5 Beskrivende mål - Gyldendal

når der er tale om udtrækninger fra virkelige populationer, hvor alle elementer
ikke har samme chance for udvælgelse. Lad os illustrere denne tankegang
med et par eksempler:
Eksempel 5.1: I forbindelse med indkomstfordelingen fra starten af kapitlet kan vi definere
En virkelig
population
følgende eksperiment: „Udvælg en person og lad den stokastiske variabel, X,
angive vedkommendes indkomst.“ Hvis alle personer har samme chance for
udvælgelse, så vil sandsynlighedsfunktionen for X være lig med andelsfunktionen
for populationen. Dermed har X samme „fordeling“ som populationen.
Hvis en andel på 0,1 af befolkningen tjener mere end 300.000 kr., så
er der tilsvarende sandsynligheden 0,1 for, at X antager en værdi større end
300.000. Om vi beskriver fordelingen af populationen eller fordelingen af X,
gør derfor ingen forskel i dette tilfælde.
Eksempel 5.2: I eksemplet fra kapitel 3 med en 30­årig obligation er kursen i morgen kl.
En superpopulation
12.00 en stokastisk variabel, Y, som har en given sandsynlighedsfordeling.
Der er fx sandsynligheden 0,3 for, at kursen vil ligge under 100. Sandsynlighedsfordelingen
for denne variabel kan imidlertid ikke umiddelbart
for tolkes som andele i superpopulationen af kurser. Men vi kan stadig beskrive
sandsynlighedsfordelingen for Y ved hjælp af en række beskrivende
mål.
I mange af eksemplerne i dette kapitel vil der være den i eksempel 5.1 nævnte
sammenhæng mellem fordelingen af den stokastiske variabel og en virkelig
population. Det er dog vigtigt at huske på, at de beskrivende mål også finder
anvendelse i en lang række andre situationer, hvor fordelingen af den stokastiske
variabel ikke svarer til fordelingen af en underliggende virkelig population,
som tilfældet fx er i eksempel 5.2.
5.2 Momenter
Det mest kendte moment for en stokastisk variabel, X, er middelværdien, også
kaldet den forventede værdi. Middelværdien betegnes typisk med bogstavet µ
eller E(X), hvor E’et står for „expectation“ (forventning). Et andet ofte brugt
moment er variansen, som beskriver, hvor meget de mulige værdier af X gennemsnitligt
er spredt i forhold til middelværdien. Variansen betegnes typisk
med s 2 eller V(X).
Fortolkningen af et moment er den samme, uanset om den stokastiske variabel
er diskret eller kontinuert. Beregningsteknisk er der dog en forskel, så vi
5.2 Momenter 103