5 Beskrivende mål - Gyldendal

5.5.1 Forventet værdi af en sum af stokastiske variabler
Afkastet på en aktie kan man beskrive som en stokastisk variabel, X. Antag, at
der også er en anden aktie med afkast givet ved den stokastiske variabel, Y. Vi
kan nu sammensætte en portefølje (en samling) af aktier, hvor a er antal aktier
af den første type, og b er antal aktier af den anden type. Dermed vil vo res
samlede afkast blive givet ved den stokastiske variabel, Z:
Z = a · X + b · Y
Hvad er nu det forventede afkast af denne portefølje? Dette kan bestemmes
ud fra følgende generelle formel for den forventede værdi af en sum af stokastiske
variabler, som både gælder for diskrete og kontinuerte variabler:
Den forventede værdi af summen af to stokastiske variabler afhænger ikke af,
hvordan de to stokastiske variabler samvarierer. Den afhænger udelukkende
af de to stokastiske variablers individuelle forventede værdier.
Det forventede afkast af porteføljen, Z, er derfor lig med det forventede afkast
af de a X-aktier og de b Y-aktier:
E(Z) = a · E(X) + b · E(Y)
5.5.2 Kovarians
Den forventede værdi af en sum af stokastiske variabler (diskrete eller kontinuerte) er givet
ved:
E(a · X + b · Y) = E(a · X) + E(b · Y) = a · E(X) + b · E(Y)
hvor a og b er konstanter.
Et mål for risikoen af en portefølje er variansen af porteføljen, V(Z) = V(a · X +
b · Y). Variansen af en sum af stokastiske variabler, uanset om disse er diskrete eller
kontinuerte, afhænger af variansen af hver enkelt stokastisk varia bel, men også af
kovariansen. I kapitel 2 udregnede vi kovariansen mellem 2 populationskarakteristika.
Kovariansen mellem to stokastisk variabler er tilsvarende defineret som:
Kovariansen, Cov(X, Y), mellem to stokastiske variabler, X og Y, er defineret ved:
Cov(X, Y) = E[(X – µX) · (Y – µ Y)]
hvor µX = E(X) og µ Y = E(Y). En alternativ formel for udregning af kovariansen er:
Cov(X, Y) = E(X · Y) – µX · µY
5.5 Beskrivende mål for sammenhænge mellem stokastiske variabler 121