få helikopteren til
at blive stabil i referencepositionen efter en sådan forstyrrelse.
C.2.1 Fremgangsmåde
1. Et oscilloskop tilsluttes potentiometret som i testen for stabillitet og systemet startes.
2. Oscilloskopet sættes til at logge outputtet fra potentiometret.
3. Systemet startes op med referencen 0 og der ventes til at stabillitet opnåes i referencepositio-
nen.
4. Helikopteren påvirkes så kraftigt at den ene rotor trækkes så kraftigt ned det er muligt
5. Det ventes til helikopteren igen er stabil
6. Helikopteren påvirkes nu igen blot i den modsatte side.
7. Når stabillitet igen er opnået slukkes systemet ned og loggen fra oscilloscobet gemmes til
behandling.
C.2.2 Databehandling
Beregningen på oscilloscobmålingerne fra testen for stabillitet udføres og resultatet plottes, således
at det er muligt at se fejlen i forhold til referencen som funktion af tiden. På et sådandt plot vil det
være meget tydeligt hvornår helikopteren er blevet påvirket, og i hvilken retning.
Hvis systemet får helikopteren til at blive stabil i referecen (±1 ◦ ) efter påvirkningen i begge retninger
betragtes dette krav som værende overholdt.
C.3 Opretholdelse af konstant løft
Systemet skal, ifølge Krav 3 i Afsnit 4, opretholde et konstant løft der svarer til halvdelen af tyngde-
kraftens virkning på helikopteren. Dette kan testes ved følgende test.
A10

C.3.1 Fremgangsmåde
Helikopteren kobles fra opstillingen og vægten af denne måles for sig. Dernæst kobles helikopteren
til en ny opstilling der muliggør at den kan stå på en vægt mens den flyver. Hele denne opstilling
vejes. Dernæst startes systemet op mens det er placeret på vægten, og der ventes til sytemet har fået
helikopteren stabil (referencevinkel = 0 ◦ ), hvorefter vægten noteres.
Kan systemet i denne opstilling få vægten til at vise en værdi svarende til opstillingens vægt, plus
halvdelen af vægten på helikopteren, betragtes kravet som overholdt.
C.4 Overvågning af reguleringsvariable
Dette krav verificeres ved, under alle ovenstående målinger, at have en computer tilsluttet systemet,
og lade denne vise den indkommende datastrøm på seriel-porten.
A11

Operatører: Andreas Corneliussen
Sted: UAV-lab, Fredrik Bajers Vej 7, Aalborg Universitet
Dato: 13/12 2007
Måleobjekt: Det udarbejdede system som helhed
D.1 Formål
APPENDIKS D
Målerapport til accepttest
Formålet med dette forsøg er at kunne dokumentere hvor vidt de funktionelle krav overholdes.
D.2 Apparaturliste
A12
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Oltronix C 28 - 20 R Strømforsyning 07390 Maks. 30 V / 30 A
Fluke 189 Multimeter 60768
Agilent DSO6034A Oscilloskop 64572 Venligst udlånt af Control-lab
Struers PJ1220 Vægt 08432
Tabel D.1: Apparaturliste.

D.3 Måleopstilling
Der skal, til accepttesten, udføres tre målinger, hvoraf to benytter samme måleopstilling. Først ønskes
det at verificere om systemet kan placere helikopteren i en fastsat vinkel, og holde den der. Dernæst
skal det verificeres om systemet kan gøre dette ved kraftige påvirkninger. Til sidst ønskes det målt
hvor meget løft helikopteren skaber når systemet holder den vinkelret med gulvet.
Første og anden måling kan benytte samme måleopstilling hvor et oscilloskop tilsluttes potentio-
metret på samme måde som processorens A/D-converter. Et multimeter tilsluttes desuden også på
samme måde som oscilloskopet, således at oscilloskopmålingerne kan verificeres ved hjælp af dette.
Den sidste måling kræver en noget anden måleopstilling. Her skal helikopteren fjernes fra den nu-
værende opstilling og fastsættes (stadig ved hjælp af kardanleddet) på nogle vægte, således at det
bliver muligt at placere hele opstillingen på en vægt.
Derfor skal måleopstillingerne på Figur D.1 og Figur D.2 benyttes.
Figur D.1: Måleopstilling til de første to målinger i accepttesten
Figur D.2: Måleopstilling til den sidste måling i accepttesten
A13

D.4 Målemetode
Målingerne er lavet i henhold til testbeskrivelsen til accepttesten (Kapitel C).
D.5 Måledata og bearbejdning af data
Måledata fra oscilloskopet er tilgængelige på bilags-CD’en i mappen Accepttest. Navnene på filerne
tilhørende de forskellige målinger kan ses i Tabel D.2.
De yderligere måleresultater er som følger:
• Spænding i 0 ◦ = 3,335 V
• Spænding i −45 ◦ = 2,658 V
• Vægt af helikopter = 2,53 kg
• Vægt af helikopter + opstilling = 10,712 kg
• Vægt når helikopter er stabil i vinkel 0 ◦ = 9,490 kg
En computer har desuden været tilsluttet systemet under alle tests, og har modtaget reguleringsvari-
able og sensorinputs hvert sekund.
Måling Filnavn
Reference: -10 print_02_1.csv
Reference: -8 print_03_1.csv
Reference: -6 print_04_1.csv og print_05_1.csv
Reference: -4 print_06_1.csv
Reference: -2 print_07_1.csv
Reference: 0 print_08_1.csv
Reference: 2 print_09_1.csv
Reference: 4 print_10_1.csv
Reference: 6 print_11_1.csv
Reference: 8 print_12_1.csv
Reference: 10 print_13_1.csv
Måling med forstyrrelser print_14_1.csv
Tabel D.2: Filnavne til måledata fra oscilloscopet
Ved iagtagelse af måledataene (se Figur D.3) ses følgende:
A14
• Systemet tager noget tid om at svinge ind. Denne tid er afhængig af referencevinklen.
• Efter noget tid hvor systemet har kunnet holde helikopteren meget stabil begynder der, på
nogle målinger, at komme forstyrrelser som systemet har svært ved at modvirke tilpas hurtigt.

Derfor vælges det at behandle data fra systemet har stabilliseret sig og ti sekunder frem, da testen
ikke har til formål at illustrere systemets sårbarhed overfor støj og lignende.
I Tabel D.3 kan ses resultatet af beregning af gennemsnitlig og maksimal afvigelse for hver af må-
lingerne.
Vinkelreference Max-afvigelse Gennemsnitlig afvigelse Interval [s]
-10 1, 2606 ◦ 0, 6610 ◦ 8,5-18,5
-8 1, 6747 ◦ 0, 6276 ◦ 9,6 - 19,6
-6 1, 9345 ◦ 0, 9030 ◦ 11 - 21
-4 0, 8945 ◦ 0, 3548 ◦ 11 - 21
-2 3, 3866 ◦ 1, 0767 ◦ 12.8 - 22.8
0 0, 5869 ◦ 0, 2104 ◦ 12.8 - 22.8
2 0, 5032 ◦ 0, 1585 ◦ 12.8 - 22.8
4 1, 2810 ◦ 0, 8677 ◦ 17.3 - 27.3
6 2, 3194 ◦ 0, 8156 ◦ 13.7 - 23.7
8 4, 3953 ◦ 1, 1738 ◦ 15 - 25
10 4, 6287 ◦ 0, 9849 ◦ 16 - 26
Tabel D.3: Resultat af accepttestmålinger
Resultatet af anden måling er illustreret på Figur D.4 hvor systemet er blevet forstyrret ved hver af
de lodrette, stiplede, linier.
A15

A16
Vinkel [°]
Vinkel [°]
−5
−10
−15
−20
−25
−30
Systemopstart med vinkelreference = −10°
−35
5 10 15
Tid [s]
20 25
30
20
10
0
−10
−20
−30
(a) reference = −10 ◦
Systemopstart med reference = 0°
−40
5 10 15
Tid [s]
20 25
(b) reference = 0 ◦
Figur D.3: Resultat af vinkelmåling hvor systemets reference er sat til hen-
holdsvis −10 ◦ og 0 ◦ . Graferne viser hvordan systemet ændrer vinkel på he-
likopteren ved opstart.

Vinkel [°]
20
10
0
−10
−20
−30
Forstyrrelse af helikopteren ved reference = 0
−40
10 15 20 25 30
Tid [s]
35 40 45 50 55
Figur D.4: Systemets respons på udefrakommede forstyrrelser i form af me-
get kraftigt tryk på den ene rotorarm
A17

Operatører: Erik Poulsen og Jesper Bønding
Sted: UAV-lab, Fredrik Bajers Vej 7, Aalborg Universitet
Dato: 9/11 2007
APPENDIKS E
Målerapport til verifikation af rotormodel
Måleobjekt: Én motor, gear og rotor siddende på X-Pro helikopter. Hall-sensor på X-pro og magnet
i tandhjulet på rotor-akslen.
E.1 Formål
Der er udarbejdet en model for rotorerne på X-Pro’en og derfra udledt en lineariseret sammenhæng
mellem den givne rotors vinkelfrekvens og løft. Det ønskes at verificere sammenhængen i praksis, og
derfor skal der laves sammenhørende målinger for vinkelfrekvens og løft i et passende måleområde.
E.2 Apparaturliste
A18
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Tektronik TDS 2012B Oscilloskop 64587
Oltronix C 28 - 20 R Strømforsyning 07390 Maks. 30 V / 30 A
Hameg HM-7042-3 Strømforsyning 60772 Til Hall-sensor.
Kern CH 15 K 20 Træk-vægt - Maks. 15 kg, delta 0,02 kg
Tabel E.1: Apparaturliste.

E.3 Måleopstilling
Det ønskes at måle sammenhørende værdier for den opadrettede kraft Fz fra en rotor og vinkelfre-
kvensen Ω, som den roterer med. Til måling af kraften vælges en digital træk-vægt, hvor udlæsningen
i kg kan omregnes til N, idet tyngdeaccelerationen kendes. Hall-sensoren monteret på X-Pro’en be-
nyttes til at måle Tandhjul vinkelfrekvensen for rotoren. Der er monteret en magnet i tandhjulet, der er koblet
Hall-sensor
Motor
på samme aksel som rotoren. Udgangssignalet fra Hall-sensoren er normalt højt, men giver en lav
Osc
puls, når magneten V1 passerer V2
sensoren. Den mekaniske opstilling ses på Figur E.1(a).
F [N]
z
(a) Mekanisk
Omega
[rad/s]
V 1
Figur E.1: Måleopstilling
Tandhjul
Magnet
Motor Hall-sensor
V 2
(b) Elektrisk
Motoren, der driver rotoren, kobles til en strømforsyning, der kan give mindst 10 A ved 12 V. Hall-
sensoren kobles til en 10 V forsyning og signalet føres til et oscilloskop med lagringsfunktion. Den
elektriske opstilling ses på Figur E.1(b).
Oscilloskopet tilpasses, så der logges data for mindst 10 pulser. Derved kan hver vinkelfrekvens
udregnes ved at midle over 10 pulser, så målefejl kan minimeres.
E.4 Målemetode
Ifølge databladet for motoren er den normeret til kontinuerligt at blive forsynet med 12 V DC. Dette
giver et løft på omkring 0,7 kg fra én rotor, så alle fire rotorer ville kunne holde helikopteren i
hover ved denne spænding, da helikopteren vejer omkring 2,5 kg. Det vælges at lave målinger for
vinkelfrekvenser, der giver et løft fra 0 til 0,72 kg med 0,04 kg interval. For hver måling justeres
jævnspændingen på motoren, så det korrekte løft opnåes, og der optages en tilhørende dataserie fra
Hall-sensoren på oscilloskopet.
E.5 Måledata og bearbejdning af data
På Figur E.2 er den lineariserede sammenhæng i Formel 7.56 fra Afsnit 7.3 mellem kraften Fz og
vinkelfrekvensen Ω plottet som en kurve.
Osc
A19

De optagede dataserier fra oscilloskopet overføres til PC og bearbejdes i MatLAB. Starttidspunkt
for første og 10. puls bestemmes, og derfra udregnes en gennemsnitlig vinkelfrekvens. De noterede
værdier fra træk-vægten omregnes til kraft ved at multiplicere med tyngdeaccelerationen 9,82 N
kg . De
målte data er plottet på Figur E.2.
Kraft fra rotor [N]
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Vinkelfrekvens [rad/s]
Figur E.2: Plot af opadrettet kraft fra rotor som funktion af vinkelfrekvensen.
Kurver for andengradsligning og linearisering. Cirklen angiver lineariserings-
punktet i hover.
Det ses på Figur E.2 at lineariseringen stemmer godt overens med målingerne fra 130 rad
s til 155 rad
s ,
mens der ved lavere vinkelfrekvenser ses en tydelig fejl men dog stadig en tilsvarende udvikling.
Det nærmeste målepunkt ligger i 145,8 rad
s , og her afviger den lineariserede kurve 2,2% fra målepunktet.
A20

APPENDIKS F
Bestemmelse af body-parametre
I det følgende bestemmes de fysiske konstanter for bodyparametrene. Det er inertimomentet Jb,
moment armen mcarm og friktionskonstanten Bk.
F.1 Bestemmelse af inertimoment
Inertimomentet af helikopteren omkring omdrejningspunktet i kardanleddet ønskes bestemt. Af For-
mel F.1 kan inertimomentet af et vilkårligt legeme findes:
I = ρr 2 dV (F.1)
[Serway and John W. Jewett, 2004, s.300].
Hvor ρ er massedensiteten, r er den vinkelrette afstand til rotationsaksen og dV er volumeændringen.
Da helikopteren er en meget kompleks geometrisk form splittes den op i simple geometriske former
som cylindere og stænger. Dette gøres for at simplificere udregningen af inertimomentet. For yderli-
gere at simplificere udregningen antages det, at alle dele har en homogen massefordeling, hvorved ρ
i Formel F.1 bliver en konstant og kan flyttes udenfor integralet. Da inertimomentet nu kun afhænger
af de enkelte legemers geometri kan det findes ud fra standard formler. Standardformlerne beskriver
dog typisk kun inertimomentet igennem massecentrum af legemet, og det er derfor nødvendigt at
flytte rotationsaksen. Dette gøres ved at benytte parallel-akse-sætningen, der siger: Hvis inertimo-
menter omkring en akse, der går igennem massecentrum af et objekt er Imc og den totale masse af
objektet er M, er inertimomentet omkring en akse, der er parallel med den første og befinder sig i en
A21

afstand på D fra denne givet ved Formel F.2:
I = Imc + M · D 2
(F.2)
[Serway and John W. Jewett, 2004, s.304]
Da det er krævende at bestemme inertimomentet af helikopteren præcist, er der under bestemmel-
se af dette blevet fokuseret på de dele af helikopteren, der befinder sig længst fra centrum. Som
det ses af Formel F.1, har disse dele størst betydning for det samlede inertimomentet. Inertimo-
mentet er fundet til Ix = 0, 17 kg m 2 se evt. udregninger inertia.m på bilags-CD’en under
/matlab/BodyModel.
F.2 Målerapport til bestemmelse af massemidtpunkt
Operatører: Brian M. Christensen
Sted: UAV-lab, Fredrik Bajers Vej 7, Aalborg Universitet
Dato: 10/12 2007
Måleobjekt: X-Pro helikopter monteret på kardanled.
F.2.1 Formål
At bestemme placeringen af helikopterens massemidtpunkt, under antagelse af at dets placering
ligger et sted på helikopterens vertikale symmetriakse. Dette gøres ved, at måle momentet tyngde-
kraften giver anledning til, når helikopteren hælder 45 ◦ .
F.2.2 Apparaturliste
F.2.3 Måleopstilling
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Kern CH 15 K 20 Træk-vægt - Maks. 15 kg, ∆min 0,02 kg
Tabel F.1: Apparaturliste.
Et vaterpas, der kan måle 45 ◦ , monteres med tape ovenpå helikopterens flade plast-top, og trækvæg-
ten sættes fast lige under rotornavet. Opstillingen er vist på Figur F.1.
F.2.4 Målemetode
Helikopteren vippes til den ene side, mens der holdes igen i trækvægten. Helikopteren vippes indtil
vaterpasset viser 45 ◦ herefter aflæses vægtens værdi som kg45 samtidig med at helikopteren holdes
A22

Vertikal symmertriakse
Vaterpas
l 1
mc arm
45 o
Trækvægt
Omdrejningspunkt
Figur F.1: Måleopstilling til verifikation af bodymodellen.
i 45 ◦ . Trækvægten skal holdes parallelt med helikopterens vertikale symmetriakse, da denne ellers
ikke vil måle rigtigt. Herefter afmonteres helikopteren fra kardanleddet, og helikopterens totale vægt
mtotal måles. Slutteligt måles afstanden l1, der er afstanden fra symmetriaksen til rotornavet.
F.2.5 Måledata
De målte data er vist i Tabel F.2.
F.2.6 Beregning
Parametre Værdi Enhed
m45 0,48 kg
l1 0,455 m
mtotal 2,546 kg
Tabel F.2: Måledata
Placeringen af helikopterens massemidtpunkt ønskes bestemt ud fra de målte data. Dette sker under
antagelse af at massemidtpunktet befinder sig et sted på den vertikale symmetriakse. Den målte vægt
kg45 kan omregnes til en kraft vha. tyngdeaccelerationen (g), og herefter opstilles momentligevægten
for punktet Mo på Figur F.2:
F45 · l1 = Fg45 · mcarm ⇔ m45 · g · l1 = mtotal · g · cos(45 ◦ ) · mcarm (F.3)
A23

Ved at isolere for mcarm og indsætte de målte data i Formel F.3 bestemmes mcarm til:
mcarm = m45 · g · l1
Fg · cos(45◦ 0, 48 · 9, 82 · 0, 455
=
) 2, 546 · g · cos(45◦ = 0, 121 m (F.4)
)
F g45
l 1
mc
arm
45 o
M o
Figur F.2: Måleopstilling til verifikation af bodymodellen.
Massemidtpunktet er således forskudt 0,121 m op af den vertikale symetriakse, i forhold til omdrej-
ningspunktet.
F.3 Målerapport for friktion i kardanled
Operatør: Brian M. Christensen
Sted: UAV-lab, Fredrik Bajers Vej 7, Aalborg Universitet
Dato: 5/11 2007
Måleobjekt: Der måles på kardanleddets x-retning med potentiometer som vinkelsensor.
F.3.1 Formål
Formålet med forsøget er, at bestemme friktionen i kardanleddet.
A24
F g
F 45

F.3.2 Apparaturliste
F.3.3 Måleopstilling
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Tektronix TDS 2012 B Ocsilloskop 64587
Oltronix C 28 - 20 R Strømforsyning 07390
Tabel F.3: Apparaturliste.
Figur F.3 viser forsøgsopstillingen. Den øvre del af kardanleddet er spændt fast, så den ikke kan
bevæges. På kardanleddets roterende del er monteret en jernstang med længden ls og massen ms.
Jernstangens vinklen θk i forhold til lodret måles af potentiometret, der er monteret på den drejelige
akse i kardanleddet således, at det drejes præcist den samme vinkel som jernstangen. Strømforsy-
ningen tilsluttes potentiometrets to yderste tilslutninger og indstilles til 10 V. Oscilloskopet tilsluttes
med en probe mellem strømforsyningens 0 V og det midterste ben på potentiometret, således der
måles en spænding på 0 - 10 V på oscilloskopet, når potentiometret drejes en hel omgang.
Oscilloskop
Strøm−
forsyning
l s
θ κ
Jernstang
potentiometer
Figur F.3: Jernstangens hældning måles i forhold til θk = 0, og kan aflæses
på oscilloskopet som en spænding på mellem 0 - 10 V, hvor 5V svare til 0 ◦
F.3.4 Målemetode
Først bestemmes længden ls og vægten ms af den benyttede jernstang. Herefter benyttes den oven-
stående forsøgsopstilling. Oscilloskopet indstilles til 0.5 V og 2.0 s pr. division, og DC-niveauet
indstilles således at det målte spændingsniveau vil svinge omkring tids-aksen.
Jernstangen løftes ud i en vinkel på 45 grader, spændingen på oscilloskopet noteres som V45. Her-
efter løftes jernstangen ud i en vinkel på højest 28 grader og slippes. Kurveformen, der er målt på
oscilloskopet, gemmes og overføres til en computer til senere behandling.
A25

F.3.5 Forsøgsresultater
De opsamlede data er vist på Figur F.4 og i Tabel F.4.
F.3.6 Teori
Vinkel [rad]
0.5
0
−0.5
0 2 4 6 8
Tid [s]
10 12 14 16
Figur F.4: Viser vinklen som funktion af tiden.
Værdi Enhed
V45 1,32 V
ls 0,695 m
ms 0,736 kg
Tabel F.4: Måledata
Det vælges at betragte måleopstillingen som et pendulsystem, hvor pendulet udgøres af jernstangen
med massen ms, inertimomentet Js og længden ls. Lejet udgøres af kardanleddet, som har en ukendt
viskos friktion Bk. Ifølge [Close et al., 2002] kan sådan et system beskrives ved følgende formel:
¨θk + Bk
Js
Vinkel
· ˙ θk + ls · ms · g
sin(θk) =
Js · 2
1
· τa(t) (F.5)
Js
[Close et al., 2002, s.262]
Hvor τa(t) er input til systemet og g er tyngdeaccelerationen. Formel F.5 er ulineær pga. leddet
sin(θk). Dette led lineariseres ved at antage at sin(θk) ≈ θk, hvilket antages for at være en rime-
lig approksimation i området |θk| < 0.5. Hvorved Formel F.5 omdannes til et lineært homogent
andenordenssystem. Standardformen for et system af 2. orden ses i Formel F.6.
0 = s 2 + 2 · ζ · ωn · s + ω 2 n (F.6)
yzi(t) = Ks · e −ζωnt
cos(ωn 1 − ζ2 · t) (F.7)
Hvor ζ er dæmpningsfaktoren og ωn er den udæmpede egenfrekvens. Ifølge Close vil zero input
responset yzi(t) have formen vist i Formel F.7 [Close et al., 2002, s.262]. Det ses af Formel F.7 at
A26

esponsen vil være en cosinus svingning med en amplitude på Ks til t = 0, som aftager ekspotentielt
med faktoren −ζ · ωn.
Kurveformen, der kan forventes af forsøget, kendes nu. For at finde et udtryk for Bk i Formel F.5
Laplace-transformeres denne og ζ og ωn isoleres:
ωn =
s 2 + Bk
Js
ls · ms · g
2 · Js
ζ =
· s + ls · ms · g
2 · Js
Bk
2 · Js · ωn
= 0 (F.8)
⇔ Bk = 2 · Js · ωn · ζ (F.9)
Det ses af de ovenstående ligninger at ωn kun afhænger af tyngdeaccelerationen, massen af stangen
ms og inertimomentet Js. Inertimomentet af jernstangen kan findes ud fra Formel F.10 [Serway s.
304] der giver inertimonentet af en stang med en homogen fordelt masse, og omdrejningspunkt i den
ene ende.
Js = 1
3 · ms · l 2 s
For at finde Bk mangles altså kun ζ, der findes ud fra forsøgsresultater (se databehandling F.3.7).
F.3.7 Databehandling
(F.10)
I det følgende ønskes Bk bestemt ud fra forsøgsresultaterne. Dette gøres ved at bestemme værdi-
erne for Js og ωn. Herefter beregnes de værdier for Ks og ζ i ligning F.7, der giver den bedste
approksimation til den målte kurve ved mindste kvadraters metoden.
Js = 1
3 · ms · l 2 s = 1
3 · 0, 736 · 0, 6952 = 0, 119 [kg · m 2 ] (F.11)
ls · ms · g 0, 695 · 0, 736 · 9, 82
ωn =
=
= 4, 604 [Hz] (F.12)
2 · Js
2 · 0, 119
For at simplificere udregningerne vælges det kun, at se på toppunkterne for kurven, hvilket er de
steder, hvor cos(ωn 1 − ζ2 ·t) = 1, hvorved der kan ses bort fra dette led i Formel F.7. Dette giver:
yzi(t) = Ks · e −ζωnt
(F.13)
Ved at tage den naturlige logaritme på begge sider af lighedstegnet kan Formel F.13 omskrives til et
polynomie af første orden, hvor faktoren −ζ · ωn er hældningen og ln(Ks) er offsettet (se Formel
F.14).
ln(yzi(t)) = ln(Ks) − ζωnt (F.14)
y(t) = β + α · t (F.15)
A27

Herefter benyttes MatLAB’s indbyggede funktion polyfit til at bestemme den bedste første or-
dens approksimation til toppunkterne i den målte kurve. Dette giver følgende værdier for Ks og
−ζωn.
ln(Ks) = −0, 171 ⇒ Ks = e −0,171 = 0.843 (F.16)
−ζ · ωn = 0, 200 ⇒
0, 200
ζ = = 0, 043
4, 604
(F.17)
Bk = 2 · Js · ωn · ζ = 2 · 0, 119 · 4, 604 · 0, 043 = 0, 047 (F.18)
Figur F.5 viser de målte data sammen med den fundne kurve approksimation.
Vinkel [rad]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
Vinkel
Toppunkter
Approximation
0 2 4 6 8
Tid [s]
10 12 14 16
Figur F.5: De målte data med indtegnede toppunkter og approksimations-
kurve.
F.3.8 Fejlkilder
Det ses af Figur F.5 at den målte og tilnærmede kurve afviger fra hinanden, hvilket kan skyldes flere
forhold. For det første, er der set bort fra luftmodstanden. Da luftmodstanden er hastighedsafhængig
bremser den pendulet mest i starten, hvor vandringen er størst. Hvilket kan være forklaringen på at
kurven er "trykket" flad i starten i forhold til det forventede.
Det blev antaget at friktionen i kardanleddet var viskos. Den nærmest lineære kurveform på Figur
F.5 modsiger denne antagelse, da den forventede kurveform som beskrevet var en eksponentielt
aftagende kurve, hvorved det kan betvivles om friktionen i kardanleddet er linenært proportional
med omdrejningshastigheden.
A28

Operatører: Brian M. Christensen
Sted: UAV-lab, Fredrik Bajers Vej 7, Aalborg Universitet
Dato: 10/12 2007
APPENDIKS G
Målerapport til verifikation af bodymodel
Måleobjekt: X-Pro helikopter monteret på kardanled med vinkelsensor.
G.1 Formål
Formålet med denne måling er, at verificere den opstillede bodymodel. Da rotormodellen verificeres
i en selvstændig måling, vil der i denne måling blive set bort fra rotorkræfterne. Det er således kun
de parametre der indgår i bodymodellen, og dennes rigtighed, der verificeres i denne måling. Verifi-
kationen består i at sammenligne vinkeludviklingen for et simuleret og målt fald af helikopteren.
G.2 Apparaturliste
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Tektronik TDS 2012B Oscilloskop 64587
Hameg HM-7042-3 Strømforsyning 60772
Tabel G.1: Apparaturliste.
A29

G.3 Måleopstilling
Til at måle vinklen benyttes potentiometeret, der er monteret på kardanleddet. Det forsynes med
spænding på 5 V fra en strømforsyning. Oscilloskopet tilsluttes, så det måler spændingsforskellen
mellem jord på strømforsyningen og det midterste ben på potentiometret. Måleopstillingen er vist på
Figur G.1.
G.4 Målemetode
Strøm−
forsyning
potentiometer
Oscilloskop
Figur G.1: Måleopstilling til verifikation af bodymodellen.
Oscilloskopet indstilles til 200 mV og 0.5 sek. per division. Herefter løftes helikopteren op i en
vinkel på 2 ◦ forskellig fra vandret og slippes til tiden 0, hvilket medfører at helikopteren accelererer
og vælter til siden. Oscilloskopet logger spændingskurven som et udtryk for vinklen. Den målte
kurve gemmes og overføres til en PC, hvor den sammenlignes med den simulerede kurve.
G.5 Måledata
På Figur G.2 ses den målte kurve for forsøget, hvor spændingen er omregnet til radianer som beskre-
vet i kapitel 14 om vinkelsensoren.
A30
Vinkel [rad]
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
Maalt
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Tid [s]
0.6 0.7 0.8 0.9
Figur G.2: Måledata for verifikation af bodymodellen.

Operatør: Alex
APPENDIKS H
Målerapport for verifikation af samlet motor, gear og
Adresse: Frederiks Bajer Vej 7C, 9220 Aalborg Ø
Lokale: UAV-lab
Dato: 16.11.07
rotor-model
Måleobjekt: RS-545SH-5018 PM Motor koblet sammen med rotoren på DraganFly X-Pro via et
1:10 tandremsgear
H.1 Formål
Den samlede motor, gear og rotor-model virker udelukkende på et teoretisk grundlag. Det er således
nødvendigt at verificere i hvilken grad modellen passer overens med virkeligheden. Dette gøres ved
at sammenholde modellens respons til et givet signal med motorens respons. Ligner disse hinanden
antyder det at modellen er korrekt. Endvidere er modellen baseret på motorparametre fundet udfra
målinger foretaget af tidligere projektgrupper. Eftersom disse er forbundet med en vis usikkerhed er
formålet endvidere at kunne vurdere hvorvidt disse passer med motoren.
A31

H.2 Apparaturliste
H.3 Måleopstilling
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Tektronix TDS 2012 B Ocsilloskop 64587
Oltronix C 28 - 20 R Strømforsyning 07390
LEM HEME PR 30 DC-Strømprobe 55710 Er lånt af I14
Tabel H.1: Apparaturliste
Figur H.1 viser måleopstillingen for verifikationen. Motoren kobles til en strømforsyningen og spæn-
dingen logges vha. et oscilloskop. Strømmen logges vha. en DC-strømprobe koblet til ocsilloskopet.
Den opsamlede data lagres på et flytbart medie til videre analyse.
Strømforsyning
12 V
Osciloskop
Strømprobe
Datalager
Motor
SET FRA OVEN
Rem
Rotor m. Gear
Figur H.1: Forsøgopstillingen til verifikation af den samlet motor,gear og ro-
tor model
H.4 Målemetode
For at verificere modellen vælges det at påtrykke et enhedsstep på motoren og sammenligne respon-
set med resultatet fra SIMULINK modellen. I stedet for at måle hastigheden på rotoren, vælges det
at måle armaturstrømmmen, vha. en strømprobe. Hvilket kan gøres mere præcist. Dette kan gøres
eftersom der er et lineært sammenhæng mellem omdrejningshastigheden og strømmen.
Enhedssteppet er valgt til at gå fra 0 til 3,5 V. Dette skyldes at strømforsyningen er begrænset til
strømme større end 10A. Et 3,5 V step sikrer at strømmen ikke stiger herover. Desuden mindskes
beslastningen på ledet hvor rotorerne fæstner til gearet betydentligt, hvilket har vist sig at være et
problem ved større enhedsstep.
A32

Fremgangsmåden for forsøget er som følger:
1. Måleopstillingen opstilles som illustreret.
2. Oscilloskopet indstilles til at trigge på den stigende spændingsflanke.
3. Motoren påtrykkes et 3,5 V enhedsskridt gående fra 0 til 3,5 V ved at tænde for strømforsy-
ningen.
4. Data fra oscilloskopet gemmes til senere analyse.
H.5 Måledata og bearbejdning af data
Måledata kan findes i bilag under /matlab/MotorModel/MotorGearRotorVerifikation/
og er plottet vha. verifikation.m
Current [A]
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 0.2 0.4 0.6
Time [s]
0.8 1
Figur H.2: Resultat af måling
Measured
Simulated
Som det fremgår af Figur H.2 passer hændelsesforløbet i to grafer godt sammen; først stiger strøm-
men, med en stejl flanke, for derefter at falde ned på en fast DC-værdi. Modellen beskriver således
den dynamiske udvikling af strømmen fint. Men som det også fremgår tydeligt af Figur H.2 så er
den simulerede peakstrøm cirka en faktor 2 større end den målte. Endvidere er indsvingningstiden
for modellen også meget hurtigere og DC-værdien er højere end den målte. Benyttes parametre-
ne fra den forrige projektgruppes rapport passer resultatet af modellen således dårligt overens med
responset fra motoren.
A33

Operatør: Alex B og Brian M
Adresse: Fredriks Bajers Vej 7C
Lokale: AUV lab
Dato: 19.11.07
Måleobjekt: Frontmotor på DraganFly X-Pro
I.1 Formål
APPENDIKS I
Målerapport for måling af armaturmodestand
Verificeringen af Simulink motormodellen viste en peak-strøm omkring 2 gange højere end forven-
tet. Ses der på den elektriske motormodel fremgår det at peakstrømmen hovedsageligt afhænger af
armaturmodstanden. Armaturmodstanden brugt i modellen er taget fra en tidligere projektgruppes
arbejde og da målingen heraf kun er sparsomt beskrevet, er det ikke til at vurdere om overshootet
skyldes deres måling. Det ses således nødvendigt at gentage målingen af armaturmodstanden.
I.2 Apparaturliste
A34
Producent Model Apparattype AAU nr. Kommentar
Oltronix C 28 - 20 R Strømforsyning 07390
Fluke 189 True RMS Multimeter 60763 Strøm-mode
Fluke 189 True RMS Multimeter 60768 Spænding-mode
Tabel I.1: Apparaturliste.

I.3 Måleopstilling
Strømforsyningen tilkobles motoren og strømmen og spændingen måles vha. multimetrene. For at
eliminere back-emf fra motoren fikseres motoraksen således der kan ses bort fra denne.
Figur I.1: Forsøgopstillingen til verifikation af armaturmodstanden i motoren
I.4 Målemetode
Motoren fikseres (ω = 0) for at undgå back-emf. Herefter steppes spændingen i skridt af 0,5 V
og strømmen noteres. Plottet strømmen i forhold til spændingen vil hældningen mellem punkterne i
følge Ohm’s lov være et udtryk for armaturmodstanden.
I.5 Teori
Figur I.2 viser kredsløbsækvivalentet for måleopstillingen. Fluke-modstanden R FLUKE er ifølge data-
bladet for multimetret 40 mΩ. Da armaturmodstanden Ra tidligere er blevet fundet til omkring 208
mΩ, vil der ske en spændingdelingen mellem de to modstande. Armaturspændingen kan dermed
ikke antages at være lig forsyningsspændingen Vs.
A35

Vs
+ −
Fluke 189
V_fluke
V
R_fluke
Figur I.2: Kredsløbsdiagram for opstillingen, med ækvivalentdiagrammet for
Fluke multimeteret.
Armaturspændingen kan findes ved at trække spændingsfaldet over Fluke-modstanden fra forsy-
ningsspændingen, hvilket kan udtrykkes som følger:
Va = Vs − V FLUKE = Vs − R FLUKE I FLUKE
For at tage højde for modstanden i multimetret skal ovenstående formel derfor benyttes, når arma-
turspændingen skal udregnes. Armaturmodstanden kan nu findes vha. Ohm’s lov:
A36
Ra = Va
I FLUKE
Ra
+
−
Va
(I.1)
(I.2)

I.5.1 Måledata
Måledataen for forsøget er givet i Tabel I.2.
Forsyningsspænding [V] Strøm [A] Armaturspænding [V]
0,50 0,589 0,48
1,02 2,06 0,9376
1,52 2,6 1,4160
2,05 4,17 1,8932
2,53 4,68 2,3428
3,01 6,00 2,7700
3,6 7,71 3,2916
4,13 8,63 3,7848
Tabel I.2: Forsøgsdata inkl. armaturspændingen beregnet med Formel I.1
Figur I.3 viser strømmen som funktion af spændingen. Den stiblede linje angiver 1.ordens approksi-
mationen til målepunkterne. Hældningen heraf, og dermed armaturmodstanden, er som det fremgår
410 mΩ
Offset’et skyldes de to spændingfald i kullene i motoren.
Armature voltage [V]
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
V a (I a ) = 0.4097 I a + 0.2485
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Armature current [A]
Figur I.3: Viser måleresultaterne og en 1.ordens approksimation fundet i
MATLAB.
De samlede beregninger kan findes som bilag på cd’en under /matlab/MotorModel/
ArmatureResistans.m
A37

APPENDIKS J
AvrX
I det følgende vil brugen af AvrX kernen blive beskrevet. Kernen er skrevet af Larry Barrello der
også har den liggende frit tilgængeligt på hans hjemmeside [Barello, 2007]. Kernen er skrevet i as-
sembler og der er lavet et interface til programmeringssproget C ved hjælp af en header-fil. Det er en
realtidskerne der er preemptiv, hvilket vil sige at den skifter opgave med et fast interval, uden hen-
syntagen til den kørende opgaves status. Kernen kører desuden med 16 faste prioriteter, hvormed det
er muligt at sikre at nogle opgaver får processortid hurtigere end andre. Hvis kernen har flere opgaver
med samme prioritet køres der round-robin imellem disse, således at disse skiftes om processortiden
til rådighed.
AvrX indeholder funktioner til synkronisering og blokering af tråde. Dette er implementeret ved
hjælp af semaforer og beskedkøer. Således kan en opgave sætte en semafor til at beskytte en variabel
mens opgaven arbejder på denne, hvorved alle andre opgaver der forsøger at tilgå denne variabel
bliver blokeret i dette, såfremt de er programmeret til også at benytte denne semafor. Beskedkøer er
køer hvor tråde kan placere beskeder, hvorefter andre tråde kan hente dem. Hvis en tråd forsøger at
hente en besked, uden at der er nogen til rådighed, vil tråden blive fjernet fra aktiv-køen, og først
blive placeret der igen når der er en opgave der placerer en besked i besked-køen.
AvrX kan benytte sig af en timer i avr-kredsene til at skabe interrupts med et fast interval eller
implementeres ved hjælp af eksterne interrupts. Ved hvert trådskift skal alle registre og lignende
(kaldes trådens kontekst) gemmes på trådens stak, således at de senere kan genetableres og tråden
kan køre videre. Derefter skal bestemmes hvilken tråd der skal køre og denne tråds kontekst skal
hentes fra den tilhørende stak, hvorefter tråden kan begynde at køre. Da processoren har 32 registre
og yderligere registre også skal gemmes fylder kontekster til sådanne tråde minimum 35 bytes, og
der skal derfor gøres plads til dette i hukommelsen.
A38

J.1 Opsætning af kernen
AvrX kan hentes på programmørernes hjemmeside som en samling kildekode. Denne samling kil-
dekode er modulært opbygget, således at funktioner i kernen der ikke bliver benyttet i systemet ikke
bliver kompileret med, og derfor ikke optager plads på processoren.
For at benytte AvrX skal header-filen til kernen (avrx.h) først og fremmest inkluderes i den kode der
ønskes kørt på processoren.
Dernæst skal kernestakken placeres et sted i hukommelsen, således at kernen, har noget hukommelse
til sin disposition. Det er desuden også denne stak der benyttes ved interrupts hvor funktionerne
IntProlog() og Epilog() benyttes. Opsætning af kernestakken gøres ved hjælp af følgende
kommando:
1 AvrXSetKernelStack ( char ∗ newstack ) ;
Hvis funktionen kaldes med 0 istedet for en pointer til et sted i adresserummet vil kernen blot benytte
samme stak som benyttes når funktionen bliver kaldt (dette vil oftest være i main()).
Det skal desuden vælges hvordan scheduleren i kernen skal implementeres. Som sagt kan kernen
sættes op til at benytte en intern timer i processoren, eller sættes op til at benytte et eksternt interrupt.
Her antages at det vælges at koble kernen op imod timer0, således at denne skal sættes op til at give
interrupts med et givent interval, og der skal defineres en interrupt-service-rutine til denne. Ønskes
det i stedet at koble kernen op imod en anden timer kan dette gøres ved at sætte denne timer op på
samme måde, og bare definere samme indhold i dennes interrupt-service-rutine. Ønskes det i stedet
at benytte eksterne interrupts til at styre scheduleren kan dette gøres ved at placere kernens indhold
i det eksterne interrupts service-rutine.
En interrupt-funktion skal defineres, således at den bliver kørt hver gang timer0 giver et overflow-
interrupt. I denne interrupt-funktion skal timer0-counteren sættes tilbage til den oprindelige værdi,
således at næste interrupt kommer med samme interval. En sådan interrupt-funktion kan defineres
således:
1 AVRX_SIGINT (SIG_OVERFLOW0) / / I n t e r r u p t −s e r v i c e −r u t i n e t i l t i m e r 0
2 {
3 I n t P r o l o g ( ) ; / / Afbryd den kørende t r å d
4 TCNT0 = TCNT0_INIT ; / / g e n i n i t i a l i s e r t i m e r 0 t æ l l e r e n
5 AvrXTimerHandler ( ) ; / / Kør t i m e r −h a n d l e r e n , s å l e d e s a t
t i m e r −k ø e r n e b l i v e r t a l t ned
6 E p i l o g ( ) ; / / Bestem h v i l k e n t r å d d e r nu s k a l køre ud f r a
7 }
p r i o r i t e t og round−r o b i n
Første linie i ovenstående kode benytter en AvrX-makro til at definere en funktion og fortælle pro-
cessoren at det er denne funktion der skal køres ved timer0-overflow interrupts. Dernæst defineres
indholdet af interrupt-funktionen, hvor konteksten til kørende tråd har gang i gemmes på dennes stak
(sker i IntProlog). Herefter geninitialiseres timer0-tælleren således at næste interrupt kommer
efter det rigtige stykke tid. Til sidst kaldes funktionen Epilog der vurderer hvilken tråd der skal
køre herefter, og henter dennes kontekst frem fra den tilhørende stak, hvorefter denne tråd for lov at
A39

eksekvere kode.
Til sidst skal timer0 sættes op til at skabe interrupts med et fast interval. Dette gøres ved hjælp af
følgende linier kode der skal placeres i main-rutinen således at de bliver kørt når processoren starter:
1 MCUCR = _BV( SE ) ; / / m u l i g g ø r p r o c e s s o r e n s sleepmode
2 TCNT0 = TCNT0_INIT ; / / I n i t i a l i s e r t i m e r 0 t æ l l e r e n
3 TCCR0 = TMC8_CK256 ; / / Sæt t i m e r 0 t i l a t b l i v e t a l t op hver 2 5 6 .
p r o c e s s o r c l o c k
4 TIMSK = _BV( TOIE0 ) ; / / T i l l a d i n t e r r u p t s f r a t i m e r 0
Første linje i denne kode sætter bit SE i control registret på processoren hvilket gør at processoren
bliver i stand til at gå i standby, hvis den bliver bedt om det (kernen benytter dette hvis der ikke er
flere tråde tilbage i aktiv-køen). Anden linje har den funktion at den initialiserer timer0-tælleren til
værdien TCNT0_INIT. Denne værdi kan beregnes således såfremt divideren på timer0 er sat til 256
som med ovenstående kode:
Hvor
TCNT0_INIT = 255 −
TCNT0_INIT er konstanten der skal lægges ind i TCNT0
CPUCLK
256 · TICKRATE
for at opnå den rigtige opgaveskiftfrekvens [-]
CPUCLK er clockfrekvensen på processoren [Hz]
TICKRATE er frekvensen hvormed der skal ske opgaveskift [Hz]
Dog skal det nævnes til formel J.1 kun kan benyttes såfremt resultatet bliver positivt, da en negativ
værdi i tælleren ikke har den ønskede funktion. Desuden skal TCNT0_INIT defineres som en makro
således at den både kan benyttes i rutinen til timer0-overflow interrupts og i main-rutinen, uden at
beregningen skal udføres på processoren.
Tredje linje sætter to bits i kontrol registret til timer0 på processoren. Disse bits sørger for en divider
på 256 på clockfrekvensen på processoren, således at timer-counteren kun bliver talt op en gang per
256 clockpulser. Fjerde linje tillader overflow-interrupts fra timer0 mens andre typer interrupts fra
timer0 bliver blokeret.
Når dette er gjort er størstedelen af kernen sat op, og tilbage er derfor kun at starte de rigtige tråde.
Dette gøres ved hjælp af følgende funktionskald:
1 AvrXRunTask (TCB( t a s k _ n a v n ) ) ;
Hvor TCB() er en prekompiler macro der finder den rigtige TaskControlBlock (datastruktur der
indeholder information om en tråd). AvrXRunTask() placerer blot information om tråden i aktiv-
køen, således at den kommer i betragtning når der skiftes tråd.
Til sidst er blot tilbage at køre funktionen Epilog() der sørger for at starte kernen op og starte
med at udføre kode til første tråd.
A40
(J.1)

J.1.1 Opsætning af tråde
En tråd oprettes ved at gøre brug af prekompilermakroen AVRX_GCC_TASKDEF(tråd_navn,
stak_str, prioritet). Denne makro skal benyttes i stedet for et funktionshovede til tråden.
Stak_str. i dette makrokald skal ikke inkludere de 35 bytes til at gemme konteksten på stakken
ved tråd-skift, da dette bliver lagt oveni i makroen.
Andre metoder til oprettelse af tråde er også tilgængelige, men da de er meget specifikke i deres brug
vil de ikke blive beskrevet yderligere her. Det skal dog gøres at en tråd ikke er startet før funktionen
AvrXRunTask(TCB(tråd_navn)) er kørt.
J.2 Benyttelse af kernen
I det følgende vil yderligere funktioner i kernen blive beskrevet. Disse funktioner er ikke nødvendige
for at kernen fungerer, og for at flere opgaver bliver udført sideløbende, men er i stedet tilgængelige
for at sikre en smertefri tilgang til fælles variable og lignende. Desuden kan de benyttes til at syn-
kronisere to tråde med hinanden, således at en tråd vil vente på at en anden er nået et bestemt punkt
i sin kodeeksekvering
J.2.1 Semaforer
Semaforer er objekter der kun kan ejes af en tråd af gangen. Hvis andre tråde forsøger at opnå
ejerskab af en semafor mens den er ejet af en anden tråd vil den blive placeret i en kø tilknyttet
semaforen og først komme tilbage i aktiv-køen når semaforen igen er fri, og den derfor kan opnå
ejerskab. Op til flere tråde kan på denne måde blive sat i kø til at opnå ejerskab af en enkelt semafor.
En semafor har datatypen Mutex og skal oprettes i et scope hvor alle trådene kan tilgå denne (dvs.
som global variabel).
Funktionskaldende der kan benyttes til semaforer er som følger:
void AvrXWaitSemaphore(pMutex) forsøger at opnå ejerskab af semaforen adressen pMu-
tex henviser til. Hvis ikke dette er muligt (en anden tråd ejer den i forvejen) vil tråden der
kalder funktionen blive fjernet fra aktiv-køen og indsat i semafor-køen. Først når det er muligt
at opnå ejerskab af semaforen vil tråden blive genindsat i aktiv-køen og vil derved komme i
betragtning næste gang der skiftes tråd.
void AvrXSetSemaphore(pMutex) skal benyttes til at frigive en semafor, dvs. give ejerska-
bet af semaforen til den næste i køen. En semafor kan godt frigives af andre tråde end den der
har ejerskabet, og således kan de også benyttes til at blokere en tråd indtil en anden har nået et
vist punkt i sin eksekvering.
Mutex AvrXTestSemaphore(pMutex) Denne funktion kan benyttes til at teste status på
en semafor. Funktionen sender en Mutex tilbage til kalderen. Hvis denne Mutex er lig
SEM_WAIT er der tråde der står i kø ved semaforen.
A41

void AvrXResetSemaphore(pMutex fjerner alle tråde fra semafor-køen og fjerner alle ejer-
skaber, således at semaforen opnår samme tilstand som da den lige var oprettet.
J.2.2 Timer-køer
Den sidste nævneværdige kø-type der er implementeret i AvrX er timer-køer der giver mulighed for
at sætte opgaver i kø i et vist antal trådskift. En timer-kø oprettes ved først at oprette en datastruktur
af datatypen TimerControlBlock og dernæst lade denne tælle ned fra en given værdi, hvilket
gøres således:
1 AvrXStartTimer (& t i m e r −kø , n _ t r å d _ s k i f t )
Denne vil dernæst tælle ned hver gang interrupt-rutinen bliver kørt, og tråde kan vente på at timeren
bliver talt ned til nul, ved at benytte denne som en semafor med følgende funktionskald:
1 AvrXWaitTimer(& t i m e r −kø ) ;
Dette funktionskald fungerer fuldstændig som en semafor, således at trådene der benytter funktions-
kaldet bliver placeret i timer-køen og bliver først ført tilbage til aktiv-køen når timeren har talt ned
til 0.
Hvis det kun ønskes at parkere en enkelt tråd i en timer-kø kan dette gøres ved hjælp af funktions-
kaldet:
1 AvrXDelay(& t i m e r −kø , n _ t r å d _ s k i f t ) ;
Det skal dog nævnes at timer-køer kun kan benyttes til en nedtælling af gangen, hvorfor det er
nødvendigt at lave flere datastrukturer af typen TimerControlBlock hvis der ønskes forskelligt
delay på forskellige tråde.
A42

K.1 Main.c
1 a / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗ /
2 / ∗ ∗ ∗ ∗ /
3 / ∗ ∗ Main . c− f i l t i l gruppe 505 ’ s p r o j e k t 2007 ∗ ∗ /
4 / ∗ ∗ Ved Aalborg U n i v e r s i t e t ∗ ∗ /
5 / ∗ ∗ ∗ ∗ /
6 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
7
10
11
12
8 # i n c l u d e " Main . h "
9 # i n c l u d e " i n c l u d e . h "
13 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
14 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ D e f i n a t i o n a f Timer0 i n t e r r u p t −r u t i n e n ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
15 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
16
17 AVRX_SIGINT (SIG_OVERFLOW0)
18 {
19 I n t P r o l o g ( ) ; / / S k i f t t i l kerne−s t a k k e n
20 TCNT0 = TCNT0_INIT ; / / G e n i n i t i a l i s a t i o n a f timer0−
t æ l l e r e n ( lægges t i l r e g i s t r e t f o r a t t a g e t i l h ø j d e
f o r t i d e n b r u g t på I n t P r o l o g ( )
21 AvrXTimerHandler ( ) ; / / S t a r t t i m e r −kø k o n t r o l l e r e n
22 E p i l o g ( ) ; / / Undersøg h v i l k e n t r å d d e r nu
s k a l køre , og s t a r t denne
APPENDIKS K
Kode til processor
A43

23 }
24
25
26 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
27 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ D e f i n a t i o n a f Main ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
28 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
29
30 i n t main ( void )
31 {
32 AvrXSetKernelStack ( 0 ) ;
33 MCUCR = 1

14 # i n c l u d e < a v r / i n t e r r u p t . h>
15 # i n c l u d e " avrx . h "
16 # i n c l u d e " s e r i a l i o . h "
17 # i n c l u d e " Hardware . h "
18 # i n c l u d e < s t d i n t . h>
19 # i n c l u d e < c t y p e . h>
20 # i n c l u d e < s t d i o . h>
21 # i n c l u d e
22 # i n c l u d e " A v r X S e r i a l I o . h "
23
24 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
25 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Opsætning a f CPU−s p e c i f i k k e k o n s t a n t e r ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
26 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
27
28 # d e f i n e CPUCLK 16000000L / / CPU ’ en k ø r e r 16 MHz
29 # d e f i n e TICKRATE 2000 / / Der s k a l ske t r å d s k i f t med 2 kHz
30
31 # d e f i n e TCNT0_INIT (0 xFF−CPUCLK/ 2 5 6 / TICKRATE) / / Beregning a f
32
timer0−c o u n t e r i n i t i a l i s e r i n g s værdi
33 # d e f i n e TMC8_CK256 ((1 <

60
61
62 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
63 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Globale v a r i a b l e ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
64 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
65
66 / / G l o b a l e v a r i a b l e t i l r o t a t i o n s s e n s o r e n e s o u t p u t
67 T i m e r C o n t r o l B l o c k t i m e r 1 ;
68
69 double m o t o r _ s e n s o r _ h ;
70 double m o t o r _ s e n s o r _ v ;
71
72 double m o t o r _ r e f _ h ;
73 double m o t o r _ r e f _ v ;
74
75 Mutex motor_semafor_v ;
76 Mutex motor_semafor_h ;
77
78 double v i n k e l _ r e f _ x ;
79
80 double s p e e d _ r e f ;
81
82 double v i n k e l s e n s o r _ x ;
83 double maaling ;
84
85 double t e s t ;
86
87 Mutex Rx1Ready , Tx1Ready ; / / T i l UART1
88 Mutex semafor1 ;
89 FILE ∗u1 ;
K.3 rotationssensor.c
1 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
2 / ∗ ∗ ∗ ∗ /
3 / ∗ ∗ Kode t i l b e r e g n i n g a f h a s t i g h e d e n ∗ ∗ /
4 / ∗ ∗ på de f i r e motorer ved h j æ l p a f ouput ∗ ∗ /
5 / ∗ ∗ f r a de f i r e r o t a t i o n s s e n s o r e ∗ ∗ /
6 / ∗ ∗ ∗ ∗ /
7 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
8
9 # i n c l u d e " Main . h "
10
11 / / o v e r f l o w c o u n t e r e t i l h ver a f de f i r e r o t a t i o n s s e n s o r e
12 u i n t 8 _ t v e n s t r e _ c o u n t e r = 0 , h o j r e _ c o u n t e r = 0 ;
13
14 / / V a r i a b l e t i l a t huske de gamle t i m e r v æ r d i e r i
15
16 u i n t 8 _ t h o j r e _ t i m e r _ c o u n t e r _ o l d = 0 ;
17 u i n t 8 _ t v e n s t r e _ t i m e r _ c o u n t e r _ o l d = 0 ;
18
A46

19 u i n t 8 _ t t i m e r _ c o u n t e r _ h ;
20 u i n t 8 _ t o v e r f l o w s _ h ;
21 Mutex semafor_h ;
22
23 u i n t 8 _ t t i m e r _ c o u n t e r _ v ;
24 u i n t 8 _ t o v e r f l o w s _ v ;
25 Mutex semafor_v ;
26
27 AVRX_SIGINT ( TIMER2_OVF_vect ) / / Kør d e t t e ved timer2−o v e r f l o w
28 {
29 I n t P r o l o g ( ) ; / / S k i f t t i l k e r n e s t a k k e n , og gem t r å d e n s
30
31
r e g i s t r e
32 / / Tæl a l l e c o u n t e r e en op , f o r s å l e d e s a t
s i g n a l e r e a t endnu e t t i m e r 2 _ o v e r f l o w e r s k e t
33 i f ( h o j r e _ c o u n t e r != OVERFLOW_LIMIT) { / / Hvis
h ø j r e motor i k k e s t å r s t i l l e
34 h o j r e _ c o u n t e r ++; / / t æ l da e t o v e r f l o w op
35 }
36 e l s e { / / Hvis motoren s t å r s t i l l e
37 m o t o r _ s e n s o r _ h = 0 ; / / Da sæt h a s t i g h e d e n
38 }
t i l 0
39 i f ( v e n s t r e _ c o u n t e r != OVERFLOW_LIMIT) { / / Hvis
v e n s t r e motor i k k e s t å r s t i l l e
40 v e n s t r e _ c o u n t e r ++; / / t æ l da e t o v e r f l o w op
41 }
42 e l s e { / / Hvis motoren s t å r s t i l l e
43 m o t o r _ s e n s o r _ v = 0 ; / / Da sæt h a s t i g h e d e n
44 }
45
t i l 0
46 E p i l o g ( ) ; / / S k i f t t i l ny t r å d
47 }
48
49 AVRX_SIGINT ( INT6_vect ) / / Kør d e t t e ved i n t e r r u p t f r a h ø j r e
50 {
r o t a t i o n s s e n s o r
51 I n t P r o l o g ( ) ; / / S k i f t t i l k e r n e s t a k k e n , og gem t r å d e n s
52
r e g i s t r e
53 t i m e r _ c o u n t e r _ h = TIMER2_COUNTER ; / / Gem t i m e r 2 t æ l l e r e n
54 o v e r f l o w s _ h = h o j r e _ c o u n t e r −1; / / d e r s k a l r e g n e s med e t
o v e r f l o w mindre end t a l t
55 h o j r e _ c o u n t e r = 0 ; / / h ø j r e c o u n t e r s k a l n u l s t i l l e s , så d e r
56
i g e n b e r e g n e s o v e r f l o w s
57 EIMSK &= ~( 1

61 E p i l o g ( ) ; / / S k i f t t i l ny t r å d
62 }
63
64 AVRX_GCC_TASKDEF( r o t a t i o n _ h , 80 , 1) / / Tråd t i l h ø j r e
65 {
r o t a t i o n s s e n s o r
66 while ( 1 )
67 {
68 AvrXWaitSemaphore(& semafor_h ) ; / / Vent på a t d e r
h a r v æ r e t i n t e r r u p t
69 i f ( o v e r f l o w s _ v != 254) {
70 i n t t i m e r _ c o u n t e r s = t i m e r _ c o u n t e r _ h +
71
72 double t i d ;
(256 − h o j r e _ t i m e r _ c o u n t e r _ o l d ) ;
73 t i d = o v e r f l o w s _ h ∗ OVERFLOW_TIME_TIMER2 ;
/ / d e r g å r 0.2048∗10 m i l l i s e k u n d e r
mellem h v e r t o v e r f l o w
74 t i d += t i m e r _ c o u n t e r s ∗
TIMER_STEP_TIME_TIMER2 ; / / d e r
g å r 0.008∗10 m i l l i s e k u n d e r på h v e r t
t i m e r s t e p ( n å r d i v i d e r e t med 32)
75 double h a s t i g h e d = M_PI / t i d ; / / (2∗ p i )
/ ( 2 ∗ t i d )
76 i f ( h a s t i g h e d < MAX_HASTIGHED) { / / Hvis
h a s t i g h e d e n e r mindre end den
maksimalt t i l l a d t e
77 m o t o r _ s e n s o r _ h = h a s t i g h e d ;
78 }
79 }
80 / / Denne værdi gemmes t i l s e n e r e brug
81 h o j r e _ t i m e r _ c o u n t e r _ o l d = t i m e r _ c o u n t e r _ h ;
82
83 T i m e r C o n t r o l B l o c k t i m e r ;
84 AvrXDelay(& t i m e r , INTERRUPT_WAIT) ; / / Vent l i d t
med a t e n a b l e n y t i n t e r r u p t
85 EIMSK | = ( 1

97 EIMSK &= ~( 1

5 # d e f i n e START_DELAY 30
6
7 # d e f i n e E0 0.09223 / / k o n s t a n t g a n g e t med e [ n ] ;
8 # d e f i n e E1 −0.07175 / / k o n s t a n t g a n g e t med e [ n −1];
9 # d e f i n e VA1 1 / / k o n s t a n t g a n g e t med Va [ n −1];
10
11 # d e f i n e MOTOR_REGULATOR_TID 72 / / 36 m i l l i s e k u n d e r ∗ 2
12
13 AVRX_GCC_TASKDEF( motor_h , 80 , 3) / / Højre m o t o r r e g u l a t o r
14 {
15 T i m e r C o n t r o l B l o c k m o t o r _ t i m e r ;
16 / / S t a r t s t i l l e og r o l i g t op t i l h a l v duty−c y c l e
17 i n t i =0;
18 double o l d _ i n p u t =0;
19 double o u t p u t = 5 ;
20 while ( i 10 da max
speed uden windup
38 PWM_H = PWM_TOP;
39 o u t p u t = 1 0 ;
40 }
41 e l s e { / / E l l e r s sæt b l o t pwm t i l ø n s k e t værdi
42 PWM_H = o u t p u t ∗ VA_konst ;
43 }
44 o l d _ i n p u t = i n p u t ;
45 }
46
47 }
48
49 AVRX_GCC_TASKDEF( motor_v , 80 , 3)
50 {
A50

51 T i m e r C o n t r o l B l o c k m o t o r _ t i m e r ;
52 / / S t a r t s t i l l e og r o l i g t op t i l h a l v duty−c y c l e
53 i n t i =0;
54 double o l d _ i n p u t =0;
55 double o u t p u t = 5 ;
56 while ( i 10 da max
speed uden windup
74 PWM_V = PWM_TOP;
75 o u t p u t = 1 0 ;
76 }
77 e l s e { / / E l l e r s sæt b l o t pwm t i l ø n s k e t værdi
78 PWM_V = o u t p u t ∗ VA_konst ;
79 }
80 o l d _ i n p u t = i n p u t ;
81 }
82
83 }
K.5 vinkel_regulator.c
1 # i n c l u d e " Hardware . h "
2 # d e f i n e X0 2 4 6 . 5 / / k o n s t a n t g a n g e t med x [ n ] ;
3 # d e f i n e X1 −190.5 / / k o n s t a n t g a n g e t med x [ n −1];
4 # d e f i n e T_VINKELREGULATOR 2∗60 / / Kør h v e r t 6 7 . m i l l i s e k u n d
5 # d e f i n e ADC_REF 5 . 0 0
6 # d e f i n e VINKELSENSOR_X_PORT 1 / / Brug ADC
7 # d e f i n e VINKELSENSOR_VOLT_PR_RAD 0.89108
8 # d e f i n e VINKELSENSOR_VOLT_OFFSET 3.376564
9 # d e f i n e VINKELSENSOR_VOLT_MAX 5 . 0 0
A51

10 # d e f i n e VINKELSENSOR_VOLT_MIN 2 . 0 0
11
12 # d e f i n e K_PI 0.01005 / / K o n s t a n t i PI−r e g u l a t o r
13
14 i n t adc_maaling ( ) { / / D e f i n e r f u n k t i o n t i l måling f r a ADC
15
16 ADCSR = ADCSR | ( 1

53 i n t i i ;
54 AvrXWaitSemaphore(& motor_semafor_h ) ; / / Vent på a t
m o t o r c o n t r o l l e r e s t a r t e r
55 AvrXWaitSemaphore(& motor_semafor_v ) ;
56 i n t k = 0 ;
57 while ( 1 ) {
58 AvrXDelay(& v i n k e l _ r e g u l a t o r _ x , T_VINKELREGULATOR) ;
59
60 k = 0 ;
61 maaling = 0 ;
62 double ny_maaling ;
/ / K ¯ r e s med en p e r i o d e på T _ v i n k e l r e g u l a t o r
63 while ( k < 50) { / / midl o ver 50 ADC m å l i n g e r
64 ny_maaling = ( adc_maaling ( ) ∗ ADC_REF) /
65
1024;
66 maaling += ( ny_maaling / 5 0 ) ;
67 k ++;
68 }
69 v i n k e l s e n s o r _ x = ( maaling −
70
VINKELSENSOR_VOLT_OFFSET) /
VINKELSENSOR_VOLT_PR_RAD ; / / Beregn v i n k e l i
r a d i a n e r
71 / / Her begynder v i n k e l r e g u l a t o r e n
72
73 i n p u t _ P I = v i n k e l _ r e f _ x − v i n k e l s e n s o r _ x ;
74 o u t p u t _ P I = K_PI ∗ ( i n p u t _ P I + o l d _ i n p u t _ P I ) +
75
o u t p u t _ P I ;
76 o l d _ i n p u t _ P I = i n p u t _ P I ;
77
78 i n p u t = o u t p u t _ P I − v i n k e l s e n s o r _ x ;
79 o u t p u t = X0∗ i n p u t + X1∗ o l d _ i n p u t ; / / X0 ∗ e [ n ] +
X1 ∗ e [ n−1]
80 i f ( ( s p e e d _ r e f + o u t p u t ) < SATURATION_POINT) { / /
Hvis r e g u l a t o r e n ø n s k e r en m o t o r h a s t i g h e d
under 40 r a d / s
81 o u t p u t = SATURATION_POINT − s p e e d _ r e f ;
82 }
83 i f ( ( s p e e d _ r e f − o u t p u t ) < SATURATION_POINT) {
84 o u t p u t = s p e e d _ r e f −SATURATION_POINT ;
85 }
86
87 m o t o r _ r e f _ h = o u t p u t + s p e e d _ r e f ;
88 m o t o r _ r e f _ v = s p e e d _ r e f − o u t p u t ;
89
90 o l d _ i n p u t = i n p u t ;
91 }
92 }
A53

K.6 rs232.c
1 # i n c l u d e " Main . h "
2
3 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
4 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗ D e f i n a t i o n a f Kommunikationstråden ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
5 / ∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗ /
6 T i m e r C o n t r o l B l o c k r s 2 3 2 _ t i m e r ;
7 AVRX_GCC_TASKDEF( rs232 , 200 , 16)
8 {
9 while ( 1 )
10 {
11 AvrXDelay(& r s 2 3 2 _ t i m e r , 2 0 0 0 ) ; / / Vent e t sekund
12
13 f p r i n t f ( u1 , " h : %f \ n " , m o t o r _ s e n s o r _ h ) ;
14 f p r i n t f ( u1 , "Mh %f \ n " , m o t o r _ r e f _ h ) ;
15 f p r i n t f ( u1 , " v : %f \ n " , m o t o r _ s e n s o r _ v ) ;
16 f p r i n t f ( u1 , "Mv %f \ n " , m o t o r _ r e f _ v ) ;
17 f p r i n t f ( u1 , "V %f \ n " , v i n k e l s e n s o r _ x ∗ ( 1 8 0 / 3 . 1 4 1 6 ) ) ;
18 p u t _ c h a r 1 ( ’ \ n ’ ) ;
19
20 }
21 }
A54