5 Beskrivende mål - Gyldendal
5 Beskrivende mål - Gyldendal
5 Beskrivende mål - Gyldendal
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Figur 5.2:<br />
Figur<br />
Tæthedsfunk-<br />
4.2<br />
Tæthedsfunktion<br />
og median<br />
tion og median<br />
stisk variabel, X, den værdi, som X er større end eller lig med med sandsynlighed<br />
0,5 og mindre end eller lig med med sandsynlighed 0,5. Rent visu elt<br />
så deler medianen derfor sandsynlighedsfordelingen for X på midten, som illustreret<br />
i figur 5.2, hvor tæthedsfunktionen for en kontinuert stokastisk variabel,<br />
X, er afbildet.<br />
median<br />
stokastiske variabel er kontinuert. For en kontinuert stokastisk variabel, X, er<br />
p-fraktilen den (eller de) værdi(er) af x, som, når de sættes ind i den kumulerede<br />
Man kan<br />
sandsynlighedsfunktion,<br />
også finde værdier af X,<br />
F(x),<br />
som<br />
giver<br />
opdeler<br />
p.<br />
fordelingen på en anden måde<br />
end med 0,5 til hver side. Disse værdier kalder man generelt for pfraktiler,<br />
hvor p -fraktilen p angiver for den en kontinuert del af fordelingen, stokastisk variabel, der ligger X, med til ven kumuleret stre for sandsynlig- pfraktilen. Den<br />
generelle hedsfunktion, definition F(x), af er en pfraktil, værdi, q , således som gælder at:<br />
p både for kontinuerte og diskrete<br />
stokastiske variabler, er lidt Fq snørklet. ( p)=<br />
p Derfor tager vi først det letteste<br />
tilfælde, som – for en gangs skyld – forekommer, når den stokastiske variabel<br />
er kontinuert. For en kontinuert stokastisk variabel, X, er pfraktilen den (eller<br />
de) værdi(er) af x, som, når de sættes ind i den kumu lative sandsynligheds<br />
Eksempel 4.15 Den<br />
funktion,<br />
kontinuerte<br />
F(x), giver<br />
stokastiske<br />
p.<br />
variabel, X, fra eksempel 4.10, som angav en<br />
Vareproduktion virksomheds vareproduktion, havde følgende kumulerede sandsynligheds-<br />
– del 2 funktion, jf. eksempel 3.14:<br />
p-fraktilen for en kontinuert stokastisk variabel, = X, med kumulativ sandsynlighedsfunktion,<br />
F(x), er en værdi, ⎧0<br />
qp, således at: hvis x < 10<br />
⎪<br />
Fx () = ⎨01<br />
, ⋅( x −10) hvis 10 ≤ x < 20<br />
⎪ F(qp) = p<br />
⎩1<br />
hvis 20 ≤ x<br />
Eksempel 5.16: Vareproduktion ñ del 2<br />
Eksempel 5.16:<br />
Medianen<br />
Den Den kontinuerte<br />
(0,5-fraktilen),<br />
kontinuerte stokastiske<br />
q<br />
stokastiske variabel,<br />
, for X bestemmes<br />
variabel, , X, fra fra eksempel eksempel<br />
som en<br />
5.10, 5.10,<br />
løsning<br />
som som<br />
til<br />
angav angav<br />
F(q )<br />
en en<br />
=<br />
0,5 0,5<br />
Vareproduk-<br />
0,5,<br />
virksomheds<br />
dvs. 0,1 · (q<br />
virksomheds vareproduktion,<br />
– 10) = 0,5, som<br />
vareproduktion, havde<br />
giver<br />
havde følgende<br />
q = 15. Medianen 0,5 kumulative<br />
er<br />
f¯lgende sand<br />
altså<br />
kumulerede synlig<br />
den samme<br />
0,5 hedstion<br />
– del 2<br />
som<br />
funk sandsynlighedsfunktion,<br />
middelværdien<br />
tion, jf. eksempel<br />
i dette<br />
4.14: jf. eksempel<br />
tilfælde, jf.<br />
4.14:<br />
eksempel 4.10.<br />
0,05-fraktilen findes på tilsvarende vis:<br />
0 < 10<br />
() = 0,1<br />
( 10) 10 20<br />
Fq ( 005 , ) = 005 , ⇔ 0, 1⋅( q 0, 05 − 10) = 0, 05 ⇔ q 005 , = 10, 5<br />
1 20 < <br />
Medianen (0,5-fraktilen), 0,5, for bestemmes som en l¯sning til<br />
0,5 = 0,5, dvs. 0,1 0,5 10 = 0,5, som giver 0,5 = 15. Medianen er<br />
En alts stokastisk den samme variabel som kan middelvÊ dog godt rdien have i dette flere tilfÊ medianværdier<br />
5.3 lde, jf. Fraktiler eksempel (og p-frakti- 5.10. 115<br />
ler), 0,05-fraktilen som illustreret findes i p det tilsvarende følgende eksempel. vis:<br />
0,05 = 0,05 0,1 0,05 10 = 0,05 0,05 = 10,5<br />
Eksempel 4.16 Antag, at en kontinuert stokastisk variabel, X, har sandsynlighed 0,5 for at<br />
Multiple medi- ligge mellem 1 og 2 og sandsynlighed 0,5 for at ligge mellem 3 og 4. Tæthedsanværdierfunktionen<br />
En stokastisk<br />
for X<br />
variabel<br />
er tegnet<br />
kan<br />
i figur<br />
dog<br />
4.3.<br />
godt<br />
I<br />
have<br />
dette<br />
flere<br />
tilfælde<br />
medianværdier<br />
er der derfor<br />
(og<br />
sandsyn-<br />
p-<br />
()