Bilag 1: Helikopterens fysiske egenskaber - SmartData

5
Bilag 14: Quaterioner
Rotationen beskrevet ved en enheds quaternion kan omskrives til matrix form, idet
⎡q0
⎤
⎢ ⎥ ⎡x⎤
p '= q ⋅p
⋅ q * , hvor ⎢
q1
q = ⎥ og p =
⎢ ⎥
⎢q
⎥ ⎢
y
⎥
2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣q
⎣z
⎦
3 ⎦
Skrives alle leddene for quaternions-produkterne ud og samles udtrykkene for x-,y- og
z-komposanterne af p’, fås:
⎡
0
⎤
⎢ 2 2 2 2
⎥
⎢
( q0
+ q1
− q2
− q3
) x 2(
q1q
2 − q0q
3)
y 2(
q1q3
+ q0q
2 ) z
p '=
⎥
2 2 2 2
⎢ 2(
q q + q q ) x ( q − q + q − q ) y 2(
q q − q q ) z ⎥
1 2 0 3
0 1 2 3
2 3 0 1
⎢
2 2 2 2 ⎥
⎣ 2(
q1q3
− q0q
2 ) 2(
q2q
3 + q0q1
) y ( q0
− q1
− q2
+ q3
) z⎦
Hvilket let omskrives til et matrix-vektor produkt, og dermed kan den ønskede matrix
opstilles (Titterton & Weston s. 49):
2 2 2 2
⎡(
q
⎤
0 + q1
− q2
− q3
) 2(
q1q
2 − q0q
3)
2(
q1q3
+ q0q
2 )
⎢
2 2 2 2
⎥
R = ⎢ 2(
q1q2
+ q0q
3)
( q0
− q1
+ q2
− q3
) 2(
q2q
3 − q0q1
) ⎥
⎢
2 2 2 2 ⎥
⎣ 2(
q1q3
− q0q
2 ) 2(
q2q
3 + q0q1
) ( q0
− q1
− q2
+ q3
) ⎦
Kilder:
[1] Wilkins, D.R.. Letters describing the Discovery of Quaternions. School of
Mathematics, Trinity College, Dublin, 21. Oktober 2003
.
[2] Hamilton, William R. On Quaternions, or on a new system of imaginaries
in algebra. Red. D.R. Wilkins. Philosophical Magazine, 1844–1850. 21.
Oktober 2003
.
[3] Titterton, D.H. og J.L. Weston. Strapdown inertial navigation technology.
Peter Peregrinus Ltd., London 1997.
[4] Eberly, David. Quaternion Algebra and Calculus. Magic Software, Inc.
2002. November 2003
.