5 Beskrivende mål - Gyldendal

5.4 Valg af beskrivende mål
En gennemsnitlig beboer i København har færre end to ben. Dette udsagn
vækker mistanke om, at en stor miljøkatastrofe må have ramt hovedstaden.
Men udsagnet er faktisk korrekt, hvis der bare er én beboer i København, som
kun har ét ben (og ingen har mere end to!). Man skal derfor være påpasselig
med fortolkningen af beskrivende mål, som for eksempel en middelværdi,
selvom udregnin gerne er korrekte. Ligeså vigtigt er det at vælge beskrivende
mål, som i sammenhængen giver et relevant billede af en fordeling. I tilfældet
med antal ben blandt de københavnske beboere kunne det således være mere
interessant at kende sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt beboer har to
ben.
Et andet eksempel er valget af beskrivende mål for en indkomstfordeling.
Antag, at den sto kastiske variabel, X, angiver en simpel tilfældigt udvalgt indbyggers
indkomst. Hvis den forventede værdi af X er høj, betyder det så, at
man kan konkludere, at indbyggerne er rige? Nej, det betyder, at de i gennemsnit
er rige. Hvis hovedparten af indbyggerne er fattige, men de få rige er ekstremt
rige, så er middelindkomsten høj. Medianindkomsten vil derimod være
lav, fordi den ikke er særlig påvirket af, at der findes en lille gruppe rige personer.
For medianen gør det ingen forskel, om de rigeste 49 % er lidt rige eller
stenrige. Både middelværdien og medianen er gyldige beskrivende mål, men
de fortæller to vidt forskellige historier om de samme indbyggere.
Middelværdien og medianen har det til fælles, at de begge giver et bud på
den centrale ten dens i en fordeling. Medianen bygger primært på sandsynligheden
for udfaldene, hvorimod middelværdien medtager udfaldenes størrelse.
Hvilket af de to mål, der giver den bedste beskrivelse af fordelingens midte eller
den „typiske“ observation, afhænger af det, vi ønsker at undersø ge.
I en symmetrisk fordeling er medianen og middelværdien lig hinanden. I
praksis kan man dog komme til at lave målefejl. For eksempel kan man i indkomstfordelingen
komme til at sætte et 0 for meget på nogle af de høje indkomster.
Målefejl af denne type vil typisk påvirke udregningen af middelværdien
mere end udregningen af medianen. Man siger derfor, at medianen er
mere robust over for sådanne målefejl.
5.4.1 Modalværdi
Et ofte (måske lidt for ofte) brugt beskrivende mål er modalværdien for en
stokastisk variabel. Modelværdien kaldes også typetallet og er den mest sandsynlige
værdi i en fordeling. Hvis den stokastiske variabel er givet ved en simpel
tilfældig udtræk ning fra en virkelig population, så er modalværdien den
oftest forekommen de værdi i populationen.
5.4 Valg af beskrivende mål 119