5 Beskrivende mål - Gyldendal

Den første betingelse siger, at et udfald mindre end p-fraktilen højst må have
sandsynlighed p, mens den anden betingelse siger, at sandsynligheden for at
få et udfald større end p-fraktilen skal være mindre end eller lig med 1-p.
Denne snørklede definition er nødvendig, fordi den kumulerede sandsynlighedsfunktion
for en diskret stokastisk ⎧0
, y < variabel 1 er en trappefunktion og dermed
ikke kontinuert. “Ånden” F(y) = i ⎨en
0,5 p-fraktil , 1 ≤ y < 2er
dog den samme som i tilfældet
med en kontinuert stokastisk ⎩1
, y ≥ 2
variabel.
Lad os prøve at finde den nederste kvartil, som er 0,25-fraktilen. Hvis vi prø-
Eksempel 4.18 Den ver diskrete at bruge stokastiske definitionen variabel, af en p-fraktil Y, der for antager en kontinuert værdien stokastisk 1, når en mønt variabel, lan-
Plat og krone der så på vil plat, det ikke og værdien virke, da 2, det når er den umuligt lander at på løse krone, F(q0,25) har = følgende 0,25 for en kumulerede værdi af
sandsynlighedsfunktion:
q0,25. Se figur 5.4. Men da Y er diskret, skal vi bruge den generelle definition
af en p-fraktil. En kandidat til 0,25-fraktilen ⎧0
, y < er 1værdien
1. Vi tjekker der for
betingelserne i) og ii) fra ⎪
Fy boksen ( ) = ⎨0,5
ovenfor. , For 1 ≤ i) y fås < P(Y 2 < 1) = 0, som er mindre
end 0,25. For ii) fås P(Y > 1) ⎪=
1 – P(Y ≤ 1) = 1 – 0,5 = 0,5, som er mindre
⎩1
, y ≥ 2
end 1 – 0,25 = 0,75. Begge betingelser er altså opfyldt, og dermed er 1 en
Lad
0,25-fraktil.
os prøve at
Grafisk
finde den
er 0,25-fraktilen
nederste kvartil,
den
som
værdi
er
af
0,25-fraktilen.
y, hvor F(y) springer
Hvis vi prø-
op
over 0,25.
ver at bruge definitionen af en p-fraktil for en kontinuert stokastisk variabel,
Figur 5.4:
Figur 4.4
Kumuleret
Kumuleret
sandsynlighed
sandsynlighed
og 0,25-fraktil
og 0,25-fraktil
118 Beskrivende mål
1
0,5
0,25
–1 0
1 (= 0,25) 2
Afslutningsvis bemærker vi, at fraktiler, modsat momenter, 4.3 Fraktiler altid eksisterer. En 69
række fraktiler har endvidere specielle navne, som det fremgår af boksen nedenfor.
Specielle navne for fraktiler:
Statistik_04.InD 69
18/03/03, 12:56
q0,5 kaldes medianen.
q0,25 og q0,75 kaldes kvartiler.
q 0,1, q 0,2, …, q 0,9 kaldes deciler.
q 0,01, q 0,02, …, q 0,99 kaldes percentiler.
()