Eksempel 5.7: I eksempel 5.4 ønsker vi nu i stedet at <strong>mål</strong>e elevernes højde i meter. Dvs. vi En skoleklasse – del 2 108 <strong>Beskrivende</strong> <strong>mål</strong> de finerer en ny stokastisk variabel Z = 0,01 · Y, hvor Y er variablen fra eksempel 5.4. Hvis Y angiver højden for den udtrukne person i cm, vil Z derfor give os højden i meter. Middelværdien af Z er da: E(Z) = 0,01 · E(Y) = 0,01 · 137,5 = 1,375 meter. Eksempel 5.8: I eksempel 5.5 er Y en funktion af X, som opfylder den tredje regneregel i Et terningspil – del 4 boksen ovenfor. Når vi kender middelværdien af X, kan vi derfor springe den lidt om stændelige udregning i eksempel 5.6 over og i stedet udregne middelværdien af Y som: E(Y) = E(–5 + 2 · X) = –5 + 2 · E(X) = –5 + 2 · 3,5 = 2. Det er værd at understrege, at den forventede værdi af en funktion af X, E(h(X)), generelt ikke er lig med funktionen af den forventede værdi, h(E(X)). Det næste eksempel illustrerer dette. Eksempel 5.9: Den stokastiske variabel, X, kan antage værdierne 3 og 5 med sandsynlig hed En ikkelineær funktion 0,5 for hver af dem. Dermed er E(X) = 3 · 0,5 + 5 · 0,5 = 4. Lad Y = X 2 . Da X = 3 med sandsynlighed 0,5, så er Y = 9 med sandsynlighed 0,5. Tilsvaren de er X = 5 med sandsynlighed 0,5, og dermed er Y = 25 med sandsynlig hed 0,5. Den forventede værdi af Y er derfor E(Y) = 9 · 0,5 + 25 · 0,5 = 17. Så E(Y) = E(X 2 ) = 17, mens (E(X)) 2 = 4 2 = 16. 5.2.2 Forventet værdi af en kontinuert stokastisk variabel For at beregne den forventede værdi af en kontinuert stokastisk variabel skal man bruge integralregning. Tænk på eksemplerne 4.12 og 4.13 fra sidste kapitel, hvor en virksomhed skulle forudsige næste års vareproduktion. Her var sandsynlighederne for de enkelte udfald nul, fordi der var uendeligt mange udfald. Til gengæld var der en positiv sandsynlighed for en produktion mellem 10 og 11 tons. Som i tilfældet med en diskret stokastisk variabel skal vi have foretaget en sammenvejning af sandsynligheder og værdier af udfald. Da sandsynligheden for et bestemt udfald er 0 for en kontinuert stokastisk variabel, viser det sig, at vi i stedet for kan bruge tæthedsfunktionen. Sammenvejningen sker ved at integrere tæthedsfunktionen ganget med værdier ne af udfaldene. Formelt er beregningsformlen som følger:
Den forventede værdi (middelværdien),