5 Beskrivende mål - Gyldendal

More documents

Recommendations

Info

Den kontinuerte stokastiske variabel, , fra eksempel 5.10, som angav en virksomheds vareproduktion, havde f¯lgende kumulerede sandsynlighedsfunktion, jf. eksempel 4.14: 0 () = 0,1 ( 10) < 10 10 20 1 20 < Medianen Medianen (0,5-fraktilen), (0,5-fraktilen), for X bestemmes som en løsning til F(q0,5) = 0,5, 0,5, for bestemmes som en l¯sning til dvs. 0,1 · (q0,5 – 10) = 0,5, som giver q0,5 = 15. Medianen er altså den samme 0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er som altsÂ middelværdien den samme i som dette middelvÊ tilfælde, rdien jf. eksempel i dette 5.10. tilfÊ lde, 0,05-fraktilen jf. eksempel findes 5.10. på tilsvarende 0,05-fraktilen vis: findes pÂ tilsvarende vis: 0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5 En stokastisk variabel kan dog godt have flere medianværdier (og p- En fraktiler), stokastisk som variabel illustreret kan dog i det godt følgende have flere eksempel. medianværdier (og p-fraktiler), som illustreret i det følgende eksempel. Eksempel 5.17: Antag, Eksempel at en kontinuert 5.17: Multiple stokastisk medianvÊ variabel, rdier X, har sandsynlighed 0,5 for at Multiple ligge Antag, mellem at 1 en og kontinuert 2 og sandsynlighed stokastisk variabel, 0,5 for at , ligge har sandsynlighed mellem 3 og 4. 0,5 Tætheds- for at medianværdierfunktionen ligge mellem for X 1 er ogtegnet 2 og i sandsynlighed figur 5.3. I dette 0,5tilfælde for at ligge er der mellem derfor 3sandsyn og 4. lighed TÊ thedsfunktionen 0 for, at X antager for en er værdi tegnet mellem i figur 2 5.3. og I3. dette Men tilfÊ samtidig lde er vil der alle derfor vær- sandsynlighed 0 for, at antager en vÊ rdi mellem 2 og 3. Men samtidig vil lighed dier mellem 0 for, at 2 og X antager 3 dele sandsynlighedsmassen en værdi mellem 2 og i 3. to Men lige samtidig store dele. vil Derfor alle vær- vil alle vÊ rdier mellem 2 og 3 dele sandsynlighedsmassen i to lige store dele. dier alle værdier mellem mellem 2 og 3 dele 2 og sandsynlighedsmassen 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil i to lige store ifølge dele. definitionen Derfor vil Derfor vil alle vÊ rdier mellem 2 og 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil if¯lge alle i boksen ovenfor. Så disse værdier er alle medianværdier. definitionen værdier mellem i boksen 2 og ovenfor. 3 opfylde SÂ disse kravet vÊ til rdier en er 0,5-fraktil alle medianvÊ ifølge rdier. definitionen i boksen ovenfor. Så de er alle medianværdier. Figur 5.3: 4.3 Tæthedsfunktion med mul- multiple tiple medianer medianer 0,5 () [Indsæt figur 5.3: Tæthedsfunktion med multiple medianer] 1 2 3 4 Typisk gør man dog det, at når man som i eksempel 4.16 har et interval af værdier, Når man som som alle i eksempel opfylder 5.17 kravet har til et at interval være en af p-fraktil, værdier, så som vælger alle man opfylder den midterste kravet til at værdi være i en intervallet. p-fraktil, I så eksempel vælger man 4.16 typisk bliver den 2,5 således midterste medianen. værdi i inEt tilsvarende tervallet. I eksempel problem 5.17 har vi, bliver når 2,5 vi således har med medianen. diskrete stokastiske Et tilsvarende variabler problem at gøre, har vi, så når lad os vi kigge har med nærmere diskrete på stokastiske dem. variabler at gøre. Lad os derfor kigge nærmere på dem. Eksempel 4.17 Lad X være den diskrete stokastiske variabel, der angiver antallet af øjne ved Eksempel Et terningspil 5.18: et Lad terningslag. X være den Vi diskrete ved fra stokastiske tidligere, at variabel, sandsynlighedsfordelingen der angiver antallet for af øjne X er ved føl- Et – del terningspil 8 gende: et terningslag. Vi ved fra tidligere, at sandsynlighedsfordelingen for X er føl- – del 8 gende: f () 1 = 16 /, f () 2 = 16 /, f () 3 = 16 /, f () 4 = 16 /, f () 5 = 16 /, f () 6 = 16 / Der er altså sandsynlighed 0,5 for at få en værdi af X mindre end 3,1, men der er også sandsynlighed 0,5 for at få en værdi mindre end 3,8. Så hvilken 116 værdi Beskrivende er medianen? mål Som i tilfældet med kontinuerte variabler vælger man typisk den midterste værdi af det interval af værdier, der alle deler sandsynlighedsmassen i to lige store dele. Værdien 3,5 bliver derfor medianen i dette tilfælde.
Den kontinuerte stokastiske variabel, , fra eksempel 5.10, som angav en virksomheds vareproduktion, havde f¯lgende kumulerede sandsynlighedsfunktion, jf. eksempel 4.14: 0 () = 0,1 ( 10) < 10 10 20 1 20 < Medianen Medianen (0,5-fraktilen), (0,5-fraktilen), for X bestemmes som en løsning til F(q0,5) = 0,5, 0,5, for bestemmes som en l¯sning til dvs. 0,1 · (q0,5 – 10) = 0,5, som giver q0,5 = 15. Medianen er altså den samme 0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er som altsÂ middelværdien den samme i som dette middelvÊ tilfælde, rdien jf. eksempel i dette 5.10. tilfÊ lde, 0,05-fraktilen jf. eksempel findes 5.10. på tilsvarende 0,05-fraktilen vis: findes pÂ tilsvarende vis: 0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5 En stokastisk variabel kan dog godt have flere medianværdier (og p- En fraktiler), stokastisk som variabel illustreret kan dog i det godt følgende have flere eksempel. medianværdier (og p-fraktiler), som illustreret i det følgende eksempel. Eksempel 5.17: Antag, Eksempel at en kontinuert 5.17: Multiple stokastisk medianvÊ variabel, rdier X, har sandsynlighed 0,5 for at Multiple ligge Antag, mellem at 1 en og kontinuert 2 og sandsynlighed stokastisk variabel, 0,5 for at , ligge har sandsynlighed mellem 3 og 4. 0,5 Tætheds- for at medianværdierfunktionen ligge mellem for X 1 er ogtegnet 2 og i sandsynlighed figur 5.3. I dette 0,5tilfælde for at ligge er der mellem derfor 3sandsyn og 4. lighed TÊ thedsfunktionen 0 for, at X antager for en er værdi tegnet mellem i figur 2 5.3. og I3. dette Men tilfÊ samtidig lde er vil der alle derfor vær- sandsynlighed 0 for, at antager en vÊ rdi mellem 2 og 3. Men samtidig vil lighed dier mellem 0 for, at 2 og X antager 3 dele sandsynlighedsmassen en værdi mellem 2 og i 3. to Men lige samtidig store dele. vil Derfor alle vær- vil alle vÊ rdier mellem 2 og 3 dele sandsynlighedsmassen i to lige store dele. dier alle værdier mellem mellem 2 og 3 dele 2 og sandsynlighedsmassen 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil i to lige store ifølge dele. definitionen Derfor vil Derfor vil alle vÊ rdier mellem 2 og 3 opfylde kravet til en 0,5-fraktil if¯lge alle i boksen ovenfor. Så disse værdier er alle medianværdier. definitionen værdier mellem i boksen 2 og ovenfor. 3 opfylde SÂ disse kravet vÊ til rdier en er 0,5-fraktil alle medianvÊ ifølge rdier. definitionen i boksen ovenfor. Så de er alle medianværdier. Figur 5.3: 4.3 Tæthedsfunktion med mul- multiple tiple medianer medianer 0,5 () [Indsæt figur 5.3: Tæthedsfunktion med multiple medianer] 1 2 3 4 Typisk gør man dog det, at når man som i eksempel 4.16 har et interval af værdier, Når man som som alle i eksempel opfylder 5.17 kravet har til et at interval være en af p-fraktil, værdier, så som vælger alle man opfylder den midterste kravet til at værdi være i en intervallet. p-fraktil, I så eksempel vælger man 4.16 typisk bliver den 2,5 således midterste medianen. værdi i inEt tilsvarende tervallet. I eksempel problem 5.17 har vi, bliver når 2,5 vi således har med medianen. diskrete stokastiske Et tilsvarende variabler problem at gøre, har vi, så når lad os vi kigge har med nærmere diskrete på stokastiske dem. variabler at gøre. Lad os derfor kigge nærmere på dem. Eksempel 4.17 Lad X være den diskrete stokastiske variabel, der angiver antallet af øjne ved Eksempel Et terningspil 5.18: et Lad terningslag. X være den Vi diskrete ved fra stokastiske tidligere, at variabel, sandsynlighedsfordelingen der angiver antallet for af øjne X er ved føl- Et – del terningspil 8 gende: et terningslag. Vi ved fra tidligere, at sandsynlighedsfordelingen for X er føl- – del 8 gende: f () 1 = 16 /, f () 2 = 16 /, f () 3 = 16 /, f () 4 = 16 /, f () 5 = 16 /, f () 6 = 16 / Der er altså sandsynlighed 0,5 for at få en værdi af X mindre end 3,1, men der er også sandsynlighed 0,5 for at få en værdi mindre end 3,8. Så hvilken 116 værdi Beskrivende er medianen? mål Som i tilfældet med kontinuerte variabler vælger man typisk den midterste værdi af det interval af værdier, der alle deler sandsynlighedsmassen i to lige store dele. Værdien 3,5 bliver derfor medianen i dette tilfælde.
Page 1 and 2: 5 Beskrivende mål Indkomstfordelin
Page 3 and 4: når der er tale om udtrækninger f
Page 5 and 6: Figur 5.1 4.1 Middelværdi som bala
Page 7 and 8: hvor
Page 9 and 10: Den forventede værdi (middelværdi
Page 11 and 12: vægter med sandsynligheden for de
Page 13 and 14: samme måde som for en diskret stok
Page 15: Figur 5.2: Figur Tæthedsfunk- 4.2
Page 19 and 20: 5.4 Valg af beskrivende mål En gen
Page 21 and 22: 5.5.1 Forventet værdi af en sum af
Page 23 and 24: Dermed bliver kovariansen givet ved
Page 25 and 26: educere variansen pÂ afkastet, ude
Page 27 and 28: 1. Den „guidede“ metode foregå
Page 29 and 30: Korrelationskoefficienten findes p
Page 31 and 32: y F(y) = P(Y ≤ y) 0 0,0083 1 0,06

5 Beskrivende mål - Gyldendal

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?